Ano lectivo: /6 Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática Investigação Operacional Ficha de exercícios n o Pós-Optimização e Análise de Sensibilidade Cursos: Gestão e Economia. Uma fábrica de objectos de mármore produz quatro tipos de objectos: jarras (J), cinzeiros (C), formas livres (FL) e estátuas (E). Para produzir os objectos são necessários os números de horas presentes no quadro que se segue: Secção Produtos J C FL E Disponibilidades Corte 6 Cinzelagem 8 6 8 Polimento Lucro (Cênt.) 8 Nestas condições, o plano de fabrico corresponde ao seguinte quadro Simplex (óptimo): (a) Qual o valor do lucro total? x B x x x x x x 6 x 7 b x 6 x 7 7 6 8 6 x 7 z j c j 7 6 (b) Supondo que a produção de bustos (B) pode ser realizada nas seguintes condições: Secção B Corte Cinzelagem Polimento Lucro (Cênt.) Deverá a empresa alterar o plano de produção no sentido de produzir bustos? (c) Qual o valor mínimo pelo qual deve ser aumentado o lucro das formas livres (FL) de modo a que esta actividade não dê prejuízo?. Uma Companhia Vidreira (CV) fabrica em três centros de produção (CP) produtos de vidro de alta qualidade, incluindo janelas e portas. No CP são produzidos caixilhos de alumínio, no CP caixilhos de madeira e o CP é usado para produzir o vidro e fazer a montagem final dos produtos. Devido a uma diminuição das receitas, a administração resolveu introduzir algumas alterações na linha de produção. Alguns produtos que não se revelaram lucrativos deixaram de ser fabricados, de modo a libertar capacidade de produção para fabricar outros produtos para os quais existe procura potencial. Um dos produtos (P) é uma porta de vidro com caixilho de alumínio e o outro (P) é uma janela com caixilho de madeira. O departamento de marketing concluiu que a CV conseguirá vender toda a produção que for possível com a capacidade disponível. Os dados do problema estão agrupados na seguinte tabela:
Centro de produção Capacidade usada por unidade Produto Produto Capacidade disponível CP CP CP 8 Lucro (e) (a) Formule o problema de forma a maximizar o lucro da CV. (b) Resolva o problema com o método Simplex. Qual seria a melhoria do valor da função objectivo se fosse possível dispor de mais uma unidade de capacidade disponível no CP? (E nos outros centros de produção?) (c) A CV pretende produzir um novo produto (P) na sua linha de produção. Estudos preliminares indicam que uma unidade de P usará, e unidade(s) de capacidade produtiva dos centros CP, CP e CP, respectivamente. O lucro unitário de P foi estimado em e. Será vantajoso produzir P? Em caso negativo, qual o valor mínimo do lucro unitário de P para que não dê prejuízo o fabrico deste produto? (d) Remodelações no CP vão aumentar a respectiva capacidade em unidade por mês. Face a esta alteração, durante quanto tempo se manterá óptimo o actual esquema de produção? (e) A CV decidiu estender as remodelações aos CP, os quais verão aumentada a sua capacidade disponível ao ritmo de, e unidades por mês, respectivamente. Face a estas alterações conjuntas, durante quanto tempo se manterá óptimo o actual esquema de produção? (f) Alterações de mercado indicam que os lucros unitários de P e P variarão a uma taxa mensal de +e e e. Face a estas alterações conjuntas, durante quanto tempo se manterá óptimo o actual esquema? (g) A entrada em vigor de nova legislação que impõe um maior controlo de qualidade obrigou à criação de um novo centro de produção (CP) dedicado a esta tarefa. Cada unidade de P e P usará e unidades de capacidade produtiva em CP, respectivamente. A capacidade disponível em CP é. Quais as alterações que a introdução de CP implica no esquema de produção óptimo?. Suponha que lhe saiu um prémio de 6 euros no Totoloto e que pretende investir a totalidade deste dinheiro ou apenas uma parte. Sabendo disto, dois amigos seus (o José e o Manuel) ofereceram-lhe sociedade em dois negócios diferentes que pretendem realizar. Em ambos os casos, a sua participação envolve a disponibilização de dinheiro e a colaboração com trabalho. Tornar-se sócio em parte inteira do José, implica um investimento de euros e horas de trabalho, e o lucro esperado é de euros (sem levar em conta o valor do seu tempo). Os valores correspondentes relativos à participação (em parte inteira) no negócio do Manuel são euros e horas de trabalho, e euros para o lucro esperado. Contudo, ambos os amigos são flexíveis e permitem-lhe participar com qualquer fracção de sócio da parte inteira; obviamente que a sua parte nos lucros será também proporcional a esta fracção. Dado que pretende também algum tempo livre no Verão, não quer dedicar mais de 6 horas ao trabalho. Cabe-lhe então decidir qual a combinação de participação num ou em ambos os projectos dos seus amigos, de modo a maximizar o lucro. (a) Construa um modelo matemático de PL para o problema, explicitando as variáveis de decisão, restrições e função objectivo. (b) Resolva o problema graficamente e também com o algoritmo Simplex. (c) Qual a gama de valores dentro da qual pode variar o número de horas de trabalho, de modo a que a solução actual se mantenha óptima. Qual a variação correspondente no lucro?
. A Companhia Pintado de Fresco produz tinta para interiores e exteriores. A tinta é fabricada através da transformação de dois tipos de matéria-prima, A e B. A companhia dispõe diariamente de um máximo de 6 toneladas de A e 8 toneladas de B. Para produzir tonelada de tinta de exteriores, são necessárias tonelada de A e toneladas de B, enquanto que para produzir tonelada de tinta de interiores, são necessárias toneladas de A e tonelada de B, em cada dia Um estudo de mercado concluiu que a procura diária de tinta de interiores não pode exceder a da tinta de exteriores em mais de tonelada. Este estudo, também mostrou que a procura diária de tinta de interiores está limitada a toneladas. O preço de venda por tonelada é e para a tinta de exteriores e e para a tinta de interiores. Pretende-se determinar o esquema de produção a adoptar que maximiza a receita diária. (a) Formule o problema linear associado, explicitando as variáveis de decisão, as restrições e a função objectivo. (b) Resolva o problema graficamente e também com o algoritmo Simplex. (c) Qual a gama de valores dentro da qual pode variar a disponibilidade de matéria-prima do tipo A, de modo a que a solução actual se mantenha óptima. Qual a variação correspondente para a receita diária? (d) Estudos de mercado indicam que o preço da tinta de exteriores diminuirá a um ritmo de.e por mês, enquanto que o preço da tinta de interiores aumentará a um ritmo de.e por mês. Com esta tendência, quantos meses se manterá óptima a solução actual?. Considere o seguinte problema de PL : max z = 8x + x + x s.a x + x + x + x (recurso ) x + x + x + x (recurso ) x, x, x x cujo plano óptimo corresponde ao seguinte quadro Simplex (óptimo): x B x x x x x x 6 b x x z j c j (a) Em relação ao plano óptimo: Qual a quantidade de produto a fabricar? E qual a quantidade não usada de cada um dos recursos? (b) Será que a solução óptima é única? Se existirem óptimos alternativos, determine todos. (c) Supondo que o coeficiente de x na função objectivo, c, aumentou unidades, verifique se a solução se mantém óptima. Se deixou de o ser, indique: Que processo utilizar no sentido de determinar a solução óptima deste novo problema. Que variável vai entrar na base e qual vai deixar a base. (d) Supondo que a disponibilidade do recurso foi alterada de para, verifique se a solução se mantém óptima. Se deixou de o ser, determine a solução óptima do novo problema. (e) Qual a gama dentro da qual pode variar o coeficiente de x na função objectivo de modo que a solução se mantenha óptima. Qual a variação correspondente do valor da função objectivo? (f) Pretende-se avaliar a viabilidade da introdução de um novo produto, representado pela variável de decisão x 7. Os coeficientes de x 7 nas restrições são A 7 = [ 8] T e na função objectivo é c 7. Qual a gama admissível para c 7 de modo a ser rentável iniciar a produção do novo produto? 6. Os produtos, e são manufacturados em três operações: A, B e C. Os tempos (em minutos) requeridos por unidade de cada produto, a capacidade diária das operações de fabrico (em minutos/dia) e o lucro por unidade vendida, de cada produto, são:
Operação Tempo por unidade Produto Produto Produto Capacidade Operativa (min/dia) A B 6 C Lucro (e) Pretende-se conhecer o esquema de produção mensal que optimize a margem de lucro total. Para o efeito, o modelo de PL a resolver é o seguinte: max z = x + x + x s.a x + x + x x + x 6 x + x x, x, x onde x, x e x medem os níveis de produção dos produtos, e, respectivamente. O quadro óptimo é o seguinte: x B x x x x x x 6 b x x x 6 z j c j onde x, x e x 6 são variáveis folga das restrições, e, respectivamente. (a) Indique o valor óptimo da função objectivo, os valores óptimos de x j (j =,..., 6) e os seus significados económicos. (b) Indique a matriz básica óptima do problema. (c) No contexto da Teoria da Dualidade, diga porque motivo o produto não foi produzido? (d) O produto não figura no esquema óptimo, apesar de ter uma maior margem de lucro unitário que o produto. Condições de mercado não permitem aumentar o lucro marginal do produto. Assim, foi decidido melhorar a rentabilidade do produto, reduzindo os seus tempos de operação (coeficientes tecnológicos: A i, i =,, ). Indique, justificando, qual das alterações seguintes leva a produzir o produto, com melhoria do valor da função objectivo. i. [ ] T [ ] T ii. [ ] T [ 7 ]T iii. [ ] T [ ]T (e) Para a alteração efectuada em iii., determine qual o novo esquema de produção óptimo, indicando a nova solução e o correspondente valor óptimo, bem como a indicação da alteração do valor das variáveis duais. (f) Suponha que era possível aumentar o lucro unitário do produto em δ e. Qual o valor exacto de δ > para que o produto venha a ser produzido e o lucro total máximo se mantenha inalterado em e? (g) Suponha que relativamente ao problema original, é proposta a produção dum o produto com os seguintes dados: Operação A B C Tempo(min) Determine a solução óptima quando a margem de lucro unitário do novo produto é de e.
7. O quadro seguinte dá uma solução óptima para um problema de PL com três variáveis de decisão e duas restrições e cujos coeficientes de custo são c =, c = e c =. x B x x x x x b x x z j c j 8 (a) De quanto pode variar c sem afectar a solução óptima? Determine a sol. óptima para c =. (b) Determine o intervalo [a, b] de variação para δ para o qual a base actual se mantenha óptima, quando o vector b é substituído por b + δb onde b = [, ] T e δ R. Determine ainda a solução óptima para δ =. (Admita que (x, x ) eram as variáveis básicas iniciais). (c) Determine a solução óptima quando é adicionada a nova restrição x +x ao problema inicial. 8. Considere o seguinte problema de PL: max z = x + x s.a x + x 8 x + x 6 x + x x, x Após a adição das variáveis de folga, x, x e x, a aplicação do método Simplex produziu o seguinte quadro óptimo: x B x x x x x b x x x 6 z j c j (a) Suponha que a função objectivo é alterada para z = x + x. A solução manter-se-á óptima? Caso não se mantenha, determine a nova solução óptima. (b) Se a restrição x + x for adicionada ao PL inicial, determine a nova solução óptima para o problema resultante. 9. Considere o seguinte quadro Simplex (óptimo) relativo a um problema de PL de maximização com todas as restrições do tipo : c j x B x x x x b x x z j c j 6 Tomando sempre como base este quadro óptimo, resposta, justificando, às questões seguintes: (a) Quais as soluções óptimas dos problemas primal e dual, e respectivos valores de z e w. Verifique se o problema primal tem óptimos alternativos. Se sim, mencione apenas que variável básica passa a não básica e que variável não básica passa a básica. (b) Supondo que o coeficiente da variável x na função objectivo, c, sofreu uma diminuição de unidade, verifique se a solução corrente continua óptima. Se não, determine a nova solução óptima.
(c) Supondo que a quantidade de recurso, b, sofreu uma diminuição de unidades, verifique se a solução corrente continua óptima. Se não continuar, determina a nova solução óptima e interprete a evolução (diminuição/aumento) dos valores z das soluções associadas aos quadros analisados. (d) Pretende-se introduzir um novo produto no esquema produtivo desta fábrica, ao qual se associa uma nova variável, x. Sabendo que a contribuição deste novo produto nas restrições é A = [, ] T, determine a gama de valores para c para a qual se torna viável a produção deste novo produto.. Seja dado o seguinte Problema Linear: max z = x + x + x s.a x + x + x x + x + x 9 x, x, x Se considerarmos as variáveis x e x como sendo as variáveis de folga, então o quadro Simplex óptimo é o seguinte: x B x x x x x b x x 6 z j c j (a) Admitamos que o valor do termo independente da primeira restrição, b, é modificado para b =. A base mantém-se óptima? Caso não se mantenha, determine a nova base óptima. (b) Suponha que os coeficientes de x são modificados, sendo c = e A = [ ]T. Verifique se a solução se mantém óptima e, caso não se mantenha, determine a nova solução. (c) Qual a gama dentro da qual pode variar o coeficiente de custo de x de modo que a solução se mantenha óptima. Qual a variação correspondente da função objectivo?. Considere o seguinte problema em Programação Linear, em que a i ésima restrição diz respeito a um determinado recurso i disponível, com i =,,, todos eles necessários para a produção de dois artigos com elevada procura: max z = x + x s.a x + x x + x 8 x + x x, x O quadro óptimo deste problema é: x B x x x x x b x x x 8 6 z j c j (a) Sabe-se que é possível aumentar as quantidades disponíveis de cada recurso ao ritmo de, e unidades por mês, respectivamente. Determine durante quanto tempo a base óptima não se altera. (b) A empresa que comercializa os artigos referidos, apresenta agora alguma flexibilidade relativamente ao preço de venda do o produto. Não admite, no entanto, alterações da base óptima encontrada. Determine entre que valores se pode colocar à venda o o produto, satisfazendo as exigências da empresa, e indique a variação correspondente do valor da função objectivo.
(c) A empresa pode (ou não) fabricar um o artigo. Cada unidade deste produto consome, e unidades de cada recurso, respectivamente. Qual o intervalo de valores do respectivo (do novo artigo) coeficiente na função objectivo para o qual é vantajoso produzir efectivamente esse novo produto? (d) Para melhorar a qualidade final dos seus produtos, a empresa impõe agora uma nova restrição: x + x. Estude o seu impacto.. Uma empresa de telemóveis pretende introduzir no mercado dois novos modelos ( e ). Para tal, cada um deles terá que passar por uma linha de produção composta por duas etapas (A e B). As horas necessárias que um telemóvel de cada tipo terá que passar em cada etapa, bem como as disponibilidades (semanais) de cada uma destas, em horas, encontram-se na tabela seguinte: Modelo Modelo disponibilidades Etapa A Etapa B A empresa acredita que é possível vender cada unidade dos modelos e a e e e, respectivamente. Definindo x i como a quantidade de telemóveis de modelo i a fabricar por semana, com i =,, a empresa formulou o seu problema da seguinte forma: cujo quadro óptimo é: max z = x + x (em centenas dee) s.a x + x x + x x, x x B x x x x b x x z j c j (a) Relativamente aos telemóveis do modelo, 8 i. A que preço pode a empresa vendê-los, de modo que a base se mantenha óptima? ii. Qual a variação correspondente do valor da função objectivo? iii. Com base nas alíneas anteriores, o que aconselharia a administração da empresa a fazer? (b) Repita a alínea anterior em relação aos telemóveis de modelo. (c) Se fosse possível aumentar a disponibilidade da etapa de produção B em horas, a base actual manter-se-ia óptima? (d) Se fosse possível aumentar a disponibilidade da etapa A em apenas 6 horas, quanto estaria a empresa disposta a pagar por esse aumento? (e) A empresa está a considerar a produção de um terceiro modelo de telemóveis. Sabendo que cada unidade deste consome horas em ambas as etapas de fabrico e é vendido a e, determine se a empresa deve fabricar telemóveis deste tipo.. Considere o seguinte Problema Linear: max z = x + 7x x s.a x + x + x (recurso ) x + x x (recurso ) x, x, x
O quadro Simplex óptimo é: onde x e x são variáveis de folga. x B x x x x x b x x z j c j (a) Ao problema foi imposta uma nova restrição: x + x + x. Verifique que a solução actual não é óptima e obtenha a nova solução. (b) Suponha que o recurso aumenta uma unidade por mês e o recurso diminui unidade por mês. Durante quanto tempo se manterá óptima a actual base? (c) Qual o valor máximo que se pode atribuir ao coeficiente de custo de x sem que a actual base deixe de ser óptima? (d) Qual o valor mínimo do coeficiente de custo da variável x para que esta variável se torne básica? (e) Qual a gama dentro da qual pode variar a disponibilidade do segundo recurso, b, de modo que a solução se mantenha óptima? Determine a correspondente variação da função objectivo. (f) Considere que a quantidade não utilizada do recurso passa a ser valorizada em e adicionais por unidade. Estude as eventuais modificações do plano óptimo de produção face a esta alteração.. Seja dado o seguinte Problema Linear: max z = x + x + x s.a x + x x x + x + x x, x, x O quadro Simplex óptimo para este problema é o seguinte: onde x e x são variáveis de folga. x B x x x x x b x... 6.8 x....6 z j c j... 6.8 (a) Se o coeficiente de custo da variável básica x for alterado de para, a base mantém-se óptima? Caso não se mantenha, calcule a nova solução óptima. (b) Suponha que uma nova variável, x 6, é introduzida no problema. Os coeficientes de x 6 nas restrições são [ ] T e na função objectivo é. Qual o valor de x 6 no plano óptimo? (c) Ao problema foi imposta uma nova restrição: x + x + x 6. Verifique se a solução actual continua óptima. Se tal não se verificar, obtenha a nova solução do problema. (d) Qual a gama de variação de b para que a base óptima não se altere?. Considere o seguinte problema de programação Linear: max z = x + x s.a x + x x + x 6 x, x
O quadro óptimo do Simplex é: onde x e x são variáveis de folga. x B x x x x b x x 9 z j c j 9 (a) Admita que o coeficiente de custo da variável x sofre uma diminuição de uma unidade. Verifique se a actual solução se mantém óptima e, caso não se mantenha, determine a nova solução óptima. (b) Suponha que ao problema é imposta a nova restrição: x + x. Verifique que a solução actual deixa de ser óptima e obtenha a nova solução do problema. (c) Suponha que os coeficientes de x são modificados, sendo A = [ ]T. Verifique se a solução se mantém óptima e, caso não se mantenha, determine a nova solução. 6. (Trabalho de avaliação /) Seja dado o seguinte problema em Programação Linear: max z = x + x + x (milhares dee) s.a x + x + x x + x + x 9 x, x, x Se considerarmos as variáveis x e x como sendo as variáveis de folga, então o quadro Simplex óptimo é o seguinte: x B x x x x x b x x 6 z j c j (a) Qual o intervalo de valores a que o termo independente da primeira restrição pode pertencer, sem que a base óptima se altere e qual a correspondente variação do valor da função objectivo? (A) b [, ] e z [, ] (B) b [, ] e z [, ] (C) b [, ] e z [, ] (D) b [, ] e z [, ] (b) Por mil euros a empresa poderá encomendar unidades adicionais de recurso. Será esta opção vantajosa para a empresa? (c) Qual a gama dentro da qual pode variar o preço de venda do artigo sem que a actual base se altere? Indique também a correspondente variação do valor da função objectivo. (d) Interprete economicamente os valores óptimos das variáveis duais principais, relacionando-os com os valores óptimos das variáveis de folga primais. 7. (Frequência /) Considere o seguinte problema de Programação Linear, em que se pretende maximizar a receita de uma empresa, expressa eme, obtida com a venda de três artigos (cujas quantidades a produzir são representadas por x, x e x ). A produção destes artigos utiliza dois recursos cujas disponibilidades são, respectivamente, 6 e 9 unidades. Assim, tem-se: max z = x + x x (eme) (P) s.a x x + x 6 (recurso ) x + x + x 9 (recurso ) x, x, x
O quadro óptimo obtido é: x B x x x x x b x 6 x 6 z j c j Relativamente a este problema, considere as seguintes questões: (a) Suponha que a disponibilidade do recurso sofre uma diminuição de 7 unidades. consequências desta alteração? Quais as (b) Considere que a quantidade não utilizada do recurso passa a ser valorizada em e adicionais por unidade. Estude as eventuais modificações do plano óptimo de produção face a esta alteração. (c) É acrescentada ao problema uma nova restrição: x + x + x + x, onde x é a variável de folga da segunda restrição. Averigue as consequências da introdução desta nova restrição. (d) A empresa pretende iniciar a produção de um novo artigo. Cada unidade deste produto gasta e unidades dos recursos e, respectivamente. A que preços deve a empresa colocar à venda o novo artigo de modo que a sua produção seja rentável? (e) Suponha que o preço de venda do produto pode aumentar.e por mês. Durante quanto tempo a actual base se mantém óptima? (f) Indique a solução óptima do problema Dual associado a (P), sem resolver esse problema. Interprete economicamente o valor das variáveis principais do Dual. 8. (Exame Época Normal /) Uma empresa pretende maximizar a sua receita (eme), obtida com a venda de dois artigos (cujas quantidades a produzir são representadas por x e x ). Para produzir estes artigos são necessários três recursos cujas disponibilidades são, respectivamente,, e unidades. A formulação do problema em Programação Linear é a seguinte: Sendo o quadro óptimo: max z = x + x (e) s.a x + x (recurso ) (P) x x (recurso ) x (recurso ) x, x x B x x x x x b x x x z j c j 7 Relativamente a este problema, considere as seguintes questões: (a) De futuro, as quantidades existentes de cada recurso irão sofrer alterações: os fornecedores passarão a disponibilizar, e unidades dos recursos, e, respectivamente. A solução mantém-se óptima? Caso não se mantenha, determine a nova solução óptima. (b) Interprete economicamente o valor do custo reduzido de x. (c) Qual a gama dentro da qual pode variar o preço de venda do artigo, de modo que a solução se mantenha óptima. Qual a variação correspondente do valor da função objectivo? (d) i. Indique a solução óptima do problema Dual associado a (P), sem resolver esse problema. ii. Interprete economicamente os valores das variáveis principais do problema Dual. iii. Relacione esses valores com os das variáveis de folga do Primal.
(e) Considere que a quantidade não utilizada do recurso passa a ser valorizada em e adicionais por unidade. Estude as eventuais modificações do plano óptimo de produção face a esta alteração. 9. (Frequência /) Uma empresa pretende maximizar a sua receita (eme), obtida com a venda de três artigos (cujas quantidades a produzir são representadas por x, x e x ). Para produzir estes artigos são necessários dois recursos cujas disponibilidades são, respectivamente, e unidades. A formulação do problema em Programação Linear é a seguinte: Sendo o quadro óptimo: max z = x + x + x (e) (P) s.a 6x + x + x (recurso ) x + x + x (recurso ) x, x, x x B x x x x x b x x z j c j Relativamente a este problema, considere as seguintes questões: 7 (a) Problemas no abastecimento do recurso fazem com que a sua disponibilidade diminua unidades. A solução mantém-se óptima? Caso não se mantenha, determine a nova solução óptima. (b) Qual a gama dentro da qual pode variar o preço de venda do artigo, de modo que a solução se mantenha óptima. Qual a variação correspondente do valor da função objectivo? (c) i. Indique a solução óptima do problema Dual associado a (P), sem resolver esse problema. ii. Interprete economicamente os valores das variáveis principais do problema Dual. iii. Relacione esses valores com os das variáveis de folga do Primal. (d) Considere que a quantidade não utilizada do recurso passa a ser valorizada em.e adicionais por unidade. A solução mantém-se óptima? Caso não se mantenha, determine a nova solução óptima. (e) Suponha que a empresa pode adquirir apenas uma unidade adicional de um e um só recurso ( ou ). O transporte dessa unidade adicional custará à empresa.e, independentemente do tipo de recurso. Indique qual o recurso cuja disponibilidade a empresa tem vantagem em aumentar uma unidade. Justifique a sua resposta.. Considere o seguinte problema de Programação Linear, em que se pretende maximizar o lucro obtido com a venda de dois artigos (representados por x e x ), cuja produção necessita da utilização de três recursos (cujas disponibilidades são, respectivamente,, e 8 unidades): O quadro óptimo obtido é: max z = 8x + 6x (eme) s.a x + x (recurso ) (P) x + x (recurso ) x + x 8 (recurso ) x, x x B x x x x x b x x x z j c j
Relativamente a este problema, considere as seguintes questões: (a) Problemas no abastecimento do recurso fazem com que a sua disponibilidade diminua unidades. A solução mantém-se óptima? Caso não se mantenha, determine a nova solução óptima. (b) Qual a gama dentro da qual pode variar o preço de venda do artigo, de modo que a solução se mantenha óptima. Qual a variação correspondente do valor da função objectivo? (c) Suponha que é adicionada uma nova restrição ao problema: x + x + x. Quais as consequências da introdução desta nova condição? (d) Suponha que a quantidade não utilizada do recurso é valorizada em e adicionais por unidade. Estude as eventuais modificações do plano óptimo de produção face a esta alteração.. (Frequência /) Uma empresa pretende maximizar a sua receita (em milhares de euros), obtida com a venda de dois artigos (cujas quantidades a produzir são representadas por x e x ). Para produzir estes artigos são necessários dois recursos cujas disponibilidades são, respectivamente, e unidades. A formulação do problema em Programação Linear é a seguinte: Sendo o quadro óptimo: max z = x + x (milhares dee) (P) s.a x + x (recurso ) x + x (recurso ) x, x x B x x x x b x x z j c j Relativamente a este problema, considere as seguintes questões independentes entre si: (a) A disponibilidade do recurso dobrará de valor. A solução mantém-se óptima? Caso não se mantenha, determine a nova solução óptima. (b) Qual a gama dentro da qual pode variar o preço de venda do artigo sem que a actual base se altere? Indique também a correspondente variação do valor da função objectivo. (c) A quantidade não utilizada de recurso será, de futuro, valorizada em e adicionais por unidade. A solução mantém-se óptima? Caso não se mantenha, determine a nova solução óptima.. (Exame P, Gestão, /6) O quadro seguinte fornece a solução óptima para um problema de PL com três variáveis de decisão, duas restrições de relativas a dois recursos (com disponibilidades não negativas), e cujos coeficientes da f.o. são c =, c = e c = (valores eme). x B x x x x x b x x z j c j 8 (Na alínea (a) indique a opção correcta; as alíneas (b) e (c) devem ser resolvidas na sua folha de teste) (a) Quando é adicionada a nova restrição x + x ao problema original, a nova solução óptima é: x = (,,,,, ) e z = 7 O problema fica impossível x = (,,,,, ) e z = A solução óptima original mantém-se x = (,,,,, ) e z = 8 x = (,,,,, ) e z =
(b) Qual terá que ser o aumento necessário da disponibilidade de recurso, para que se atinja um valor óptimo de e? (c) Pretende-se colocar no mercado um novo produto ao preço de e. Sabe-se que cada unidade do novo produto consumirá unidade de recurso. Qual a quantidade que esse novo produto poderá consumir de recurso, por forma a ser vantajosa a sua produção?. (Exame, Época Especial /) Uma empresa pretende maximizar o valor das suas vendas (em milhares dee), obtido com a venda de três artigos (cujas quantidades a produzir são representadas por x, x e x ). Para produzir estes artigos são necessários dois recursos cujas disponibilidades são, respectivamente, 9 e unidades. A formulação do problema em Programação Linear é a seguinte: Sendo o quadro Simplex óptimo: max z = x + x + x (milhares dee) (P) s.a x + x + x 9 (recurso ) x + x + x (recurso ) x, x, x x B x x x x x b x 6 x z j c j Relativamente a este problema, considere as seguintes questões independentes entre si: (a) A empresa poderá vender a quantidade não utilizada de recurso. Qual deverá ser o preço de venda por forma a obter um lucro de milhares dee? Assinale a resposta correcta: e e e δ mile e Impossível (b) Devido a uma recente norma europeia, os artigos terão que ser sujeitos a um rigoroso controlo de qualidade. A desigualdade que modela essa norma é: x + x + x. O impacto desta imposição é: x = (,,, 7,, ) e z = 6 O problema fica impossível x = (,,,,, ) e z = 9 A solução óptima original mantém-se x = (,,,,, ) e z = x = (,,,,, ) e z = (c) A empresa pretende colocar no mercado um novo artigo ao preço muito competitivo de milhar dee. Quais as quantidades que esse novo artigo poderá consumir de cada recurso, por forma a ser vantajosa a sua produção?