Pré-despacho Hidrométrico com Reserva de Energia Através de Métodos de Pontos Interiores Mayk V. Coelho Aurelio R. L. Oliveira Secundino Soares Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, FEEC, UNICAMP, CP 611-1383-852 - Campinas - SP E-mail: mayk@cose.fee.unicamp.br, aurelio@ime.unicamp.br, dino@cose.fee.unicamp.br 1 Introdução Os métodos de pontos interiores primais-duais serão desenvolvidos para o problema de minimização das perdas na geração e transmissão do pré-despacho DC de um sistema de potência hidrotérmico, será explorada ainda a estrutura matricial resultante, objetivando uma implementação eficiente. No pré-despacho de sistemas hidrotérmicos, as usinas hidroelétricas tem uma meta a cumprir em um determinado dia, estabelecida pelo planejamento de longo prazo, já as usinas termoelétricas apresentam restrições de rampa pois necessitam de um determinado tempo tanto para aumentar quanto para reduzir sua produção de energia, além disso é necessário manter a cada período de tempo uma reserva de energia para atender demandas imprevistas ou algumas contingências. Como a demanda de energia varia ao longo do dia, sua geração deve acompanhar a variação da carga. Desde o surgimento dos métodos de pontos interiores para programação linear, códigos computacionais baseados nessas idéias vêm se apresentando como alternativas para resolução de problemas de grande porte [1, 3, 4, 8]. Na área de sistemas de potência o advento dos métodos de pontos interiores trouxe à tona uma nova linha de pesquisa. Estes métodos são reconhecidos atualmente por sua robustez [5, 9] principalmente devido ao tratamento eficiente de desigualdades. Bolsista Mestrado CAPES Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, IMECC, UNICAMP 2 Formulação Matemática Minimizar as perdas no pré-despacho de um sistema de potência hidrométrico é um problema de planejamento operacional de curto prazo, aqui a cada meia-hora durante um dia. Antes de apresentar o modelo deste problema, estudaremos o modelo estático do fluxo de potência ótimo ativo [2] com reserva de energia: min αf t Rf + β ( p t Qp + c t p ) : s.a Af = Ep l Xf = e t r e r ts p + r e p f min f f p min p p r e re f: fluxo de potência ativa; p: geração de potência ativa; r e : vetor de reserva de energia; r ts : reserva total de energia no sistema; Q: componente quadrática do custo de geração; R: matriz diagonal de resistência das linhas; l: demanda de potência ativa; X: matriz de reatância das linhas;
E: matriz de ordem m g com cada coluna contendo exatamente um elemento igual a 1, correspndo às barras de geração, e os demais elementos nulos; A: matriz de incidência da rede de transmissão; c: componente linear do custo de geração; f, f min, p p min e re : limites de fluxo, geração de potência ativa e de reserva de energia respectivamente; α e β: prações dos objetivos a minimizar. O sistema de transmissão é representado por um fluxo de carga DC com limites no fluxo de carga ativo. Para que as variáveis de geração (p) e de transmissão (f) possam ser expressas simultaneamente no modelo, as leis de Kirchhoff são apresentadas separadamente [2]. O conjunto de restrições para este problema é linear, as duas primeiras restrições representam a rede de geração/transmissão, representando as leis de Kirchhoff pra nós e circuitos respectivamente. A terceira e a quarta equações representam as restrições de reserva de energia e as demais representam as capacidades de geração e transmissão do sistema e o limite de reserva de energia. A inclusão de reserva de energia torna redundante o limite superior da capacidade de geração das usinas. A função de perdas na geração hidráulica ( p t Qp + c t p ) com Q matriz diagonal [1] modela as três formas mais importantes de perda: variações na cota de jusante; perdas na tubulação de adução da unidade geradora; perdas associadas à eficiência do par turbina-gerador. O custo de geração associado às termoelétricas também é uma função quadrática independente para cada gerador. Portanto, utilizando o modelo descrito para minimizar as perdas na geração hidráulica e custos na geração térmica, as duas componentes da função objetivo são quadráticas com variáveis separáveis, uma vez que a matriz R também é diagonal. Vale ressaltar que os métodos de pontos interiores para problemas com esta característica apresentam desempenho similar ao obtido para problemas lineares. Em particular, o esforço por iteração é virtualmente o mesmo em ambas as situações [11, 12]. 2.1 Aplicando o Método de Pontos Interiores Primal-Dual ao Problema Estático O modelo matemático para o problema estático é apresentado em um único intervalo de tempo do fluxo de potência ótimo ativo com reserva de energia. Colocando o problema na forma padrão, com ajuda de algumas mudanças de variáveis e o acréscimo de variáveis de folga, obtém-se a seguinte formulação: ( ) ( ) 1 1 min α 2 f t Rf + c t f f + β 2 pt Qp + c t pp s.a Bf Êp = l e t s = rts p + r e + s pre = p f + s f = f p + s p = p r e + s re = re (f, p, r e, s, s pre, s f, s p, s re ) c f = Rf min, c p = c + Qp min Ê = B = [ E [ A X ] ],, l = [ l a l a = Ep min Af min l e l b = Xf min. Reescrevendo as restrições na forma matricial tem-se: M = Mv = u B Ê e t I I I I I I I I I I l b ]
v = f p r e s s pre s f s p s re e u = l r ts p f p r e. O que resulta no seguinte problema dual associado: l t y + rtsw t + (p ) t (w pre + w p ) + (f ) t w f + (re ) t w re α 2 f t Rf β 2 pt Qp y = y w w pre w f w p w re s.a M t y C e C = c f + Rf c p + Qp Acrescentando as variáveis de folga e fazendo as mudanças tem-se w f := w f, w p := w p, w pre := w pre e w re := w re lt y + s t w (p ) t (w pre + w p) (f ) t w f (re ) t w re α 2 f t Rf β 2 pt Qp sa B t y w f + z f αrf = c f Êt y w pre w p + z p βqp = c p we w pre w re + z re = (w, w pre, w f, w p, w re, z f, z p, z re ) e é um vetor de uns. Logo tem-se as condições de otimalidade Bf Êp = l e t r e s = r ts p + r (P ) = e + s pre = p f + s f = f p + s p = p r e + s re = re (C) = F Z f e = µe P Z p e = µe R e Z re e = µe swe = µe S pre W pre e = µe S f W f e = µe S p W p e = µe S re W re e = µe as variáveis F, P, R e, S pre, S f, S p, S re, Z f, Z p, Z re, W pre, W f, W p e W re são da forma Γ = diag(γ). Aplicando o Método de Newton às condições de otimalidade tem-se as direções de Newton: nos dá (d) = (r) = B f Ê p = r fp e t r e s = r re p + r e + s pre = r pres f + s f = r f p + s p = r p r e + s re = r re B t y w f + z f αr f = r yf Ê t y w pre w p + z p βq p = r yp e w w pre w re + z re = r wz F z f + Z f f = r zf P z p + Z p p = r zp R e z re + Z re r e = r zre s w + w s = r sw S pre w pre + W pre s pre = r swpre S f w f + W f s f = r swf S p w p + W p s p = r swp S re w re + W re s re = r swre r fp = l Bf + Êp r re = r ts e t r e + s r pres = p p r e s pre r f = f f s f r p = p p s p r re = re r e s re r yf = α(c f + Rf) B t y + w f z f r yp = β(c f + Qp) + Êt y + w pre z p r wz = ew + w pre + w re z re r zf = µe F Z f e r zp = µe P Z p e r zre = µe R e Z re e r sw = µe swe r swpre = µe S pre W pre e r swf = µe S f W f e r swp = µe S p W p e r swre = µe S re W re e { B t y w f + z f αrf = c f (D) = Ê t y w pre w p + z p βqp = c p ew w pre w re + z re =
Nas condições de otimalidade vamos isolar as variáveis de folga, primais e duais, exceto w obtendo: z f = F (r zf Z f f) z p = P (r zp Z p p) z re = Re (r zre Z re r re ) w pre = Spre(r spre W pre s pre w f = Sf (r swf W f s f ) w p = Sp (r swp W p s p ) w re = Sre (r swre W re s re ) s = e t r e r re S pre = r pre p r e S f = r f f S p = r p p S re = r re r e Substituindo esses valores nas direções de Newton obtidas acima chega-se ao seguinte sistema reduzido: B f Ê p = r fp B t y D 1 f = r yf Êt y D 2 p SpreW pre r e = r yp e w S prew pre p D 3 r e = r wz s w + we t r e = r sw D 1 = S f W f + F Z f + αr D 2 = SpreW pre + Vp W p + P Z p + βq D 3 = SpreW pre + Vre + Re Z re r yf = r yf + S f r swf S f W f r f F r zf r yp = r yp + Spreh 1 P r zp + Sp h 2 r wz = r wz + Spreh 1 + S re h 3 Re r zr r sw = r sw + wr re com h1 = r swpre W pre r pre h 2 = r swp W p r p h 3 = r swre W re r re observe que D 1, D 2 e D 3 são matrizes diagonais. Isolando as variáveis primais do sistema anterior: f = D 1 ( r yf B t y) p = H 1(Ê t y + r yp) H 2(e w r wz) r e = D 4 ( rwz H3(Êt y + r yp) e w) D 4 = D 3 H 3 S H 1 = D2 + H 2 S H 2 = D2 H 3 = S prew pre prew pre D2 prew pre D4 prew pre D2 Agora substituindo no sistema reduzido acima { tem-se o seguinte sistema: (BD 1 Bt + M 2 ) y + m 3 w = r fp m t 3 y + (s + we t D4 = r sw M 2 = Ê(D 2 + M 1)Ê t m 3 = ÊD 2 S prew pred 4 e r fp = r fp + BD 1 r yf h r ÊM 1 r yp r sw = r sw we t D 4 ( rwz + S M 1 = H 2H 3 prew pred 2 r yp) com h r = ÊD 2 ( r yp SpreW pred 4 r wz ). O sistema obtido acima pode ser resolvido como em [6] da seguinte forma: w = r sw m t 3 x s+we t D 4 e+mt 3 x 1 y = y + y 1 w y = (BD1 + M 2 ) r fp y 1 = (BD1 + M 2 ) m 3 Assim o fluxo de potência ótimo com restrições de reserva pode ser resolvido aplicandose o método de pontos interiores primal-dual com a mesma eficiência obtida no caso sem restrições de reserva. 3 O Modelo Dinâmico Diferentemente do modelo estático, temos a representação em um único instante de tempo, o modelo dinâmico se aplica em t intervalos de tempo, tendo t-subproblemas, com a mesma estrutura que o modelo estático, acrescentando as restrições de acoplamento referentes às metas e às rampas. A equação e t p j = q, q representa a meta de geração de energia das hidroelétricas, estabelecidas pelo planejamento a longo-prazo e p j o vetor de geração de potência ativa da usina j, representa o atendimento das metas para cada usina. Em relação as termoelétricas, restrições de rampa são importantes, pois as usinas geradoras necessitam de tempo, tanto para aumentar quanto para reduzir sua produção de energia, logo as seguintes restrições devem ser incluídas no modelo visto anteriormente. p i+1 d p i p i+1 + d i (1,..., t 1) : d representa a variação de produção permitida para casa usina termoelétrica; i representa o intervalo de tempo; t representa o número total de intervalos.
Logo o modelo pode ser descrito da seguinte forma [7]: t t ) min α fi t Rf i + β (p t iqp i + c t p i i=1 i=1 s.a Af i = Ep i l i i (1,..., t) Xf i = i (1,..., t) e t r ei r tsi i (1,..., t) p i + r ei p i (1,..., t) f min f i f i (1,..., t) p min p i p i (1,..., t) r ei r e i (1,..., t) p i+1 d p i p i+1 + d i (1,..., t 1) e t p j = q j (1,..., ng) As restrições de fluxo de potência ativa se repetem a cada intervalo de tempo e apenas se acoplam através das restrições adicionais de rampas e metas. Os geradores hidroelétricos também devem atender restrições do tipo rampa, embora essas restrições não sejam tão críticas para estes geradores, esta formulação torna o modelo mais realista mesmo para um sistema puramente hidroelétrico. Da mesma forma que foi feito para o problema estático, pretende-se aplicar o método de pontos interiores primal-dual a este problema em um trabalho futuro. 4 Conclusões Conclui-se que o fluxo de potência ótimo com restrições de reservas apresenta o mesmo comportamento que o fluxo de potência ótimo sem tais restrições. O próximo passo é desenvolver o método de pontos interiores primal-dual para o modelo dinâmico obtido na seção anterior e compara-lo, tanto estruturalmente como numéricamente, com o modelo sem as restrições de reserva. Agradecimentos Este trabalho contou com apoio financeiro da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) Referências [1] I. Adler, M. G. C. Resende, G. Veiga, and N. Karmarkar. An implementation of Karmarkar s algorithm for linear programming. Mathematical Programming, 44:297 335, 1989. [2] M. F. Carvalho, S.Soares, and T. Ohishi. Optimal active power dispatch by network flow approach. IEEE Transactions on Power Systems, 3(3):164 1647, 1988. [3] J. Gondzio. Multiple centrality corrections in a primal-dual method for linear programming. Computational Optimization and Applications, 6:137 156, 1996. [4] I. J. Lustig, R. E. Marsten, and D. F. Shanno. On implementing Mehrotra s predictor-corrector interior point method for linear programming. SIAM Journal on Optimization, 2:435 449, 1992. [5] J. A. Momoh, M. E. El-Hawary, and R. Adapa. A review of selected optimal power flow literature to 1993, part II Newton, linear programming and interior point methods. IEEE Transactions on Power Systems, 14(1):15 111, 1999. [6] A. R. L. Oliveira and C. Lyra. Interior point methods for the polynomial L fitting problem. International Transactions in Operational Research. [7] A. R. L. Oliveira, S. Soares, and L. Nepomuceno. Short term hydroelectric scheduling combining network flow and interior point approaches. Electrical Power & Energy Systems, 27(2):91 99, 25. [8] A. R. L. Oliveira and D. C. Sorensen. A new class of preconditioners for large-scale linear systems from interior point methods for linear programming. Linear Algebra and Its Applications, 394:1 24, 25. [9] V. H. Quintana, G. L. Torres, and J. Medina-Palomo. Interior point methods and their applications to power systems: A classification of publications and software codes. IEEE Transactions on Power Systems, 15(1):17 176, 2.
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