Imersões e Mergulhos. 4 a aula,

4 a aula, 12-04-2007 Imersões e Mergulhos Um mapa entre variedades f : X Y diz-se um mergulho sse (1) é uma imersão, i.e., Df x : T x X T f(x) Y é injectiva, para todo x X, (2) é injectiva, e (3) a inversa f 1 : f(x) X é contínua. Dadas variedades X e Y, um mapa f : X Y é um mergulho sse f : X f(x) é um difeomorfismo. Em particular, se f : X Y é um mergulho então a imagem f(x) é uma variedade. Se f : X f(x) é um difeomorfismo então f : X Y é obviamente um mergulho. Suponhamos que f : X Y é um mergulho. Como f é injectiva e f 1 contínua, f : X f(x) é um homeomorfismo. Resta ver que f 1 : f(x) X é suave. Para isso vamos mostrar que f 1 admite, localmente na vizinhança de cada ponto q f(x), uma extensão suave a uma vizinhança aberta de q em Y. Seja p X tal que f(p) = q. Como p é um ponto regular, pelo teorema da classificação local de pontos regulares, existem cartas locais φ : (X, p) (R n, 0) e ψ : (Y, q) (R k, 0) tais que, sendo i : R n R k = R n R k n, inclusão linear definida por i(x) = (x, 0), o diagrama seguinte é comutativo: (X, p) φ (R n, 0) f (Y, q) ψ i (R k, 0) A inversa da aplicação injectiva i : R n R k extende-se naturalmente a R k como a projecção linear π : R k R n, π(x, y) = x. Logo, definindo g = φ 1 π ψ, temos que g é uma aplicação suave definida numa vizinhança de q em Y tal que g f = φ 1 π ψ f = φ 1 π i φ = φ 1 id R n φ = id X, o que mostra que f 1 = g numa vizinhança de (f(x), q), ou seja, que g é uma extensão local de f 1. Um mergulho f : X Y deve ser visto como uma forma de representar a variedade X dentro da variedade Y. Um teorema clássico de Hassler Whitney diz que toda a variedade pode ser representada num ambiente euclideano com o dobro da sua dimensão. Esta dimensão não pode ser melhorada. Por exemplo, toda a superfície pode ser representada em R 4, mas algumas superfícies, como a Garrafa de Klein, ou o Plano Projectivo, não podem ser representadas em R 3. Teorema (Whitney) Para toda a variedade X n, de dimensão n, existe um mergulho f : X n R 2n. 1

2 A condição de injectividade na definição de mergulho é fundamental para se garantir que a imagem seja uma variedade. Veja-se o exemplo seguite duma imersão não injectiva. A última condição na definição de mergulho é também crucial. Numa imersão injectiva pode acontecer f : X f(x) não ser um homeomorfismo, considerando em f(x) a topologia induzida por Y. Vejamos um exemplo. Seja S 1 = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1 } a circunferência unitária. Consideremos o produto S 1 S 1 habitualmente chamado de 2-toro. O 2-toro pode igualmente ser visto como o quadrado [0, 1] [0, 1] com os lados opostos identificados. O mapa g : R 2 S 1 S 1, g(x, y) = ( cos(2 π x), sin(2 π x), cos(2 π y), sin(2 π y) ) é um difeomorfismo local (veja o exercício 1-37) tal que a imagem por g de cada quadrado [n, n + 1] [k, k + 1], com n, k Z, cobre completamente S 1 S 1. Consideremos a recta y = m x de declive m, e o mapa f m : R S 1 S 1, f m (x) = g(x, m x). (a) Se m Q então f m : R S 1 S 1 é uma imersão periódica, e f m (R) é uma curva fechada. (b) Se m R Q então f m : R S 1 S 1 é uma imersão injectiva com imagem f m (R) densa em S 1 S 1. Neste caso f m : R f m (R) não é um homeomorfismo. A alínea (a) é muito simples. Para provar a primeira parte de (b) vejam-se os exercícios 1-35, 1-36 e 1-38. Como a imagem f m (R) é densa, toda a vizinhança dum ponto q f m (R) é uma união duma infinidade de segmentos da curva parametrizada por f m. Logo, toda a vizinhança de q é desconexa. Veja-se a figura em baixo.

Topologia Diferencial 3 Como em R os pontos admitem vizinhanças conexas, os intervalos, a correspondência f m : R f m (R) não pode ser um homeomorfismo. Seja X uma variedade compacta. Então qualquer imersão injectiva f : X Y é um mergulho. Como f : X f(x) é bijectiva e contínua, basta-nos mostrar que f 1 : f(x) X é contínua. Todo o conjunto fechado F X é compacto, porque X é compacto. Logo, f(f ) é compacto, porque f é contínua. Mas isto implica que f(f ) seja fechado em f(x). A continuidade de f 1 resulta da imagem inversa de todo o conjunto fechado F X ser o conjunto (f 1 ) 1 (F ) = f(f ) também ele fechado. Definição Seja f : X Y um mapa entre espaços topológicos X e Y. O mapa f diz-se próprio sse fôr contínuo e para todo o conjunto compacto K Y, a sua imagem inversa f 1 (K) for compacta. Teorema (Imersões Próprias) Toda a imersão injectiva e própria f : X Y é um mergulho. Este teorema é consequência do seguinte resultado de topologia geral. Teorema (Inversa dum Mapa Próprio) Sejam X e Y espaços topológicos localmente compactos. Se o mapa f : X Y é injectivo e próprio então f : X f(x) é um homeomorfismo. Recordemos que um espaço topológico X se diz localmente compacto sse para todo o ponto p X e toda a vizinhança U de p, existir um compacto K U contendo p no seu interior. Observe que resulta da definição que sendo f : X Y um mapa próprio, se Y for compacto então X também é. Também é claro, da definição, que num espaço compacto X toda a aplicação contínua f : X Y é própria. Em espaços não

4 compactos, intuitivamente, uma aplicação contínua f : X Y é própria se for contínua no infinito. Um ponto é considerado próximo de se estiver fora dum conjunto compacto K X grande. Se (x n ) for uma sucessão de pontos de X, dizemos que lim n x n = sse para todo o compacto K X existir uma ordem p N, a partir da qual x n / K para todo n p. Todo o espaço topológico de Hausdorff localmente compacto, mas não compacto, pode ser compactificado por junção dum ponto no infinito. A construção duma tal extensão compacta de X é chamada a compactificação de Alexendroff. Define-se o compactificado X = X { } com a topologia cujos abertos são os abertos de X mais os conjuntos da forma { } (X K), em que K X é compacto. Com esta topologia o espaço X é compacto, sempre que X seja um espaço topológico de Hausdorff localmente compacto. A definição dada acima de limite infinito corresponde à convergência nesta topologia para o ponto. Qualquer aplicação contínua f : X Y pode extender-se ao infinito definindo f : X Y por { f(x) se x X f (x) = se x = Obtem-se então a seguinte caracterização Sejam X e Y espaços topológicos localmente compactos, e f : X Y uma aplicação contínua. O mapa f é próprio sse f : X Y é contínua no infinito. Tendo em conta que f 1 (Y K) = X f 1 (K), observe que são equivalentes as afirmações: (1) K Y é compacto f 1 (K) é compacto. (2) { } (Y K) é uma vizinhança de (f ) 1 ( { } (Y K) ) = { } (X f 1 (K)) é uma vizinhança de. Prova do Teorema da Inversa dum Mapa Próprio: Se f : X Y é contínua e injectiva, e X é compacto, então f 1 : f(x) X é contínua. A prova deste facto é a demonstração da proposição que antecede a definição de mapa próprio. Isto prova este teorema no caso em que X é compacto. Consideremos agora o caso geral em que X não é compacto. Temos que mostrar que f 1 : f(x) X é contínua. Seja q = f(p) f(x). Tomemos K vizinhança compacta de q em Y. Como f é própria, e f é contínua, f 1 (K) é uma vizinhança compacta de p em X. Facilmente se vê que f(f 1 (K)) = K f(x). Aplicando o caso compacto à restrição f f 1 (K) : f 1 (K) Y obtemos que f 1 K f(x) : K f(x) X é contínua. Logo, como q é interior a K f(x) em f(x), segue que f 1 : f(x) X é contínua no ponto q. E sendo q um ponto genérico de f(x), resulta que o mapa f 1 : f(x) X é contínuo em todos os pontos.

Topologia Diferencial 5 Transversalidade Sejam E e F subespaços lineares de R n. Qual a condição que E e F devem satisfazer para garantir que todo os subespaços afins x + E e y + F, paralelos a E e F respectivamente, se intersectem sempre? Seja p (x + E) (y + F ). Então existem vectores e E e f F tais que p = x+e = y +f. Logo, x y = ( e)+f E +F. Vemos assim que a intersecção entre x + E e y + F persiste para todo x, y R n sse R n = E + F. Quando isto acontece dizemos que E e F são transversais e escrevemos E F. Por exemplo, em R 3 : (1) Duas rectas nunca são transversais. (2) Dois planos são transversais sse não são paralelos, nem coincidentes. (3) Uma recta e um plano são transversais sse a recta não é paralela ao plano, nem está nele contida. Vamos agora extender o conceito de transversalidade a subvariedades. Como iremos ver, intersecções transversais são robustas, no sentido que persistem se deformarmos pouco cada uma das subvariedades concorrentes. Contrariamente, intersecções não transversais não são em geral robustas. Definição Duas variedades X Z e Y Z dizem-se transversais no espaço ambiente Z e num ponto p Z sse T p X + T p Y = T p Z, sempre que p X Y. Escrevemos X p Y para dizer que X e Y são transversais no ponto p. Escrevemos X Y para significar que X e Y são transversais em todos os pontos. Mais geralmente define-se a transversalidade entre um mapa suave f : X Z e uma subvariedade Y Z, que deve ser interpretada como a transversalidade entre f(x) e Y. O conjunto f(x) Z não é em geral uma variedade, mas pode ser visto como uma variedade singular parametrizada pelo mapa f. Definição Dada f : X Z suave, e Y Z, dizemos que f é transversal a Y no ponto p X sse Df p (T p X) + T f(p) Y = T f(p) Z se f(p) Y. Escrevemos f p Y para dizer que f é transversal a Y no ponto p. Escrevemos f Y para significar que f é transversal a Y em todos os pontos do seu domínio.

6 Note que se f(p) / Y, a condição f p Y é automaticamente satisfeita. Dada uma subvariedade X Y, chama-se codimensão de X em Y à diferença de dimensões codim(x, Y ) = dim(y ) dim(x). Teorema das pré-imagens Sejam X, Y Z variedades. Se um mapa suave f : X Z é transversal a Y então f 1 (Y ) é uma variedade cuja codimensão em X é igual à codimensão de Y em Z. Lema das pré-imagens Sejam X m, Y k Z n variedades e f : X m Z n um mapa suave. Então para cada ponto p f 1 (Y k ) existem vizinhanças abertas U p de p em X m e V q de q = f(p) em Z n, e existe uma submersão g : V q R n k tais que f(u p ) V q e U p f 1 (Y k ) = (g f Up ) 1 (0). Aplicando o teorema da classificação local de pontos regulares ao mergulho inclusão j : Y k Z n vemos que existem cartas locais φ : (Y k, q) (R k, 0) e ψ : (Z n, q) (R n, 0) tais que, sendo i : R n R k = R n R k n, a inclusão linear definida por i(x) = (x, 0), o diagrama seguinte é comutativo: (Y k, q) φ (R k, 0) j (Z n, q) ψ i (R n, 0) Consideremos a projecção π : R n R n k, π(x, y) = y, que satisfaz i(r k ) = π 1 (0). Seja V q o domínio da carta φ, e tomemos U p vizinhança aberta de p tal que f(u p ) V q. Definimos g : V q R n k por g = π ψ. O mapa g é uma submersão, e g 1 (0) = V q Y k, donde segue que U p f 1 (Y k ) = U p f 1 (g 1 (0)) = (g f Up ) 1 (0). Prova do Teorema das pré-imagens: Dado p f 1 (Y k ), tomemos U p uma vizinhança aberta de p em X, V q uma vizinhança aberta de q = f(p) em Z n, e g : V q R n k uma submersão, tais que U p f 1 (Y k ) = (g f Up ) 1 (0). Seja x U p f 1 (Y k ). Porque g é uma submersão Dg f(x) (T f(x) Z) = R n k. Pela hipótese de transversalidade f Y k, Df x (T x X) + T f(x) Y k = T f(x) Z. Logo, D(g f Up ) x (T x X m ) = Dg f(x) (Df x (T x X m )) = Dg f(x) (Df x (T x X m ) + T f(x) Y k ) = Dg f(x) (T f(x) Z) = R n k, }{{} Dg f(x) ( )=0

Topologia Diferencial 7 o que mostra que 0 é um valor regular de g f Up. Logo, pelo Teorema dos Níveis regulares, U p f 1 (Y k ) = (g f Up ) 1 (0) é uma variedade com dimensão m (n k) e codimensão codim(f 1 (Y k ), X m ) = n k = dim(z) dim(y ) = codim(y, Z). Corolário (Intersecção de Variedades) Sejam X e Y subvariedades de Z. Se X Y então X Y é uma variedade cuja dimensão, e codimensão, satisfazem as fórmulas (1) dim(x Y ) = dim(x) + dim(y ) dim(z) (2) codim(x Y ) = codim(x) + codim(y ) Basta aplicar o teorema anterior ao mapa de inclusão i : X Z, i(x) = x. Note que X Y sse i Y, e i 1 (Y ) = X Y. Exemplos em R 3 Intersecções transversais Intersecções não transversais

8 O lema seguinte dá-nos uma condição de transversalidade entre um subespaço linear F R n e outro subespaço linear S que seja o conjunto solução dum sistema linear homogéneo A x = 0. Observe que S pode ser visto como o núcleo da aplicação linear x A x. Lema do Núcleo Transversal Sejam F X e E espaços lineares, e Φ : X E uma aplicação linear sobrejectiva. Então Nuc(Φ) F sse Φ F : F E é sobrejectiva. Suponhamos que Nuc(Φ) F. Então Φ(F ) = Φ( F + Nuc(Φ) ) = E, }{{} Φ( )=0 o que mostra que Φ F : F E é sobrejectiva. Suponhamos agora que Φ F : F E é sobrejectiva. Dado x X, como Φ(x) E, existe f F tal que Φ(f) = Φ(x). Então Φ(x f) = 0, ou seja x f Nuc(Φ), o que implica x Nuc(Φ) + F. Logo X = Nuc(Φ) + F. Lema Sejam X, E e F espaços lineares, e Φ : X E, Ψ : X F aplicações lineares sobrejectivas. Então são equivalentes as afirmações: (1) Nuc(Φ) Nuc(Ψ); (2) Φ Nuc(Ψ) : Nuc(Ψ) E é sobrejectiva; (3) Ψ Nuc(Φ) : Nuc(Φ) F é sobrejectiva. Pelo lema anterior (1) (2), e (1) (3). A conclusão nada óbvia deste lema é que então (2) (3). A prova da proposição seguinte baseia-se nesta equivalência.

Topologia Diferencial 9 Seja f : W X Z um mapa suave tal que q é um valor regular de f. Então, para cada (w, p) f 1 (q), são equivalentes: (1) (w, p) é um ponto regular da projecção π : f 1 (q) W, π(w, x) = w; (2) p é um ponto regular da função f w : X Z, f w (x) = f(w, x). Sejam q = f(w, p) um valor regular de f, e π : W X W, a projecção π(w, x) = w. Vamos aplicar o lema anterior ao espaço tangente T (w,p) W X = T w W T p X, e às aplicações lineares sobrejectivas (1) Dπ (w,p) : T (w,p) W X T w W, (2) Df (w,p) : T (w,p) W X T q Z. Note que a aplicação (1) tem núcleo {0} T p X, enquanto a aplicação (2) tem núcleo T (w,p) f 1 (q). Observemos agora que, dado (w, p) f 1 (q), (a) (w, p) é um ponto regular de π : f 1 (q) W sse o mapa (1) transforma o núcleo de (2) sobrejectivamente sobre T w W. (b) p é um ponto regular da função f w : X Z sse o mapa (2) transforma o núcleo de (1) sobrejectivamente sobre T q Z. Pelo lema anterior (a) (b). Seja f : W X Z um mapa suave tal que f Y. Então, para cada (w, p) f 1 (Y ), são equivalentes: (1) (w, p) é um ponto regular da projecção π : f 1 (Y ) W, π(w, x) = w; (2) a função f w : X Z, f w (x) = f(w, x), satisfaz f w p Y. Resulta de combinar o lema das pré-imagens com a proposição anterior. Dado (w, p) f 1 (Y ) tomemos, de acordo com o Lema das pré-imagens, vizinhanças abertas U (w,p) de (w, p) em W X, V q de q = f(w, p) em Z, e uma submersão g : V q R n k tais que f(u (w,p) ) V q e U (w,p) f 1 (Y ) = (g f U(w,p) ) 1 (0). Pela proposição anterior, (1) equivale a dizer que: (1 ) p é um ponto regular da função h w : U p R n k, h w (x) = (g f U(w,p) )(w, x) = (g f w )(x), onde U p = { x X : (w, x) U (w,p) }. Podemos traduzir (1 ) na seguinte condição de sobrejectividade R n k = D(h w ) p (T p X) = D(g f w ) p (T p X) = Dg q (D(f w ) p (T p X)), que por sua vez equivale a dizer que: (1*) Dg q D(fw) p(t px) : D(f w ) p (T p X) R n k é sobrejectiva. Finalmente, pelo Lema do Núcleo Transversal, (1*) equivale a D(f w ) p (T p X) + T q Y = T q Z f w p Y.

10 Teorema da Transversalidade Genérica Seja f : W X Z um mapa suave tal que f Y. Para cada w W, seja f w : X Z a função f w (x) = f(w, x). Então para quase todo o ponto w W, f w Y. Basta combinar o Teorema de Sard, que implica que quase todos os valores da projecção π : f 1 (Y ) W são regulares, com a proposição anterior. O teorema anterior permite mostrar que qualquer mapa mapa suave f : X Z pode ser levemente perturbado de modo a ficar transversal a uma subvariedade dada Y Z. A ideia é mergulhar o mapa f : X Z numa família de mapas f w : X Z, dependentes dum parâmetro w W, tal que: (1) f = f 0 ; (2) W é um disco aberto, centrado na origem, num certo espaço euclideano; (3) o mapa f : W X Z, (w, x) f w (x) de W X em Z é uma submersão suave. Então, pelo teorema acima, temos f w Y para quase todo w W. Como um conjunto de medida total é sempre denso, existem, arbitrariamente perto de 0, parâmetros w para os quais f w é uma pequena perturbação de f transversal a Y. Vejam-se os exercícios 2-1, 2-5 e 2-6 e 2-7. Designamos por C (X, Z) o conjunto de todos os mapas suaves f : X Z. Este conjunto pode ser munido da topologia de Whitney. Teorema (Thom) Dadas variedades X e Y Z, se X e Y são compactas então o conjunto { f C (X, Z) : f Y } é aberto e denso em C (X, Z).