UMA INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DOS NÚMEROS IRRACIONAIS POR MEIO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA Débora Cristina Tamagnoni 1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Cornélio Procópio deboratamagnoni@alunos.utfpr.edu.br Eduardo Oliveira Belinelli 2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Cornélio Procópio edubelinelli@hotmail.com Jader Gustavo de Campos Santos 3 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Cornélio Procópio jj_gustavo@hotmail.com Resumo: O objetivo deste trabalho é relatar uma atividade prática de ensino desenvolvida na disciplina de História da Matemática, do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Campus Cornélio Procópio. A atividade foi realizada com os alunos do sétimo período do curso da disciplina. Dessa forma, este trabalho traz o relato de uma experiência sobre essa atividade que tratou dos números irracionais por meio da comensurabilidade/incomensurabilidade de segmentos. Como resultado dessa atividade, observou-se que trabalhar com História da Matemática como metodologia de ensino é uma possibilidade para o processo de aprendizagem, pois permite que o aluno estabeleça relações entre a matemática e a necessidade histórica do surgimento dos seus conceitos. Palavras-chave: História da Matemática; Números irracionais; Incomensurabilidade de segmentos. Introdução Reza a lenda que Hipasus de Metapontum, um pitagórico que viveu por volta de 500 a. C., foi o primeiro a descobrir a existência dos números irracionais. Os pitagóricos comprometiam-se a obedecer às regras da Escola Pitagórica e tinham um juramento de jamais revelar seus segredos. No entanto, Hipasus teria quebrado a regra do silêncio e revelado sua descoberta ao mundo. Como punição, ele fora expulso da Escola Pitagórica e um túmulo com seu nome fora levantado, representando sua morte. A lenda acrescenta ainda que mais tarde ele se perdeu e morreu no mar como punição dos deuses por ter revelado suas descobertas (MIGUEL, 2009). Segundo Roque (2012), existem duas versões históricas para o surgimento dos números irracionais na Grécia Antiga, ambas utilizando a teoria das razões e proporções e a incomensurabilidade de grandezas. Uma das versões traz uma ideia geométrica, em que os 1 Acadêmica do curso de Licenciatura em Matemática da UTFPR, campus Cornélio Procópio - PR. 2 Acadêmico do curso de Licenciatura em Matemática da UTFPR, campus Cornélio Procópio - PR. 3 Acadêmico do curso de Licenciatura em Matemática da UTFPR, campus Cornélio Procópio - PR.
números irracionais foram descobertos por Hipasus por meio da incomensurabilidade entre dois segmentos. A outra fora descoberta por Teeteto, que se chamava antifairese. Seu significado era a subtração recíproca e possuía uma técnica semelhante ao algoritmo de Euclides. Primeiramente, ela teria sido desenvolvida apenas para números e consistia em: dados dois números, subtrai-se do maior um múltiplo do menor a cada passo, até que o resto seja menor que o menor dos dois números considerados. Essa técnica teria sido estendida para outras grandezas, tais como os segmentos. Quando a antifairese chegava ao fim os segmentos eram ditos comensuráveis, caso contrário, eram ditos incomensuráveis. Assim foi descoberta que a razão entre duas grandezas incomensuráveis é irracional. Por se tratar de um conceito importante para a definição de números irracionais, a incomensurabilidade entre números deve ser considerada relevante para o processo de formação de professores nos cursos de Licenciatura em Matemática. Devido a isso, este trabalho tem como objetivo relatar uma experiência didática aplicada na disciplina de História da Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Cornélio Procópio. O objetivo da atividade foi introduzir o conceito de números irracionais por meio da comensurabilidade e incomensurabilidade de grandezas, bem como encontrar uma aproximação ao número π utilizando a incomensurabilidade do comprimento da circunferência com seu diâmetro. A partir dessas considerações, apresentamos a seguir, a fundamentação teórica, a metodologia utilizada, a análise das atividades e as considerações finais. Fundamentação Teórica Historicamente, a necessidade de criar novos números que pudessem representar medidas de terra, levou os egípcios e os babilônicos a introduzirem as frações e considerálas como unidades de medida. Os gregos, também foram os responsáveis pelas primeiras ideias sobre a representação fracionária. As ideias de se representar os números na forma fracionária eram fundamentadas em uma lógica de raciocínio baseada nas tentativas de formar definições dos termos empregados. Os gregos descobriram os racionais como aqueles que podem ser representados como razões entre inteiros (PATRONO, 2011, p.19).
Nesse contexto, a comensurabilidade entre números inteiros ou segmentos generaliza a definição de números racionais. Matematicamente, dois números são comensuráveis se a razão entre eles for um número racional e dois segmentos AB e CD, são comensuráveis, se existir um terceiro segmento EF que caiba um número inteiro de vezes em AB e CD. Analogamente, os números irracionais surgiram da ideia de representar a incomensurabilidade entre dois segmentos, isto é, dois segmentos são ditos incomensuráveis quando não é possível determinar quantas vezes exatas um segmento cabe em outro. Na literatura, a incomensurabilidade de dois segmentos é representada em problemas, como o famoso problema da incomensurabilidade entre o lado e a diagonal de um quadrado. Pitágoras fez importantes contribuições para o desenvolvimento da matemática e, em particular, para a descoberta dos números irracionais. Além do famoso Teorema de Pitágoras, que relaciona os lados do triangulo, provando que a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, Pitágoras contribuiu para a descoberta dos números irracionais e o surgimento do conceito de raiz quadrada através da aplicação do Teorema de Pitágoras a um triangulo cujos catetos possuíam valor igual a um (MACIEL, 2016). Ao longo do Ensino Fundamental e do Ensino Médio os alunos constroem conhecimentos sobre os números e, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) os objetos de estudo a serem utilizados devem considerar as propriedades dos conjuntos numéricos, suas relações e como estes se configuram historicamente. Nesse processo o aluno poderá verificar as diversas categorias numéricas criadas em função dos problemas que a humanidade teve que enfrentar. Segundo o PCN+ (BRASIL, 2002) é possível potencializar o conhecimento dos alunos sobre números quando utilizados conjuntamente de outros conceitos, assim números decimais e fracionários devem manter relação com problemas de medição e os números irracionais com a geometria e medidas. Isso possibilita o desenvolvimento da capacidade de estimativa, utilizando valores numéricos exatos quando possível ou aproximando de acordo com a situação instrumental disponível. A aproximação do valor do número irracional com o valor obtido através da medição empírica pode facilitar a compressão da representação geométrica dos números irracionais. Dessa forma, a comensurabilidade e incomensurabilidade entre números são conceitos fundamentais para a compreensão da representação geométrica de números racionais e irracionais.
Metodologia As atividades aqui apresentadas foram realizadas na disciplina História da Matemática do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Cornélio Procópio. O tempo de execução foi de 2 horas/aulas, o tema foi introdução aos números irracionais. Um grupo de alunos (autores deste trabalho) realizou a atividade com os demais alunos matriculados na disciplina. Primeiramente foi realizada uma apresentação sobre o tema a ser trabalhado. Na sequência, os alunos foram divididos em duplas e foram entregues um compasso e uma atividade impressa por grupo (conforme apresentamos no quadro 1, abaixo). Com o auxílio dos alunos proponentes da atividade os demais alunos foram realizando procedimentos que permitiram a compreensão geométrica dos números irracionais. Quadro 1 Atividade Realizada com os alunos 1) Construa dois segmentos arbitrários e distintos. Sejam eles AB e CD, tal que AB>CD. Extraia o segmento CD de AB o maior número de vezes possível. Após a subtração existiu alguma sobra? O segmento CD é divisor do segmento AB? Por quê? Caso tenha alguma sobra, continue o processo e verifique: o Existe algum segmento que seja divisor comum de AB e CD? Por quê? 2) A (in)comensurabilidade entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. Após a realização da atividade responda: Esses dois segmentos são comensuráveis? Justifique sua resposta. Existe uma maneira aritmética de justificar esse fato? Caso exista explique. Fonte: Os autores. Análise da Atividade A atividade, dividida em duas partes, fez uso da história da matemática, como recurso didático-metodológico, para trabalhar o conceito de comensurabilidade. A primeira
etapa consistiu em construir seguimentos AB e CD arbitrários e distintos, de modo que AB>CD. Em seguida os alunos tiveram que analisar se era possível subtrair um seguimento do outro. A figura 1, a seguir, mostra a realização da primeira parte da atividade por um dos alunos. Figura 1 Realização da primeira etapa da atividade utilizando história da matemática Fonte: os autores. A partir daí eles foram orientados a analisar a subtração de modo que pudessem observar e responder as seguintes questões: Após a subtração existiu alguma sobra? O segmento CD é divisor do segmento AB? Por quê? Existe algum segmento que seja divisor comum de AB e CD? Esses segmentos são comensuráveis ou incomensuráveis? Ressaltamos que antes de iniciar a atividade prática, abordamos, teoricamente, o conceito de comensurabilidade e como os povos ao longo da história construíram esse conceito. Porém, notamos, por meio das respostas obtidas, que alguns alunos tiveram dúvidas para responder se os segmentos eram ou não comensuráveis. Entretanto, a dúvida na resposta não se deu ao suporte teórico, mas sim por conta da imprecisão no momento de medir os seguimentos e de realizar as divisões usando o compasso. A segunda etapa da atividade consistiu em verificar a (in)comensurabilidade entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro. Para isso, foram utilizados diferentes objetos com formato circular, de modo que, com o auxílio de um barbante, os alunos tiveram que medir o tamanho da circunferência do objeto e em seguida, o tamanho do diâmetro do objeto, como mostra a figura 2 a seguir.
Figura 2 Segunda etapa da atividade de História da matemática Fonte: os autores Em seguida, orientamos os alunos a encontrar a razão entre o valor obtido da circunferência pelo valor obtido do diâmetro do objeto dado. Então, fomos anotando no quadro os resultados obtidos. Os resultados obtidos pelos alunos são apresentados na tabela 1 a seguir. Tabela 1 Razão encontrada pelos alunos da medida da circunferência pelo diâmetro do objeto ALUNO (a) Razão encontrada da circunferência pelo diâmetro (valor aproximado) Aluno 1 3,164159 Aluno 2 3,157 Aluno 3 3,53 Aluno 4 3,1044776 Fonte: os autores Após a obtenção dos valores, pedimos que os alunos respondessem às seguintes questões: Os dois segmentos são comensuráveis? Justifique sua resposta. Existe uma maneira aritmética de justificar esse fato? Caso exista, explique.
As respostas obtidas mostraram uma melhor compreensão dos alunos a respeito de comensurabilidade, sendo que apenas um dos alunos justificou que os seguimentos eram comensuráveis, pois era possível dividir um segmento pelo outro sem que sobrasse alguma parte do segmento. Ao responder a segunda questão, ficou claro para todos que o número que eles obtiveram era próximo ao número π, visto que este número é um número irracional, incomensurável e é obtido pela razão entre o comprimento pelo diâmetro de uma circunferência. Assim, os alunos concluíram que, aritmeticamente, era possível verificar tal situação da seguinte forma: r = raio C (comprimento da circunferência) = 2π. r D = diâmetro da circunferência 2. r Então, 2π.r 2.r = π 3.14159265359... Para concluir a atividade, explicamos que os valores obtidos da razão (tabela 1) não ficaram tão próximos de π pelo fato de que os instrumentos utilizados para medição eram imprecisos e, também, porque não é possível obter tal número, exatamente, visto que é um número irracional. Ao final das atividades, os alunos registraram suas percepções a respeito da atividade. O aluno 1, em seu relato afirmou o seguinte: A atividade é muito interessante como aplicação da teoria. Não encontrei nenhuma dificuldade em desenvolver a atividade 1. Já na atividade 2 achei bem legal o fato de medir e fazer os cálculos, mas não encontrei dificuldade nenhuma. O aluno 2 relata a atividade da seguinte maneira: Atividade interessante para aplicação do conceito teórico, não encontrei dificuldade em desenvolver, após a explicação do grupo. No meu caso, na atividade 2, a resposta foi incorreta pois meu segmento foi comensurável. Isso pode ter ocorrido devido à imprecisão das medidas com o barbante e o compasso. Já a aluna 3 dá o seguinte depoimento sobre a atividade: Na atividade 1, no item 4, tive dificuldades de entender o que se pedia. Na atividade 2 não me dei conta de que estava dividindo o comprimento pelo diâmetro da circunferência
e era óbvio que um número aproximado de π, portanto a divisão daria resto. Atividade interessante, uma ideia para utilizar com os futuros alunos. Por último, o aluno 4 descreve a experiência com a atividade sendo: A maior dificuldade foi quando o segmento era muito grande e não dava para dividir sem sobrar resto. Foi uma ideia boa para explicar sobre o π e os tipos de segmentos, fazendo a gente descobrir sozinho. Considerações Finais Após a conclusão da atividade, foi possível constatar que é possível fazer uso da história da matemática para abordar um conteúdo de maneira prática, não se restringindo apenas a elucidar fatos históricos. Também constatamos que, ao optar por se trabalhar um conteúdo usando a história da matemática como metodologia, é importante ter em mente que será necessário fazer uso de outra metodologia para dar apoio às atividades, seja por meio de jogos, tecnologia, modelagem matemática, dentre outras. É importante destacar, ainda, que todos os alunos que participaram da atividade, a consideraram interessante e de fácil compreensão, pois permitiu que eles fossem descobrindo as relações de forma autônoma, conseguindo assim compreender como surgiram os números irracionais. Agradecimentos Agradecemos à Prof.ª Dra. Mirian Andrade pelas orientações e incentivo ao desenvolvimento deste trabalho. Referências BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. 2. ed. Brasília: MEC/SEF, 1998. Disponível em <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf>. Acessado em: 16 ago. 2016.. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais + (PCN+) - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC, 2002. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/cienciasnatureza.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2016. MACIEL, W.; Pitágoras.Filosofia UFPR, Santa Catarina, v. único, 2006-2016. Disponível em <http://www.infoescola.com/filosofos/pitagoras/>. Acesso em: 5 ago. 2016.
MIGUEL, A.; et. AL. História da Matemática em Atividades Didáticas. 2. ed. rev. São Paulo: Editora Livraria da Física,2009. PATRONO, R. M.; A Aprendizagem de Números Racionais na Forma Fracionária no 6º Ano do Ensino Fundamental: Análise de uma Proposta de Ensino. 2011. 185f. Dissertação (Mestre em Educação Matemática) - Instituto de Ciências Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto. 2011. ROQUE, T.; História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. São Paulo: Zahar, 2012.