Anais do 12 O Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA XII ENCITA / 2006 Instituto Tecnológico de Aeronáutica São José dos Campos SP Brasil Outubro 16 a 19 2006 USO DE CURVAS EXPONENCIAIS-LOGARÍTMICAS PARA A SUAVIZAÇÃO E CORREÇÃO DE IRREGULARIDADES NA CURVATURA DE DUTOS DE COMPRESSORES AXIAIS Raiffy Lopes D Ávila Instituto Tecnológico de Aeronáutica Bolsista PIBIC-CNPq raiffy@gmail.com João Roberto Barbosa Instituto Tecnológico de Aeronáutica Orientador barbosa@ita.br Resumo. Esse texto tem como objetivo a análise de diversos perfis de dutos de compressores axiais principalmente aqueles com pequenos problemas de descolamento para que se possa propor métodos de suavização da curva desse perfil de forma que sejam eliminados tais contratempos e permitir um melhor comportamento das linhas de corrente. Será visto que dentre as tentativas realizadas aquela que melhor suaviza diversos casos de curvas de dutos de compressores axiais é a junção de curvas logarítmicas com exponenciais no ponto de inflexão do perfil. Palavras chave: compressores axiais descolamento linhas de corrente. 1. Introdução O século XX foi bastante construtivo no quesito tecnológico. Ainda que tenham surgido numerosas inovações nesse período é possível destacar dois grandes avanços: os meios de transporte que foram revolucionados pelo surgimento e desenvolvimento das aeronaves; os métodos de conversão de energia destacando-se as usinas hidrelétricas termoelétricas e nucleares. Todas essas tecnologias citadas tem um equipamento em comum crucial para que funcionem: trata-se dos compressores cuja função básica é elevar a pressão de determinado fluido para que este possa realizar a função desejada por exemplo auxiliar na propulsão de uma aeronave. A crescente importância desse dispositivo exige cada vez mais que novas linhas de pesquisa de forma que suas técnicas de estudo e confecção sejam aperfeiçoadas. É sabido que a forma do canal de um compressor axial influi de modo bastante significativo no desempenho de um compressor. Tendo isso em vista buscou-se enfatizar a importância de adotar métodos de suavização da curva que modela o duto do compressor axial de forma que pequenos problemas pudessem ser eliminados sem fazer grandes alterações nos dados de entrada e saída do projeto. Dessa forma possível descolamentos do fluido seriam eliminados com poucas alterações no projeto (redução de custos) e faria com que o compressor funcionasse de forma mais eficiente já que a suavidade do duto é um fator que contribui com o aumento do desempenho do compressor. Para que qualquer análise pudesse ser iniciada foi importante obter uma pequena noção de compressores axiais. Com o auxílio das referências (1) e (2) foi possível ter uma noção teórica e prática respectivamente já que esse último trazia diversas ilustrações de várias turbinas. 2. Curvas candidatas à interpolação Antes de prosseguir para a análise de diversos perfis de dutos de compressores axiais faz-se necessário a apresentação do universo de curvas que será posteriormente utilizado para interpolar os pontos notáveis obtidos com a execução do software de dimensionamento de compressor. Três casos distintos serão apresentados: curvas polinomiais curvas exponenciais e curvas logarítmicas. Para cada um desses casos será apresentada a metodologia de interpolação a ser utilizada bem como uma breve explanação acerca das propriedades inerentes a cada curva no que diz respeito à existência de pontos críticos em determinados intervalos de seu domínio. 2.1. Curvas polinomiais De acordo com os princípios e definições da matemática o polinômio é uma curva do tipo: o 1 n p ( x) = aox + a1 x +... + anx (1) O método de interpolação desse tipo de curva para um numero k de pontos será o Método dos Mínimos Quadrados. A idéia se baseia em tornar mínimo o somatório do quadrado da diferença entre os y i obtidos
Anais do XII ENCITA 2006 ITA Outubro 16-19 2006 experimentalmentes e o f(x i ) da curva interpolada. Ou seja para um polinômio de grau n deve-se fazer a derivada do somatório em relação a cada coeficiente do polinômio. Em seguida basta executar a resolução de um sistema de grau n. Na implementação realizada o sistema foi resolvido utilizando-se o Método de Gauss ou de Pivoteamento. A priori essa forma de interpolação parece ser a ideal para a maioria dos casos. Porém o fato de os polinômios poderem apresentar pontos críticos em seu domínio cria a possibilidade da existência de máximos locais condição indesejada no projeto de dutos de compressores axiais. Em diversas situações é possível supor que aumentar o grau do polinômio interpolador resolverá qualquer insatisfação decorrente de uma interpolação anterior. Porém o que se observa muitas vezes é um polinômio que de fato passa pelos pontos desejados mas de forma ondulada. Essa situação pode ser melhor compreendida com a análise da figura abaixo: Figura 1: Exemplo de interpolação polinomial Na fig. 1 a idéia era interpolar a função f(x)=1/(1+25x²) a partir da escolha de 10 pontos por meio de um polinômio de grau 10. A princípio parece uma escolha adequada e até mesmo exagerada para interpolar adequadamente a função f(x) que está plotada em verde. Porém a figura 1 nos mostra um quadro que normalmente não é o esperado: a interpolação pelo polinômio de grau 10 está longe de ser adequada apesar de passar por vários pontos de f. Esse mau ajuste é denominado fenômeno de Runge e é o suficiente para ter uma certa desconfiança ao se interpolar funções mesmo que simples por polinômios. 2.2. Curvas exponenciais As curvas exponenciais a serem utilizadas são da forma mais simples possível para que se pudesse simplificar futuros cálculos de interpolação. Seu formato geral está expresso logo abaixo: y = ae (2) Para interpolar pontos por esse tipo de curva o método utilizado novamente será o dos Mínimos Quadrados porém não diretamente. O primeiro passo é fazer uma simples transformação: transformar-se-á a equação 2 numa equação de reta seguindo o procedimento abaixo: y = ae ln y = ln a + Y = ln y A = ln a (3) Após efetuados os passos acima chegamos em:
Anais do XII ENCITA 2006 ITA Outubro 16-19 2006 Y = A + (4) A partir desse ponto o procedimento de interpolação é análogo ao de um polinômio de grau 1. O interessante dessa forma de interpolação é o fato de ela não possuir pontos críticos em parte alguma de seu domínio ou seja a derivada de y em relação a x nunca se anula o que evita o surgimentos de trechos indesejáveis que causariam descolamento do carregamento e que gerariam problemas com as linhas de corrente. y = ae y' = abe (5) y" = ab 2 e Essa forma de interpolação satisfaz quase todas as condições exceto pelo fato de as curvas exponenciais tem concavidade para cima pois a derivada segunda é sempre positiva para todo a>0; e em alguns casos o formato do canal do compressor axial sugere trechos em que a concavidade é para baixo. Para resolver esse problema pode-se utilizar curvas logarítmicas as quais serão tratadas no tópico a seguir. 2.3. Curvas logarítmicas Para abordar as curvas logarítmicas não é necessário utilizar muita teoria além do que já fora mostrado nesse texto. Sabe-se que o logarítmo natural é a função inversa da exponencial neperiana. Ou seja a diferença entre as duas curvas está exatamente no posicionamento delas no plano xy ou seja elas têm o mesmo formato. Figura 2: Gráfico comparativo entre as funções exp(x) e ln(x) Verifiquemos algébricamente que a função ln(x) de fato apresenta concavidade sempre para baixo: y = ln x 1 y' = x 1 y" = x² (6) Ou seja temos que a primeira derivada do ln(x) não se anula em nenhum ponto do domínio real ou seja não há pontos críticos em trecho algum o que assegura a não existência de máximos locais.
Anais do XII ENCITA 2006 ITA Outubro 16-19 2006 Ainda pelo conjunto de equações apresentado em 6 em particular pela última equação podemos comprovar o que foi afirmado acima: a concavidade sempre é para baixo já que -1/x² é sempre negativo. Apresentadas as formas de curvas que serão utilizadas poderemos estudar alguns perfis de dutos de compressores axiais e ter a capacidade de escolher a melhor curva (ou união delas) para cada caso. 3. Perfis de dutos de compressores axiais Para que se possa compreender melhor a necessidade da utilização de curvas de interpolação para correção de pequenos desvios indesejáveis nos dutos de compressores axiais é interessante inicialmente mostrar diversos perfis de dutos de compressores axiais gerados com o software em desenvolvimento pela equipe de pesquisadores do Departamento de Energia do Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Os modelos que serão apresentados variam desde aqueles que já são aceitáveis com a necessidade de se fazer uma interpolação com uma curva suave na curvatura do duto até aqueles que jamais poderiam ser aceitos ou seja que necessitariam de uma reformulação em seu projeto. Dentre aqueles que seriam aceitos utilizando as correções propostas por esse texto serão subdivididos em grupos cuja curvatura possui ponto de inflexão e que não possui. Para cada caso será proposta uma forma diferente de solucionar o impasse. 3.1. Perfil com pequenos problemas de duto sem ponto de inflexão A seguir será discutido o caso em que o canal do compressor axial apresenta pequenos trechos indesejáveis que poderiam causar descolamento do carregamento. Para esses casos a escolha do spline como curva modeladora não causaria problemas. Mas ainda assim é interessante utilizar polinômios para interpolar pois isso certamente geraria facilidades no momento da usinagem do equipamento. Para que possa se compreender melhor a situação abaixo estão os resultados da execução de um determinado conjunto de dados de entrada no software dimensionador de compressor. Figura 3: Perfil com pequenos problemas de duto A figura 3 apresenta um perfil que à primeira vista parece livre de qualquer problema de dimensionamento da curvatura. Porém uma análise mais cautelosa mostra pequeníssimos trechos que poderiam causar descolamento do carregamento. Nesse caso uma exponencial pura seria uma ótima aproximação como curva suave modeladora pois o perfil não sugere pontos de inflexão e ainda apresenta concavidade positiva. Por questões de visualização e didáticas será mostrado de forma ampliada os pontos notáveis desse perfil ou seja os raios internos da base dos estágios. Dessa forma será mais fácil visualizar onde ocorrem problemas. Também será mostrada na Tab. 1 as coordenadas desses pontos mencionados: Tabela 1: Coordenadas dos pontos notáveis usados para plotar o gráfico da figura 4. Z(m) Rinterno(m) Z(m) Rinterno(m) 00047 00902 00047 00902 00765 01032 00765 01032 01439 01132 01439 01132 02058 01208 02058 01208 02573 01258 02573 01258
Anais do XII ENCITA 2006 ITA Outubro 16-19 2006 Figura 4: Forma ampliada e simplificada do perfil da figura 3 Agora por essa figura é fácil perceber que o terceiro ponto foge um pouco do padrão dos outros pontos. Ou seja é o caso de se interpolar com uma curva exponencial conforme dito acima. Para esse caso uma boa interpolação é dada por: y=(0.085825)exp(1.484571x). 3.2. Perfil com pequenos problemas de duto com ponto de inflexão O caso a ser discutido agora é bastante semelhante ao anterior sendo a maior diferença o fato de este perfil apresentar ponto de inflexão ou seja mudança de concavidade. O perfil de exemplo simplificado contendo pontos notáveis está apresentado abaixo: Figura 5: Perfil simplificado de um duto cuja curvatura apresenta ponto de inflexão. Por meio de uma rápida análise visual é possível perceber a mudança de concavidade a partir do quinto ponto. Nesse caso o uso direto de uma interpolação exponencial não seria muito adequado pois conforme explanado anteriormente essa curva não tem capacidade de mudar de concavidade. A solução é agrupar duas curvas diferentes: para o trecho inicial utiliza-se uma curva exponencial. Para o segundo trecho utiliza-se uma curva logarítmica a qual não passa de uma exponencial reposicionada. Como não poderia deixar de ocorrer esse duto também apresenta um pequeníssimo problema no sexto ponto o qual seria resolvido com a interpolação proposta.
Anais do XII ENCITA 2006 ITA Outubro 16-19 2006 3.3. Perfil com sérios problemas no duto Para finalizar a análise dos perfis e de melhores ajustes será mostrado nessa secção a título de curiosidade um perfil que jamais funcionaria corretamente devido a sérios problemas de descolamento: Figura 6: Perfil com sérios problemas de dimensionamento Trata-se de um caso patológico e não se deve pensar em curvas para tentar consertar esses problemas; a solução mais sensata é uma revisão do projeto. 5. Conclusões Após serem analisados diversos perfis de dutos de compressores axiais utilizando diferentes curvas interpoladoras não é possível chegar a uma conclusão definitiva acerca de qual de fato seria a melhor curva de forma a evitar problemas de descolamento e outros envolvendo linhas de corrente em um caso genérico. Porém percebe-se qie com uma breve análise do perfil gerado pelo software é possível escolher uma forma bastante razoável de interpolar. Para casos em que os pontos notáveis não tendem a possuir irregularidades a aproximação polinomial desde que não se use grau elevado de forma a não gerar o fenômeno de Runge é bastante satisfatória tendo em vista que ela vai seguir o perfil dos pontos sem causar irregularidades no formato do duto. Mas quando tratamos de perfis com pequenos problemas milimétricos podemos usar uma curva composta por um trecho logarítmico e por outro exponencial para o caso em que o perfil gerado pelo software apresente mudança de concavidade na curva. Ambas as funções não possuem pontos críticos para valores reais de seus argumentos e dessa forma não gerariam pontos de máximo. O cuidado especial a ser tomado nesse caso é no ponto de junção das duas de forma a evitar bicos ou pontos em que a curva não é derivável. Em situações práticas esse texto deve ser encarado como um artifício de análise de projeto e também como uma tentativa extra de se obter desempenhos sensivelmente melhores. 5. Agradecimentos Venho por meio deste prestar agradecimentos a minha família a colegas e ao orientador por sempre fornecerem apoio e ânimo para poder seguir em frente com o trabalho principalmente nos momentos em que surgiam desestímulos. Agradeço também ao CNPq pela oportunidade de crescimento enquanto pesquisador iniciante. 6. Referências COHEN H.; ROGERS G. F.C; SARAVANAMU-TTO H. I. H. Gas Turbine Theory 4ª edição Addison Wesley (1996) Inglaterra ROLLS ROYCE The Jet Engine M. A. G. RUGGIRERO V. L. R. LOPES Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e Computacionais.