Mecânica Analítica REVISÃO

Mecânica Analítica REVISÃO Prof. Nelson Luiz Reyes Marques

Vínculos São limitações às possíveis posições e velociaes as partículas e um sistema mecânico, restringino a priori o seu movimento. É importante salientar que os vínculos são limitações e orem cinemática impostas ao sistema mecânico. As restrições anteceem a inâmica e precisam ser levaas em conta na formulação as equações e movimento o sistema. Restrições e natureza inâmica ecorrentes, portanto as equações e movimento não são vínculos.

Exemplo 1: Um pênulo uplo oscila num plano vertical fixo. As equações e vinculo são x + y l 1 = 0, x x 1 + y y 1 l = 0 x + y = l 1 x x 1 + y y 1 = l

Exemplo : Escreva as equações e transformação o pênulo uplo x 1 = l 1 sin θ 1 y 1 = l 1 cos θ 1 x = l 1 sin θ 1 + l sin θ y = l 1 cos θ 1 + l cos θ O sistema tem apenas grau e liberae com coorenaas generalizaas q 1 = θ 1 e q = θ

Exemplo 3: Um cilinro rola sem eslizar ao longo e uma linha reta. Seno x a posição o centro e massa o cilinro e o ângulo e rotação o centro e massa, a conição e rolar sem eslizar é representaa por one R é o raio o cilinro. x = Rφ x Rφ = 0

A função e Lagrange ou, simplesmente, lagrangiano L por: L = T V As equações e movimento o sistema poem ser escritas na forma t q k q k = 0 Equações e Lagrange one k = 1,, n. Se o sistema não for conservativo t q k q k = Q k

Exemplo 4: Consiere uma partícula numa região one existe um certo potencial e interação. Solução: A lagrangiana é aa por: L = T V = 1 mv V r Tomano as coorenaas generalizaas como coorenaas cartesianas, temos: t x i x i = 0 x i = V x i t x i = t mx i = mx i O que faz com que a equação e Euler-Lagrange forneça: t x i x i = 0 t x i = x i mx = V x i que é a seguna lei e Newton para forças conservativas. Força

Exemplo 5: Obtenha a Lagrangiana para um projetil (livre a resistência o ar) em termos e suas coorenaas cartesianas (x, y, z), com z meio verticalmente para cima. Determine as três equações e Lagrange. Solução: A energia cinética e a energia potencial: T = 1 m(x + y + z ) V = mgz A lagrangiana fica: L = T V = 1 m x + y + z mgz As equações e movimento: t x x = 0 t y y = 0 t z z = 0 0 = mx 0 = my mg = mz que correspone a F=mg.

Exemplo 6: Obtenha a Lagrangiana para uma partícula moveno-se em uma imensão ao longo o eixo x sujeita à força F = kx (com k positivo). Determine a equação e Lagrange o movimento. Solução: A energia cinética e a energia potencial: F = kx V = 1 kx T = 1 mx A lagrangiana fica: L = T V L = 1 mx 1 kx As equações e movimento: t x x = 0 kx = mx

Exemplo 7: Consiere uma massa m moveno-se em uas imensões com energia potencial V x, y = 1 kr, one r = x + y. Obtenha a lagrangeana, usano as coorenaa x e y, e etermine as equações e movimento e Lagrange. Solução: A energia cinética e a energia potencial: T = 1 m x + y V = 1 k x + y A lagrangiana fica: L = T V L = 1 m x + y + 1 k x + y As equações e movimento: t x x = 0 t y y = 0 kx = mx kx = my

Exemplo 8: Consiere uma massa m moveno-se em uma rampa, sem atrito, que tem uma ecliviae α com a horizontal. Obtenha a Lagrangiana em termos a coorenaa x, meia horizontalmente através a rampa, e a coorenaa y, meia para baixo a rampa. (Trate o sistema como biimensional, mas inclua a energia potencial gravitacional). Determine as uas equações e Lagrange e justifique se elas são as mesmas que você esperava. Solução: A energia cinética e a energia potencial: T = 1 m x + y V = mgy = mgy sin α A lagrangiana fica: L = T V L = 1 m x + y mgy sin α As equações e movimento: t x x = 0 0 = mx t y y = 0 mg sin α = my

Exemplo 9: Determine a Lagrangiana e a equação e movimento e um pênulo simples em coorenaas polares e raio fixo r=a e θ é a única coorenaa livre. A lagrangiana fica: Solução: x = a cos θ y = a sin θ x = aθ sin θ y = aθ cos θ A energia cinética e a energia potencial: T = 1 m x + y = 1 ma θ V = mgx = mga cos θ L = T V L = 1 ma θ + mga cos θ

L = 1 ma θ + mga cos θ A equação e movimento: t θ θ = 0 t ma θ + mga sin θ = 0 ma θ = mga sin θ aθ = g sin θ

Exemplo 10: Deuza as equações e Lagrange, para uma partícula que se move em um campo conservativo biimensional, em coorenaas a) cartesianas b) Polares c) cilínricas

Solução: a) A energia cinética e a energia potencial: T = 1 m(x + y ) V = V x, y A lagrangiana fica: L = T V = 1 m x + y V x; y As equações e movimento: t x x = 0 x = V x = F x y = V y = F y x y = T x = T y = mx F x = mx = my F y = my F = ma

Solução: b) A energia cinética e a energia potencial: v r = r v φ = rφ T = 1 mv = 1 m r + r φ V = V r, φ A lagrangiana fica: L = T V = 1 m r + r φ V r, φ A equações e movimento: t r r = 0 t mr mrφ V r = 0 mr = mrφ V r F r = m(r rθ )

L = T V = 1 m r + r φ V r, φ t φ φ = 0 t mr φ V φ = 0 mr φ = V φ Momento angular Torque

Solução: c) A energia cinética e a energia potencial: v r = r v φ = rθ v z = z T = 1 mv = 1 m r + r θ + z V = V r, θ, z A lagrangiana fica: L = T V = 1 m r + r θ + z V r, θ, z

L = T V = 1 m r + r θ + z V r, θ, z t r t mr r = 0 (mrθ V r ) = 0 m r rθ = V r F r t θ t mr θ θ = 0 + V θ = 0 m t r θ = V θ Torque t z t mz z = 0 + V z = 0 V mz = r F z

Exemplo 11: Determine a equação e Lagrange e as equações e movimento para um pênulo com suporte livre (a massa M poe se mover livremente sem atrito no plano horizontal, enquanto o pênulo oscila no plano vertical). Refazeno o esenho e tomano o nível e referencia na origem, temos

Poemos escrever as energias cinética e potencial T = 1 Mx + 1 m X + Y V M = 0 e V m = mgy, logo V = mgy Como X = x + l sin θ X = x + lθ cos θ Y = l cos θ Y = lθ sin θ Logo X + Y = x + l θ + lx θ cos θ Poemos reescrever as energias cinética e potencial como T = m + M x + ml θ + mlx θ cos θ V = mgl cos θ A lagrangiana fica L = T V = m + M x + ml θ + mlx θ cos θ + mgl cos θ

m + M L = x + ml θ + mlx θ cos θ + mgl cos θ Poemos, agora, eterminar as equações e movimento t x x = 0 t m + M x + mlθ cos θ 0 = 0 m + M x + mlθ cos θ mlθ sin θ = 0 t θ θ = 0 t ml θ + mlx cos θ mlx θ sin θ mgl sin θ = 0 ml θ + mlx cos θ mlx θ sin θ + mlx θ sin θ + mgl sin θ = 0 ml θ + mlx cos θ + mgl sin θ = 0

Como as equações e movimento são ifíceis e resolver (equações não lineares não existe um métoo geral e resolução, caa caso é um caso), vamos analisar alguns casos limites (particulares) afim e verificarmos se essas equações estão corretas. 1º) Se m = 0 m + M x + mlθ cos θ mlθ sin θ = 0 0 + M x = 0 x = 0 M se move como um corpo livre º) Se M m + M x + mlθ cos θ mlθ sin θ = 0 Divie-se toos os termos por M m + M x M + mlθ cos θ M mlθ sin θ M = 0 x = 0 Substituino x = 0 na seguna equação e movimento ml θ + mlx cos θ + mgl sin θ = 0 e iviino por ml, obtemos θ + g l sin θ = 0 que correspone a equação o pênulo simples com ponto e suspensão fixo.

Exemplo 1: Uma partícula e massa m move-se em um campo e força conservativo. Ache (a) a função lagrangiana, (b) as equações o movimento em coorenaas cilínrica r, θ, z. Solução: cilínricas (a) A energia cinética total em coorenaas T = 1 m r + r θ + z A energia potencial V = lagrangiana é r, θ, z. Então a função L = T V = 1 m r + r θ + z V r, θ, z t r (b) As equações e Lagrange são r = 0 t mr mrθ V r = 0 m r rθ = V r

(b) As equações e Lagrange são t r r = 0 t mr mrθ V r = 0 m r rθ = V r t θ θ = 0 t mr θ + V θ = 0 m t r θ = V θ t z z = 0 t mz + V z = 0 mz = V z

; Dinâmica Lagrangiana Exemplo 13: Consiere um pênulo plano formao por uma haste inextensível e comprimento l e massa esprezível teno na sua extremiae uma partícula pontual e massa m. Escreva as equações e movimento a partícula em coorenaas polares r e θ. Solução: T = 1 mr + 1 mr θ V = mgz = mgr 1 cos θ A lagrangiana fica: L = T V L = 1 mr + 1 mr θ mgr 1 cos θ

; Dinâmica Lagrangiana L = T V L = 1 mr + 1 mr θ mgr 1 cos θ As equações e movimento são: : ; t r r = 0 t mr [mrθ mg 1 cos θ ] = 0 mr = mrθ mg 1 cos θ r = rθ g 1 cos θ

; Dinâmica Lagrangiana L = T V L = 1 mr + 1 mr θ mgr 1 cos θ As equações e movimento são: ; t θ θ = 0 t mr θ mgr sin θ = 0 temos: mr θ + mrr θ = mgr sin θ Como, r = l e r = 0 : lθ = mg sin θ θ = g l sin θ

Exemplo 14:

Momentos generalizaos (canônicos) Estas equações poem ser chamaas e equação e movimento e Lagrange p p i = i = q i q i Equações e Hamilton O hamiltoniano H q, p, t efinia por: H q, p, t = q ip i Se um sistema for conservativo, o hamiltoniano H poe ser interpretao como a energia total (cinética e potencial) o sistema. H = T + V Equações e movimento e Hamilton n i=1 L q, q, t q i = H p i p i = H q i

Dinâmica Hamiltoniana Exemplo 15: A lagrangiana e um oscilaor harmônico é aa por L = mx kx, etermine: a) o momento conjugao p x = mx x = p x m b) A hamiltoniana H = x p r L = p x m m p x m + kx

Dinâmica Hamiltoniana Exemplo 16: A partícula livre em coorenaas esféricas. O vetor velociae é ao por r = r r + rθ θ + rφ sin θ φ, etermine: a) a lagrangiana L = T + V = T = 1 mv = 1 m r + r θ + r φ sin θ b) Os momentos conjugaos p r = mr p θ = mr θ p φ = mr sin θφ r = p r m θ = φ = p θ mr p φ mr sin θ

Dinâmica Hamiltoniana c) a hamiltoniana n H q, p, t = q ip i L q, q, t i=1 H = r p r + θ p θ + φ p φ L H = p r m + p θ mr + p φ mr sin θ m p r m mr p θ mr mr sin θ p φ mr sin θ H = 1 m p r + p θ r + p φ r sin θ

Dinâmica Hamiltoniana Exemplo 17: Maquina e Atwoo Pelos aos a figura, temos T = 1 m 1x + 1 m x V = m 1 gx m g l x Desprezano o termo constante, temos V = m 1 gx m gx A expressão o lagrangiano fica L = T V L = 1 m 1 + m x + m 1 m gx A expressão o hamiltoniano é aa por H = q ip i L = px L H = px L = px 1 m 1 + m x + m 1 m gx

Dinâmica Hamiltoniana H = px L = px 1 m 1 + m x + m 1 m gx O hamiltoniano eve ser escrito apenas em termos e coorenaas e momentos, eliminano as velociaes. p = x = (m 1 + m )x Substituino a equação p = x = (m 1 + m )x no hamiltoniano H = px 1 m 1 + m x + m 1 m gx obtemos H = p m 1 + m + m 1 m gx

Dinâmica Hamiltoniana H = p m 1 + m + m 1 m gx Calculano as equações e Hamilton q i = H p i x = H p = p m 1 + m p i = H q i p = H x = m 1 m g Combinano as uas expressões, obtemos a expressão para a aceleração com que as massas se eslocam x = m 1 m m 1 + m g

Dinâmica Hamiltoniana Exemplo18:

Dinâmica Hamiltoniana

Dinâmica Hamiltoniana

Dinâmica Hamiltoniana

Dinâmica Hamiltoniana