Aula 00 Matemática e Raciocínio Lógico Professor: Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1
Apresentação Olá, pessoal! Em breve teremos o concurso para Polícia Civil do Distrito Federal. A banca organizadora será o IADES. Vamos sair na frente da concorrência e começar a estudar Matemática e Raciocínio Lógico para o cargo de Perito Criminal. Meu nome é Guilherme Neves. Sou professor de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira, Estatística e Física. Posso afirmar em alto e bom tom que ensinar é a minha predileção. Comecei a dar aulas para concursos, em Recife, quando tinha apenas 17 anos (mesmo antes de começar o meu curso de Bacharelado em Matemática na UFPE). Ensino no Ponto dos Concursos desde março de 2010. Agora no início de 2016 completarei 10 anos de carreira. Atualmente moro nos Estados Unidos onde estou estudando em outro curso de graduação (Engenharia Civil na University of Central Florida). Vamos seguir o seguinte cronograma para cobrir todo o conteúdo programático. Aula 00: Modelos de questões resolvidas IADES Aula 01: Princípios de Contagem. Arranjos e Permutações. Combinações. Aula 02: Princípios de Probabilidade Aula 03: Compreensão de estruturas lógicas. Lógica de Argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. Diagramas Lógicos. (Parte 1) Aula 04: Compreensão de estruturas lógicas. Lógica de Argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. Diagramas Lógicos. (Parte 2) Aula 05: Geometria Plana. Polígonos Regulares. Circunferências e Círculos. Teorema de Pitágoras. Teorema de Tales. Geometria Espacial: áreas e volumes. Aula 06: Matrizes e Determinantes. Aula 07: Polinômios. Funções e gráficos. Funções: composta, inversa, par e ímpar. Logaritmos e exponenciais. Aula 08: Progressão Aritmética e geométrica. www.pontodosconcursos.com.br 2
Aula 09: Equações e funções trigonométricas. Lei dos senos e lei dos cossenos. Medidas de ângulos. Aula 10: Equações da circunferência. Elipse, hipérbole e parábola. Coordenadas no plano. Distância entre dois pontos. Nesta aula, que é demonstrativa, resolveremos algumas questões do IADES para que vocês possam conhecer o estilo da banca, ok? Para resolver as questões, vamos aprender a negar proposições simples e compostas. - Guilherme, calma aí! Eu não sei o que são proposições, nem muito menos proposições simples e compostas. Fique tranquilo, pois todos esses conceitos serão explicados detalhadamente no nosso curso, ok? Por enquanto, assuma que proposições são frases (depois definiremos formalmente este conceito). Um exemplo de proposição é o seguinte: Guilherme Neves é torcedor do Náutico. Toda proposição pode ser classificada em V ou F, mas não os dois. Como eu realmente sou torcedor do Náutico, então a frase acima é verdadeira. Guilherme Neves é torcedor do Náutico. (V) Existe um operador lógico chamado de modificador. E para que serve o modificador? Bom, a principal função do modificador é negar a proposição dada. Por exemplo, a negação da proposição acima é a seguinte. Guilherme Neves não é torcedor do Náutico. Como a proposição original era verdadeira, a sua negação obrigatoriamente será falsa. Guilherme Neves não é torcedor do Náutico. (F) Por enquanto é isso. O operador modificador serve para negar a proposição dada. www.pontodosconcursos.com.br 3
Se uma proposição é verdadeira, a sua negação será falsa. Se uma proposição é falsa, a sua negação será verdadeira. Vejamos mais um exemplo. Proposição dada: O Ponto dos Concursos não está sediado em Recife. Esta é uma proposição verdadeira, já que o Ponto está sediado em Brasília. Como esta frase é verdadeira, a sua negação obrigatoriamente será falsa. E qual é a negação da proposição acima? Tudo bem até agora? O Ponto dos Concursos está sediado em Recife. De agora em diante, lembre-se que para negar uma proposição simples devemos apenas modificar o seu verbo. Considere a proposição: Guilherme jogou um livro na perna de João. A negativa, de acordo com a Lógica, limita-se a trocar o valor-verdade da afirmação feita. Limita-se a dizer que a afirmativa é falsa. Entretanto, essa falsidade pode recair em vários itens da afirmação. i) Não foi Guilherme quem jogou o livro, foi Alberto. ii) Não jogou, apenas encostou. iii) Não foi um livro, e sim um caderno. iv) Não foi na perna, foi na barriga. v) Não foi em João, foi em Paulo. Para englobar todas essas possibilidades, devemos apenas modificar o verbo. Assim, a correta negação desta proposição é Guilherme não jogou um livro na perna de João, ok? Agora que já sabemos negar uma proposição simples, vamos aprender um pouco sobre as Leis de De Morgan. - Guilherme, para que servem as Leis de De Morgan? www.pontodosconcursos.com.br 4
É muito simples, meu amigo. As leis de De Morgan ensinam como negar proposições compostas pelos conectivos e e ou. Você saberia, por exemplo, negar a proposição Vou à festa ou não me chamo Guilherme.? Bom, a negação de Vou à festa é Não vou à festa. A negação de não me chamo Guilherme é me chamo Guilherme. Afirmação Vou à festa ou não me chamo Guilherme Negação Não vou à festa me chamo Guiherme É agora que entra a primeira lei de De Morgan. Para negar uma proposição composta pelo conectivo ou, você deve negar as duas proposições simples que a compõe e TROCAR O CONECTIVO OU PELO E. Afirmação Vou à festa ou não me chamo Guilherme Negação Não vou à festa e me chamo Guiherme Pronto, só isso! Vamos fazer mais um exemplo? Negue a proposição O rato não chia ou o gato mia. Afirmação O rato não chia ou o gato mia Negação Vamos relembrar a lei. Devemos negar os dois componentes, para começar. Afirmação O rato não chia ou o gato mia Negação O rato chia O gato não mia Depois é só trocar o conectivo para e. Afirmação O rato não chia ou o gato mia Negação O rato chia e O gato não mia Pronto! Muito fácil, não? www.pontodosconcursos.com.br 5
- Guilherme, você falou em LEIS de De Morgan, e não LEI de De Morgan? Qual é a outra? Caríssimo, se você aprendeu a primeira lei, você praticamente já aprendeu a outra. A primeira lei diz que para negar uma frase composta pelo conectivo ou, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo e. Pois bem, a segunda lei diz que para negar uma frase composta pelo conectivo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo ou. Vamos lá? Negue a proposição Lula foi presidente do Brasil e Bertrand Russell não era brasileiro. Ok, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo e pelo conectivo ou. Afirmação Lula foi presidente do Brasil Negação Lula não foi presidente do Brasil e Bertrand Russel não era brasileiro. ou Bertrand Russell era brasileiro. LEMBRETE LEIS de DE MORGAN Para negar uma proposição composta pelo conectivo ou, negue os componentes e troque o conectivo pelo e. Para negar uma proposição composta pelo conectivo e, negue os componentes e troque o conectivo pelo ou. Por enquanto, não vamos aprender nenhum símbolo lógico, ok? Isto fica para as próximas aulas... 01. (EBSERH 2013/IADES) A negação lógico-matemática de está chovendo lá fora e eu estou dentro de casa é: (A) não está chovendo lá fora ou eu não estou dentro de casa. (B) está chovendo lá fora e eu não estou dentro de casa. (C) não está chovendo lá fora e eu estou dentro de casa. (D) não está chovendo lá fora nem eu estou dentro de casa. (E) não está chovendo lá fora ou eu estou dentro de casa. Resolução www.pontodosconcursos.com.br 6
Vimos que para negar uma proposição composta pelo conectivo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo por ou. Afirmação está chovendo lá fora e eu estou dentro de casa Negação não está chovendo lá fora ou não estou dentro de casa Letra A 02. (SUDAM 2013/IADES) A proposição que melhor expressa a negação de Se não chove no Amazonas, então neva no Tocantins é (A) Se chove no Amazonas, então não neva no Tocantins. (B) Se não chove no Amazonas, então não neva no Tocantins. (C) Não chove no Amazonas e não neva no Tocantins. (D) Chove no Amazonas e neva no Tocantins. (E) Chove no Amazonas e não neva no Tocantins. Resolução Já aprendemos como negar proposições compostas pelos conectivos e e ou. Vamos agora aprender a negar uma proposição composta pelo se..., então.... Estas regras que estamos estudando na aula demonstrativa serão detalhadamente explicadas e demonstradas no curso. Pois bem, para negar uma proposição do tipo Se p, então q, devemos copiar o antecedente, ou seja, devemos copiar p, trocar o conectivo por e e negar o consequente, ou seja, negar q. Assim, a negação de Se p, então q é p e não q. Por exemplo, a negação de Se bebo, então não dirijo é Bebo e dirijo. Perceba que eu copiei a primeira frase, coloquei o conectivo e e neguei a segunda frase. Queremos negar a proposição Se não chove no Amazonas, então neva no Tocantins. Vamos copiar a primeira frase, colocar o conectivo e e negar a segunda frase. A negação pedida é Não chove no Amazonas e não nega no Tocantins. Letra C Ficamos por aqui. Um forte abraço e até a próxima aula. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 7
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