1 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII Módulo VII Neste módulo estudaremos o Binômio de Newton que foi desenvolvido em 1667, por Isaac Newton. O Binômio de Newton trata dos números binomiais em forma de coeficiente de um polinômio do tipo ( a +b ). Segundo o Teorema, pode-se desenvolver qualquer potência inteira de um binômio dado, tendo diversas aplicações, principalmente na Análise ombinatória. Mas antes de iniciar nosso estudo, vamos percorrer a história para sabermos um pouco sobre este brilhante cientista físico, matemático e astrônomo inglês Isaac Newton. 5/1/164, Wolsthorpe, Inglaterra 0/03/177, Kensington, Inglaterra Em Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, Newton lançou as bases da ciência moderna
urso Matemática Para oncursos II Módulo VII Quando criança, Newton não foi um aluno brilhante, mas gostava de inventar e construir objetos. Graças a um tio, estudou em ambridge, onde desenvolveu um recurso matemático, o binômio de Newton. Na época de sua formatura, foi obrigado a se refugiar na fazenda da mãe, devido à peste que assolava a Inglaterra. Permaneceu lá por cerca de dois anos (1665-1667). As reflexões dessa época o levaram a formular importantes teorias. Ao observar uma maçã caindo de uma árvore, Newton começou a pensar que a força que havia puxado a fruta para a terra seria a mesma que impedia a Lua de escapar de sua órbita. Descobriu a lei da gravitação universal. Foi a primeira vez que uma lei física foi aplicada tanto a objetos terrestres quanto a corpos celestes. Ao firmar esse princípio, Newton eliminou a dependência da ação divina e influenciou profundamente o pensamento filosófico do século 18, dando início à ciência moderna. Quando retornou a ambridge, redigiu o princípio que trata da atração dos corpos, mas só o retomou em 168. Nos anos iniciais de sua carreira, desenvolveu o cálculo infinitesimal e descobriu a aceleração circular uniforme (embora não tenha conseguido a comprovação dessa teoria, que exigia conhecer a medida do raio terrestre). Em 1669 o cientista formulou sua teoria das cores, sobre a refração da luz. Quando um raio de sol atravessa um prisma de vidro, sai do outro lado como um feixe de luzes de diferentes cores, como um arco-íris. Newton fez o feixe colorido passar por um segundo prisma, onde as cores voltaram a se juntar em outro feixe, de luz branca, igual ao inicial. om essa descoberta, percebeu que o fenômeno da refração luminosa limitava a eficiência dos telescópios da época. Inventou, então, um
3 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII telescópio refletor, em que a concentração da luz era feita por um espelho parabólico e não por uma lente. Em 1671, o cientista assumiu o cargo de professor catedrático de Matemática da Universidade de ambridge e, no ano seguinte foi eleito para a Royal Society. Nos anos posteriores, tratou das propriedades da luz, explicou a produção das cores por lâminas delgadas e formulou a teoria corpuscular da luz. Newton recebeu, em 1684, a visita do astrônomo Edmond Halley, que queria interrogá-lo sobre o movimento dos planetas, observado pelos astrônomos. Newton retomou, então, suas reflexões sobre a mecânica celeste. O resultado foi sua obra "Princípios Matemáticos da Filosofia Natural", que propõe três princípios básicos: o da inércia, o da dinâmica e o da ação e reação. Este trabalho obteve grande repercussão internacional. Newton foi eleito para o Parlamento em 1687, e nomeado para a Superintendência da asa da Moeda em 1696, quando se mudou para Londres. Tornou-se presidente da Royal Society em 1703 e, dois anos depois, sagrado cavaleiro, passou a ser chamado de Sir Isaac Newton. Fonte: http://educacao.uol.com.br/biografias/ult1789u549.jhtm Binômio de Newton Denomina-se Binômio de Newton, a todo o binômio ( a +b ) n, sendo n um número natural.
4 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII Exemplo: ( 4 3 ) 4 = x y onde a = 4x, b = 3y e n = 4 (grau do binômio). Exemplos de desenvolvimento de Binômios de Newton: a) ( ) a + b = a + ab + b b) ( ) 3 3 3 a + b = a + 3a b + 3ab + b c) ( ) 4 4 3 3 4 a + b = a + 4a b + 6a b + 4ab + b d) ( ) 5 5 4 3 3 4 5 a + b = a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + b Então, temos a seguinte fórmula: ( x + a) n =. x n. a 0. x n 1. a 1 n +,0 n +. x n.. n 3. 3,1 n a + x a, n +,3 +. 4. 4. 0,4 x n n a + n, n x. a n Exemplos: a) ( x + 1) 7 = x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x 1 7 0 7 1 1 7 7 3 3 7 4 4 7,0 7,1 7, 7,3 7,4 + x 1 + x 1 + x 1 7 5 5 7 6 6 7 7 7 7,5 7,6 7,7 Resolve-se as combinações e depois substitui na fórmula:
5 7! 7! 7,0 = = 0! 7 0! 1 7! ( ) urso Matemática Para oncursos II Módulo VII = 1 7,1 7! 7! 7 6! = = = 1! 7 1! 1!6! 1 6! ( ) = 7 7, 7! 7! 7 6 5! = = =! 7!!5! 1 5! ( ) = 1 7,3 7! 7! 7 6 = = = 3! 7 3! 3!4! ( ) 5 4! 6 4! = 35 7,4 7! 7! 7 6 5 4! = = = 4! 7 4! 4!3! 4! 3 ( ) = 35 7,5 7! 7! 7 6 5! = = = 5! 7 5! 5!! 5! 1 = 1 ( ) 7,6 7! 7 6! = = 7 6!1! 6! 1 = 7! 7,7 = 1 7! 1! = Substituindo: 0 6 5 4 3 1 1 7 x 1 1 x 1 35 x 1 35 x 1 1 x 1 7 x 1 1 x 1 + + + + + + + = 6 5 4 3 = 1+ 7x + 1x + 35x + 35x + 1x + 7x
6 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII 3 b) ( ) 6 a b + = 3 6 0 3 5 1 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b + a b + a b 6,0 6,1 6, 3 3 3 3 4 3 1 5 3 0 6 6,3 6,4 6,5 6,6 + a b + a b + a b + a b 6! 6,0 = = 1 0! 6 0! ( ) 6,1 = 6! 6 5! 1!5! = = 6 1 5! 6, = 6! 6 5 4!!4! = = 15 1 4! 6,3 6! 6 3!3! = = 5 4 3! 3! 6 = 0 6,4 6! 6 5 4! = = 15 4!! 4! 1 = 6,5 6! 6 5! = = 6 5!1! 5! 1 = 6! 6,6 = = 1 6!0
7 1 18 10 5 8 1 ( a b ) ( a b ) ( a b ) 6 9 4 6 3 ( a b ) ( a b ) ( a b ) = 1 1+ 6 + 15 4 + 0 8 + 15 16 + 6 3 6 + 1 1 = urso Matemática Para oncursos II Módulo VII = a b + 1a b + 60a b + 160a b 1 18 10 15 8 1 6 9 + + + 4 6 3 40a b 19a b 64 Fonte: http://www.portuguelandia.com.br/imagens/56.asp
8 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton Um termo genérico T do desenvolvimento de p+ ( a b) n 1 +, sendo p um número natural, é dado por: n n p p T = a b p+ 1 p Onde n n! = p n, p = p! ( n p)! é denominado Número Binomial n p é o número de combinações simples de n elementos de taxa p. Este número é também conhecido como Número ombinatório. Exercícios Resolvidos: 1. Determine o x + 1 0 7 termo do binômio ( ) 9, desenvolvido segundo as potências decrescentes de x. Vamos aplicar a fórmula do termo geral de ( a + b) n, onde a = x, b = 1 e n = 9. omo queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então: T T 9! 9 8 7 6! 6 1 7 9,6 ( x ) ( 1 ).( ) 1 8 ( 9 6 )! 6! x 3 1 6! x + = = = = 9 6 6 3 3
9 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII 84 8 67 3 3 x = x. Portanto o sétimo termo procurado é 3 67x.. Qual o termo médio do desenvolvimento de ( x 3y) 8 +? Temos a = x, b = 3y e n = 8. Sabendo que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T 1 T T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T 5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T 5. Para isto, basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes. Teremos: T T 8! 8 7 6 5 4! 4 1 5 8,4 ( x ) ( 3 y ) ( ) ( 3 ) 16 81 ( 8 4 )! 4! x y ( 4! 4 3 1) x y + = = = = 8 4 4 4 4 4 4 Fazendo as contas vem: T5 70 16 81 x y 9070x y 4 4 4 4 = =, que é o termo médio procurado. 3. Desenvolvendo o binômio ( x 3y) 3 termos. Qual o valor de n? n, obtemos um polinômio de 16 Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15. Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5. 4. Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de:
10 a) ( x 3y) 1 b) ( x y) 50 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII? Resposta: 1? Resposta: 0 a) basta fazer x = 1 e y = 1. Logo, a soma S procurada será: ( ) ( ) 1 1 S = 1 3 1 = 1 = 1. b) Analogamente, fazendo x = 1 e 1 y =, vem ( ) 50 50 S = 1 1 = 0 = 0. 5. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de 6 x + 1 x. Sabendo que o termo independente de x é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x. Temos no problema dado: a = x, 1 b = e n = 6. x Pela fórmula do termo geral, podemos escrever: p 6 p 1 6 p p 6 p T = x x x x p 1 6, p = =. + x 6, p 6, p Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois 0 x = 1. Logo, fazendo 6 p 0 =, obtemos p = 3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:
11 urso Matemática Para oncursos II Módulo VII 0 6! 6 5 4 3! T = T = x = = = = 0. 3+ 1 4 6,3 6,3 ( 6 3 )! 3! 3! 3 1 Logo, o termo independente de x é o T 4 (quarto termo) que é igual a 0. Observações: 1) o desenvolvimento do binômio ( a b) n ) o desenvolvimento de ( a b) n + é um polinômio. + possui n + 1 termos. 3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos, no desenvolvimento de ( a + b) n são iguais. 4) a soma dos coeficientes de ( a b) n + é igual a n. Socorro!!!!!!!!!! Fonte: http://www.portuguelandia.com.br/imagens/74.asp