Programação Linear: Maximização de Lucro e Minimização de Custos

Resumo: Programação Linear: Maximização de Lucro e Minimização de Custos Afonso Celso Pagano Frossard Faculdade Lourenço Filho O presente artigo demonstra a importância da programação linear como ferramenta de suporte para a solução de problemas na área de custos nas organizações. Para alcançar seus objetivos, as empresas devem estar atentas ás diversas restrições apresentadas, tanto a nível interno, como resultantes de fatores externos estabelecidos, dentre outros, pelo mercado. Assim, levando em conta a competitividade e ás restrições existentes ao alcance de sua meta, torna-se necessário otimizar os recursos disponíveis existentes, de modo a maximizar os resultados ou minimizar os custos. É nesse momento que surge a programação linear auxiliando na realização de cálculos matemáticos, os quais consolidam esse fim. Portanto, esse constitui o foco desse artigo, o qual, inicia por estudos teóricos acerca da matéria, indo até a apresentação ilustrativa e didática de caso prático. Palavras-chave: Programação Linear, Pesquisa Operacional, Otimização, Planilha Eletrônica. 1 INTRODUÇÃO Para que as empresas alcancem seus objetivos, elas devem se preocupar, obrigatoriamente, com as diversas restrições, tanto a nível interno como externo, sendo a mais importante, dentre as existentes, a política de formação de preços, a fim de programar a produção de seus produtos e atender com eficiência o mercado. Para que a empresa consiga atingir esse ponto ótimo ela tem que desenvolver seu próprio mecanismo de formação de custos, despesas, preços, remuneração do seu investimento, enfim obter um modelo ideal que vai desde a programação da produção até a colocação do produto no mercado. Para que a empresa possa cumprir sua missão, a organização depende dos resultados obtidos, assim, a otimização dos resultados disponíveis constitui um fator de extrema importância, principalmente se considerarmos o alto grau de competitividade como exigência do mercado atual. O presente artigo objetiva demonstrar como a programação linear pode ser utilizada como ferramenta poderosíssima de apoio á tomada de decisão, objetivando a otimização do resultado

20 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 global da empresa. O trabalho foi estruturado de forma a apresentar um breve histórico sobre esse poderoso método quantitativo na resolução de problemas da contabilidade gerencial, identificar os conceitos básicos e as características da Pesquisa Operacional, descrever sucintamente as técnicas da Pesquisa Operacional e por fim apresentar um modelo prático e didático de solução, utilizando-se exercícios e das técnicas descritas. Para isso será dado ênfase no recurso chamado SOLVER, encontrado na Planilha eletrônica do Excel. 2 ORIGEM E EVOLUÇÃO DOS MÉTODOS QUANTITATIVOS De uma maneira geral, até o final do século XVIII, quando se iniciou a Revolução Industrial, a gestão das empresas era relativamente simples, considerando que a produção era praticamente artesanal ou executada por pequenas empresas familiares. Com o advento da indústria, passou a produção ser processada no ambiente da fábrica e logicamente a complexidade para se administrar as empresas constituiu o ponto maior de preocupação das áreas notadamente ligadas à administração, economia e contabilidade. No inicio do século XX, surgem novos instrumentos visando a minimizar essa dificuldade. Um desses instrumentos é a utilização de Métodos Quantitativos no processo de gestão, muito embora Michels (1995), afirme que o emprego dos modelos matemáticos dirigidos para a solução de muitos problemas é muito antigo e tem acompanhado as gerações desde milênios atrás. Outros estudiosos e pesquisadores têm evidenciado que os métodos quantitativos nas organizações não são tão antigos assim e segundo McCloskey & Trefethen (1956) a análise quantitativa foi iniciada com Taylor, muito embora fôssem métodos comparativamente elementares. O que de fato poderia ser considerado relevante, atualmente se chama Pesquisa Operacional. Chiavenato (1983) descreve que o desenvolvimento da Teoria Matemática ocorre em função de quatro causas, que são: Teoria dos Jogos; Teoria das Decisões; Decisões Qualitativas e Quantitativas e Desenvolvimento de Sistemas Computacionais. Shamblin (1979), considera a Pesquisa Operacional como um método científico de tomada de decisão, o qual começa descrevendo um sistema por intermédio de um modelo e depois manipula o modelo para descobrir o melhor modo de operar esse sistema. Ramalhete et al. (1985), salienta pesquisa operacional é o ramo científico autônomo de nascimento recente (teria surgido na Segunda

Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 21 Guerra Mundial), que fornece uma abordagem sistemática e racional, baseada essencialmente em técnicas quantitativas na solução de problemas e que necessite a tomada de decisões, tendente á obtenção do melhor resultado para o sistema, á luz da informação disponível. Chiavenato (1983), considera que a utilização do método científico teria evoluído em função de sua necessidade da investigação, experimentação e melhoria de armamentos e técnicas militares iniciadas na segunda grande guerra. Após essa utilização, a pesquisa operacional foi gradativamente empregada nas empresas públicas americanas e, em seguida nas empresas privadas, face ao sucesso obtido. Na visão de Wagner (1986), pode-se definir Pesquisa Operacional como uma abordagem científica na resolução de problemas para a administração executiva, envolvendo as seguintes características: a) construir descrições ou modelos matemáticos, econômicos e estatísticos de problemas de decisão e controle para tratar soluções de complexidade e incerteza b) analisar as relações que determinam as conseqüências futuras prováveis de ações alternativas e projetar medidas apropriadas de eficácia, de modo a calcular o mérito relativo a cada uma dessas ações. Para o referido autor várias são as maneiras de se abordarem problemas gerenciais, e a grande maioria delas estão relacionadas. Não existe uma delimitação da atuação na resolução de problemas dos pesquisadores operacionais com os engenheiros industriais, economistas, contadores ou administradores, porque para aceitar a pesquisa operacional, um empresa deve aceitar que a aplicação do método científico contribua para a análise das decisões gerenciais, sendo uma abordagem sistemática na tomada de decisão Ramalhete et al. (1985) salienta que as características básicas da Pesquisa Operacional são: Orientação Sistêmica Aplicação do método científico Recursos a diferentes disciplinas científicas Shamblin e Stevens (1979) descrevem que as fases usuais ou características básicas de um estudo da Pesquisa Operacional são as seguintes:

22 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 Formulação do problema Construção de um modelo que represente o sistema em estudo Obtenção de solução a partir de um modelo Teste do modelo e da solução dele originada Estabelecimento do controle sobre a solução Colocação da solução em funcionamento, ou seja, implantação. Horngren et al. (2000), asseguram que a utilização de modelos matemáticos ajuda os contadores a solucionar problemas complexos na organização, principalmente quando se quer tomar decisão. Destaca, ainda, que a orientação básica da Teoria da Decisão tem as seguintes características: Um objetivo organizacional que possa ser quantificado maximização ou minimização de lucro ou prejuízo (escolha da melhor alternativa) Um conjunto de diversas alternativas de ação que estejam sendo explicitamente consideradas ações mutuamente exaustivas e mutuamente exclusivas Um conjunto de todos os eventos ou situações que tenham possibilidades de ocorrerem coletivamente exaustivos e mutuamente exclusivos (somente ocorrerá de fato uma das situações) Um conjunto de probabilidades que descreva a probabilidade de ocorrência de cada evento Um conjunto de resultados ou rendimentos que possibilitem medir as conseqüências das várias ações possíveis em função de maximizar ou minimizar lucros ou prejuízos cada resultado depende de um caminho e de um evento específicos. Iudicibus (1987), ensina que em algumas décadas passadas já havia um forte tendência para o uso de métodos quantitativos que facilitassem a explicação e o encaminhamento de problemas empresariais. Analisa, ainda, que o grande erro dos contadores é usar

Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 23 rudimentarmente raciocínios puramente aritméticos ao invés de utilizarem modelos quantitativos. Marion e Silva (1986), também abordam que a Contabilidade Gerencial tem utilizado, com muito mais segurança, métodos quantitativos para solucionar problemas contábeis, possibilitando tomar decisões mais apropriadas. Eles estão de acordo que o gestor de uma organização, para fins decisório, deve fazê-lo observando todo o cenário onde a empresa se encontra, ou seja, da definição do problema até as conseqüências da alternativa escolhida para implementação. Embora exista uma análise em bases qualitativas a se levar em conta nas alternativas disponíveis, deve-se considerar que bases quantitativas carregam certa objetividade, não deixando possibilidades de dúvidas no sentido de existência de erros. Koontz e O Donnell (1982) alertam que um grande desafio para o gestor corresponde ao tratamento a ser dispensado ás novas perspectivas de informações e a maneira de trata-las, ou seja, estar atento ás informações de caráter econômico, por causa do seu valor elucidativo. Megginson, Mosley e Petri Jr (1986), enfatizam casos em que grupos de pesquisa juntaram os seus conhecimentos ao dos gestores para o desenvolvimento de modelos quantitativos a serem utilizados em processos decisórios. Como exemplo disso citam as instituições e mercados financeiros, securitários e de previdência complementar privada. Embora a maioria das empresas, na atualidade, independente do tipo e tamanho, vêm utilizando os métodos quantitativos como forma mais apropriada de auxiliar o processo decisório. Pode-se apresentar o esquema seguinte como influência dos Métodos Quantitativos na gestão organizacional das empresas: Figura 1 Esquema Organizacional de uma Empresa

24 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 O esquema visualizado pelos autores citados anteriormente, dão idéia de que toda organização deve ter um banco de dados com os modelos matemáticos que julga utilizar e que potencialmente necessite usar, de maneira que o sistema de informações seja alimentado quantitativamente sem nenhuma perda de tempo. O modelo matemático escolhido deve ser acionado objetivando quantificar as diversas alternativas que existem quando se pretende tomar decisões. Logo após essa escolha, já com os dados quantificados, o Sistema de Informação alimenta o Processo Decisório que serve de suporte á gestão das organizações. Segundo Costa (1987), as técnicas da Pesquisa Operacional podem ser descritas assim: Modelos de Substituição Modelos de Estoque Teoria das Filas de Espera Análise de Sensibilidade de Funções Contínuas Modelos de Transporte e Designação Programação Linear Programação Não-Linear Programação Dinâmica Teoria das Redes Teoria dos Jogos Teoria de Monte Carlo Conforme cita BELCHIOR (1974), os instrumentos mais utilizados na aplicação dessa técnica, são os seguintes: Cálculo Integral e Diferencial Cálculo das Probabilidades Processos Estocásticos Equações Lineares e Não-Lineares Matrizes e Determinantes

Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 25 Teoria dos Conjuntos Cálculo Vetorial Lógica e Desenho Outros instrumentos poderão ser utilizados com muita freqüência como a Matemática Financeira, Geometria Analítica e Programação em Computador. A Pesquisa Operacional tem sido largamente utilizada e aplicada em vasta área do conhecimento humano, sendo desenvolvida ao longo de milênios como pode ser remontada ao século III a.c, quando Euclides buscava medir a distância entre o ponto maior e o menor de uma circunferência; o desenvolvimento da Logística Militar durante a II Guerra Mundial e nos dias atuais a sua utilização na identificação dos estoques até a otimização de resultados, lucros e minimização de prejuízos das organizações. 3 TÉCNICAS LIGADAS À PESQUISA OPERACIONAL Para compreender melhor as técnicas ligadas á Pesquisa Operacional, Costa (1987) as descreve de forma sucinta, a seguir. 3.1 Modelos de Substituição Quando se tem em vista encontrar um intervalo ideal para troca de equipamentos ou de atividade numa organização. No caso de troca de equipamento, na medida em que é utilizado acontece aumento dos custos de manutenção e operação além dos problemas de obsolescência técnica ou econômica. Nesse caso, trata-se de um problema que pode ser resolvido através de um modelo estocástico ou determinístico, dependendo da formulação que lhe é aplicada. Em qualquer dos casos, o que se deseja saber é se o valor dos custos futuros sem substituição é menor que aquele com substituição, ou então se os custos médios são diferentes, de forma que ocorra um custo médio tido como ótimo ou uma vida útil ótima.

26 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 3.2 Modelos de Estoque As decisões relativas a estoque envolve o nível de estoque e sua reposição. Os modelos e a descrição do sistema de estocagem representam a base para a decisão. Esses modelos podem ser determinísticos ou estocásticos. Alguns desses modelos visam apurar as quantidades de aquisição que minimizem os custos incrementais, ou seja, um modelo de lote econômico de pedido. Exemplo: Modelo de compra com e sem carência; Modelo de fabricação com e sem carência. 3.3 Teoria das Filas Quando os estudos se referirem a programação do atendimento dos elementos que chegam na fila, considerando o tempo de espera e a quantidade, de acordo com uma expectativa. Esses sistemas sujeitos á teoria podem ter uma fila ou uma estação, duas filas e uma estação, duas estações e uma fila, ou seja, várias combinações. Como exemplo pode-se destacar: carga e descarga de caminhões; controle de pedágio, troncos telefônicos; caixas de supermercados; tráfego de veículos, de embarcações, de aviões; atendimento em hospitais, etc. 3.4 Análise de Sensibilidade de Funções Contínuas A análise de sensibilidade permite se verificar a precisão de dados e do modelo utilizados, como também permite conhecer o nível de afastamento possível da solução tida como ótima. Considerando, ainda a impossibilidade de se quantificar completamente todas as variáveis do modelo, a análise alerta sobre aquelas que merecem uma melhor atenção. 3.5 Modelos de Transportes e Designação Objetiva minimizar os custos, tendo em vista existirem muitos centros fornecedores e muitos centros consumidores, sendo conhecidas as quantidades disponíveis na origem e no destino. Na resolução de problemas dessa natureza, cada origem corresponde a um destino.

Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 27 Um exemplo pode ser fornecido como o caso da distribuição de mão-de-obra de forma a obter uma eficiência máxima, a partir da designação de suas tarefas. 3.6 Programação Linear O modelo visa determinar o valor ótimo de uma função linear, dando um conjunto de restrições lineares de natureza estrita e não estrita. É pois, um modelo matemático de programação linear o qual é composto de uma função objetivo a de restrições técnicas representadas por um grupo de inequações também lineares. A função objetivo mede a eficiência e desempenho do sistema (no caso de maximização mede a geração de lucro). As restrições garantem que essas soluções estão de acordo com as limitações técnicas impostas pelo sistema. Existem ainda outras restrições que exigem a não negatividade das variáveis de decisão, o qual deverá acontecer sempre que a técnica de abordagem for a de programação linear. Não há uma regra fixa para esse trabalho, porém existe um roteiro que ajuda o raciocínio, por exemplo: Quais as variáveis de decisão? Indicam as quantidades a produzir, decisões de investimento É a pergunta do problema. Qual o objetivo? Expressão que calcula o valor do objetivo lucro, prejuízo, custo, receita, etc Quais as restrições? Expressam como uma relação linear de igualdade ou desigualdade quantidades, necessidades mínimas, distância a percorrer, etc. 3.7 Programação Não-Linear A programação não-linear visa determinar o valor ótimo de uma função não linear (um máximo e um mínimo) dado um conjunto de restrições lineares ou não lineares de natureza estrita ou não estrita. Dependendo da forma de apresentação do problema podemos utilizar vários métodos, como o método de Lagrange, o método de Gradiente, o método de Newton e os Testes de Otimalidade pelas condições de Kunh-Tucker.

28 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 3.8 Programação Dinâmica É uma programação aplicável á otimização de eventos que sofrem uma seqüência de estados, podendo ser aplicada a sistemas lineares ou não lineares. 3.9 Teoria das Redes Envolve o estudo das atividades, de forma a se obter uma base para a tomada de decisões quanto ao tempo, custo e áreas críticas. É o caso do estudo de atividades de rede como o PERT (Program Evaluation and Review Technique) e o CPM (Critical Path Method). 3.10 Teoria dos Jogos Tem larga aplicação em leilões, operações de bolsa de valores e de mercadorias. Utilizado em eventos para os quais as regras estejam claramente definidas e na condição de se otimizar os resultados. 3.11 Médoto de Monte Carlo É um processo de simulação com tabelas de números aleatórios, formando-se uma distribuição de probabilidade. Dada a sua complexidade é utilizado quando não se concebe um modelo que possa descrever o sistema. 4 EXEMPLO NUMÉRICO DAS TÉCNICAS UTILIZADAS O exemplo que será descrito, foi desenvolvido com a utilização do comando SOLVER do programa Excel 2000, que pode ser entendido como importante aliado na solução de problemas que envolvam a programação linear. O estudo feito parte do pressuposto de que é viável projetar modelos de decisão eficazes, que apóiem o processo de gestão, através de um conjunto de premissas e requisitos lógicos e estruturados com conceitos adequados, que espelhem a realidade físico-operacional da organização. O objetivo principal é achar a melhor utilização dos recursos disponíveis, que são geralmente limitados, procurando determinar a melhor

Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 29 programação otimizada que possa gerar o máximo de lucro para a empresa. De acordo com Garcia (1997), geralmente uma decisão está ligada ao objetivo de minimizar custos ou maximizar lucros, sob condições restritivas de recursos, mercado, políticas, dentre outras. Assim, durante o processo de estudo, é fundamental a correta identificação do objetivo a ser alcançado, pois é a partir deste que o modelo será concebido. As alternativas de decisão e as limitações existentes devem ser explicadas em sua plenitude, cujas inobservâncias podem invalidar as soluções obtidas durante o processo. O modelo de otimização procura identificar a melhor alternativa de ação. São utilizados na tentativa de solucionar problemas onde as variáveis podem assumir um número elevado de valores. A solução ótima encontrada será utilizada como referência para a decisão real. Os principais passos, os quais serão utilizados no exemplo numérico, para a construção de um modelo, são: definição do problema identificação das variáveis relevantes formulação da função objetivo formulação das restrições escolha do método matemático de solução aplicação do método de solução análise avaliação da solução 4.1 Maximização do Lucro Para o desenvolvimento e realização desse exemplo, é necessário fixar algumas hipóteses iniciais: O modelo é válido por uma unidade de tempo dia, semana, mês, visto não existir variação de custos e preços na unidade de tempo considerado Os preços são constantes tanto no lado da demanda como da oferta, visto que a variação de preço exigiria um modelo não linear Os custos reagem de maneira linear, alguns estritamente variáveis, outros fixos e, ainda, outros terem variação mista

30 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 A hipótese linear é plenamente justificada porque se o preço varia no tempo, sempre é possível maximizar os objetivos, podendo segmentar o tempo quando o preço for fixo, daí maximizar o lucro para cada segmento. Se o preço variar em relação á quantidade ofertada é possível criar restrições correspondente a essa variação e encontrar o ponto ótimo para cada nível de preço ofertado. Considerando as restrições que normalmente surgem nos empreendimentos de natureza econômica (restrições de capacidade), investimentos são realizados tendo em vista a atividade fim, havendo pois, restrições á capacidade produtiva e de venda, ou seja, no processo de produção (interno) e no mercado (externo), onde a empresa produz e vende. Nesse momento, tem-se restrições dos tipos: - Horas máquinas disponíveis limitadas ás quantidades de equipamentos existentes - Horas de mão-de-obra especializada que estão disponíveis - Quantidade de matéria-prima a ser encontrada pode ser limitada - Escassez de energia impulsionadora - Recursos próprios limitados ou obtenção de recursos a valores não recomendáveis Conseqüentemente, o problema inicial da determinação do lucro máximo é a identificação dos fatores que restringem a capacidade da empresa em produzir e vender. Um segundo problema que poderá advir é a definição da função objetivo (além desses, pode ser incorporado outros objetivos como o religioso, artístico, educacional, esportivo, etc, desde que surjam como redutores da margem de lucro). A escolha do sistema de acumulação dos custos pode influenciar na determinação do valor dos custos. Segundo Padoveze (2000), método de custeio indica quais os custos devem fazer parte da apuração do custo dos produtos. O custeio por Absorção adota a sistemática levando-se em conta que todos os custos são absorvidos pela produção, logo, admite o rateio dos custos indiretos e dessa forma, apresenta-se inadequado em muitas circunstâncias como instrumento gerencial de tomada de decisão a curto prazo, pois tem uma dificuldade de tratamento a ser dado aos custos fixos, que podem levar a alocações arbitrárias e enganosas. Outra rejeição por esse critério é que ele não permite avaliar a margem de contribuição de cada produto, dentro do processo produtivo.

Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 31 Na formulação do modelo a ser ilustrado, utilizar-se-á o método do custeio variável, pois além de identificar a margem de contribuição unitária por produto, os custos de produção estão intimamente relacionados com o produto e variam com o volume do parâmetro escolhido. Outra vantagem dessa escolha é que a programação linear busca um valor ótimo em pontos extremos de um conjunto convexo, cujas relações entre as variáveis são precipuamente lineares, isto é, o que importa na decisão é a relação entre as margens de contribuição advindas dos preços e os custos variáveis de produção. Nos exemplos que envolvam períodos de longo prazo, é necessário segmentar os períodos, para os quais não haja variação de custos e preços de forma relevante. 4.2 Minimização dos Custos O exercício a ser desenvolvido é o mesmo anteriormente ilustrado. Essa opção visa estabelecer a comparação entre a maximização do lucro e a minimização dos custos. A função objetivo da minimização dos custos é a seguinte: CDVu_ X_Qde Produzida = 50 X1 + 100 X2 + 250 X3 + 800 X4 + 650 X5 + 100.000 As análises dos relatórios estão comentadas nos relatórios de respostas gerados pelo Excel. 5 CONCLUSÃO Administrar com eficiência os recursos disponíveis na empresa, através do planejamento, controle e execução das atividades relacionadas á utilização destes, é fator fundamental na busca da otimização do resultado global da empresa. A programação linear juntamente com as técnicas de pesquisa operacional, permite identificar o resultado ótimo, considerando todas as restrições impostas no modelo adotado. Assim, o resultado ótimo esperado é possível acontecer, visto que os vários cenários que serão analisados têm o objetivo de definir a política de ação da organização. Espera-se que com a utilização da pesquisa operacional, utilizando-se do comando SOLVER do programa Excel, para solução de problemas que envolvam a procura

32 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 de solução ótima, tem o propósito de, exclusivamente, direcionar os gestores na tomada de decisões que visam otimizar o resultado da empresa. Considera-se que a contabilidade tem papel relevante como sistema de informação para a administração de recursos escassos á disposição da empresa, necessário e urgente se faz a utilização de ferramental que possa contribuir para a redução de custos de processamento e aumentar a competitividade da organização. A contabilidade, pois, como maior banco fornecedor de informações relevantes, interna e externamente, não pode ficar omissa em relação aos novos instrumentos de apoio a gestão, devendo aplica-los juntamente com outras tantas técnicas contábeis, para melhor informar o usuário e constituir-se numa potente área de linguagem dos negócios. Abstract: Linear programming: Maximization of Profit and Minimization of Costs The present article demonstrates the importance of the linear programming as support tool for the solution of problems in the area of costs in the organizations. To reach your objectives the companies they should be attentive ace several restrictions, so much at internal level, as resultants of external factors, established, among other, for the market. Like this, taking into account the competitiveness and the existent restrictions to the reach your goal, becomes necessary to optimize the existent available resources in way to maximize results or to minimize costs. It is on that moment that the linear programming appears, aiding in the accomplishment of mathematical calculations which consolidate that end. Therefore, that constitutes the focus of that article, which, it begins for theoretical studies concerning the matter, going until the illustrative and didactic presentation of practical case. Keywords: Linear programming, Operation research, Optimization, Spreadsheet. REFERÊNCIAS BELCHIOR, P.G.O. PERT/CPM Técnica de Avaliação, Revista Controle de Projetos, Tecnoprint Gráfica Editora do Brasil, 1974. CHIAVENATO, Idalberto, Introdução á Teoria Geral da Administração, São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1983.

Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 33 COSTA, Magnus A., Otimização de resultados e minimização de custos, RBC nº 62 1987 GARCIA, SOLANGE, GUERREIRO, REINALDO e CORRAR, Luis J., Teoria das Restrições e Programação Linear, Anais do V Congresso Internacional de Costos Acapulco, México, Julho 1997. HORNGREN, Charles T., FOSTER, George, DATAR, Srikant. Introdução á Contabilidade Gerencial, Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1985. IUDÍCIBUS, Sergio, Análise de Custos, São Paulo: Atlas, 1987 KOONTZ, HAROLD e O`DONNELL, Cyril, Princípios de Administração, São Paulo: Pioneira, 1982 MARION, José C. e SILVA, Laércio B., Contabilometria Novo campo de estudo para a contabilidade, RBC nº 59, 1986 Mccloskey, Joseph F. e TREFLETHEN, Florence, N., Pesquisa Operacional como Instrumento de Gerência, Rio de Janeiro: Edgard Blucher, 1956 MEGGISON, Leon, MOSLEY, Donald e PETRI Jr. Paul H., Administração: Conceitos e Aplicações, São Paulo: Harbra, 1986 MICHELS, Valdir, O modelo de Leontief, Contabilometria, São Paulo: FEA/USP, 1995 PADOVEZE, Clovis L, Contabilidade Gerencial, São Paulo: Atlas, 2000 O Paradoxo da Utilização do Método do Custeio de Custeio: Variável versus Absorção, RBC/SP nº 12 junho 2000 RAMALHETE, Manuel, GUERREIRO, Jorge e MAGALHÃES, Alípio, Programação Linear, Volume 1, Portugal: McGraw-Hill, 1985. SHAMBLIN, James E. e STEVENS Jr., G.T., Pesquisa Operacional uma abordagem básica. São Paulo: Atlas, 1979. WAGNER, Harvey M., Pesquisa Operacional, Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1986

34 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 Anexo- MAXIMIZAÇÃO DE MULTIPRODUTOS COM RESTRIÇÕES Um Exemplo ilustrativo Uma empresa produz e vende cinco produtos. Os preços, custos e despesas são: Produto Preço de venda Custo e despesa variáveis Produto Alfa 100,00 50,00 Produto Beta 200,00 100,00 Produto Delta 500,00 250,00 Produto Gama 1000,00 800,00 Produto Sigma 800,00 650,00 A partir deste mês a empresa formalizou um contrato de entrega de 1.000 produtos Alfa, projetando a venda máxima de mais 4.000 unidades do produto, para os meses seguintes. O produto Sigma é fabricado especialmente para atender o mercado fora do Estado e é vendido para um cliente específico, numa quantidade fixa de 120 unidades por mês. Os outros três produtos (Beta, Delta e Gama), produzida é absorvida pelo mercado. têm grande procura, de modo que qualquer quantidade O processamento de fabricação passa por três departamentos, cuja produção é limitada pela utilização de horas-máquinas disponíveis. No quadro abaixo, é apresentado os coeficientes de utilização por unidade produzida de cada produto. Departamento Hs Máq. p/unidade Hs Máq. p/unidade Hs Máq. p/unidade Produto Depto A Depto B Depto C Produto Alfa 1 2 1 Produto Beta 2 1 1 Produto Delta 4 2 3 Produto Gama 15 10 5 Produto Sigma 10 6 4 Hs máq. disponível 3.000 hs 3.800 hs 2.700 hs Os custos e despesas fixos para o presente mês deve importar em 100.000,00. A gerência administrativa da empresa quer conhecer qual deve ser a produção do mês deste mês, em termos de combinação dos cinco produtos que venham a apresentar o melhor resultado operacional possível (maior lucro), nas condições de produção, custos, despesas e vendas programadas.

Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 35 SOLUÇÃO O primeiro passo é formular o problema a fim de identificar a função objetivo e as restrições. As quantidades produzidas e vendidas de cada produto podem ser representadas assim: X1 = Quantidade produzida e vendida dos produtos Alfa X2 = Quantidade produzida e vendida dos produtos Beta X3 = Quantidade produzida e vendida dos produtos Delta X4 = Quantidade produzida e vendida dos produtos Gama X5 = Quantidade produzida e vendida dos produtos Sigma A função objetivo deve considerar as margens de contribuição unitária de cada produto e os custos de despesas variáveis, ou seja: MCu = PVu - CDVu. Assim, para otimizar a função, isto é, maximizar o resultado temos: Y = 50 X1 + 100 X2 + 250 X3 + 200 X4 + 150 X5-100.000 Identificando as restrições que estão envolvendo o sistema: a) Restrição de demanda: X1 1000 (quantidade a ser vendida neste mês do produto Alfa) X1 5000 (quantidade máxima a ser vendida nos próximos meses do produto Alfa) X5 = 120 (quantidade fixa de venda do produto Sigma) Restrições de capacidade fabril: X1 + 2X2 + 4X3 + 15X4 + 10X5 3000 (Hs Máq. disponíveis no Depto A) 2X1 + X2 + 2X3 + 10X4 + 6X5 3800 (Hs Máq. disponíveis no Depto B) X1 + X2 + 3X3 + 5X4 + 4X5 2700 (Hs Máq. disponíveis no Depto C) Condições Obrigatórias: X 1 0 ; X 2 0 ; X 3 0 ; X 4 0 ; X5 0

36 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 O modelo completo seria: Maximizar Y = 50 X1 + 100 X2 + 250 X3 + 200 X4 + 150 X5-100.000 Sujeito a: X1 + 2 X2 + 4 X3 + 15 X4 + 10 X5 3000 2 X1 + X2 + 2 X3 + 10 X4 + 6 X5 3800 X1 + X2 + 3 X3 + 5 X4 + 4 X5 2700 X1 5000 X1 1000 X5 = 120 X 1 0 ; X 2 0 ; X 3 0 ; X 4 0 ; X 5 0 ; Figura 2 - Dados Originais para Otimização de Resultados

Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 37 Figura 3 - Relatório de Respostas Maximização de Resultados A partir dos dados originais fornecidos, é solicitado o comando SOLVER. Após inseridos os dados (células para resultado e as restrições), o programa encontra uma solução e gera três relatórios: 1. Relatório de resposta 2. Relatório de sensibilidade 3. Relatório de limites

38 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 Figura 4 - Relatório de Respostas - Maximização de Resultados Restrições Célula Nome Valor da célula Fórmula Status $B$13 HM Depto A - Total Alfa 1000 $B$13<=3000 Sem agrupar $C$13 HM Depto A - Total Beta 0 $C$13<=3000 Sem agrupar $D$13 HM Depto A - Total Delta 800 $D$13<=3000 Sem agrupar $E$13 HM Depto A - Total Gama 0 $E$13<=3000 Sem agrupar $F$13 HM Depto A - Total Sigma 1200 $F$13<=3000 Sem agrupar $G$13 HM Depto A - Total TOTAL 3000 $G$13<=$G$9 Agrupar $G$14 HM Depto B - Total TOTAL 3120 $G$14<=$G$10 Sem agrupar $B$14 HM Depto B - Total Alfa 2000 $B$14<=3800 Sem agrupar $C$14 HM Depto B - Total Beta 0 $C$14<=3800 Sem agrupar

Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 39 $D$14 HM Depto B - Total Delta 400 $D$14<=3800 Sem agrupar $E$14 HM Depto B - Total Gama 0 $E$14<=3800 Sem agrupar $F$14 HM Depto B - Total Sigma 720 $F$14<=3800 Sem agrupar $B$15 HM Depto C - Total Alfa 1000 $B$15<=2700 Sem agrupar $C$15 HM Depto C - Total Beta 0 $C$15<=2700 Sem agrupar $D$15 HM Depto C - Total Delta 600 $D$15<=2700 Sem agrupar $E$15 HM Depto C - Total Gama 0 $E$15<=2700 Sem agrupar $F$15 HM Depto C - Total Sigma 480 $F$15<=2700 Sem agrupar $G$15 HM Depto C - Total TOTAL 2080 $G$15<=$G$11 Sem agrupar $F$2 Qde Vendida Sigma 120 $F$2>=0 Sem agrupar $B$2 Qde Vendida Alfa 1000 $B$2<=5000 Sem agrupar $D$2 Qde Vendida Delta 200 $D$2>=0 Sem agrupar $C$2 Qde Vendida Beta 0 $C$2>=0 Agrupar $B$2 Qde Vendida Alfa 1000 $B$2>=1000 Agrupar $B$2 Qde Vendida Alfa 1000 $B$2>=0 Sem agrupar $E$2 Qde Vendida Gama 0 $E$2>=0 Agrupar $F$2 Qde Vendida Sigma 120 $F$2=120 Sem agrupar No relatório de resposta do período, pode-se verificar que a combinação ótima de produção e venda é: 1000 produtos Alfa, 200 produtos Beta e 120 produtos Sigma Observa-se que a célula de destino evidencia-se o valor otimizado da Margem de Contribuição Total (Lucro máximo a ser obtido), considerando as vendas contratadas. O valor inicial é zero (sem vendas) e valor final igual a 18.000,00. Nas células ajustáveis, apresenta o valor inicial e final de cada produto em quantidades vendidas, observadas as condições de maior margem de contribuição. Na coluna Restrições, apresenta uma coluna de posição para cada item com a identificação de cada recurso utilizado correspondente, outra coluna identifica o valor de cada recurso com a respectiva fórmula de máximo e mínimo a ser utilizado de cada um. A outra coluna indica se os recursos foram totalmente utilizados e os recursos que apresentam folga em sua utilização coluna chamada status. Na coluna chamada Transigência, observa-se que as folgas de horas máquinas nos Departamentos foram:

40 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 Depto A... Não houve folga Depto B... 680 horas de folga 3800 horas - (2X1 + X2 + 2X3 + 10X4 + 6X5)horas 3800 horas - (2000 + 0 + 2 x 200 + 10 x 0 + 6 x 120) 3800 horas - 3120 horas = 680 horas de folga Depto C... 620 horas de folga 2700 horas - (X1 + X2 + 3X3 + 5X4 + 4X5) 2700 horas - (1000 + 0 + 3 x 200 + 5 x 0 + 4 x 120) horas 2700 horas - 2080 horas = 620 horas de folga Observa-se que o lucro máximo possível é de 18.000,00, conforme se comprova: Lucro = 50X1 + 100X2 + 250X3 + 100X4 + 150X5-100.000 Lucro = 50 X 1000 + 100 X 0 + 250 X 200 + 100 X 0 + 150 X 120-100.000 Lucro = 18.000,00 Figura 5 Relatório de Sensibilidade Maximização de Resultados

Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 41 Multiplicador Célula Nome Valor Final de Lagrange $B$13 HM Depto A - Total Alfa 1000 0 $C$13 HM Depto A - Total Beta 0 0 $D$13 HM Depto A - Total Delta 800 0 $E$13 HM Depto A - Total Gama 0 0 $F$13 HM Depto A - Total Sigma 1200 0 $G$13 HM Depto A - Total TOTAL 3000 62,5 $G$14 HM Depto B - Total TOTAL 3120 0 $B$14 HM Depto B - Total Alfa 2000 0 $C$14 HM Depto B - Total Beta 0 0 $D$14 HM Depto B - Total Delta 400 0 $E$14 HM Depto B - Total Gama 0 0 $F$14 HM Depto B - Total Sigma 720 0 $B$15 HM Depto C - Total Alfa 1000 0 $C$15 HM Depto C - Total Beta 0 0 $D$15 HM Depto C - Total Delta 600 0 $E$15 HM Depto C - Total Gama 0 0 $F$15 HM Depto C - Total Sigma 480 0 $G$15 HM Depto C - Total TOTAL 2080 0 O relatório de sensibilidade identifica os seguintes itens: Na tabela células ajustáveis as colunas indicam a quantidade a ser produzida e vendida de cada produto (valor final). O valor reduzido indica o ganho perdido por unidade produzida e vendida do produto que está correspondente na mesma linha. O relatório de sensibilidade procura evidenciar as taxas de substituição entre as variáveis decisórias de folga. Assim, cada hora de folga no Depto A, custa ao lucro o equivalente a 12,50. Uma unidade de folga no Depto A exige 0,25 unidades de produto Delta e 0,1 de produtos Sigma (1 hora em Alfa = 4 horas em Delta = 10 horas em Sigma). Na tabela Restrições são evidenciados, na primeira coluna a célula correspondente ás restrições impostas no problema e o recurso que sofrerá a restrição. Na coluna valor final, indica o tempo máximo a ser utilizado em cada área. Na última coluna é indicado o ganho total obtido pela solução ótima encontrada (maior margem de contribuição considerando o mix de produtos).

42 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 Figura 6 - Relatório de Limites - Maximização de Resultados O relatório de limites apresenta os dados já analisados nos relatórios anteriores, com exceção da coluna destino/resultado, que representa o quanto seria o ganho se a produção do produto da linha correspondente fosse igual a zero. No exemplo os produtos Beta e Gama não afetaram o resultado ótimo que foi de 18.000,00 para o lucro otimizado.

Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 43 Figura 7 - Relatório de Resposta - Minimização de Custos Para o período atual o relatório de resposta criado pelo SOLVER, no caso de minimização de custos é: Produção e venda de 1000 produtos Alfa Produção e venda de 120 produtos Sigma O menor custo de produção possível (minimização de custos), é dado por Y = CDVu ( X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ) + CF Y = 50 (1000) + 100 (0) + 250 (0) + 800 (0) + 650 (120) + 100.000 Y = 50.000 + 78.000 + 100.000 Y = 228.000

44 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 Observa-se que minimizando os custos totais há folga de horas nos Departamentos A, B e C, como especifica o relatório: Depto A... 3000 hs ( X1 + 2 X2 + 4 X3 +15 X4 +10 X5 ) 3000 hs (1000 + 2 x 0 + 4 x 0 + 15 x 0 + 10 x 120) 3000 hs 2200 hs = 800 hs Depto B. 3800 hs (2 X1 + X2 + 2 X3 +10 X4 +6 X5 ) 3800 hs (2 x 1000 + 0 + 2 x 0 + 10 x 0 + 6 x 120) 3800 hs 2720 hs = 1080 hs Depto C... 2700 hs ( X1 + X2 + 3 X3 + 5 X4 +4 X5 ) 2700 hs (1000 + 0 + 3 x 0 + 5 x 0 + 4 x 120) 2700 hs 1480 hs = 1220 hs Figura 8 - Relatório de Resposta Minimização de Custos

Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 45 Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência HM Depto B - Total $G$18 TOTAL 2720 $G$18<=$G$14 Sem agrupar 1080 $B$17 HM Depto A - Total ALFA 1000 $B$17<=3000 Sem agrupar 2000 $C$17 HM Depto A - Total BETA 0 $C$17<=3000 Sem agrupar 3000 HM Depto A - Total $D$17 DELTA 0 $D$17<=3000 Sem agrupar 3000 $E$17 HM Depto A - Total GAMA 0 $E$17<=3000 Sem agrupar 3000 $F$17 HM Depto A - Total SIGMA 1200 $F$17<=3000 Sem agrupar 1800 $B$18 HM Depto B - Total ALFA 2000 $B$18<=3800 Sem agrupar 1800 $C$18 HM Depto B - Total BETA 0 $C$18<=3800 Sem agrupar 3800 $D$18 HM Depto B - Total DELTA 0 $D$18<=3800 Sem agrupar 3800 HM Depto B - Total $E$18 GAMA 0 $E$18<=3800 Sem agrupar 3800 HM Depto B - Total $F$18 SIGMA 720 $F$18<=3800 Sem agrupar 3080 $B$19 HM Depto C - Total ALFA1000 $B$19<=2700 Sem agrupar 1700 HM Depto C - Total $C$19 BETA 0 $C$19<=2700 Sem agrupar 2700 HM Depto C - Total $D$19 DELTA 0 $D$19<=2700 Sem agrupar 2700 HM Depto C - Total $E$19 GAMA 0 $E$19<=2700 Sem agrupar 2700 HM Depto C - Total $F$19 SIGMA 480 $F$19<=2700 Sem agrupar 2220 HM Depto A - Total $G$17 TOTAL 2200 $G$17<=$G$13 Sem agrupar 800 HM Depto C - Total $G$19 TOTAL 1480 $G$19<=$G$15 Sem agrupar 1220 $D$2 Qde Vendida DELTA 0 $D$2>=0 Agrupar 0 $B$2 Qde Vendida ALFA 1000 $B$2>=0 Sem agrupar 1000 $B$2 Qde Vendida ALFA 1000 $B$2>=1000 Agrupar 0 $C$2 Qde Vendida BETA 0 $C$2>=0 Agrupar 0 $E$2 Qde Vendida GAMA 0 $E$2>=0 Agrupar 0 $F$2 Qde Vendida SIGMA 120 $F$2=120 Sem agrupar 0 $B$2 Qde Vendida ALFA 1000 $B$2<=5000 Sem agrupar 4000 $F$2 Qde Vendida SIGMA 120 $F$2>=0 Sem agrupar 120

46 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 Figura 9 Relatório de Sensibilidade Restrições Final Lagrange Célula Nome Valor Multiplicador $G$18 HM Depto B - Total TOTAL 2720 0 $B$17 HM Depto A - Total ALFA 1000 0 $C$17 HM Depto A - Total BETA 0 0 $D$17 HM Depto A - Total DELTA 0 0 $E$17 HM Depto A - Total GAMA 0 0 $F$17 HM Depto A - Total SIGMA 1200 0 $B$18 HM Depto B - Total ALFA 2000 0 $C$18 HM Depto B - Total BETA 0 0 $D$18 HM Depto B - Total DELTA 0 0

Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 47 $E$18 HM Depto B - Total GAMA 0 0 $F$18 HM Depto B - Total SIGMA 720 0 $B$19 HM Depto C - Total ALFA 1000 0 $C$19 HM Depto C - Total BETA 0 0 $D$19 HM Depto C - Total DELTA 0 0 $E$19 HM Depto C - Total GAMA 0 0 $F$19 HM Depto C - Total SIGMA 480 0 $G$17 HM Depto A - Total TOTAL 2200 0 $G$19 HM Depto C - Total TOTAL 1480 0 Figura 10 - Relatório de Limites - Minimização de Custos A análise dos três relatórios (Resposta, Sensibilidade e Limites) foram comentados no mesmo exemplo numérico - Maximização de resultado. Entretanto, pode-se observar que no relatório de resposta é apresentado na célula de destino o resultado da Minimização dos custos totais, ao invés da maximização do resultado (otimizado). A análise do restante dos dados não difere da análise já considerada.

48 Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009 Afonso Celso Pagano Frossard Contador e Mestre em Contabilidade - FEA/USP Professor da Faculdade Lourenço Filho e-mail: afrossard@gmail.com