MEDIDAS E INCERTEZAS O Que é Medição? É um processo empírico que objetiva a designação de números a propriedades de objetos ou a eventos do mundo real de forma a descrevêlos quantitativamente. Outra forma de eplicar este processo é comparar a quantidade, ou variável desconhecida, com um padrão definido para este tipo de quantidade, implicando então num certo tipo de escala.
Tipos de medidas Medida Nominal Quando duas quantidades do mesmo tipo são comparadas para saber se são iguais (E. duas cores, acidez de dois líquidos) Medida Ordinal Quando é necessário ter informação a tamanhos relativos (E. Classificação por peso e altura de uma turma) Medida em Intervalos Quando deseja-se uma informação mais especifica, envolve-se então uma certa escala, sem incluir pontos de referência ou zero. (E. no caso anterior usar a escala de metros e quilogramas) Medidas Normalizadas Define-se um ponto de referência e realiza-se a razão, dividindo cada medida pelo valor de referência, determinando as magnitudes relativas. (E. O maior valor obtido será 1, quando foi escolhido como referência o valor máimo medido). Medidas Cardinais O ponto de referência é comparado com um padrão definido. Assim todo parâmetro físico pode ser medido contra uma referência padrão, como o Sistema Internacional de Medidas, o SI.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SI
O Processo de Medida Operador: - Conhecimento do processo de medida - Escolha adequada do instrumento - Domínio do instrumento de medida O Conceito de Medida Os erros das medidas não podem ser completamente eliminados, conseqüentemente, não é possível conhecer o valor verdadeiro de uma grandeza. Por este motivo o valor de uma medida é representado por um intervalo de valores.
Epressão da Medida de uma Grandeza Quando Apenas uma Medida é Efetuada. Quando é efetuada apenas uma medida de uma grandeza a epressão da medida é condicionada à resolução do instrumento de medida. Como não é possível encontrar o valor verdadeiro de uma medida, ele é delimitado por um valor máimo e um mínimo, apontados pelo instrumento de medida. mín má Define-se: - Precisão do instrumento (função do intervalo de confiança [ mín : má ]): p má - mín (1.1) - Incerteza da medida: p má δ mín (1.)
Eiste uma probabilidade muito grande de que o valor verdadeiro esteja entre mín e má. mín < verdadeiro < má. (1.3) mín má Como o valor verdadeiro não é conhecido então, faz-se uma estimativa da medida por meio do valor médio do intervalo,, e da incerteza do instrumento δ : δ < verdadeiro ± δ < + δ Intervalo de confiança
Eemplo: Medir o comprimento de uma peça retangular: m Objeto a ser medido Observa-se que a medida m está no intervalo: 0 cm m 5 cm ; O intervalo [0cm:5cm] é conhecido como Intervalo de confiança. Ele é, no mínimo, igual à precisão do equipamento. Neste caso, 5 unidades. Com este intervalo, determina-se a Incerteza e o valor médio do intervalo de confiança m. cm Incerteza δ Intervalo de confiança Valor da medida δ m má m mín 5 0, 5 m m m ± δ (, 5 ±, 5)cm m m má + m mín 5 + 0, 5 Eercício 1 Eercício
1.. EXPRESSÃO DAS MEDIDAS QUANDO VÁRIAS MEDIDAS SÃO EFETUADAS 1..1. Média Aritmética A média aritmética é, de modo geral, a mais importante de todas as mensurações numéricas descritivas (TRIOLA, 1999, p. 31). Durante todo este trabalho ela será designada simplesmente por média. n i 1 n 1... Desvio Padrão O desvio padrão é a mais importante e mais útil medida da variação dos valores de uma amostra (TRIOLA, p. 38), pois ele considera todos os valores da amostra. O desvio padrão é um estimador das incertezas das medidas. i
a- Desvio Padrão Amostral É utilizado quando se analisa uma amostra de uma população. s n n ( i ) i 1 i 1 n 1 δ i n 1 sendo δ i, o desvio da i-ésima medida em relação à média, o qual é epresso por: δ i i b- Desvio Padrão Populacional É utilizado quando todos os elementos de um conjunto participam da análise (população). n n (i ) i 1 i 1 σ n δ n i
c- Desvio Padrão do Valor Médio. Quando houver uma distribuição normal, o desvio padrão do valor médio, que também é denominado por erro-padrão da média ( TRIOLA, 1999, p. 19), é definido por: σ n i 1 ( i ) n( n 1) n i 1 δ i n( n 1) Atenção: Normalmente as calculadoras eletrônicas, bem como alguns softwares, disponibilizam para o usuário o cálculo de s (desvio padrão amostral) e o de σ (desvio padrão populacional). Cabe ao usuário determinar o desvio padrão do valor médio, a partir destes.
1..3. Valor da medida A epressão do valor da medida, conforme cada caso, é dada por: ± s, ± σ ou ± σ, Normalmente, o desvio padrão, que nós devemos utilizar nas nossas práticas é o do valor médio: então, σ ± σ
1.3. Eemplos 1.3.1. Determinar a altura média dos alunos da classe, considerando uma amostra de 5 alunos, escolhidos aleatoriamente: 1.3.. Problemas Propostos
Algarismos Significativos São todos os algarismos obtidos no processo de medida. Os zeros incluídos para localizar o ponto decimal não são significativos (zeros à esquerda). E.: 1945,1 (5 algarismos significativos) 0,00034 ( algarismos significativos) 1000 (4 algarismos significativos) 10 5 (1 algarismo significativo) 4,189 10-7 (4 algarismos significativos) Em geral, a Incerteza deve conter apenas UM (1) algarismo significativo. Logo: A incerteza deve ser arredondada após a sua determinação.
Mudanças de Unidade - Ao mudar a unidade de uma medida é importante não alterar o número de algarismos significativos E.: 46 cm 0,46 m (Está correto) 46 cm 460 mm (está errado pois aumentou o número de algarismos significativos) - A notação em potência de dez evita este problema 46 cm 46 10 1 mm Por convenção apenas a mantissa tem algarismos significativos - A notação científica também soluciona este problema 46 cm 4,6 10 mm
Critérios de Arredondamento O critério de arredondamento a ser utilizado é o mesmo empregado por calculadoras científicas e programas afins. Se o número à direita do ponto de arredondamento é: 0, 1,, 3, 4 Simplesmente elimina-se a parte a direita E.: dado o número 0,5637945 Arredondando para 8 casas depois da vírgula 0,5637945 Arredondando para 4 casas depois da vírgula 0,5637 Arredondando para casas depois da vírgula 0,56 5, 6, 7, 8, 9 Incrementa o algarismo à esquerda e elimina a parte à direita. E.: dado o número 0,5637945 Arredondando para 7 casas depois da vírgula 0,563795 Arredondando para 5 casas depois da vírgula 0,56373 Arredondando para 1 casa depois da vírgula 0,6 Eercícios
Usando o Arredondamento para Representar Medidas Como a Incerteza de uma medida só deve ter um algarismo significativo então a medida anterior fica: - Medida Anterior Opção A mais simples (a que nós empregamos) Tensão (0,16446 + 0,0005885) V Ajustando a Incerteza para 1 algarismo significativo Tensão (0,16446 + 0,0006) V Para ajustar o valor médio da medida basta ver quantas casas decimais depois da vírgula eistem na incerteza (4 neste caso) Logo o valor da medida deve ser ajustado para 4 casas decimais com o arredondamento necessário Então: Tensão (0,164 + 0,0006) V (Resultado Final) OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE Os arredondamentos somente devem ser efetuados no final de todas as contas. Razão: cada arredondamento introduz erro (pequeno) mas que ao longo de diversas contas pode resultar em um número sem significado físico.
Operações Matemáticas com Medidas Sempre que uma operação matemática é efetuada com duas medidas o resultado deve considerar as incertezas de cada medida a fim de determinar a incerteza do resultado da operação. Eiste uma formulação genérica que permite determinar a incerteza em qualquer operação matemática efetuada com uma ou mais medidas. Esta formulação leva em consideração os valores máimo e mínimo da operação. E.: Supondo duas medidas com suas respectivas incertezas conforme: A a + δa B b + δb Adição ( δ ) ( δ ) A+ B a± a + b± b ( a+ b) ± Maior valor que a operação pode assumir ( δ ) ( δ ) Ma a + a + b + b Menor valor que a operação pode assumir ( δ ) ( δ ) Min a a + b b [ Ma Min]
Eemplo de adição: A 14, + 0, B 5,3 + 0,1 A + B ( ) ( ) A+ B 14, ± 0, + 5,3 ± 0,1 (14, + 5,3) ± Maior valor que a operação pode assumir ( ) ( ) Ma 14,+ 0, + 5,3+ 0,1 14,4+ 5,4 19,8 Menor valor que a operação pode assumir ( ) ( ) Min 14, 0, + 5,3 0,1 14,0 + 5, 19, [ Ma Min] 19,8 A+ B 19,5 ± [ 19, ] 19,5 ± 0,3 Cálculos via Ecel Via programa do site
Subtração: A 14, + 0, B 5,3 + 0,1 A B ( δ ) ( δ ) A B a± a b± b ( a b) ± Maior valor que a operação pode assumir ( δ ) ( δ ) Ma a + a b b ( δ ) ( δ ) (cuidado com os sinais) Menor valor que a operação pode assumir Min a a b + b (cuidado com os sinais) [ Ma Min] ( ) ( ) A B 14, ± 0, 5,3 ± 0,1 (14, 5,3) ± Maior valor que a operação pode assumir ( ) ( ) Ma 14,+ 0, 5,3 0,1 14,4 5, 9, Menor valor que a operação pode assumir ( ) ( ) Min 14, 0, 5,3+ 0,1 14,0 5,4 8,6 [ Ma Min] [ 9, 8,6] A B 8,9 ± 8,9 ± 0,3 Cálculos via Ecel Via programa do site
Multiplicação: A 14, + 0, B 5,3 + 0,1 A B a± a b± b ( a b) ± A B ( δ ) ( δ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Maior valor que a operação pode assumir ( δ ) ( δ ) Ma a + a b + b Menor valor que a operação pode assumir ( δ ) ( δ ) Min a a b b A B 14, ± 0, 5,3 ± 0,1 (14, 5,3) ± Maior valor que a operação pode assumir Ma 14, + 0, 5,3 + 0,1 14, 4 5, 4 77,76 Menor valor que a operação pode assumir Min 14, 0, 5,3 0,1 14,0 5, 7,8 [ Ma Min] [ Ma Min] 77, 75,6 ± [ 76 7,8 A B ] 75,6±,48 75± Cálculos via Ecel Via programa do site
A B Divisão: A 14, + 0, B 5,3 + 0,1 A : B ( ) ( ) ( + ) ( ) [ Ma Min] 14, ± 0, 14, ± 5,3 ± 0,1 5,3 Maior valor que a operação pode assumir 14, 0, 14,4 Ma,7693 5,3 0,1 5, Menor valor que a operação pode assumir 14, Min ( 0, ) 14,0,5959 5,3 + 0,1 5, 4 A B ( ) [,7693,5959] ( δ ) ( δ ) ( a+ δ a) ( b δ b) ( a δ a) ( b+ δ b) [ ] A a± a a Ma Min ± B b± b b Maior valor que a operação pode assumir Ma (cuidado com os sinais) Menor valor que a operação pode assumir Min (apenas as 5 primeiras casas decimais) (apenas as 5 primeiras casas decimais),6794 ±,6794 ± 0,0883,68 ± 0,09 (cuidado com os sinais) Cálculos via Ecel Via programa do site
Eponenciação: B 5,3 + 0,1 3 3 3 B 3 ( δ ) ( 5,3 0,1) ( 5,3) 3 3 ( ) ( ) 3 3 ( ) ( ) 3 3 [ Ma Min] 3 B ± ± Maior valor que a operação pode assumir Ma 5,3 + 0,1 5, 4 157,464 Menor valor que a operação pode assumir Min 5,3 0,1 5, 140,608 ( δ ) ( δ ) 3 3 [ Ma Min] B b± b b ± Maior valor que a operação pode assumir Ma b + b Menor valor que a operação pode assumir Min b b B [ 157,464 140,608] 148,877 ± 148,877 ± 8,48149 ± 8 Cálculos via Ecel Via programa do site
Eercício cio: Um paralelepípedo retângulo, de base quadrada, possui massa m (550,4 + 0,7)g. As suas arestas da base medem A (54,80 ± 0,01)mm e a altura h (34,0 ± 0,0)mm. Determine: Área da base: S Base Volume: V Densidade: ρ Cálculos via Ecel Via programa do site
Fim