1 MATEMÁTICA II Aula 01 Revisão _ Produtos Notáveis Professor Luciano Nóbrega 1º Bimestre
PRODUTOS NOTÁVEIS 2 Do dicionário : Produto É o resultado de uma multiplicação; Notável Adjetivo digno de ser notado, percebido. 01 Cite uma frase que utilize a palavra NOTÁVEL. Observe a figura abaixo: 02 Quanto mede o lado do quadrado de área x 2? x 2 I I I 16 03 Quanto mede o lado do quadrado de área 16? 04 Qual a área da figura I? 05 Qual a área da figura I I? 06 Utilizando um polinômio na forma reduzida, represente a área total da figura. 07 Utilizando um binômio, represente a medida do lado da figura. 08 Qual, das seguintes expressões, está correta? (x + 4) 2 = x 2 + 4 2 (x + 4) 2 = x 2 + 8.x + 4 2
PRODUTOS NOTÁVEIS 09 Complete a tabela: a b (a + b) 2 a 2 + b 2 a 2 + 2ab + b 2 1 2 2 3 5 7 3 4 9 6 10 Resolva algebricamente: (a + b) 2 3 11 Escreva, por extenso, o resultado obtido na questão anterior. Resolva os produtos notáveis abaixo: 12 (5x + y 4 ) 2 13 (x + y) 2. (x + y) 14 (x. y) 2 (x + y) 2 2.(x + y) 15 ( 2x / 3 + 4y) 2 16 (5 + 6) 2 17 (a + b + c) 2
PRODUTOS NOTÁVEIS Observe a figura abaixo: x 18 Utilizando um binômio, represente a medida do lado da figura I. 4 I I I x 19 Utilizando um trinômio, represente a área da figura I. 20 Qual a área da figura I I? I I I y 21 Qual a área da figura I I I? y 22 Qual a diferença entre as áreas das figuras I I e I I I, ou seja, A II A III? 23 Então, adicionando y 2 à figura I I I, o que obtemos? 24 Do quadrado de lado x, retirando um retângulo de área xy, adicionando um quadrado de lado y e subtraindo outro retângulo de área xy, o que obtemos? 25 Escreva, por extenso, o resultado obtido na questão 19.
x PRODUTOS NOTÁVEIS Observe a figura abaixo: x y 26 Utilizando um binômio, represente a área da figura I (a figura com formato de L ). y I I I y Decompondo o L, obtemos dois retângulos que possuem o lado x y em comum: x y x y Que podem ser reordenados: 5 x 27 Utilizando um produto, represente a área do L depois de reordenado. x y x y x 28 Resolva o produto obtido na questão anterior. 29 Escreva, por extenso, o resultado obtido na questão anterior.
PRODUTOS NOTÁVEIS 6 Resolva os produtos abaixo: 30 (x + a).(x + b) Calcule cada expressão: 39 ( 3) 4 3 4 + 2 3 ( 2) 3 5 0 + ( 5) 0 31 (x a).(x b) 32 (x + a).(x b) 33 (x + y) 3 34 (x y) 3 35 (4x + 5y).(4x 5y) 36 (x + y).(x 2 xy + y 2 ) 37 (x y).(x 2 + xy + y 2 ) 38 ( a + b).( a b) 40 ( 5) 2 + 5 21 /5 23 ( 5 / 3 ) 2 41 [(16) 3/4 ] 1/2 + 200 32 42 (a 2 + b 2 ).(x 2 + y 2 ) 43 (ax by) 2 + (ay + bx) 2 44 (a 2 + b 2 ) 2 45 (a + b) 2 + (a b) 2 46 (a + b) 2 (a b) 2 47 [ 1 / 2 (a + b)] 2 [ 1 / 2 (a b)] 2
7 MATEMÁTICA II Aula 02 Revisão _ Fatoração Professor Luciano Nóbrega 1º Bimestre
FATORAÇÃO 8 Do dicionário : Fatoração Ação de fatorar, ou seja, escrever com fatores. Fatores são como são chamados os termos da multiplicação. Observe a figura: 48 Qual é a área da figura I I I? I a 49 Qual é a área da figura I I e da figura I? I I I I I x b c 50 Qual é a área total da figura? Responda de duas formas diferentes: a) Utilizando um trinômio; b) Na forma fatorada. Existem vários casos de fatoração. Vejamos os principais: FATOR COMUM 51 Fatore os seguintes termos: a) 2x + 8y 6z b) 2x 2 6xy c) 12x 2 y 3 + 6xyz 18y 2 z d) (a + b).x + (a +b).y 52 Sabendo que x + y = 25 e y = 4, determine o valor numérico de xy + y 2 de duas maneiras: a) Inicialmente, determinando o valor de x; b) Inicialmente, fatorando.
FATORAÇÃO 9 FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO Observe a figura: 53 Qual a área da figura I? b I V I I I 54 Quais as áreas das figuras I I, I I I e I V? a I x I I y 55 Qual é a área total da figura? Responda de duas formas diferentes: a) Utilizando um polinômio; b) Na forma fatorada. 56 Considere a expressão 6x 2 y 12x + xy 2 2y: a) Qual a fatoração entre os termos 6x 2 y 12x? b) Qual o fatoração entre os termos xy 2 2y? c) Existe um fator comum entre as respostas dos itens a e b. Colocando esse termo em evidência, fatore a expressão dada. 57 Fatore os seguintes termos: a) 3x + 3y + 12x + 12y b) x 2 3x + ax 3a c) 2b 2 + 2c 3 + ab 2 + ac 3 d) 2ax + 4bx 3ay 6by
FATORAÇÃO 10 DIFERENÇA ENTRE DOIS QUADRADOS Observe a figura: Concluímos na questão 26 que a área da figura pode x y ser representada por x 2 y 2. 58 Utilizando um produto, qual a área da figura I? y 59 Utilizando um produto, qual a área da figura I I? x I y 60 Considere a soma das respostas obtidas nas x y I I questões 58 e 59. Existe um fator comum entre as respostas. Colocando esse termo em evidência, fatore a expressão. x 61 Fatore os seguintes termos: a) x 2 y 2 b) x 2 25 c) a 2 16 d) 1 16b 2 e) 3 x f) x 4 81 g) x 4 1 h) 4 / 25 a 2 62 Lembre-se que a medida da área de um círculo é dada por πr 2. Qual é a área da coroa circular? Responda de duas formas diferentes: a) Utilizando um polinômio; b) Na forma fatorada.
FATORAÇÃO 11 TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO 63 Fatore os seguintes termos: a) x 2 + 2xy + y 2 b) x 2 2xy + y 2 c) 4a 2 12ab 2 + 9b 4 d) 1 8b + 16b 2 e) 3x 2 + 6x + 3 f) 16a 4 8a 2 b 4 + b 8 TRINÔMIO DO 2º GRAU 64 Fatore os seguintes termos: a) x 2 + (a + b)x + ab b) x 2 + 5x + 6 c) a 2 + 13a + 42 d) x 2 (a + b)x + ab e) x 2 5x + 6 f ) a 2 16a + 60 g) x 2 + (a b)x ab h) x 2 + x 6 i ) a 2 a 6 SOMA (& DIFERENÇA) DE CUBOS 65 Fatore os seguintes termos: a) x 3 + y 3 b) x 3 y 3 c) a 3 27 d) 125 216x 3 e) x 3 1 f) 1 + x 3 66 Simplifique as expressões até que obtenha um número real. a) _2x 5y_ b) _6a 3_ c) _3x 2 + 27x + 60_ 4x 10y 1 2a 5(x + 4) + x 2 +4x d) _ 9x 2 + 36x 36_ e) 3 3 f ) 6x 2 9x (x 2) 2 3 3 45x + 30x 2
FATORAÇÃO 12 Fatore as expressões abaixo e, quando possível, substitua o valor da variável dada: 67 _x 2 9_ ; x = 3 x 3 73 _x 2 x 6 ; x = 2 x + 2 79 ; x = 2 68 _4x 2 1_ ; x = 1 / 2 2x 1 69 _x 5 ; x = 5 x 5 70 _x 4 81 ; x = 3 x + 3 71 _ x + 1 ; x = 1 16x 4 16 72 ; x = 1 74 ; t = 0 75 ; h = 0 76 ; x = 2 77 ; t = 3 78 ; x = 0 80 ; x = 2 81 ; x = 9 82 ; x = 4 83 ; x = 9 84 com x = 1
13 MATEMÁTICA II Aula 03 Relações Métricas no Triângulo Retângulo Professor Luciano Nóbrega 1º Bimestre
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 14 CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Inicialmente, vamos relembrar como classificam se os triângulos. 85 QUANTO AOS LADOS ISÓSCELES, EQUILÁTERO E ESCALENO Classifique os triângulos a seguir quanto aos seus lados: a) 3 lados iguais b) 2 lados iguais e 1 diferente c) 3 lados diferentes 86 QUANTO AOS ÂNGULOS ACUTÂNGULO, OBTUSÂNGULO E RETÂNGULO Classifique os triângulos a seguir quanto aos seus ângulos: b) 3 ângulos agudos a) 1 ângulo reto c) 1 ângulo obtuso 87 (FUVEST) Na figura ao lado, AB = BD = CD = BC, então: A) y = 2x B) x = y C) 3x = 2y D) y = 3x 88 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO Num triângulo o comprimento de qualquer lado é menor que a soma dos outros dois. Verifique se é possível construir triângulos cujos lados tenham as medidas seguintes: a) 4, 6 e 9 cm b) 7, 4 e 2 cm c) 2, 2 e 4 cm
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 15 89 Classifique cada sentença como verdadeira (V) ou falsa (F). Cada sentença FALSA deve ser justificada com cálculos ou com palavras. ( ) Nos triângulos, o maior ângulo é sempre oposto ao maior lado. Da mesma forma, o menor ângulo situa se oposto ao menor lado. ( ) Nos triângulos isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes, são também congruentes. ( ) Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos resulta SEMPRE em 180º. ( ) Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes. ( ) Em um determinado triângulo ABC, Â = 50º e Ĉ = 60º. Se D e E são pontos sobre os lados AB e BC, respectivamente, tais que DB = BE, C então a medida do ângulo BÊD é de 70º. E 90 (UFPE) Na figura ao lado, AB = BC = CD = DE = EA. A medida do ângulo DÂC mede: A A) 30º B) 36º C) 40º D) 45º E) 48º B D 91 (UFRJ) Considere um triângulo isósceles em que β = 70º, γ > α, r a bissetriz do ângulo γ, então o menor ângulo formado pela altura relativa ao lado BC e r é: A) 10º B) 35º C) 45º D) 55º E) 60º
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 16 Observe os triângulos: 92 CASO AA Se dois triângulos têm dois ângulos internos congruentes, então os triângulos são semelhantes. Sabendo disso, verifique que os três triângulos acima são semelhantes. 93 Considere os triângulos ABH e AHC. Fazendo as razões entre seus lados correspondentes, prove que h 2 = m.n 94 Escreva por extenso que h 2 = m.n H H 95 Considere os triângulos ABC e AHC. Prove que b 2 = m.a 97 Considere os triângulos ABC e AHB. Prove que c 2 = n.a 96 Escreva por extenso que b 2 = m.a 98 Escreva por extenso que c 2 = n.a 99 Multiplique, termo a termo, os resultados das questões 95 e 97 e demonstre que b.c = h.a 100 Escreva por extenso que b.c = h.a 101 (Teorema de Pitágoras) Agora, adicione, termo a termo, os resultados das questões 95 e 97 e demonstre que a 2 = b 2 + c 2 102 Escreva por extenso que a 2 = b 2 + c 2
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 17 103 Os catetos de um triângulo retângulo medem 3cm e 4cm. Calcule as medidas da hipotenusa, da altura relativa a ela e das projeções ortogonais dos catetos sobre elas. 104 Determine o valor de x, y e z na figura: y z 105 Os catetos de um triângulo retângulo medem 6m e 8m. calcule a medida da projeção do maior cateto sobre a hipotenusa. 106 Calcule os elementos a,h, m e n no triângulo retângulo abaixo. 107 (FUVEST-SP) Uma escada que mede 4 m tem uma de suas extremidades aparada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4 m da base do muro. Qual a altura do muro? 108 Num triângulo retângulo a hipotenusa vale 10 m e a diferença entre os catetos é de 2 m. Então, os catetos valem, em metros: A) 4 e 6 B) 5 e 7 C) 6 e 8 D) 7 e 9 E) 10 e 12
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 18 109 No mapa, as cidades A, B e C são vértices de um triângulo retângulo, sendo que o ângulo reto é Â. A estrada AC tem 40km e a estrada BC tem 50km. As montanhas impedem a construção de uma estrada que ligue diretamente A com B. Por isso, será construída uma estrada da cidade A para a estrada BC, de modo que ela seja a mais curta possível. A) Qual é comprimento da estrada que será construída? B) O ponto onde esta estrada encontra a estrada BC dista quantos quilômetros da cidade B? 110 (UFRS) O lampião representado na figura suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo que essas cordas medem 1 / 6 e 2 / 5, a distância do lampião ao teto é: A) 1,4 B) 1,3 C) 2 / 13 D) 1 / 2 E) 6 / 13 111 (FUVEST-SP) Nesta figura, o quadrado ABCD está inscrito no triângulo AMN, cujos lados AM e AN medem, respectivamente, m e n: Então, o lado do quadrado mede:
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 19 112 (FUVEST-SP) Em um recente vendaval, um poste de luz de 9 m de altura quebrou-se em um ponto a distância x do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 3 m da base do mesmo. A que altura x do solo o poste quebrou? 113 Considere uma folha de papel retangular de lados 3 e 4 cm. Suponha que ela seja dobrada uma vez de modo que os vértices opostos se sobreponham. A medida do comprimento de dessa dobra é: A) 3,5 B) 3,75 C) 4,5 D) 4,75 114 Determine a fórmula da diagonal d de um quadrado de lado l. Para isso, siga o procedimento: 1º) Faça um esboço da figura escolhida; 2º) Apresente todos os cálculos necessários; 3º) Justifique com palavras, o resultado final encontrado. 115 Determine a fórmula da altura h de um triângulo equilátero de lado l e, em seguida, justifique com palavras, o resultado final encontrado.
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 20 116 Calcule o valor de x, sabendo que, na figura a seguir, temos três quadrados. 117 Durante um treinamento, dois maratonistas partem de uma mesma cidade em direção reta, um em sentido leste e o outro em sentido norte. Determine x 6 9 a distância que os separa depois de 2 horas, sabendo que a velocidade dos atletas são de 20 km / h e 15 km / h, respectivamente. 118 (FGV) Considere as retas r, s, t e u, com r // u.o valor em graus de 2x + 3y é: A) 450º B) 500º C) 520º D) 660º E) 580º 30º y x 120º 119 (UFPR) Embora o desenho ao lado pareça representar uma figura em três dimensões, ele foi feito no plano usando se apenas losangos congruentes entre si. Os ângulos internos desses losangos medem:
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 21 120 (UFRN) A diferença entre os ângulos agudos de um triângulo retângulo é de 50º. Qual a medida do menor ângulo desse triângulo? A) 10º B) 20º C) 25º D) 40º E) 70º 121 (FUVEST) No retângulo a seguir, o valor, em graus, de x + y é: A) 50 B) 90 C) 120 D)130 E) 220 40º x y 122 (FUVEST) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. A altura do poste, em metros, é: A) 6 B) 7,2 C) 12 D)20 E) 72 123 (CESGRANRIO) Uma folha quadrada de papel ABCD é dobrada de modo que o vértice C coincida com o ponto M, ponto médio do lado AB. No lado BC, com a dobra, fica destacado o ponto P. Se o lado de ABCD mede 1 m, então o comprimento do segmento BP, em metros, é: A) 0,3 B) 0,325 C) 0,375 D) 0,45 E) 0,5
GABARITO 22 1) Pessoal. Ex: O Professor tem uma dedicação notável. 2) x 3) 4 4) 4x 5) 4x 6) x 2 +8x+16 7) x+4 8) x 2 +8x+4 2 10) a 2 +2ab+b 2 12) 25x 2 +10xy 4 +y 8 13)x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3 14) x 2 y 2 x 2 2xy y 2 2x 2y 9) 9 5 9 11) O quadrado da soma de dois termos é igual 25 13 25 144 74 144 ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. 15) (4x^2) / 9 + 16xy / 3 +16y 2 16) 121 17) a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc 18) x y 225 117 225 19) (x y) 2 = x 2 2xy y 2 20) xy 21) xy y 2 22) y 2 23) xy 24) A figura I. 25) O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. 26) x 2 y 2 27) (x + y).(x y) 28) x 2 y 2 29) O produto entre a soma e a 30) x 2 + (a + b)x + ab 31) x 2 (a + b)x + ab diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos o 32) x 2 + (a b)x ab 33) x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 quadrado do segundo. 34) x 3 3x 2 y + 3xy 2 y 3 35) 16x 2 25y 2 36) x 3 + y 3 37) x 3 y 3 38) a b 39) 16 40) 7 / 25 41) 8 2 42) = 43) 44) a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 45) 2a 2 + 2b 2 46) 4ab 47) ab 48) cx 49) bx ; ax 50) ax + bx + cx 51) a) 2.(x + 4y 3z) ;b) 2x.(x 3y) ;c) 6y.(2x2y2 + 6xz 3yz) 52) a) = b) 100 53) ax 54) ay; by; bx 55) a) ax + ay + bx + by ; b) (x + y).(a + b) 56) a) 6x(xy 2) ; b) y(xy 2) ; c) (xy 2)(6x + y) 57) a) 15.(x + y) ; b) (x 3).(x a) ; c) (2 + a).(b 2 + c 3 ) ; d) (a + 2b).(2x 3y) 58) x(x y) 59) y(x y) 60) (x y)(x + y) 61) a) (x y)(x + y) ; b) (x + 5)(x 5) ; c) (a + 4)(a 4) ; d) (1 + 4b)(1 4b) ; e)( 3 + x)( 3 x);f)(x 2 + 9)(x + 3)(x 3);g)(x 2 + 1)(x 2 1);h)( 2 / 5 + a)( 2 / 5 a) 64) a) (x + a)(x + b) ; b) (x + 3)(x + 2) ; c) (a + 6)(a + 7) ; d) (x a)(x b) 62) a) π.r 2 π.r 2 ; b) π.(r + r).(r r) 63) a) (x + y) 2 ; b) (x y) 2 ; c) (2a - 3b) 2 ; d) (1 4b) 2 ; e) 3.(x + 1) 2 ; f) [(2a + b 2 ) (2a b 2 )] 2 e) (x 3)(x 2) ; f) (a 6)(a 10) ; g) (x+a)(x b) ; h) (x+3)(x 2) ; i) (a 3)(a + 2)
GABARITO 65) a) (x + y)(x 2 xy + x 2 ) ; b) (x y)(x 2 + xy + x 2 ) ; c) (x 3)(x 2 + 3x + 9) ; d) (5 6x)(25 + 30x + 36x 2 ) ; e) (x 1)(x 2 + x + 1) ; f) (1 + y)(1 x + x 2 ) 66) a) 1 / 2 ; b) 3 ; c) 3 ; d) 9 ; e) 1 / 2 3 ; f) 1 / 5 67) 6 68) 2 69) 2 5 70) 108 23 71) 1 / 64 72) 2 73) 5 74) 1 / 6 75) 6 76) 5 77) 6 / 5 78) 8 79) 9 / 8 80) 1 / 12 81) 6 82) 1 / 16 83) 108 84) 32 85) a) Equilátero b) Isósceles c) Escaleno 86) a) Retângulo b) Acutângulo c) Obtusângulo 87) D 88) a) Ok b) Não c) Não 89) V, V, V, V, F 90) B 91) D 92) Verifique! 93) Demonstre! 94) O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre as projeções dos catetos 95) Demonstre! 96) O quadrado do cateto é igual ao rpoduto entre sua projeção e a hipotenusa. 97) Demonstre! 98) Igual a 96 99) Demonstre! 100) O produto entre os catetos é igual ao produto entre a hipotenusa e altura. 101) Demonstre! 102) O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. 103) a) 5 b) 2,4 c) 9 / 5 e 16 / 5 104) x = 6 y = 2 13 z = 3 13 105) 6,4 106) a = 13 h = 60 / 13 m = 25 / 13 n = 144 / 13 107) 3,2 108) A 109) a) 24 b) 18 110) C 111) A 112) 4 113) B 114) d = l 2 ; A diagonal de um quadrado é igual ao produto da medida do lado por 2 115) h = l 3 / 2 ; A altura de um triângulo equilátero é igual ao rpoduto da medida do lado por l 3 dividido por 2. 116) 4 117) 50 km 118) A 119) 60º, 60º, 120º e 120º 120) B 121) D 122) D 123) C
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