Sumário Prefácio xiii 1 Tópicos de Matrizes e Sistemas Lineares 17 1.1 Introduçãoaossistemasdeequações lineares................. 17 1.2 MétodosdeEscalonamento........................... 20 1.2.1 MétododeEliminaçãodeGauss.................... 22 1.2.2 MétododeGauss-Jordan........................ 27 1.3 PostodeMatriz.................................. 30 1.4 Resoluçãodesistemaslinearesporescalonamento.............. 32 1.4.1 TeoremadeRouché-Capelli....................... 35 1.4.2 Sistemasindeterminadoseaescolha dasvariáveis livres...... 36 1.4.3 SistemasLinearesHomogêneos.................... 37 1.5 Inversãodematrizes porescalonamento ematrizeselementares...... 40 2 Vetores, uma introdução geométrica 47 2.1 Grandezasescalares egrandezasvetoriais................... 47 2.1.1 Grandezasescalares esistemareferencial emumareta....... 47 2.1.2 Introduçãoàsgrandezasvetoriais................... 49 2.1.3 Representação devetoresporsegmentosorientados........ 52 2.2 Sistemadecoordenadaseoperaçõescomvetores............... 55 2.2.1 Sistemadecoordenadascartesianas noplano............ 56 2.2.2 Sistemadecoordenadascartesianas noespaço............ 61 2.2.3 Adiçãodevetores............................. 65 2.2.4 MóduloouNormadeumvetor.................... 69
GEOMETRIA ANALÍTICA PARA TODOS E ATIVIDADES COM OCTAVE E GEOGEBRA 2.2.5 Multiplicação devetorporumescalar................. 71 2.2.6 Propriedadesdaadiçãoedamultiplicação porescalar....... 74 2.3 Dependência e independência linear, equações vetoriais da reta e do plano, basedevetores................................... 79 2.3.1 Colinearidade e paralelismo, equação vetorial e equações paramétricasdareta............................... 79 2.3.2 Coplanaridade, independência linear de dois vetores, equação vetorialeequações paramétricas doplano................ 83 2.3.3 Dependênciaeindependêncialinear................. 88 2.3.4 Basedevetoresparaoplanoeparaoespaço............. 91 3 Vetores, retas e planos, com matrizes e sistemas 97 3.1 Combinações Lineares.............................. 97 3.2 Dependênciaeindependêncialinear,composto............... 102 3.3 Basesecoordenadas................................ 112 3.3.1 BasesecoordenadasnoplanoR 2................... 112 3.3.2 BasesecoordenadasnoespaçoR 3................... 116 3.3.3 Basesdeplanonoespaço........................ 118 3.4 Posiçõesrelativas entreretaseplanosdadosvetorialmente......... 121 3.4.1 Entreduasretas,noplanoenoespaço................ 121 3.4.2 Entreretaeplano............................. 125 3.4.3 Entredoisplanos............................. 126 3.5 Retaseplanosatravés deequações lineares................... 127 3.5.1 Equaçãogeralderetanoplano..................... 128 3.5.2 Equaçãogeraldeplanonoespaço................... 130 3.5.3 Maissobreposiçõesrelativas...................... 131 3.5.4 Retanoespaçocomointersecção dedoisplanos........... 132 4 Produtos e aplicações 137 4.1 Produtoescalar................................... 137 4.1.1 Produtoescalar emumsistemadecoordenadas........... 139 4.1.2 Propriedadesdosprodutosescalares.................. 140 4.1.3 Sobrebasesortonormaiseortogonais................. 143 4.1.4 Projeçãoortogonal deumvetorsobreoutro............. 147 4.1.5 Exemplodeaplicaçãodoprodutoescalar nafísica......... 150 4.1.6 Coordenadasembaseo.n. ecossenosdiretores........... 153 viii
SUMÁRIO 4.1.7 Basesortogonaisdeplanosnoespaço................. 155 4.1.8 Retasperpendicularesnoplano.................... 157 4.1.9 Ânguloentreduasretas......................... 159 4.1.10 Retaperpendicularaplanoevetornormalaplano......... 161 4.1.10.1 Vetornormal aplanoeequação geraldeplano..... 163 4.1.10.2 Distância depontoaplano................. 165 4.1.11 Retastangentes àcircunferêncianoplano.............. 167 4.1.12 Planostangentes àesferanoespaço.................. 168 4.2 Produtovetorial.................................. 170 4.2.1 Orientação geométrica......................... 170 4.2.1.1 Orientação sobreumaretar................ 170 4.2.1.2 Orientação noplano..................... 170 4.2.1.3 Orientação geométrica noespaço............. 172 4.2.2 Definiçãogeométrica doprodutovetorial.............. 176 4.2.3 Propriedadesdoprodutovetorial................... 177 4.2.4 Cálculodoprodutovetorial emcoordenadas............. 177 4.2.5 Algumasaplicações doprodutovetorial................ 179 4.2.5.1 Cálculodeáreas....................... 179 4.2.5.2 Equação geraldoplanocomprodutovetorial...... 180 4.2.5.3 Ortogonalização debasesnoespaço............ 181 4.2.5.4 Produtovetorial nafísica.................. 182 4.3 Produtomistoeovolumedoparalelepípedo................. 183 4.3.1 Propriedadesdedeterminantes eoprodutomisto.......... 185 4.4 Maisgeometria analítica deretaseplanos................... 188 4.4.1 Equaçõesdaretanaformasimétrica.................. 188 4.4.2 Posiçãorelativaentredoisplanos................... 191 4.4.3 Retasnoespaçoeoprodutovetorial.................. 193 4.4.4 Ânguloentredoisplanos........................ 195 4.4.5 Ânguloentreumaretaeumplano................... 196 4.4.6 Distâncias................................. 197 4.4.7 Simétricodeumponto P emrelaçãoaumplano π......... 200 5 Estudo das cônicas e uma introdução às curvas 203 5.1 Introduçãoàscurvas............................... 203 5.1.1 Gráficosdefunçõesdeumavariável real............... 203 5.1.2 Sobreparametrização decurvas.................... 206 ix
GEOMETRIA ANALÍTICA PARA TODOS E ATIVIDADES COM OCTAVE E GEOGEBRA 5.1.2.1 Exemplosdeparametrizações............... 206 5.1.3 Curvasnoplanoatravés deequações (curvasimplícitas)...... 213 5.2 Cônicas: secçõesplanasdocone......................... 215 5.3 Estudodaparábola................................ 219 5.3.1 Equaçãoreduzidadaparábola..................... 219 5.3.2 Equaçãodeparábola comtranslação................. 223 5.3.2.1 Mudança de coordenadas por translação dos eixos... 224 5.3.3 Equaçãodeparábola comrotação................... 226 5.3.3.1 Mudançadecoordenadasporrotaçãodoseixos..... 228 5.3.3.2 Mudança de sistemas de coordenadas envolvendo translaçãoerotaçãodeeixos................... 230 5.3.4 Maispropriedadesdaparábola..................... 232 5.4 Estudodaelipse.................................. 236 5.4.1 Equaçãoreduzidadaelipse....................... 236 5.4.2 Equaçãodaelipsecomtranslação................... 239 5.4.3 Equaçãodaelipsecomrotação..................... 241 5.4.4 Equaçãodeumaelipsenaformaparamétrica............ 242 5.4.5 Propriedadefocaldaelipse....................... 245 5.5 Estudodahipérbole................................ 248 5.5.1 Estudodahipérbolenaformareduzida................ 248 5.5.2 Equacionando hipérbolescomtranslação ourotação........ 253 5.5.3 Propriedadefocaldahipérbole..................... 255 5.6 Classificação dascônicas............................. 257 5.7 Coordenadaspolaresecônicas.......................... 268 5.7.1 Equaçõespolaresdecônicascomfoconaorigem.......... 272 6 Quádricas e superfícies 279 6.1 Introduçãoàsquádricas.............................. 279 6.2 Quádricasesuasequações naformareduzida................. 280 6.3 Quádricas transladadas, eliminação dos termos lineares e equação na forma reduzida....................................... 288 6.4 Quádricascomtermosmistos.......................... 293 6.5 Introduçãoàssuperfíciesnoespaço....................... 296 6.5.1 Superfíciescilíndricas.......................... 297 6.5.2 Conessobrecurvas............................ 299 6.5.3 Superfíciesderevolução......................... 301 x
SUMÁRIO 6.5.4 Gráficosdefunçõesdeduasvariáveis................. 306 6.5.5 Superfíciesregradas........................... 307 6.6 Outrossistemasdecoordenadasnoespaço.................. 310 6.6.1 Coordenadasesféricas.......................... 310 6.6.2 Coordenadascilíndricas......................... 312 7 Octave na Geometria Analítica 313 7.1 IntroduçãoaoOctave............................... 314 7.1.1 Introduçãoamatrizesevetores..................... 320 7.1.2 Introduçãoaosgráficos......................... 325 7.2 Atividades comoctaveparaocapítulo1.................... 331 7.3 Atividades comoctaveparaocapítulo2.................... 344 7.4 Atividades comoctaveparaocapítulo3.................... 351 7.5 Atividades comoctaveparaocapítulo4.................... 355 7.6 Atividades comoctaveparaocapítulo5.................... 361 7.7 Atividades comoctaveparaocapítulo6.................... 368 8 GeoGebra na Geometria Analítica 375 8.1 UmapequenaintroduçãoaoGeoGebranaGeometria Analítica...... 376 8.2 Atividades comgeogebraparaocapítulo2.................. 392 8.3 Atividades comgeogebraparaocapítulo3.................. 411 8.4 Atividades comgeogebraparaocapítulo4.................. 413 8.5 Atividades comgeogebraparaocapítulo5.................. 415 A Construções de Dandelin 439 B Cônica por cinco pontos 447 Respostas dos exercícios 453 Referências 481 xi
PREFÁCIO Estas notas surgiram de experiências na disciplina Geometria Analítica destinada aos alunos ingressantes nos cursos das áreas de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Federal de São Carlos. Esta disciplina, junto com o Cálculo Diferencial e Integral, constitui o primeiro contato do aluno com a linguagem matemática de nível superior e com a estrutura organizada da Matemática. Para ajudar a transição do nível secundário a esses cursos, nos quais se procura dominar os conceitos e as técnicas próprias das Ciências Exatas, este texto foi escrito em um tom mais informal que os textos tradicionais, evitando a estrutura rígida de definiçãolema-teorema-demonstração. Procurou-se valorizar as ideias intuitivas dos conceitos antes de trabalhar com as técnicas apropriadas, respeitando porém o devido processo de abstração e de dedução de resultados teóricos. O texto se propõe a conduzir a matéria equilibrando a visão geométrica com a conveniência da técnica algébrica. A Geometria Analítica reúne técnicas e conceitos algébricos para se trabalhar numericamente os problemas da Geometria. As técnicas introduzidas fazem parte da Álgebra Linear. Os objetos geométricos como ponto, reta, plano, cônica, quádrica, etc. são objetos algébricos e numéricos, dados como conjuntos de pontos cujas coordenadas satisfazem determinadas equações. Trabalhar com esses elementos leva a matrizes, sistemas lineares e outros elementos da Álgebra Linear. Assim, iniciamos nosso texto com o capítulo de Tópicos de Matrizes e Sistemas Lineares, para depois iniciarmos os tópicos propriamente de Geometria. Esses tópicos de Geometria começam com a conceituação geométrica de vetor, que é o elemento básico dos espaços vetoriais da Álgebra Linear. Com essa passagem, iniciamos o estudo de objetos e conceitos relacionados com pontos, retas e planos do espaço,
GEOMETRIA ANALÍTICA PARA TODOS E ATIVIDADES COM OCTAVE E GEOGEBRA como posições relativas, distâncias, ângulos, áreas, volumes, trabalhando algebricamente e interpretando geometricamente os resultados. Depois, passamos ao estudo de outros elementos geométricos como cônicas e quádricas, relacionados com equações quadráticas, mas cujo estudo passa por análise de matrizes. Os exemplos de cônicas e quádricas, juntamente com retas e planos, formam os primeiros exemplos de curvas e superfícies. Como um recurso didático adicional, incluímos nos capítulos finais do texto a utilização de aplicativos computacionais na Geometria Analítica. Além de fornecer aos alunos os primeiros passos na utilização da tecnologia como apoio à aprendizagem de conceitos matemáticos, as atividades propostas têm como objetivo preparar os alunos à matemática própria da linguagem computacional, da programação e das limitações características do uso da tecnologia. Vamosutilizarosaplicativos Octave 1 egeogebra, 2 quepodemserobtidoslivremente na rede mundial de computadores, para auxiliar no acompanhamento da teoria. Também pode ser observada a utilização de conceitos da Geometria Analítica na programação desses aplicativos. O Octave é um programa de computação numérica e gráfica, e possui grande versatilidade para trabalhar com matrizes. O Geogebra é um programa de Geometria Dinâmica que transforma a tela do computador numa prancheta de desenho, e permite manipular os objetos geométricos através do clicar do mouse ou da janela de entradas algébricas. Além disso, todos os objetos geométricos são acompanhados de suas caracterizações algébricas. Existem outros programas livres que podem ser utilizados, como o Maxima, mais útil para o Cálculo Diferencial e Integral, que podem ser explorados também em Geometria Analítica, mas vamos trabalhar somente com os dois primeiros indicados. Observamos queexistemosprogramasmatlab, 3 CABRI, 4 Maple, 5 Mathematica 6 eoutros,comercializados para fins científicos e profissionais. Indicamos também outros programas livres dedicadosafinsespecíficos, comook3dsurf, 7 paravisualizar superfíciesnoespaço. Finalmente, alguns tópicos interessantes sobre cônicas, mas que em geral não são objetos de estudo da disciplina Geometria Analítica, são apresentados nos Apêndices. 1 www.octave.org 2 www.geogebra.org 3 MATLAB Mathworks, www.mathworks.com 4 CABRIGÉOMÈTRE CABRILOGSAS,www.cabri.com 5 Maple Maplesoft,www.maplesoft.com 6 Mathematica WolframResearch,www.wolfram.com 7 k3dsurf.sourceforge.net xiv
PREFÁCIO NossaintençãoéqueotextopossaserusadoporalunosdasáreasdeCiênciaseTecnologia, em estudos individuais, dando-lhes segurança e confiança para avançar em outras disciplinas do seu curso, em especial a Álgebra Linear e Cálculo Diferencial e Integral de Várias Variáveis. Além disso, gostaríamos que o texto fosse utilizado por todos que necessitem dos conceitos e técnicas de Geometria Analítica para estudo ou consulta. A linguagem de Álgebra Linear trabalhada neste texto irá ajudar aqueles que não estudam formalmente essa disciplina em seus cursos de ciências ou de tecnologia, oferecendo uma introdução aos conceitos e técnicas da Álgebra Linear presentes em muitas aplicações atuais das suas carreiras pormeiodeexemplosconcretosevisíveis noplanoenoespaço. As listas de exercícios são parte integrante do texto, sendo que suas resoluções acompanham, muitas vezes, o desenvolvimento da teoria. Grande parte vem com sugestões, e as respostasdamaioriadosexercíciospodemserconferidasnofinaldolivro. Ficaacargodo leitor descobrir como ler algumas das respostas dadas imediatamente após os exercícios. Adotamos na representação decimal dos números a notação de ponto em vez da vírgula, para não confundir com a separação de coordenadas em pontos e vetores. Enfim, agradecemos aos alunos, tutores e professores de várias turmas de Geometria Analítica, que indicaram correções e ofereceram sugestões, contribuindo para o aperfeiçoamento do texto. AS AUTORAS Departamento de Matemática UFSCar xv