MATEMÁTICA I AULA 07: TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO TÓPICO 02: CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO Este tópico tem o objetivo de mostrar como a derivada pode ser usada na construção de gráficos de funções. Alguns requisitos necessários à construção de gráficos, já foram apresentados em tópicos de aulas anteriores; além desses requisitos, neste tópico serão introduzidos os conceitos de convexidade, concavidade e ponto de inflexão que constituem informações indispensáveis para traçar gráficos de funções. Serão introduzidos também os conceitos de assíntotas vertical e horizontal, que auxiliam a esboçar com mais precisão os gráficos de um grupo amplo de funções. O tópico é finalizado com as construções dos gráficos das funções seno e co-seno, que foram apresentados no tópico 2 da aula 02, sem nenhuma justificativa. O esboço de gráficos será necessário a vários assuntos que serão tratados posteriormente, de imediato podem ser citados os cálculos de área e volume a serem vistos no próximo módulo. Seja f uma função com derivada contínua num intervalo fechado [a,b] e suponha que o gráfico de f seja a curva C da figura seguinte. OBSERVAÇÃO Quando o ponto P(x,y) se desloca sobre a curva C, a reta tangente a C em P varia continuamente de posição, assim: a reta tangente está acima de algum arco de C em torno de P, como nas partes do gráfico entre A e Q 1 e entre Q 2 e B; a reta tangente está abaixo de algum arco de C em torno de P, como na parte do gráfico entre Q 1 e Q 2; e nos pontos de transição, onde a reta tangente muda de cima para baixo (ou de baixo para cima) de C localmente, ela secciona C, como nos pontos Q 1 e Q 2. Sendo S à parte do gráfico de uma função f correspondente a um intervalo aberto I, têm-se os seguintes conceitos: se para todo ponto P de S, a reta tangente a S em P está abaixo de S, diz-se que o gráfico de f é CONVEXO em I (ou ainda, que a função f é convexa em I); se para todo ponto P de S, a reta tangente a S em P está acima de S, diz-se que o gráfico de f é CÔNCAVO em I (ou que a função f é côncava em I); e o ponto do gráfico onde ele muda de convexo para côncavo ou vice-versa, chama-se um PONTO DE INFLEXÃO. Uma função f é dita CONVEXA ou

CÔNCAVA, quando o gráfico de f é convexo ou côncavo no seu domínio, respectivamente. O teorema seguinte mostra que as partes convexas e côncavas do gráfico de uma função, podem ser previamente identificadas a partir do sinal da derivada segunda da função. TEOREMA 1. Seja f uma função tal que f" existe num intervalo aberto I, então o gráfico de f é: (a) Convexo em I, se para todo (b) Côncavo em I, se para todo DEMONSTRAÇÃO Seja S a parte do gráfico de f correspondente ao intervalo I. Considere e a reta tangente a S no ponto Considere ainda, um ponto de S com e o ponto correspondente da reta tangente. Então, para concluir a demonstração, basta provar que Q está abaixo de P, ou seja, a diferença é maior que zero. A fórmula de Taylor para f em torno de xo com n = 1 - (Clique aqui para abrir) Se n = 1 a fórmula de Taylor para f em torno de X 0,fica assim e O gráfico de P 1 é a reta tangente ao gráfico de f em é o erro cometido na aproximação de f(x) por p 1 (x).

(dada no tópico 2 da aula 06) é onde c está entre x 0 e x, e é a equação da reta tangente ao gráfico de f em.assim, fazendo x=1 temse por outro lado, como p 1 (u)=y u, obtém -se Sendo f"(c)>0 pois (por hipótese) f"(x)>0 para todo x em I, temse O que conclui a demonstração da parte (a) do teorema. A demonstração da parte (b) do teorema é análoga a da parte (a) e está proposta no exercício 54 do exercitando deste tópico. Uma recíproca parcial do teorema 1 também é verdadeira, conforme o exercício 55 do exercitando deste tópico. São comuns as definições de convexidade e concavidade num ponto (invés de num intervalo) de acordo com o teorema 1, isto é, diz-se que o gráfico de f é convexo no ponto (a,f(a) se f"(a)> 0 e côncavo no ponto (a,f(a)) se f"(a) < 0. O teorema seguinte estabelece como determinar os possíveis valores de c, onde uma função f tal que f" é contínua em c, tem um ponto de inflexão. TEOREMA 2. Seja f uma função tal que f" existe num intervalo aberto contendo c e é contínua em c. Se (c,f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico de f, então DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 2 Suponha que, então sendo f" contínua em c, tem-se assim (veja corolário 1 do teorema 5 do texto complementar indicado no final do tópico 2 da aula 03) ou clique aqui par abrir existe um intervalo aberto I contendo c tal que para todo ou para todo, conforme ou, respectivamente. Logo, pelo teorema 1, em I o gráfico de f é somente côncavo ou apenas convexo, assim (c,f(c)) não pode ser ponto de inflexão. Isto mostra que com as hipóteses do teorema, (c,f(c)) só pode ser ponto de inflexão se

(a) implica que f(x) > 0; (b) Se implica que f(x) < 0. OBSERVAÇÕES a) A recíproca do teorema 2, em geral, não é verdadeira, por exemplo: se então portanto e x = 1 mas (1,0) não é ponto de inflexão do gráfico de f, pois (1,0) não separa partes convexa e côncava do gráfico de f. b) O gráfico de uma função pode ter um ponto de inflexão num valor onde a derivada segunda da função não existe, por exemplo: se assim g"(x) não existe se x = 0 ; além disso, o gráfico de g é convexo em e côncavo em pois para x < 0 para x > 0, portanto (0,0) é ponto de inflexão do gráfico de g. c) Assim, pode-se concluir do teorema 2 e do comentário anterior: os possíveis valores de c tais que (c,f(c)) é ponto de inflexão do gráfico de uma função f, são os valores onde f"(c) é igual à zero ou não existe; além disso estes são os valores que determinam os intervalos onde o gráfico de f pode ser convexo ou côncavo. OBSERVAÇÃO As derivadas de uma função dão várias informações a respeito do gráfico da função, tais como: os intervalos de crescimento e decrescimento, localização dos pontos extremos, os intervalos em que o gráfico é convexo ou côncavo e os pontos de inflexão. O exemplo seguinte ilustra como esboçar o gráfico de uma função a partir de tais informações, onde o item (a) justifica o modelo da parábola cúbica (vá à seção MATERIAL DE APOIO do ambiente SOLAR e baixe o arquivo ou clique aqui para abrir (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) quando a > 0 ; se a < 0 a justificativa do modelo está sugerida no exemplo proposto 1(a) a seguir. EXEMPLO RESOLVIDO 1. Fazer o gráfico da função dada: SOLUÇÃO DO EXEMPLO RESOLVIDO 1.

A Tem-se logo f'(x) = 0 se x = b. Sendo obtém-se se x = b. A reta indicada na figura e representando o domínio de f (que é o conjunto dos números reais), foi dividida considerando o valor b, nas partes resultantes da divisão que representam os intervalos e acima aparecem os sinais da derivada primeira e abaixo os sinais da derivada segunda de f. Assim, conclui-se: (1) f é crescente no seu domínio; (2) O gráfico de f é convexo em e côncavo em,ou seja, (b,c) é ponto de inflexão do gráfico de f; (3) O gráfico é simétrico em relação à (b,c) conforme exercício 29 do exercitando do tópico 2 da aula 02. Com base em tais informações, obtém-se a justificativa do gráfico de f conforme o modelo estabelecido. B Tem-se logo se x = -1 e x = 1. Como obtém-se se x = o. A reta seguinte, representando o domínio de g, foi dividida considerando os valores -1, 0 e 1, nas partes resultantes da divisão, acima aparecem os sinais da derivada primeira e abaixo os sinais da derivada segunda de g. Assim concluí-se; (1) A função g é crescente nos intervalos e e decrescente em (-1,1). Logo g(-1)=4 é máximo local g(1)=0 é mínimo local ; (2) O gráfico de g é côncavo em e convexo em Assim (0,2) é ponto de inflexão do gráfico de g.

Com base nestas conclusões, faz-se o gráfico de g, que está na figura a seguir. C Sendo tem-se logo = 0 se x+2 = 0, isto é, se x=-2 e não existe se ou seja, se x = o. Como obtém-se =0 se x = 1 e não existe se x = 0. A reta seguinte, representando do domínio de h, foi dividida pelos valores -2, 0 e 1, nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de h. Assim, têm-se as seguintes informações: (1) h é crescente nos intervalos e decrescente em (-2,0). Logo é máximo local h(0) = 0 é mínimo local; (2) O gráfico de h é côncavo em e (0,1) é convexo em Dái apenas (1,6) é ponto de inflexão do gráfico de h.

Considerando as informações, faz-se o gráfico de h, que está na figura à seguir. figuras: EXEMPLO PROPOSTO 1 Verificar que os gráficos das funções indicadas são como nas respectivas A interpretação geométrica de certos limites de algumas funções, pode ser útil para ajudar a traçar os gráficos de tais funções. Antes é necessário introduzir alguns conceitos. ASSÍNTOTA VERTICAL A reta x = c é uma ASSÍNTOTA VERTICAL do gráfico de uma função f, se pelo menos uma das seguintes condições se verifica: As figuras a seguir ilustram a forma do gráfico de uma função f, para x próximo de c, na primeira na segunda se e

ASSÍNTOTA HORIZONTAL A reta y = L é uma ASSÍNTOTAHORIZONTAL do gráfico de uma função f, se pelo menos uma das seguintes condições se verifica: As figuras a seguir ilustram a forma do gráfico de uma função f, relativamente à reta y = L, a primeira se e na segunda se a primeira situação, refere-se quando através de valores menores do que L e a segunda é quando através de valores maiores que L. O gráfico de uma função pode ter uma assíntota não necessariamente vertical ou horizontal, conforme está definida no enunciado dos exercícios 50 e 51 do exercitando deste tópico. EXEMPLO RESOLVIDO 2 Fazer o gráfico da função dada: SOLUÇÃO A Tem-se assim f'(x) não existe para x = 0. Como obtém - se que f"(x) não existe para x = 0. A reta seguinte foi dividida considerando o valor 0, nas partes resultantes da divisão, acima aparece o sinal da derivada primeira e abaixo os sinais da derivada segunda de f. Assim conclui-se (1) f é decrescente no seu domínio;

(2) O gráfico de f é côncavo em e convexo em O gráfico de f não tem ponto de inflexão em zero, pois f não está definida nesse valor; (3) A reta x = 0 é assíntota vertical do gráfico de f, pois (por exemplo) a reta y = 0 é assíntota horizontal do gráfico de f, pois (por exemplo) (4) Como para todo o gráfico de f é simétrico em relação à origem. Com base em tais informações, obtém-se a justificativa do gráfico de f que foi usado nos exercícios 5 a 10 do exercitando do tópico 1 da aula 02. Observe que devido à simetria do gráfico em relação à origem, bastaria analisar a função para x > 0. B Sendo obtém-se logo, g'(x) = 0 para x = 0 e g' (x) não existe para.como tem - se que para todo x e g"(x) não existe para Observe que g não está definida para A reta seguinte foi dividida pelos valores -2, 0 e 2,nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de g. Logo, têm-se as seguintes informações: (1) g é crescente em e (-2,0) e decrescente em (0,2) e Assim é máximo local;

(2) O gráfico de g é côncavo em (-2,2) e convexo em e O gráfico não tem ponto de inflexão em -2 e 2, pois g não está definida nestes valores; (3) O gráfico de g não intercepta o eixo X, pois para todo x. As retas x = -2 e x = 2 são assíntotas verticais do gráfico, pois (por exemplo) e ; y = 0 é assíntota horizontal do gráfico, pois Acha-se ainda (4) Sendo para todo x no domínio de f, o gráfico é simétrico em relação ao eixo Y. Considerando as informações obtidas, faz-se o gráfico de g, que está na figura a seguir. Observe que devido à simetria do gráfico g em relação ao eixo Y, bastaria analisar a função para C Sendo tem-se logo para x = -1 e h'(x) não existe para x = 1. Como

obtém-se =0 se x = -2 e h"(x) não existe se x = 1. Observe que h não está definida para x = 1. A reta seguinte foi dividida pelos valores -2, -1 e 1, nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de h. Assim, têm-se as seguintes informações: (1) h é crescente em (-1,1) e decrescente em e Logo, é mínimo local; (2) O gráfico de h é côncavo em e convexo em (-2,1) e Daí é ponto de inflexão do gráfico de h; (3) O gráfico intercepta o eixo X na origem pois h(0) = 0, a reta x = 1 é assíntota vertical do gráfico pois e y = 0 é assíntota horizontal do gráfico pois Tem-se ainda Considerando estas informações, faz-se o gráfico de h, que está na figura a seguir. EXEMPLO PROPOSTO 2 Se verificar que o gráfico de f está na figura a seguir. EXEMPLO RESOLVIDO 3 Fazer os gráficos das seguintes funções: a) b)

c) se Solução. A O domínio da função seno é o conjunto dos números reais, pois todo número real x é possível na equação Como o seno tem período igual a (isto é, para todo x), cada intervalo de comprimento igual a antes de 0 e a partir de, dá a mesma parte do gráfico que for obtida com assim, para obter o gráfico da função seno, basta ter a parte do gráfico correspondente a e o restante é encontrado através da periodicidade. Considerando tem-se se e se x = 0, O segmento de 0 a em seguida, foi dividido considerando os valores que anulam as derivadas primeira e segunda do seno e nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais de tais derivadas. Assim conclui-se (1) O seno é crescente nos intervalos e, e decrescente em ; (2) O gráfico do seno é côncavo em Considerando as informações obtidas, tem-se a justificativa do gráfico da função seno - (Clique aqui para abrir), conforme foi apresentado no tópico 2 da aula 02. Seja x uma variável real, onde x representa a medida em radianos de um arco da circunferênciada unitário de centro na origem a partir do ponto (1,0) então as funções seno e co-seno são definidas, respectivamente, pelas equações y=sen x e y=cos x. Os gráficos destas funções, estão nas figuras a seguir com os respectivos domínios e imagens. No tópico 1 da aula 09 (exemplo resolvido 3) os gráficos serão justificados.

B A função co-seno tem o mesmo domínio e período de função seno, assim para obter o gráfico da função co-seno, basta ter a parte do gráfico correspondente a o restante é encontrado através da periodicidade. Considerando tem-se se x = 0, x = e x =, e se O segmento de 0 a a seguir, foi dividido considerando os valores que anulam as derivadas primeira e segunda da função co-seno e nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais de tais derivadas. Assim conclui-se (1) O co-seno é decrescente no intervalo (2) O gráfico do co-seno é côncavo em e, e convexo em. Considerando as informações obtidas, tem-se o gráfico da função co-seno, conforme foi apresentado no tópico 2 da aula 02. Seja x uma variável real, onde x representa a medida em radianos de um arco da circunferênciada unitário de centro na origem a partir do ponto (1,0) então as funções SENO e CO-SENO são definidas, respectivamente, pelas equações y=sen x e y=cos x. Os gráficos destas funções, estão nas figuras a seguir com os

respectivos domínios e imagens. No tópico 1 da aula 09 (exemplo resolvido 3) os gráficos serão justificados. C Sendo assim o gráfico de h é simétrico em relação à origem, logo basta analisar a função h em a simetria pode ser usada. Como, tem -se em para x = 0 e. Sendo, obtém-se em para. O segmento de 0 a a seguir, foi dividido por e nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de h. Assim, têm-se as seguintes informações: (1) h é crescente em (2) O gráfico é convexo em é ponto de inflexão do gráfico. Considerando tais informações e usando a simetria do gráfico em relação à origem, faz o gráfico de h, que está na figura a seguir.

EXEMPLO PROPOSTO 3. Sendo e verificar que o gráfico de f está na figura a seguir. LEITURA COMPLEMENTAR Para acessar o conteúdo, consulte a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ou clique aqui para abrir (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.). ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá à seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo EXERCITANDO(AULA07_TOP2).DOC para resolver o exercitando ou clique aqui para abrir (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 2, 7 e 42 do exercitando são as respectivas QUESTÕES 3 ATÉ 5 do trabalho desta aula a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente Solar. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no PORTFÓLIO, no período indicado na AGENDA do ambiente SOLAR, num único documento de texto (doc ou docx) ou manuscrito e escaneado. FONTES DAS IMAGENS Responsável:Prof. José Othon Dantas Lopes Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual