Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL II 1 POLIEDROS Na Geometria Espacial, como o nome diz, o nosso assunto são as figuras espaciais (no espaço). Vamos estudar sólidos e corpos geométricos que possuem três dimensões. Uma definição importante é a de poliedro. Poliedros são sólidos delimitados por polígonos tais que cada lado pertença a exatamente dois polígonos e dois polígonos com um lado comum nçao estão no mesmo plano. Alguns exemplos famosos são o cubo e o octaedro. Cubo: Octaedro: Figura 1 exemplos de poliedros 2 ELEMENTOS Os elementos de um poliedro são as faces (os polígonos que limitam o poliedro), arestas (lados dos polígonos) e vértices (vértices dos polígonos), como está ilustrado na figura abaixo. Figura 3 poliedro convexo e poliedro não-convexo 3.2 Quanto ao número de faces De acordo com o número de faces, os políedros podem receber as seguintes denominações: Nomenclatura 4 faces Tetraedro 5 faces Pentaedro 6 faces Hexaedro 7 faces Heptaedro 8 faces Octaedro 9 faces Eneaedro 10 faces Decaedro 11 faces Undecaedro 12 faces Dodecaedro 20 faces Icosaedro 4 POLIEDROS REGULARES Os poliedros regulares são os poliedros em que todas as faces são polígonos regulares e congruentes e de todos os vértices saem a mesma quantidade de arestas. Existem apenas 5 destes: 4.1 Tetraedro regular Figura 2 elementos de um poliedro 3.1 Quanto à região 3 CLASSIFICAÇÃO Figura 4 tetraedro regular e sua planificação As faces do tetraedro regular são triângulos equiláteros. Um poliedro é convexo quando dados quaisquer dois de seus pontos, o segmento de reta que os une está contido no poliedro. Em caso contrário, o poliedro é não-convexo. CASD Vestibulares Geometria 1
4.2 Hexaedro regular (cubo) 5 RELAÇÃO DE EULER Em um poliedro convexo, sejam o número de vértices, o número de faces e o número de arestas. Então, tem-se: Figura 5 hexaedro regular e sua planificação As faces do hexaedro regular são quadrados 4.3 Octaedro regular Observação: A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é Exercício Resolvido 1: No cubo abaixo, identifique: a) Os vértices do cubo b) As arestas do cubo c) As faces do cubo d) Os valores de, e Figura 6 octaedro regular e sua planificação As faces do octaedro regular são equiláteros triângulos A Resolução: Figura 7 dodecaedro regular e sua planificação Os vértices do cubo são os pontos: As faces do dodecaedro regular são pentágonos regulares 4.5 Icosaedro regular As arestas do cubo são os segmentos: As faces do cubo são os polígonos: Figura 8 icosaedro regular e sua planificação As faces do icosaedro regular são equiláteros triângulos 2 Geometria CASD Vestibulares -
Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 12. (UFC - 04) Um poliedro convexo só tem faces triangulares e quadrangulares. Se ele tem arestas e vértices, então, o número de faces triangulares é: 1. Atividade Proposta nº 2, Geometria Espacial II 2. Atividade Proposta nº 7, Geometria Espacial II 3. Atividade Proposta nº 10, Geometria Espacial II 4. (ENEM - 10) Para confeccionar, em madeira, um cesto de lixo que comporá o ambiente decorativo de uma sala de aula, um marceneiro utilizará, para as faces laterais, retângulos e trapézios isósceles e, para o fundo, um quadrilátero, com os lados de mesma medida e ângulos retos. Qual das figuras representa o formato de um cesto que possui as características estabelecidas? 13. Atividade Proposta nº 6, Geometria Espacial II 14. (UFJF - 07) A figura a seguir representa a planificação de um poliedro convexo. O número de vértices deste poliedro é: a) b) c) d) e) 5. Atividade Proposta nº 9, Geometria Espacial II 6. (UPE - 11) Um poliedro convexo possui (oito) faces, todas triangulares. Nestas condições, assumindo que tal poliedro exista, o número esperado de vértices para este será 7. (UFC - 08) O número de faces de um poliedro convexo com vértices e com todas as faces triangulares é igual a: Nível II 8. Atividade Proposta nº 4, Geometria Espacial II 9. Atividade para Sala nº 4, Geometria Espacial II 10. (UECE - 14) Um poliedro convexo tem faces, sendo hexágonos e pentágonos. O número de vértices deste polígono a) b) c) d) 11. Atividade para Sala nº 2, Geometria Espacial II 15. (UEPG - 10) Dado que um poliedro convexo tem faces pentagonais, faces quadrangulares e faces triangulares, assinale o que for correto. 01) Se o número de vértices do poliedro é, então 02) Se o número de faces do poliedro é, então 04) O menor valor possível para é 08) Se a soma dos ângulos de todas as faces do poliedro é, então 16) Se o número de arestas do poliedro é, então 16. (UFPR - 12) Todas as faces de um cubo sólido de aresta foram pintadas de verde. Em seguida, por meio de cortes paralelos a cada uma das faces, esse cubo foi dividido em cubos menores, todos com aresta. Com relação a esses cubos, considere as seguintes afirmativas: 1. Seis desses cubos menores terão exatamente uma face pintada de verde. 2. Vinte e quatro desses cubos menores terão exatamente duas faces pintadas de verde. 3. Oito desses cubos menores terão exatamente três faces pintadas de verde. 4. Um desses cubos menores não terá nenhuma das faces pintada de verde. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras. b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras. CASD Vestibulares Geometria 3
DICAS E FATOS QUE AJUDAM 1. Sejam o número de vértices, o número de faces 7. Sejam o número de vértices, o número de faces Como as faces são triangulares, e cada aresta pertence a duas faces, tem-se: 2. Sejam o número de vértices, o número de faces 8. Sejam o número de vértices, o número de faces triangulares, o número de faces quadrangulares, o número total de faces e o número de arestas. Então: 3. No octaedro regular, cada vértice pertence a faces. Como cada face é um triângulo equilátero, em torno de cada vértice, há ângulos de. Logo, a soma dos ângulos em torno de cada vértice é 4. Como o fundo do cesto deve ser um quadrilátero com os lados de mesma medida e ângulos retos, o fundo do cesto deve ser um quadrado. Os únicos cestos que têm um fundo quadrado são os cestos das letras a), c) e e). Além disso, as faces laterais do cesto devem ser trapézios isósceles ou retângulos. Entre as letras a), c) e e), o único cesto que possui trapézios isósceles como faces laterais é o cesto c). 5. A cada face triangular do poliedro, corresponde um vértice do cubo, e a cada face quadrada do poliedro, corresponde uma face do cubo. Como o cubo possui vpertices e faces, o poliedro possui faces triangulares e faces quadradas. 6. Sejam o número de vértices, o número de faces Como as faces são triangulares, e cada aresta pertence a duas faces, tem-se: 9. Sejam o número de vértices, o número de faces pentagonais, o número de faces hexagonais, o número total de faces e o número de arestas. Então: Note que o número de átomos de carbono nessa molécula é o número de vértices 4 Geometria CASD Vestibulares
10. Sejam o número de vértices, o número de faces pentagonais, o número de faces hexagonais, o número totalde faces e o número de arestas. Então: 13. Sejam o número de vértices dos quais partem arestas, o número de vértices dos quais partem arestas, o número de vértices dos quais partem arestas, o número total de vértices, o número de faces e o número de arestas. Então 11. Sejam o número de vértices, o número de quadrangulares, o número total de faces e o número de arestas. Então: Como cada aresta liga dois vértices, tem-se: faces, tem-se: 14. Sejam o número de vértices, o número de quadrangulares, o número total de faces e o número de arestas. De acordo com a planificação do poliedro, o poliedro possui faces triangulares e faces quadrangulares. Então, 12. Sejam o número de vértices, o número de quadrangulares, o número total de faces e o número de arestas. Então: CASD Vestibulares Geometria 5
15. Sejam o número de vértices, o número de quadrangulares, o número de faces pentagonais, o número total de faces e o número de arestas: 16. cubos terão apenas uma face pintada de verde 01) Se o número de vértices do poliedro é, cubos terão três faces pintadas de verde. Só o cubo central não terá faces pintadas de verde. 02) Se o número de faces do poliedro é, 04) Se, como cada aresta pertence a duas faces, tem-se: GABARITO (Absurdo!) 08) Se a soma dos ângulos de todas as faces do poliedro é, tem-se: 1. C 2. D 3. B 4. C 5. B 6. E 7. E 8. D 9. C 16) Se o número de arestas do poliedro é, 10. C 11. D 12. E 13. C 14. A 15. As afirmativas verdadeiras são 01), 02), 08), 16) 16. C 6 Geometria CASD Vestibulares