Equações de Movimento, Forças e Momentos.

Introdução ao Controle Automático de Aeronaves Equações de Movimento, Forças e Momentos. Leonardo Tôrres torres@cpdee.ufmg.br Escola de Engenharia Universidade Federal de Minas Gerais/EEUFMG Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 1

Equações de Movimento O comportamento temporal do veículo, considerando-o como um corpo rígido, pode ser descrito por 2 conjuntos de equações: Equações Cinemáticas: relações entre posições e velocidades de translação; e relações entre posicionamento espacial (atitude) e velocidades angulares. Equações Dinâmicas: relações acelerações e forças resultantes sobre o veículo; e relações entre acelerações angulares e torques resultantes sobre a aeronave. Leis de Newton. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 2

Revisão: Transformações de Coordenadas Na determinação das equações de movimento será preciso considerar cuidadosamente as seguintes transformações de rotação: NED ABC cθcψ cθsψ sθ B = cφsψ + sφsθcψ cφcψ + sφsθsψ sφcθ sφsψ + cφsθcψ sφcψ + cφsθsψ cφcθ Vento ABC cαcβ cαsβ sα S = sβ cβ 0 sαcβ sαsβ cα Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 3

Revisão: Matrizes de Inércia 1. Por definição, o Momento Angular de um conjunto de partículas é igual a soma dos momentos angulares de cada uma das partículas de massa δm: H = n k=1 hk = n k=1 r k (δm v k ). 2. Mas v k = ω r k, logo: H = n k=1 δ m( r k ( ω r k )). 3. Entretanto, considerando r k = [x k y k z k ], é possível reescrever nk=1 δ m ( r k ( ω r k )) = J ω: H = J ω = (y 2 k +zk 2)δm (x k y k )δ m (x k z k )δm (x k y k )δ m (x 2 k +zk 2)δm (y k z k )δm (x k z k )δm (y k z k )δm (x 2 k +y2 k )δm. ω 4. Caso as partículas de massa estejam distribuídas de forma simétrica, todos os elementos fora da diagonal, na matriz acima, serão nulos. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 4

Revisão: Matrizes de Inércia 1. Para um corpo rígido, os somatórios são substituídos por integrais. 2. Além disso, no caso de uma aeronave que seja simétrica em relação ao plano XZ, tem-se que: (y 2 +z 2 )dm 0 xzdm J = 0 (x 2 +z 2 )dm 0 xzdm 0 (x 2 +y 2 )dm Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 5

Revisão: Matrizes de Inércia Aeronave simétrica em relação ao plano XZ: J 1 = 1 Γ J = J z Γ 0 J xz J x 0 J xz 0 J y 0 J xz 0 J z 0 J xz J y 0 ; Γ = J x J z (J xz ) 2. 0 J x Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 6

Equações de Movimento Equações Cinemáticas Adotando-se as hipóteses de que o referencial NED é inercial e a terra é plana (flat earth), podemos escrever: Equação de Navegação: Equação de Atitude/Orientação: p NED = B v ABC (1) Ḃ = ΩB (2) Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 7

Equações de Movimento Equações Dinâmicas Equação das Forças (2 a lei de Newton): [ ] d(m vabc ) F ABC =. dt NED Supondo a variação de massa desprezível (ṁ 0): ( d vabc ) = F ABC = v dt NED m ABC + ω ABC v ABC ; v ABC = Ω ABC v ABC + 1 m F ABC. (3) Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 8

Equações de Movimento Equações Dinâmicas Equação dos Momentos (torque resultante = variação do momento angular): [ ] d(j ωabc ) T ABC =. dt NED Supondo desprezível a variação da matriz de inércia, ou seja, a massa da aeronave varia muito lentamente, bem como sua distribuição espacial em torno dos eixos do corpo (não há disparo de armas ou alijamento de tanques de combustível J 0 3 3 ): T ABC = J ω ABC + ω ABC (J ω ABC ) ω ABC = J 1 Ω ABC J ω ABC +J 1 TABC. (4) Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 9

Equações de Movimento Expandidas As equações (1), (2), (3) e (4) constituem as equações diferenciais não lineares que definem o movimento de um veículo no espaço. Elas dependem de 12 variáveis de estado, enumeradas abaixo: 1. Posição do c.g. no espaço: p NED = [p N p E h], 2. Velocidade de translação: v ABC = [U V W], 3. Atitude: Φ = [φ θ ψ], 4. Velocidade angular ω ABC = [P Q R]. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 10

Equações Cinemáticas Expandidas A partir da equação p NED = B v ABC, podemos escrever: ṗ N = U cosθcosψ+ V( cosφsinψ +sinφsinθcosψ)+ W(sinφsinψ +cosφsinθcosψ), ṗ E = U cosθsinψ+ V(cosφcosψ +sinφsinθsinψ)+ W( sinφcosψ +cosφsinθsinψ) ṗ D = U sinθ V sinφcosθ W cosφcosθ. (5) É importante notar que ṗ D = Ḣ, sendo H a altitude. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 11

Equações Cinemáticas Expandidas No caso da equação (2) Ḃ = ΩB, podemos escrever, usando os elementos 1 e 2 da coluna b 3, e o elemento 1 da coluna b2 : φ = P +Qtanθsinφ+Rtanθcosφ, θ = Qcosφ Rsinφ, ψ = Q sinφ cosθ +Rcosφ cosθ (6) Onde se vê que há singularidade para o caso θ = ±π/2! Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 12

Equações Dinâmicas Expandidas Escrevendo F ABC = [F x F y F z ], a equação (3) pode ser expandida como: U = RV QW + F x m, V = RU +PW + F y m, Ẇ = QU PV + F z m. (7) Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 13

Equações Dinâmicas Expandidas Escrevendo T ABC = [ L M N], a equação (3) pode ser expandida como: P = ( c 1 R+c 2 P)Q+ c 3 L+c4 N, Q = c 5 PR c 6 (P 2 R 2 )+ c 7 M, Ṙ = (c 8 P c 2 R)Q+ c 4 L+c9 N, (8) sendo que c k,k = 1,...,9 são coeficientes que dependem dos elementos da matriz de inércia da aeronave. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 14

Equações de Movimento As 12 equações diferenciais mostradas anteriormente podem ser escritas de forma compacta como: x = f( x, u), sendo que x R 12 é o vetor de estados x = [p N p E h φ θ ψ U V W P Q R], e u é o vetor de entradas de controle. Por exemplo: u = [δ e δ a δ r δ th ]. sendo δ e a deflexão do profundor; δ a a deflexão dos ailerons; δ r a deflexão do leme e δ th o comando de tração. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 15

Forças em uma Aeronave O vetor força resultante F ABC = [F x F y F z ] sobre a aeronave é o resultado da contribuição de 3 parcelas. D; Arrasto (Drag) L; Sustentação (Lift) y z x C; Força Lateral Th; Propulsão (Thrust) α β F ABC = F vento + F gravidade + F propulsao. mg; Peso (Weight) Vento Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 16

Forças do Vento Conforme visto no slide anterior, a força produzida pelo deslocamento do veículo em relação à atmosfera (Força do Vento) é dividida em 3 componentes, ao longo dos respectivos Eixos do Vento: sendo que ( Fvento ) W = D + L+ C = D C L, D = qs w C D ; L = qs w C L ; C = qs w C C. onde q = 1 2 ρv 2 T ; é a pressão dinâmica e S w é a área da asa. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 17

Forças do Vento Os coeficientes aerodinâmicos são composições de termos: 1 componente básico + valores incrementais: C D = C D (C L )+ C D (δ e )+ C D (β)+ C D (M)+... C L = C L (α)+ C L (δ e )+ C Lstall (α)+... C C = C C (β)+ C C (δ r )+... É assim que aparecem as influências das deflexões δ e, δ a, δ r das superfícies de controle, nas forças que agem sofre a aeronave.

Forças do Vento Os coeficientes aerodinâmicos são composições de termos: 1 componente básico + valores incrementais: C D = C D (C L )+ C D (δ e )+ C D (β)+ C D (M)+... C L = C L (α)+ C L (δ e )+ C Lstall (α)+... C C = C C (β)+ C C (δ r )+... É assim que aparecem as influências das deflexões δ e, δ a, δ r das superfícies de controle, nas forças que agem sofre a aeronave.

Forças do Vento Um exemplo: determinação da força de sustentação. 0 L = 0 ; sendo que: L = qs w C L = { 1 ρv 2 T} 2 Sw C L L L = { 1 2 ρv T 2 } }{{} q W S w {C L (α)+ C L (δ e )+ C L stall(α)+...} }{{} C L Programas de simulação de vôo de aeronaves devem conter Tabelas Aerodinâmicas que descrevem a variação de cada coeficiente, em função da velocidade, atitude e posição. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 19

Especificação de Forças no FlightGear No programa FlightGear, as Tabelas Aerodinâmicas estão colocadas entre as tags (rótulos no arquivo XML): <aerodynamics> <axis name="drag"> < \ axis> <!... tabelas / funcoes para forca de a rrasto... > <axis name="side"> < \ axis> <!... tabelas / funcoes para forca l a t e r a l... > <axis name=" LIFT "> <!... tabelas / funcoes para forca de sustentacao... > < \ axis> < \ aerodynamics> Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 20

Especificação de Forças no FlightGear Exemplo (força de sustentação para a aeronave F-16). Análise do arquivo XML correspondente à aeronave: f16.xml Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 21

Especificação de Forças no FlightGear Algumas variáveis recorrentes que gerarão dúvidas: 1. aero/qbar-psf: pressão dinâmica q em libras por pé-quadrado. 2. metrics/sw-sqft: área da asa S w em pés-quadrados. 3. metrics/bw-ft: envergadurab w da asa em pés. 4. metrics/cbarw-ft: corda média c w da asa em pés. 5. aero/h b-mac-ft: altura da asa em relação ao solo. 6. aero/alpha-rad: ângulo de ataque em radianos. 7. aero/alphadot-rad sec: derivada α do ângulo de ataque em rad/s. 8. fcs/flap-pos-deg: posição dos flaps em graus. 9. aero/stall-hyst-norm: variável auxiliar para simular histerese após estol (ignorar este efeito). 10. fcs/mag-elevator-pos-rad: valor absoluto da deflexão de profundor em graus. 11. aero/mag-beta-rad: valor absoluto de beta. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 22

Especificação de Forças no FlightGear Algumas variáveis recorrentes que gerarão dúvidas (continuação): 12. aero/bi2vel: envergadura divida por 2 a velocidade: b w 2V T. 13. aero/ci2vel: corda média divida por 2 a velocidade: 14. fcs/left-aileron-pos-rad: deflexão do aileron esquerdo δ a. 15. fcs/rudder-pos-rad: deflexão de leme δ r. 16. fcs/rudder-pos-rad: deflexão de leme δ r. c w 2V T. 17. velocities/p-aero-rad sec: componente P w da velocidade angular ω W do veículo, representada no eixo do vento. Ou seja: ω w = R ABC2W ω ABC [P w,q w,r w ] = R ABC2W [P,Q,R]. 18. velocities/q-aero-rad sec: idem, componente Q w. 19. velocities/r-aero-rad sec: idem, componente R w. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 23

Especificação de Forças no FlightGear Outras variáveis podem ser compreendidas lendo o Manual da biblioteca JSBSim, a qual contém as rotinas usadas para integrar as equações diferenciais que descrevem a aeronave (veja a Seção 2.6): Manual do JSBSim Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 24