Postado em 04 / 03 / 13 SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS E PROGRESSÃO ARITMÉTICA Aluno(a): TURMA: 1- SEQUÊNCIAS O estudo das sequencias lógicas despertou o interesse de vários estudiosos/pesquisadores Um deles foi Leonardo Fibonacci ( 1170 1250), que foi o primeiro a propor os primeiros problemas sobre as sequências, por meio da observação de fenômenos naturais Um dos seus problemas bastante conhecido relata sobre a reprodução de um casal de coelhos: Um casal de coelhos torna-se produtivo após 2 meses de vida; a partir de então, produz um novo casal a cada mês Começando com um único casal de coelhos recém nascidos, quantos casais serão ao final de um ano? Seguindo o comando apresentado por Fibonacci, teremos a sequência: 0, 1, 3, 5, 8,; assim no final do período mencionado (1 ano) teremos 376 casais 11 Lei de Formação das Sequências Existem diversas sequencias na natureza ( a ordem das cores do arco íris, os meses do ano, etc) mas as que nos interessará serão as sequencias numéricas De modo geral, temos: Sequências finitas: Esta correspondem um lógica de formação ou não, cujo os termos inicial e final são conhecidos 111 Sequencias Finitas Exemplos: a)números pares Naturais menor ou igual a 30 (0, 2, 4, 6, 8,, 28, 30); podemos representar por meio de conjuntos: Generalizando temos: { a 1, a 2, a 3,,a n-1, a n } 112 Sequências infinitas Quando se conhece apenas um dos extremos a) Os números naturais ímpares (1, 3, 5, 7, 9,) Representação por meio de conjuntos: podemos representar por meio de conjuntos: Generalizando temos: { a 1, a 2, a 3,,a n-1, a n, } Assim, essa generalização dos termos com índice numéricos serve como modo de localizar o termo na sequência a 1 primeiro termo da sequência, ou também pode ser nomeado como a 0, ou seja, o termo inicial; a 2 segundo termo da sequência; a 3 terceiro termo da sequência; a n enésimo termo da sequência OBS: Nem toda sequencia é possível obter a sua lei de formação Observe a seqüência de números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ) É possível determinar o próximo elemento somando 2 ao último termo; dizemos então que existe uma lei de formação (fórmula) dada por a n = 2n + 1 Na sequência de números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, ) não é possível determinar uma lei de formação Veja o exemplo abaixo: Determine as sequências dadas pelas fórmulas: Com n 2 (observe a condição de existência) Como foi dado o primeiro termo, substituiremos n = 2 na fórmula para determinar o segundo termo: a 2 = a² 2 1 + 1 = ( 1)² + 1 = 2 a 3 = a² 3 1 + 1 = ( 2)² + 1 = 5 a 4 = a² 4 1 + 1 = ( 5)² + 1 = 26 a 5 = a² 5 1 + 1 = ( 26)² + 1 = 677 Assim a sequência obtida é (1, 2, 5, 26, 677,)
Nº de casais Mês SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS E PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 - Encontre as seguintes sequências dadas pelas sentenças abaixo: 4º Mês a) b) c) Baseando no número de coelhos em função dos meses, complete a tabela abaixo: 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 02 - Observe a sequência: 4, 8, 12, 16 a) Qual é o 6º termo dessa sequência? 1 1 2 89 144 b) Qual é a equação ou termo geral que representa essa sequência? c) Obtenha o 30º termo dessa sequência 04 - (COPESE - UFT 2012) Os cubos da sequência a seguir são formados com palitos (um palito para cada aresta) 03 Sequencia de Fibonacci Acompanhe este problema Quantos casais de coelhos serão gerados em um ano, começando com um único casal, se em cada mês cada casal gera um novo casal, que se torna fértil a partir do segundo mês de vida? 1º Mês 2º Mês O segundo termo desta sequência é composto por 2 cubos, sendo formado pelo primeiro termo acrescido de mais palitos O terceiro termo é composto por 3 cubos, sendo formado pelo segundo termo acrescido de mais palitos Continuando a construção da sequência apresentada, com mais 56 palitos, de forma que não sobrem palitos, pode ser construído um termo completo com o total de a-( ) 6 cubos b-( ) 7 cubos c-( ) 10 cubos d-( ) 12 cubos e-( ) 14 cubos 05 - (AOCP- Quadro Geral 2012 AUX ADM) Na sequência a seguir, cada termo, a partir do primeiro, é obtido somando-se um mesmo número ao anterior 0 11 A 33 B 55 3º Mês Nessas condições, o valor de (A+B) é a-( ) 45 b-( ) 66 c-( )76 d-( ) 86 e-( ) 68 06 - (AOCP- Quadro Geral 2012 AUX ADM) Quantas vezes o algarismo 5 foi usado para enumerar um livro de 70 páginas? a-( ) 13 b-( ) 14 c-( ) 15
d-( ) 16 e-( ) 17 2- PROGRESSÕES Quando se tenha um sequencia numérica que apresenta uma lei de formação Ela pode ser crescente, constante ou decrescente Na matemática consideremos as progressões aritméticas e as progressões geométricas 21 Progressão aritmética (PA) Toda sequência em que, a partir de um termo conhecido, soma-se uma constante para obter o seguinte é chamada de progressão aritmética ou PA A constante que é somada a cada elemento é chamada de razão da PA e simbolizada pela letra r Genericamente temos: (a 1, a 2, a 3, a 4,, a n-1, a n ) Assim temos: a1 primeiro termo a2 segundo termo a n-1 anti penúltimo termo a n último termo r razão r= a 2 a 1 ou r = a 3 a 2 ou r = a n a n-1 211 Classificação dos termos de uma PA Crescente se a razão for um número positivo ( 2, 4, 6, 8, 10,) é PA, crescente em que r = 2 Decrescente se a razão for um número negativo (9, 6, 3, 0, -3) é PA decrescente em que r = -3 Constante se a razão for zero (2, 2, 2, 2,) é PA constante RESUMINDO PA crescente r > 0 01 - Determine a razão e classifique a PA (x + 1, x - 3, 2x) 02 Em um triângulo retângulo, de perímetro 36 cm, os lados estão em progressão aritmética Determine razão da PA e a medida dos lados do triângulo {Como sugestão use (x r, x, x + r) para representar os lados] 03- Determine a razão de cada PA, e em seguida classifique em crescente, decrescente ou constante a) ( - 6, -2, 2, 2, 6, 10) b) ( -1, -6, -11, -16) c) ( -1, -2/3, -1/3, 0, 1/3, 2/3) d) ( ) 04- Considerando a PA ( m -7, m, 2m + 1 ), determine m 05 Escreva os quatros primeiros termos da PA, onde a 1 = -2 e r=1/5 06- Três números estão em PA Sendo 9 a soma dos três e o produto 21, determine a PA sabendo que é crescente 07- Em uma PA decrescente, os três primeiros termos somam 12 e têm produto 48 Determine a PA 08 No auditório do Grupo de Artes Cênicas Gurupi TO, a primeira fila possui 18 assentos; a segunda, 21, a terceira 24; e assim por diante Quantos assentos possui a vigésima fila? 09 Calcule a razão de uma PA cujo termo geral é definido por a n =2n 3, n 10 Obtenha uma PA de três termos na qual a soma dos extremos e a soma dos quadrados dos termos sejam, respectivamente, - 4 e 30 PA decrescente r < 0 PA constante r = 0
212 Equação do termo geral de uma PA Sabemos que é possível obter um termo de uma PA (a 1, a 2, a 3,, a n-1, a n, a n+1 ) de razão r somando a razão ao termo anterior Mas há uma maneira de, conhecendo-se o primeiro termo (a1) e a razão r, determinar qualquer termo da PA Isso pode ser feito pela utilização da equação: a n último termo; a 1 primeiro termo; n números de termos; r razão a n = a 1 + ( n 1 ) r Voltando ao exercício anterior ( Nº 08), em que relata que no auditório do Grupo de Artes Cênicas Gurupi TO, a primeira fila possui 18 assentos; a segunda, 21, a terceira 24; e assim por diante Quantos assentos possui a vigésima fila? Logo temos: a 1 = 18, a 2=21, a 3= 24, assim a razão é r = a 2 a 1, ou seja, r = 3 Aplicando na fórmula temos: a n=a 1+ ( n 1 ) r Como queremos a vigésima fila, temos que n=20 ou a 20 Substituindo na fórmula: a 20= 18 + ( 20 1) 3 a 20= 75 01 - Determine o 21º termo da PA, onde o primeiro termo é 3, e a razão é 5 02 - Em uma PA de razão 9, sendo o primeiro termo 30 e o último 291, determine o número de elementos da PA 03 - Quantos são os múltiplos de 3 entre 10 e 1000 04 - Obtenha a razão da PA onde o primeiro termo é 7 e o nono é 87 05 - Obtenha o primeiro termo da PA em que o 15º termo é 105 e a razão é 3 06 - Insira 13 meios aritméticos entre os números 5 e 47 07 - Determine a razão da PA que se obtém inserindo dez meios aritméticos entre os números -7 e 37 08 - Quantos múltiplos de 7 existem entre os números 100 e 1000? 09 - Quantos múltiplos de 4 existem entre os números 50 e 500? 10 - Quantos termos tem a PA ( 17, 26, 35,, 197)? 11- Obtenha a PA em que o 5º e o 11º termos valem respectivamente, 11 e 23 213 Soma dos termos de uma PA Finita Certo dia, um professor muito exigente manda seus alunos, que em média tinham 10 anos, somarem todos os números naturais de 1 a 100 Para o espanto de todos, o pequeno Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que se tornou um dos matemáticos mais importantes da história, apresenta rapidamente a solução A soma proposta pelo professor foi: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + + 97 + 98 + 99 + 100 Gauss observou que a soma dos termos equidistantes apresentava o mesmo valor 1 + 100 = 101 2 + 98 = 101 3 + 97 = 101 50 + 51 = 101
Tendo a sequencia cem termos, então existem 50 somas iguais, logo: S= 50 101 = 5050 Seguindo o raciocínio apresentado por Gauss, pode-se traduzir matematicamente: S n = [(a 1 + a n ) n] / 2 S n soma dos n termos de uma PA a 1 primeiro termo de uma PA 06 - (FGV-SP) A soma dos múltiplos de 7 entre 20 e 1000 é: a-( ) 70 539 b-( ) 71 400 c-( ) 71 540 d-( ) 76500 e-( ) 71 050 07 - (Cesgranrio TEC ADM 2005) A cerca de uma casa é formada por troncos de madeira de tamanhos diferentes lado a lado A cada grupo de 19 troncos, as medidas dos mesmos aumentam 5 cm do primeiro ao décimo e diminuem 5cm do décimo ao décimo nono, formando um desenho simétrico, como mostra a figura abaixo a n último termo de uma PA n números de termos de uma PA Determine a soma dos 30 primeiros termos da PA (2, 4, 6, 8, ) Logo temos: a 1 = 2, a n=?, a razão r = 2 Como deseja obter a soma dos 30 primeiros termos e este não tem disponível, terei que calcular A 30= a1 + (n -1 ) r = 2 + ( 30 1 ) 2 = 60 Agora tendo o a30 podemos aplicar a equação da soma S 30= [ (2 + 60 ) 30] / 2 = 930 Se, somando-se as medidas dos 19 troncos que compõem um grupo, obtemos 19,25m, o tronco mais alto de cada grupo, em metros, mede: a-( ) 1,40 b-( ) 1,25 c-( ) 1,10 d-( ) 0,95 e-( ) 0,80 08 - (AOCP- Quadro Geral 2012 AUX ADM) Observe a sequência 01 - Calcule a soma dos 12 primeiros termos da PA (-7, -4, -1, ) Qual das figuras a seguir completa a sequência? 02 - Calcule a soma dos 25 primeiros termos da PA (19, 14, 9, 4, ) 03 - Uma PA finita de razão ½ tem como primeiro termo o número 4 Determine a soma dos 20 primeiros termos 04 - Determine o número de elementos de uma PA finita que tem soma 72, sendo o primeiro termo 18 e o último -9 05 - Determine o sexto termo de uma PA finita, sabendo que o primeiro termo é 4 e a soma dos seis primeiros termos é 84 Referências: BOSQUILHA, Alessandra Minimanual compacto de matemática: teoria e prática: ensino médio / Alessandra Instituto Bosquilha, Federal Marlene Lima de Pires Educação, Correa, Tânia Cristina Neto G Viveiro 2ª Ed Ciência São Paulo: e Rideel, Tecnologia 2003 Campus SMOLE, Kátia Stocco Matemática: Curso: ensino Médio médio: Int em volume Agronegócio 1 Kátia C Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Série: V Diniz 2º ano 6ª Ed São Paulo: Saraiva, 2010