Memória da aula prática 5 Página 1 de 8 1. Calcular, usando a tabela da distribuição normal padronizada, as seguintes probabilidades: a) p(0< Z < 1,38), que pode ser lido como: Qual a probabilidade correspondente ao intervalo de valores de Zres (resíduos padronizados) entre zero e +1,38? O que se pergunta é: qual é a área sob a curva densidade de probabilidade normal entre 0 e 1,38? Graficamente temos: A tabela que estamos usando dá como informação a área entre menos infinito e um dado valor de Zres, ou seja a probabilidade acumulada até um dado Zres Logo, para dizer quanto há entre Zres = 0 e Zres = 1,38, devemos fazer a diferença entre a probabilidade acumulada até Zres = 1,38 e Zres = 0. Consultando a tabela encontramos que a probabilidade acumulada até Zres = 1,38 é p = 0,9162: Zres até a 1ª Segunda casa decimal de Zres casa decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141................................. 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319.................................? 0 1,38 Quanto à probabilidade acumulada até zero, nem se precisa examinar a tabela: como zero divide ao meio a curva total de probabilidade igual a um (p = 1), a probabilidade acumulada até zero é p = 0,5. Logo a p(0< Z < 1,38) é = 0,9162 0,5000 = 0,4162. Resposta: a probabilidade de ocorrência de valores de Zres (distâncias padronizadas da média de uma medida qualquer cuja distribuição siga o tipo normal) entre 0 e 1,38 é de p = 0,4162, ou arredondando e passando para a base 100, 42%. No Excel escreva numa célula qualquer: =DIST.NORMP(1,38)-DIST.NORMP(0), que quer dizer a probabilidade acumulada até zres=1,38 probabilidade acumulada até zres=0. Obtenha o resultado p = 0,416207.
Memória da aula prática 5 Página 2 de 8 b) P(Z > 1,54) lê-se: probabilidade de um z com valores maiores que 1,54 Graficamente, a pergunta é qual a área hachurada abaixo: 1,54? Nossa tabela informa a área até Zres = 1,54. A área que descreve a probabilidade de valores maiores é a complementar desta para a área total, ou probabilidade um. Logo, se até Zres = 1,54 tenho uma probabilidade x, de 1,54 para frente tenho uma probabilidade = 1-x. Pra descobrir quanto vale o x, vamos à tabela: Zres até a 1ª Segunda casa decimal de Zres casa decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141................................. 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441................................. Se p (Zres < 1,54) = 0,9382, então p (Zres > 1,54) = 1-0,9382 = 0,0618, ou arredondando e passando para a base 100, p = 6,2%. No Excel: =1-DIST.NORMP(1,54) para obter p = 0,06178. c) P (-1,42 < Z < 0) lê-se: probabilidade de um z com valores entre -1,42 e 0 Graficamente, a pergunta é? -1,42
Memória da aula prática 5 Página 3 de 8 Na tabela só temos informação sobre valores positivos de Zres. No entanto, dada a simetria da curva normal, sabemos que a probabilidade (área sob a curva) entre Zres = -1,42 e Zres = 0 é igual à probabilidade (área sob a curva) entre Zres = 0 e Zres = 1,42: +1,42 Logo, o que temos que fazer é buscar na tabela o valor de probabilidade acumulada até Zres = 1,42 e subtrair 0,50 que corresponde à probabilidade até a metade. A probabilidade acumulada até Zres = 1,42 é p =0,9222 (veja na tabela). Subtraindo disto o p = 0,5000 ficamos com p = 0,4222, ou arredondando 42%. Tanto a probabilidade entre Zres = -1,42 e Zres = 0 quanto a probabilidade entre Zres = 0 e Zres = +1,42 é 42%. No Excel: =DIST.NORMP(1,42)-DIST.NORMP(0), p = 0,422196 2. Determine os valores da normal padronizada correspondente às seguintes probabilidades a) P(Z z) = 0,325. Lê-se: qual o valor z que acumula até si uma probabilidade de 0,325, ou 32,5%? NOTE QUE NESTE EXERCÍCIO ESTAMOS EXPLORANDO A FUNÇÃO INVERSA: dada uma probabilidade, argüimos o valor de Zres! Graficamente a pergunta é: Qual o valor de Zres que delimita a zona hachurada? Em outras palavras estamos perguntando: Qual o valor de Zres até o qual se acumula uma p = 0,325 probabilidade de p = 0,325? Como esta probabilidade é menor do que 50% (metade da curva que corresponde ao Zres=0) já sabemos que este Zres será negativo: Zres = -x. Nossa tabela de resíduos padronizados só informa valores positivos, temos que buscar informação para o valor de Zres simétrico ao que procuramos do lado positivo, o Zres = + x: p = 0,175 p = 0,175 p = 0,325 - x + x
Memória da aula prática 5 Página 4 de 8 Assim transformamos nossa pergunta de qual o valor de Zres que acumula até si uma probabilidade de 0,325, ou 32,5%? para a pergunta qual o valor de Zres que acumula até si uma probabilidade de 0,675, ou 67,5%?. Este valor, tomado com sinal invertido é o Zres que procuramos: Agora vamos à tabela e encontramos que para um p = 0,675 corresponde um Zres entre 0,45 e 0,46, portanto, Zres 0,455. Zres até a 1ª Segunda casa decimal de Zres casa decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 Se este é o +x, nossa resposta é seu simétrico -x : o Zres procurado é Zres -0,455. + x Usando o Microsoft Excel, escreva numa célula qualquer =INV.NORMP(0,675) e obtenha a resposta Zres = 0,453762. Ou ainda, você pode usar direto a probabilidade pedida: p = 0,325 =INV.NORMP(0,325) para obter Zres = -0,453762. b) P(Z > z) = 0,265 lê-se: qual é o z além do qual acumula-se uma probabilidade de 0,265? Graficamente a pergunta é: - qual o Zres além do qual a área sob a curva densidade de probabilidade normal é p = 0,265? que é o mesmo que: - qual o Zres até o qual a área sob a curva densidade de probabilidade normal é p = 0,735? : p = 0,265 x? p = 0,735 x? Para esta segunda forma de se fazer a pergunta podemos obter a resposta examinando nossa tabela:
Memória da aula prática 5 Página 5 de 8 Zres até a 1ª Segunda casa decimal de Zres casa decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 Portanto, nossa resposta é: Zres 0,63. No Excel você pode procurar o Zres simétrico, de valor negativo e trocar o sinal: =INV.NORMP(0,265), cujo Zres = - 0,628006 Ou procurar o Zres correspondente a 1-0,265: =INV.NORMP(1-0,265), cujo Zres = + 0,628006. Nestas questões a) e b) do exercício 2), note que na primeira pergunta buscávamos algo e na segunda algo >, mas nossos procedimentos foram os mesmos. Numa escala contínua onde um ponto qualquer é infinitesimalmente pequeno, incluí-lo ou não no cálculo é irrelevante, pelo que menor ou igual é o mesmo que menor e maior ou igual é o mesmo que maior. 3. Utilizando a base de dados fornecida sobre um grupo de pacientes pede-se respostas para as seguintes questões: a) Qual a probabilidade de um paciente ter uma glicemia maior que 120 mg/dl? Supondo que glicemia siga uma distribuição normal recorremos à tabela que resume a curva densidade de probabilidade normal padronizada. Logo, para conhecer a probabilidade de uma glicemia maior que 120 mg/dl, devemos primeiro padronizar a medida 120 mg/dl: =. Para isto precisamos conhecer a média e o desvio padrão das medidas de glicemia: estimados a partir da tabela fornecida obtemos = 131,36 e = 45,76. Transformando 120 mg/dl em resíduos padronizados obtemos Zres = -0,25. Consultando nossa tabela encontramos a probabilidade para valores de Zres >+0,25, que é p(z 0,25) = 0,4013 (1-0,5987). Logo, a probabilidade de valores menores que seu simétrico é também p(z -0,25) = 0,4013. A questão pede a probabilidade de valores maiores que 120 mg/dl, ou p(z>-0,25). Esta probabilidade deve ser o complemento (1-p) de p=,040: p = 0,60. A probabilidade de pacientes com glicemia superior a 120 mg/dl é de p = 0,60. No Excel: =1-DIST.NORMP(-0,25), probabilidade total menos o que se acumula até Zres=-0,25, que resulta em p = 0,598706326, a probabilidade para valores de glicemia superiores a 120mg/dl ou superiores a Zres = -0,25.
Memória da aula prática 5 Página 6 de 8 b) E um triglicéride entre 275 e 355 mg/dl? A probabilidade de triglicérides com valores entre 275 e 355 (p (275 triglic. 355) deve ser a diferença entre a probabilidade acumulada até triglic.= 355 menos a probabilidade acumulada até triglic. = 275 [p(trigl 355) - p(trigl 275)]. Como nossa tabela só informa valores de probabilidade para a distribuição normal padronizada, temos que padronizar os valores 275 e 355. Dado que a média de triglicérides é 221,14 mg/dl e o desvio padrão é 96,57 mg/dl, usando a fórmulazinha do Zres encontramos que estes valores transformados em resíduos padronizados correspondem a 0,56 e 1,39, respectivamente. 355 =,, = 1,39 275 =,, = 0,56 Graficamente nossa questão é: qual é a área sob a curva densidade de probabilidade normal entre os valores Zres= 0,56 e Zres=1,39? Como sugere a área hachurada abaixo: Na tabela encontramos que a probabilidade acumulada até Zres = 1,39 é p = 0,9177; E a probabilidade acumulada até zres = 0,56 é p = 0,7123. Logo, a probabilidade de valores de triglicérides entre 275 e 355 = 0,9177 0,7123 = 0,2054. A probabilidade de pacientes com triglicérides entre 275 e 355mg/dl é p = 0,2054. No Excel: =DIST.NORMP(1,39)-DIST.NORMP(0,56), que resulta num p = 0,205475. c) E um colesterol menor que 280 mg/dl? A média de colesterol é 221,36 mg/dl e o desvio padrão é 58,07 mg/dl. Usando estas informações calculamos o Zres para 280 como Zres= 1,01. Graficamente a pergunta é: E para respondê-la examinamos a tabela e encontramos que a probabilidade acumulada até este valor de resíduo padronizado é de p = 0,8438. Logo,
Memória da aula prática 5 Página 7 de 8 A probabilidade de pacientes com colesterol menor que 280 mg/dl é p = 0,8438. No Excel: =DIST.NORMP(1,01), p = 0,843752355 d) Sabendo que 30% dos pacientes são paulistas, qual a probabilidade de um paciente ser paulista e ter colesterol maior que 280 mg/dl? As probabilidades de ser paulista e ter uma dosagem de colesterol superior a 280 mg/dl são independentes. Logo, a probabilidade de um E a probabilidade de outro é o PRODUTO das probabilidades. Como já sabemos do exercício anterior que a probabilidade de pessoas com colesterol menor que 280 mg/dl é 84,4%, podemos inferir que a probabilidade de pessoas se apresentarem com um colesterol maior que 280 mg/dl seja o complemento = 100% - 84,4%, ou seja 15,6%. Logo a probabilidade de ser paulista e apresentar um colesterol superior a 280mg/dl é 0,30 x 0,156 = 0,0468 ou, arredondando na base 100, 4,7% No Excel: =(1-DIST.NORMP(1,01))*0,3, p = 0,46874 e) Qual a probabilidade de um paciente apresentar uma glicemia de 120 mg/dl e um colesterol de 280 mg/dl? Antes de considerar se glicemia e colesterol são fenômenos independentes para arbitrar se a probabilidade de um e outro será o simples produto ou uma probabilidade condicional, note que esta probabilidade é necessariamente Nula! A probabilidade de qualquer valor individual de uma variável contínua é nula. Lembre-se probabilidade é uma razão entre casos favoráveis (eventos de interesse ou fenômenos observados) e todos os casos possíveis (apud Laplace). Logo a probabilidade tanto de glicemia = 120 mg/dl quanto de colesterol = 280 mg/dl é zero:, divisão que tende a zero. f) Quais valores delimitam em torno da média um intervalo com 95% de probabilidade de ocorrências [p(z z) = 0,95]? Outra vez, ou que se está perguntando é a função inversa da de probabilidade normal. Se se quer um intervalo de 95% em torno da média, o que ser quer é 47,5% do lado esquerdo e 47,5% do lado direito. Devemos procurar na tabela qual o valor de Zres até o qual acumula-se uma probabilidade de 97,5% (50% até a metade e 47,5% depois da metade, da média):
Memória da aula prática 5 Página 8 de 8 0.4 0.35 0.3 0.25 Densidade 0.2 0.15 0.1 A probabilidade acumulada é 0.975 0,50 + 0,475 z = 1,96 0.05 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 Zres Encontramos o Zres = 1,96. Isto quer dizer que entre zero e +1,96 temos uma probabilidade de 47,5%. Dada a simetria da curva de densidade de distribuição normal, sabemos que a probabilidade (área) entre 1,96 e zero também é 47,5%. LOGO, para conseguirmos um intervalo dos 95% em torno da média devemos usar o intervalo entre 1,96 e +1,96. No intervalo Zres ± 1,96, a área sob a uma função densidade de probabilidade normal padronizada reúne 95% de todas as ocorrências de valores de uma variável que siga a distribuição normal de probabilidades: 0.4 0.35 0.3 0.25 Density 0.2 0.15 0.1 Probabillidade corresponde a esta área é 0.95 0.05 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 Zres -1,96 +1,96