As equações que pensam

As equações que pensam Aula 15 Ricardo Ferreira Paraizo e-tec Brasil Matemática Instrumental

Meta Apresentar resoluções de problemas envolvendo sistemas de duas equações e duas variáveis. Objetivos Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de: 1. calcular o resultado de sistemas de duas equações e duas variáveis pelo método de substituição; 2. calcular o resultado de sistemas de duas equações e duas variáveis pelo método de adição; 3. resolver problemas do cotidiano através de sistemas de duas equações e duas variáveis. Pré-requisito Para melhor compreensão desta aula, reveja a Aula 4 (Frações).

As equações que pensam 369 As equações são ferramentas importantes para a resolução de problemas em várias áreas (matemática, química, física, engenharia,...) e aparecem sempre em concursos e exames. Elas, geralmente, são resolvidas com certa facilidade através de sistemas, o que causa muitas vezes uma desatenção por parte dos alunos, já que eles não têm dificuldades para encontrar a resposta do sistema. A dificuldade está na construção e armação do problema e, principalmente, na sua solução final. Aula 15 As equações que pensam Figura 15.1: As equações são um verdadeiro tesouro encontrado pelos matemáticos para a resolução de problemas do nosso dia-a-dia. Vamos desenvolver, nesta aula, dois métodos de resolução de sistemas de duas equações e duas variáveis: método de substituição método de adição Depois vamos resolver problemas do cotidiano. Lendo os problemas e montando o sistema de equação, basta resolvê-los pelo método que achar mais fácil. A resolução de sistemas é rápida e precisa. É uma diversão resolvê-los, pois as equações parecem que se entrosam e pensam para a gente. Sistema de equações A soma de dois números é 15 e a diferença entre eles é 5. Quais são esses números?

370 e-tec Brasil Matemática Instrumental Para a resolução de problemas como esse, que apresentam duas incógnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equações. Um sistema de Equações do 1º grau com duas incógnitas é formado por duas equações, cada uma delas tem duas variáveis, sendo que essas devem ser as mesmas na outra equação. Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número. Pelo enunciado, temos: 1. a soma de dois números é 15, ou seja: x+y = 15 (Equação I); 2. a diferença entre eles é 5, isto é: x-y = 5 (Equação II). A solução de um sistema de Equações do 1º grau com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaz as duas equações (I e II). Verificando o par ordenado (10,5), notamos que satisfaz as duas equações: 10+5=15 e 10 5=5. Este par ordenado (10,5) que torna ambas as sentenças verdadeiras é chamado solução do sistema. Vamos ver agora alguns métodos para a resolução de sistema de equações. Método de substituição Esse método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo em uma Equação do 1º grau com uma única incógnita. Para explicá-lo, vamos resolver um sistema: 20x + 8y = 2700 00x + 0y = 1800 Primeiramente, vamos enumerar as equações: 20x + 8y = 2700 (Equação I) 00x + 0y = 1800 (Equação II) Depois, vamos seguir os passos: 1º passo: Isolamos uma das variáveis numa das equações. Podemos isolar uma variável qualquer da Equação I ou da Equação II. Vamos escolher a Equação II, porque a mesma é mais simples: (II) x+y=180

Isolamos o x, 371 x = 180 y. 2º passo: Substituímos a expressão do valor encontrado no 1º passo na outra equação. Por isso, o método é denominado de substituição. (I) 20x + 8y=2700; Simplificando por 4 essa equação, temos: (I) 5x + 2y = 675; 67 4 84 e substituindo x = 180 y (encontrado no 1º passo) em I, temos: Aula 15 As equações que pensam 5(180 y) + 2y = 675 3º passo: Resolvemos a Equação de 1º grau obtida no 2º passo: 5(180 y) + 2y = 675 900 5y + 2y = 675 3y = 675 900 3y = -225 Chegando nesta fase de encontrar um resultado, não deixamos a variável negativa. Multiplicamos, então, ambos os membros por -1. 3y = 225 y = 225 3 y = 75 4º passo: Voltamos ao 1º passo e substituímos o resultado encontrado no 3º passo: Substituindo y= 75 (encontrado no 3º passo) em II (encontrado no 1º passo), temos: (II) x = 180 y x = 180 75 x = 105

372 e-tec Brasil Matemática Instrumental Atenção Para se achar o valor de x, podemos também utilizar a equação (I) 5x + 2y = 675 em vez da Equação II como foi feito no 4º passo. Solução do sistema: X = 105 e y = 75 Fim do Boxe de Atenção Vamos fazer uma verificação? Então, vamos substituir os valores de x = 105 e de y =75 no sistema: 20x + 8y = 2700 00x + 0y = 1800 20. 105 + 8. 75 = 2100 + 600 = 2700 105 + 75 = 180 Atividade 1 Atende aos Objetivos 1 e 3 Um abacaxi e uma maçã pesam juntos 1350 g. Para fazer o equilíbrio de uma balança de dois pratos, é preciso colocar 8 maças de um lado e 1 abacaxi do outro. Qual a massa de cada fruta? Resolva o problema pelo método de substituição.

373 Atividade 2 Atende aos Objetivos 1 e 3 Duas pessoas ganharam, juntas, 50 reais por um trabalho e uma delas ganhou 25% do que a outra recebeu. Quanto ganhou cada pessoa? Resolva o problema pelo método de substituição. Aula 15 As equações que pensam Atividade 3 Atende aos Objetivos 1 e 3 Ricardo Ferreira Paraizo Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e perde 3 por exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios, tinha 130 pontos. Quantos exercícios acertou e quantos errou? Método de adição Esse método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Dessa forma, somando-se membro a membro as duas equações, recai-se em uma equação com uma incógnita. Para explicar esse método, vamos resolver dois sistemas lineares: Equação I a. 0x + y = 35 3x + 5y = 125 (Equação II) 1º passo: Escolhemos uma variável para ser eliminada. Se escolhermos a variável x, devemos multiplicar a Equação I por -3. Depois que multiplicamos toda a Equação I por -3, podemos adicionar as duas equações. Por isso, o método é chamado de adição. Veja: 3x 3y = 105 3x + 5y = 125 2y = 20 y = y = 20 2 10

374 e-tec Brasil Matemática Instrumental Viu por que multiplicamos a Equação I por -3? É simples: porque ao multiplicarmos por -3, teremos -3x + 3x = 0. Assim, eliminamos a variável x e encontramos y. 2º passo: Substituímos a expressão do valor encontrado no 1º passo em qualquer equação. Vamos substituir y = 10 encontrado no 1º passo: x + y = 35 ( I) x + 10 = 35 x = 35 10 x = 25 Solução do sistema: x= 25 e y = 10 b. 0x + y = 140 5x 2y = 0 (Equação I) (Equação II) 1º passo: Escolhemos uma variável para ser eliminada. Se escolhermos a variável y, devemos multiplicar a Equação I por 2. Depois que multiplicamos toda a Equação I por 2, podemos adicionar as duas equações. Veja: 2x + 2y = 280 5x 2y = 0 000007x = 280 000000x = 00000x = 280 7 40 Viu por que multiplicamos a Equação I por 2? É simples: porque ao multiplicarmos por 2, teremos +2y 2y = 0. Assim, eliminamos a variável y e encontramos x. 2º passo: Substituímos a expressão do valor encontrado no 1º passo em qualquer equação. Vamos substituir x = 40 encontrado no 1º passo: 0x + y = 140 ( I) 40 + y = 140 00 + y = 140 40 00 + y = 100 Solução do sistema: x = 40 e y = 100

Esboço do gráfico das equações de um sistema 375 Cada equação de um sistema pode ser escrito como uma função do 1º grau. Sabemos que o gráfico da função do 1º grau é uma reta. Resolvendo um sistema, encontramos o(s) ponto(s) de interseção das retas, isto se eles existirem. Devemos sempre lembrar que retas paralelas não têm ponto de interseção e que retas coincidentes têm infinitos pontos de interseção. Agora, vamos resolver os seguintes sistemas e construir, no plano cartesiano, o gráfico de cada equação e analisá-los: Aula 15 As equações que pensam a. x + y = 6 ( I) x y = 2 ( II) 1. Resolvendo o sistema pelo método de adição: x + y = 6 x y = 2 0002x = 8 0000x = 4 Substituindo x = 4 em I, temos: x + y = 6 4 + y = 6 y = 6 4 y = 2 Resolvemos o sistema e encontramos x = 4 e y = 2. Isto quer dizer que (4, 2) é o ponto de interseção da reta I com a reta II. 2. Esboçando os gráficos de cada uma das funções num mesmo plano cartesiano, temos: A reta I x + y = 6 y = -x + 6; A reta II x y = 2 y = -x + 2 y = x 2.

376 Vamos fazer uma tabela para Equação I e outra para Equação II. e-tec Brasil Matemática Instrumental x + y = 6 x y = 2. Tabela 15.1: Alguns pontos dos gráficos das equações I e II acima (I) y = x +6 (II) y = x 2 x y x y 0 6 0 2 6 0 2 0 4 2 Ponto de interseção 4 2 Figura 15.2: Gráfico do Sistema x + y =6 e x - y = 2. Retas concorrentes. Atenção Todas as vezes que resolvemos o sistema e encontramos somente uma solução, dizemos: o sistema é possível determinado, ou seja, o sistema tem solução única.

x + y = 1 b. x + y = 4 1. Resolvendo o sistema pelo método de adição: Vamos multiplicar a 2ª equação por -1 x + y = 1 x y = 4 0000x = 3 Nesse caso, não tem como resolver o sistema, ou seja, o sistema não tem ponto de interseção, pois 0 3. Aula 15 As equações que pensam 377 2. Esboçando os gráficos de cada uma das funções num mesmo plano cartesiano, temos: A reta I x + y = 1 y = -x + 1; A reta II x + y = 4 y = -x + 4. Vamos fazer uma tabela para Equação I e outra para Equação II. x + y = 1 x + y = 4. Tabela 15.2: Alguns pontos dos gráficos das equações I e II acima (I) y = x + 1 (II) y = x + 4 x y x y 0 1 0 4 1 0 4 0 Não tem ponto de interseção

378 e-tec Brasil Matemática Instrumental 3,5 II 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 1 2 3 4 5 Figura 15.3: Gráfico do Sistema x + y = 1 e x + y = 4. Retas paralelas. Atenção Todas as vezes que resolvemos o sistema pelo método de adição e encontramos 0x = k ( 0), dizemos: o sistema é impossível, ou seja, o sistema não tem solução. 0x + y = 1 ( I) c. 2x + 2y = 2 ( II) 1. Resolvendo o sistema pelo método de adição: Vamos multiplicar a Equação (I) por -2: 2x 2y = 2 2x + 2y = 2 00000x = 0 Qualquer número multiplicado por zero é zero. A solução, então, é qualquer valor de x, pois: 0 1 = 0; 0 2 = 0; 3 0 1527 = 0; x IR.

2. Esboçando os gráficos de cada uma das funções num mesmo plano cartesiano, temos: Simplificando, a equação (II) fica igual à equação (I), significando que o gráfico da função (I) se sobrepõe ao gráfico da função (II) y = -x + 1. x + y = 1 2x + 2y = 2 Aula 15 As equações que pensam 379 Figura 15.4: Gráfico do sistema x + y = 1 e 2x + 2y = 2. Retas coincidentes. Atenção Todas as vezes que resolvemos o sistema pelo método de adição e encontramos 0x = 0, dizemos: o sistema é possível indeterminado, ou seja, o sistema tem infinitas soluções. Nesse caso, tanto x quanto y podem assumir infinitos valores reais.

380 e-tec Brasil Matemática Instrumental Viu como foi interessante aprender a resolver sistemas de equações? Agora você vai continuar aplicando seus conhecimentos na resolução de problemas do seu dia-a-dia. Para resolver as atividades a seguir, leia-as primeiramente com muita atenção e assegure-se de que entendeu claramente o enunciado. Faça a si mesmo as seguintes perguntas: O que é desconhecido? Quais as quantidades dadas? Quais são as condições dadas? Procure relacionar o que foi dado com o que foi pedido. Focalize-se na incógnita. Atividade 4 Atende aos Objetivos 2 e 3 Monte o sistema e resolva-o calmamente. Não se esqueça de verificar se sua resposta está correta fazendo a substituição dos valores encontrados. Uma lata cheia de adubo tem massa 7 kg. Se usarmos metade da massa do adubo num canteiro de cebolinha, sua massa cai para 4,5 kg. Qual é a massa da lata vazia e qual é a massa total de adubo que cabe nessa lata?

381 Atividade 5 Atende aos Objetivos 2 e 3 Em um quintal há 50 animais, entre porcos e galinhas. Sabendo-se que ao todo são 132 pés, calcular o número de porcos e o número de galinhas desse quintal. Aula 15 As equações que pensam Atividade 6 Atende aos Objetivos 2 e 3 Ricardo Ferreira Paraizo Karlito pagou uma compra no valor de R$ 950,00 com notas de R$ 10,00 e R$ 50,00, num total de 47 notas. Quantas notas de cada espécie foram usadas no pagamento?

382 e-tec Brasil Matemática Instrumental Ricardo Ferreira Paraizo Atividade 7 Atende aos Objetivos 2 e 3 Duas latas de leite e uma de chocolate em pó custam juntas R$ 4,80. Uma lata de leite e uma de chocolate em pó custam juntas R$ 3,60. Quanto custa a lata de leite e a de chocolate em pó? Atividade 8 Atende aos Objetivos 2 e 3 Ricardo Ferreira Paraizo Compramos 6 kg de chá e 4 kg de café por um preço total de 16,60 reais. Sabendo que 4 kg de chá mais 2 kg de café custam 9,40 reais, calcular o preço do kg de chá e o de café. Resumindo... Método de substituição: Isolamos uma das variáveis numa das equações. Substituímos a expressão encontrada anteriormente na outra equação. Resolvemos a Equação de 1º grau e substituímos o resultado encontrado numa das equações para obtermos a outra variável. Método de adição: Primeiramente, escolhemos uma variável para ser eliminada. Depois, multiplicamos uma das equações pelo número que vai fazer anular uma das variáveis, em seguida fazemos a operação de adição entre as equações.

Somamos as equações do sistema e encontramos o resultado de uma variável. Substituímos o resultado anterior numa equação qualquer para encontrar a outra variável. Informação sobre a próxima aula Aula 15 As equações que pensam 383 Na próxima aula, vamos estudar um assunto ligado aos problemas de contagens (análise combinatória). Respostas das Atividades Atividade 1 Vamos denominar de x a massa de cada maçã. Vamos denominar de y a massa de cada abacaxi. Teremos, então, o sistema: 0x + y = 1350 ( I) 8x = y00000 ( II) Resolvendo pelo método de substituição, temos: II I x + y = 1350; x + 8x = 1350; 9x = 1350; x = 1350 = 150. 9 Voltando em II, temos: 8x = y; y = 8 150; y = 1200. A massa de cada maçã é de 150 gramas e cada abacaxi tem massa 1200 gramas.

384 e-tec Brasil Matemática Instrumental Atividade 2 Vamos denominar o valor que a 1ª pessoa ganha de x. Vamos denominar o valor que a 2ª pessoa ganha de y. Como as duas juntas ganham R$ 50,00, então x + y = 50 (I). Foi dito que a 1ª pessoa ganha 25% da 2ª pessoa. Temos, então: x = 25% de y x = 25 y simplificando a fração por 25, temos: 100 1 x = x = y 4 Montando o sistema, temos: x + y = 50 ( I) 1 x = y II ( ) 4 Vamos resolver o sistema pelo método de substituição (II I, ou seja, substituindo a Equação II dentro da Equação I) ( I ) x + y = 50 1 4 y + y = 50 MMC(4, 1) = 4 1 y 50 y + = 4 1 1 y + 4y = 4 5y = 200 y = 200/5 y = 40 200 4 Voltando em I, temos: x + y = 50 (I) x + 40 = 50 x = 10 Uma pessoa ganha R$ 40,00 e a outra ganha R$ 10,00.

Atividade 3 O número de exercícios certos = x. O número de exercícios errados = y. Como o total de exercícios são 50, temos: x+ y =50 A cada exercício que acerta ele ganha 5 pontos A cada exercício que erra ele perde 3 pontos 1 exercício certo ganha 5 pontos 1 exercício errado perde 3 pontos x exercícios certos ganha K pontos K = 5x pontos y exercícios errados perde W pontos W = -3y pontos Aula 15 As equações que pensam 385 Subtraindo o total de erros do total de acertos, temos o total de pontos, que é 130: 5x 3y = 130 Montando o sistema: 3x + 3y = 150 ( I) 5x 3y = 130 ( II) Multiplicando a Equação I por 3 e resolvendo o sistema pelo método de substituição, temos: 3x + 3y = 150 ( I) 5x 3y = 130 ( II) 08x = 280 0x = 35 Voltando na Equação I, temos: (I) x + y = 50 35 + y = 50 y = 50 35 y = 15 O aluno acertou 35 questões e errou 15. Atividade 4 Vamos chamar x = massa da lata vazia e de y = massa de adubo que enche a lata

386 e-tec Brasil Matemática Instrumental Montamos um sistema: x + y = 7 ( I) y x + = II 4, 5 ( ) 2 Vamos resolver o sistema pelo método de adição. Para isso, vamos multiplicar a Equação (II) por (-1). Então, teremos: x + y = 7 y x = 4, 5 2 y 00y = 7 4, 5 2 y 00y = 2, 5 2 y y 2, 5 0 = 1 2 1 Vamos reduzir ao denominador comum. MMC (2, 1) = 2 2y y 5 = 2 2 2 2y y = 5 y = 5 Depois que encontramos y, vamos obter o valor de x. Voltando em ( I ) x + y = 7 x + 5 = 7 x = 7 5 x = 2 A massa da lata vazia é 2 kg e a massa de adubo que enche a lata é 5 kg. Atividade 5 Vamos denominar x a quantidade de porcos (4 patas). Vamos denominar y a quantidade de galinhas (2 patas). x + y = 50 total de animais 4x + 2y = 132 total de animais Vamos ter um sistema de 2 equações e 2 variáveis. 4x + y = 50 ( I) 4x + 2y = 132 ( II)

Multiplicando a Equação I por (-2), temos: 2x 2y = 100 ( I) Adicionando as duas equações, temos: 4x + 2y = 132 ( II) 2x = 32 x = 16 total de porcos Para se calcular o total de galinhas, substituir o valor de x encontrado na Equação I ou na equação II. Tomando a Equação I, temos: x + y = 50 (I) Aula 15 As equações que pensam 387 16 + y = 50 y = 50 16 y = 34 total de galinhas O nº de porcos é 16 e galinhas 34. Atividade 6 Vamos dizer que x = total de cédulas de R$ 10,00 e y = total de cédulas de R$ 50,00 Total de cédulas: 47 x + y = 47 Total gasto com notas de R$ 10,00 = k Total gasto com notas de R$ 50,00 = P 1 cédula vale R$ 10,00 1 cédula vale R$ 50,00 x cédulas K y cédulas P K = 10x P = 50y Total gasto K + P = 950,00, ou seja: 10x + 50 y = 950 Montando o sistema: 10x + y = 47 ( I) 10x + 50y = 950 ( II) Vamos resolver o sistema pelo método de adição, multiplicando a Equação I por (-10). Temos, então: 10x 10y = 470 10x + 50y = 950 000000040y = 480 000000000y = 12

388 Para obtermos o valor de x, voltamos em I e substituímos y por 12. Temos, então: e-tec Brasil Matemática Instrumental (I) x + y = 47 x + 12 = 47 x = 47-12 x = 35 Temos, então: 35 cédulas de R$ 10,00; 12 cédulas de R$ 50,00. Atividade 7 Vamos denominar o preço de uma lata de leite de x 2 latas têm preço = 2x. Vamos denominar o preço de uma lata de chocolate de y. Montando o sistema, temos: 2x + y = 4, 80 ( I) 2x + y = 3, 60 ( II) Vamos multiplicar a Equação II por (-1) e resolver o sistema pelo método de adição: 2x + y = 4, 80 x y = 3, 60 00000x = 1, 2 Voltando em II, temos: x + y = 3,6 1,2 + y = 3,6 y = 3,6 1,2 y = 2,4 O preço de uma lata de leite é R$ 1,20 e o preço de uma lata de chocolate é R$ 2,40. Atividade 8 Vamos denominar o preço de 1 kg de chá de x. Vamos denominar o preço de 1 kg de café de y. Montando o sistema: 6x + 4y = 16, 60 ( I) 4x + 2y = 9, 40 ( II)

Multiplicando a Equação II por (-2) e resolvendo o sistema pelo método de adição, temos: 6x + 4y = 16, 60 ( I) 8x 4y = 18, 80 ( II) 0000 2x = 2, 20 Multiplicando por (-1), temos: 2x = 2,20 x = 2,20/2 x = 1,10 Aula 15 As equações que pensam 389 Voltando em (I) e substituindo o valor de x = 1,10 encontrado acima, temos: 6x + 4y = 16,60 6 1,10 + 4y = 16,60 6,60 +4y = 16,60 4y = 16,60 6,60 4y = 10 y = 10/4 y = 2,50 O preço do kg do chá é R$ 1,10 e o preço do kg do café é de R$ 2,50. Referências bibliográficas MATEMÁTICA: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. [S.l.: s.n.], c2006. Disponível em: <http://www.klickeducacao.com.br/2006/materia/20/ display/0,5912,por-20-86-966-5855,00.html> YOUSSEF, Antônio Nicolau; FERNANDES, Vicente Paz. Matemática: Conceitos e Fundamentos v.2. São Paulo: Ed. Scipione, 1993.