1. teoria da utilidade e seguro

1. teoria da utilidade e seguro 1 / 57

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Introdução Um sistema de segurança é, de um modo lato, um mecanismo criado com o objectivo de reduzir o impacto financeiro adverso resultante de acontecimentos aleatórios que impedem a concretização de certas perspectivas razoáveis à partida. Outro sistema que afecta pagamentos associados na ocorrência de acontecimentos aleatórios é o JOGO. No entanto, este distingue-se do primeiro pelo facto daquele (sistema de segurança) ser criado com vista a proteger contra oimpacto económico de riscos que existem e estão fora de controle do segurado, enquanto que no jogo o risco é procurado voluntariamene pelos participantes. Efectivamente, o único ponto comum entre estes dois sistemas é o facto de envolverem uma redistribuição da riqueza. 3 / 57

Se cada um de nós pudesse predizer as consequências das nossas decisões obviamente que a nossa vida seria muito simplificada, mas contudo... desinteressante! Tudo se resumiria a tomar decisões com base nas preferências relativamente às consequências. No entanto, na possuimos (e ainda bem!) esse dom profético. O melhor que podemos fazer é seleccionar uma acção que nos irá conduzir preferencialmente a um conjunto de incertezas. A teoria da utilidade é uma teoria elaborada no sentido de levar a um conhecimento aprofundado acerca de como tomar decisões face à incerteza. Trata-se de uma teoria com importância relevante para os sistemas de segurança. 4 / 57

Assim, face ao problema de tomar uma decisão face à incerteza, uma solução possível poderá ser definir o valor de um projecto económico com resultado aleatório através do seu valor esperado. Em economia é designado este valor por Valor Justo ou Valor Actuarial. Através deste princípio, o agente de decisão encara de modo indiferente entre assumir um prejuízo aleatório X e efectuar um pagamento de montante E[X ]. 5 / 57

No entanto, muitos agentes de decisão não adoptam este princípio (por vezes, designado como Princípio do Valor Justo); para eles, o nível de riqueza e outros aspectos da distribuição dos resultados influenciam as suas decisões. No exemplo seguinte está bem patente a insuficiência do princípio referido. 6 / 57

Exemplo 1.1. (seguro de acidentes) Considere-se P[acidente]=0.1 inalterada. Os três casos seguintes estão escalonados de acordo com o montante de prejuízo resultante de um acidente, eventualmente. Prejuízos Possíveis (u.m.) 1 Prejuízo Esperado (u.m.) caso 1 0 1 0.1 caso 2 0 1.000 100 caso 3 0 1.000.000 100.000 No caso 1 o montante de perdas não é relevante, pelo que o agente de decisão não estará disposto a pagar mais do que o valor esperado dos prejuízos para efectuar o seguro. 1 u.m. - unidade monetária 7 / 57

Contudo, se fixarmos a nossa atenção no caso 3, um prejuízo de 1.000.000 u.m. poderá revelar-se catastrófico e exceder as suas disponibilidades financeiras. Neste caso, possivelmente o agente de decisão poderá estar disposto a pagar mais do que o valor esperado do prejuízo de forma a efectuar o seguro. Este facto sugere que o princípio do valor Justo nem sempre é o mais adequado como base da decisão. 8 / 57

ALTERNATIVAS? Iremos ver uma abordagem que de certo modo explica o facto de um agente de decisão poder estar disposto a pagar mais do que o valor esperado - a função utilidade. 9 / 57

Os três exemplos seguintes situam-se na área dos JOGOS e servem para ilustrar alguns dos conceitos fundamentais na Teoria da Utilidade. Exemplo 1.2. Embora dois jogos distintos X e Y possam ter o mesmo ganho esperado, uma pessoa que seja forçada a aceitar um dos dois jogos, preferirá tipicamente um deles ao outro. Por exemplo, sejam X : { 500 400 1/2 1/2 e Y : { 60 50 40 1/3 1/3 1/3 com E[X ] = E[Y ] = 50. 10 / 57

Contudo, uma pessoa que não queira arriscar perder 400 u.m. para ter a possibilidade de ganhar 500 u.m.,preferirá, de um modo geral, o jogo Y, que lhe oferece a possibilidade de um ganho certo de, pelo menos, 40 u.m.. A Teoria da Utilidade foi desenvolvida nos anos 30/40 com o objectivo de descrever as preferências pessoais em jogos como os que acabámos de descrever: Uma pessoa preferirá um jogo X para o qual o valor esperado de uma certa função u(x ), E[X ], seja um máximo (em vez de E[X ]!) 11 / 57

u(.) função utilidade x u(x) u(x), que representa o valor que a pessoa atribui ao facto de ganhar o montante x. because giving a bank note to a poor person makes more sense than giving it to a millionaire Rolski et al. (1999) 12 / 57

E[u(X )] = 1 2 u(500) + 1 2 u( 400) E[u(Y )] = 1 3 u(60) + 1 3 u(50) + 1 3 u(40) > prefere X E[u(X )] = E[u(Y )] indiferente entre X e Y < prefere Y u(x) é uma função crescente do ganho X É uma hipótese razoável, se pensarmos que pessoa prefere um ganho maior a outro mais pequeno! 13 / 57

Contudo, a forma de uma função utilidade u(.) varia de pessoa para pessoa e depende do balanço pessoal entre o risco assumido referente aos diversos montantes e a tentativa de aumentar os seus ganhos. Exemplo 1.3. jogo 1. jogo 2. X : { 3 2.5 6 0.5 0.4 0.1 Y : { 2 1 3 0.3 0.4 0.3 Qual a preferência pessoal entre o jogo 1 e o jogo 2? 14 / 57

a) Função utilidade linear: u(x) = ax + b, a > 0. E[u(X )] = E[aX + b] = ae[x ] + b = aµ X + b, donde E[u(X )] > E[u(Y )] sse µ X > µ Y portanto, quando a utilidade é linear o jogo escolhido é sempre aquele para o qual o ganho esperado é máximo. E[X ] = 0.5 ( 3) + 0.4 2.5 + 0.1 6 = 0.1 E[Y ] = 0.7 E[Y ] > E[X ] e portanto a preferência é pelo jogo 2. 15 / 57

b) Função utilidade cúbica: u(x) = x 3 E[u(X )] = 0.5 ( 3) 3 + 0.4 (2.5) 3 + 0.1 (6) 3 = 14.35 E[u(Y )] = 6.1 E[u(X )] > E[u(Y )] preferência pelo jogo 1 (X ) 16 / 57

Exemplo 1.4. (Paradoxo de St. Petersburg) O exemplo que se segue foi discutido por Daniel Bernoulli nos princípios do sec. XVIII, como exemplo ilustrativo do facto da função utilidade, considerada como função dos lucros possíveis, poderá não ser uma função linear. Suponhamos que é dada a oportunidade a uma pessoa de participar no seguinte jogo: Uma moeda é lançada repetidamente até que seja obtida a face cara pela primeira vez. 17 / 57

Se a primeira vez que a face cara aparece é no n ésimo lançamento, então a pessoa obtem um GANHO de 2 n u.m., (n = 1, 2,...) Questão: Qual o montante que uma pessoa está disposta a gastar como entrada de forma a permitir a sua participação no jogo? P[X = 2 n ] = P[obter primeira face cara no n-ésimo lançamento] = = ( ) 1 n 1 1 2 2 = ( ) 1 n 2 18 / 57

O ganho no jogo é descrito por X : { 2 n, n = 1, 2,... ( 1 2) n, E[X ] = ( 1 n 2 2) n = n=1 Se a função utilidade fosse uma função linear, então a pessoa estaria disposta a pagar como entrada qualquer montante arbitrário. No entanto, o que acontece de facto é que cada pessoa está disposta a pagar apenas uma quantia finita (e eventualmente reduzida), que depende da sua própria função utilidade. 19 / 57

alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade A função utilidade, u(.), associada a um agente de decisão, pode então ser usada com o objectivo de comparar duas perspectivas económicas aleatórias X e Y. Seja w a riqueza que possui determinado agente de decisão económica. Será seleccionada a perspectiva económica X se E[u(w + X )] > E[u(w + Y )] e será indiferente entre as duas perspectivas X e Y se E[u(w + X )] = E[u(w + Y )] quer dizer, a relação de preferência qualitativa ou de indiferença pode ser substituída por uma comparação numérica consistente. 20 / 57

Vejamos como a teoria da utilidade nos pode levar a um conhecimento aprofundado no campo dos SEGUROS. Suponhamos que um agente de decisão possui uma propriedade que pode ser danificada ou destruída no período de tempo seguinte. Seja X a variável aleatória que representa o montante de prejuízos (que pode ser eventualmente zero). Consideremos também que a distribuição de X é conhecida. 21 / 57

X montante de prejuízo E[X ] prejuízo esperado no próximo período. SEGURADOR organização que ajuda a reduzir as consequências financeiras do dano ou destruição da propriedade. SEGURADO dono da propriedade sujeita a risco 22 / 57

APÓLICES contratos estabelecidos entre o segurador e o segurado no sentido de ser pago um montante igual ou menor do que o prejuízo financeiro sofrido face ao dano que venha a ocorrer eventualmente, no período de vigência da apólice pagamento da indemnização. PRÉMIO pagamento efectuado pelo segurado ao segurador como retribuição das promessas contidas na apólice por parte do segurador. 23 / 57

princípio do valor justo (ou esperado) Supondo que o segurador adopta uma função de utilidade linear com o objectivo de estabelecer o prémio a ser pago pelo segurado, o PRINCÍPIO DO VALOR JUSTO ou ESPERADO estabelece esse montante. µ = E[X ] prémio puro para o período da apólice em causa. Este montante é incrementado de alguma sobrecarga (ou CARGA) de forma a cobrir despesas, impostos, lucros e alguma segurança contra o risco. 24 / 57

Prémio = prémio puro + carga de segurança + carga admnistrativa por exemplo : P = µ(1 + θ) + c = µ + θ µ + c com θ, c > 0 e onde θ COEFICIENTE de CARGA DE SEGURANÇA 25 / 57

Princípios de Cálculo de Prémio Existem outros princípios económicos que podem ser adoptados pelas seguradoras. Assim, e com µ := E[X ], quando: carga de segurança= = θ µ Princípio do Valor Esperado. = θ VAR[X ] Princípio da Variância. = θ VAR[X ] Princípio do Desvio Padrão. = θ VAR[X ]/µ Princípio Modificado da Variância. 26 / 57

Vejamos agora a perspectiva do dono da propriedade sujeita a risco - segurado - em termos da teoria da utilidade - u(x). perspectiva do segurado A indiferença entre pagar um montante G ao segurador e assumir o risco ele próprio pode ser estabelecido pela igualdade u(w G) = E[u(w X )] ( ) onde u(w G) valor esperado do pagamento de G para protecção financeira dada pela seguradora E[u(w X )] utilidade esperada de não comprar o seguro, quando a riqueza é w 27 / 57

No entanto... O contrato da apólice deverá ser vantajoso para ambas as partes- segurado e segurador. Sob este ponto de vista iremos ver que o dono da propriedade não pode ter uma função utilidade linear. 28 / 57

Por absurdo, suponhamos que u(w) = aw + b, a > 0. De ( ), a(w G) + b = E[a(w X ) + b] a(w G) + b = ae(w X ) + b, a(w G) + b = a(w µ) + b, pelo que G = µ 29 / 57

O que quer dizer: O pagamento (máximo) G que o segurado está disposto a pagar de modo a ser indiferente fazer o seguro ou não, é igual ao prejuízo esperado, µ. Ora, vimos anteriormente que na perspectiva da seguradora, para que o contrato resulte, a companhia deverá cobrar um prémio maior do que os prejuízos esperados. Isto é, G > µ 30 / 57

Desigualdade de Jensen: Seja u(w) uma função crescente, côncava. Isto é, suponhamos que u (w) > 0 e u (w) < 0. Então, para toda a v.a. X, desde que os valores médios envolvidos existam, tem-se E[u(X )] u(e[x ]) 31 / 57

Dem: 32 / 57

u(w) u(µ) + u (µ)(w µ), w pelo que E[u(X )] E[u(µ) + u (µ)(x µ)] E[u(X )] u(µ) + u (µ)e[(x µ)] e, consequentemente, E[u(X )] u(µ), c.q.d. Verifica-se a igualdade apenas se X for constante. Observação: Esta desigualdade é de grande aplicabilidade em Matemáticas Actuariais. 33 / 57

Retomamos agora o problema da função utilidade adoptada pelo dono da propriedade, de forma a tornar vantajoso para ambas as partes o contrato constante da apólice. De (*) vem o seguinte quando u(.) é côncava: u(w G) = E[u(w X )] u(w µ) a desigualdade decorre da desigualdade de Jensen e, porque u(.) é crescente, conclui-se que e consequentemente w G w µ G µ. Com G > µ a menos que X seja constante. 34 / 57

Então, o segurado pagará um montante maior do que o prejuízo esperado de forma a efectuar o seguro ADVERSO AO RISCO. Voltemos ao ponto de vista do segurador, associando uma função utilidade côncava u 1 (.). Consideremos também H prémio mínimo aceitável para assumir o prejuízo aleatório X w 1 riqueza corrente 35 / 57

perspectiva do segurador u 1 (w 1 ) = E[u 1 (w 1 + H X )] Corresponde ao Princípio de utilidade nula: a utilidade da riqueza corrente seja igual ao valor esperado da riqueza final, i.e., depois de feito o seguro (recebidos os prémios (H) e pagos os prejuízos ou indemnizações (X )). 36 / 57

Então, se u 1 (.) é côncava (e crescente) vem H µ apólice praticável Se então a apólice é praticável! G H µ 37 / 57

Exemplos de funções utilidade funções utilidade exponenciais u(w) = e αw propriedades da funções utilidade exponenciais u(w) é uma f. utilidade associada a uma atitude adversa face ao risco. (u (w) > 0 e u (w) < 0) Tem-se que E[u(X )] = M X ( α), com M X (r) = E[e rx ] a f.g.m. de X. 38 / 57

propriedades da funções utilidade exponenciais O prémio de seguro não depende da riqueza do agente de decisão (segurado ou seguradora) u(w G) = E[u(w X )] e α(w G) = E[ e α(w X ) ] e αg = M X (α) G = log M X (α) α que não depende de w. Analogamente, u 1 (w 1 ) = E[u 1 (w 1 + H X )] H = log M X (α 1) α 1 39 / 57

Exemplo de aplicação: Um agente de decisão tem f. utilidade u(w) = e 5w. Face a duas perspectivas económicas X e Y, qual delas prefere quando 1 X N(5, 2) e Y N(6, 2.5) 2 X N(5, 2) e Y N(6, 2.4) 40 / 57

Resolução: Recorde-se que X N(µ, σ 2 ) M X (r) = e µr+σ2 r 2 /2 1 E[u(X )] = M X ( 5) = 1 e E[u(Y )] = M Y ( 5) = e 1.25 tem-se E[u(X )] > E[u(Y )] e portanto prefere X. Observação: note-se que µ X < µ Y 2 Neste caso, E[u(Y )] = 1 e portanto é indiferente entre X e Y. 41 / 57

funções utilidade potência fraccionárias u(w) = w γ, w > 0, 0 < γ < 1 propriedades da funções utilidade potência fraccionárias atitude adversa face ao risco. (u (w) > 0 e u (w) < 0) prémios dependem da riqueza do agente de decisão. 42 / 57

Exemplo de aplicação: u(w) = w; considere-se w = 10 e X U(0, 10). Qual o montante máximo (G) que o agente está disposto a pagar para ter cobertura face a um prejuízo aleatório X? Resolução: u(10 G) = E[u(10 X )] 10 1 10 G = 10 x 0 10 dx G == 2 5 10 G = 10 3 9 = 5.56 Observação: Note-se que se verifica, tal como foi discutido atrás, G > E[X ] 43 / 57

funções utilidade quadráticas u(w) = w αw 2, w < 1 2α, α > 0 propriedades das funções utilidade quadráticas atitude adversa face ao risco. (u (w) > 0 e u (w) < 0) a decisão depende apenas do valor médio e da variância de X, E[X ] e E[X 2 ]. Observação: este tipo de funções utilidade pode ter como consequência certas atitudes absurdas face ao risco. Vejamos um exemplo disso: 44 / 57

Exemplo de aplicação: Consideremos o seguinte cenário: { u(w) = w 0.01w 2 0 c, w < 50; X : p 1 p Qual o montante máximo (G) que o agente de decisão está disposto a pagar para ter cobertura face a um prejuízo aleatório X? Considere c = 10 e p = 1 2 e compare os resultados para dois valores de w, w 1 = 10 e w 2 = 20. 45 / 57

Resolução: u(w G) = E[u(w X )] pelo que G deverá satisfazer a seguinte equação de segundo grau: (w G) 0.01(w G) 2 = pu(w) + (1 p)u(w c) = p[w 0.01w 2 ] + (1 p)[(w c) 0.01(w c) 2 ] w 1 = 10 G = 5.28 w 1 = 20 G = 5.37 46 / 57

Observações: 1 em ambos os casos G > E[X ] = 5 (adverso ao risco); 2 a conclusão é algo absurda! O agente de decisão está disposto a pagar um prémio superior no caso se ser, à partida, mais rico, exactamente pelo mesmo valor do dano (c = 10)! As funções utilidade quadráticas não são convenientes para agentes de decisão com tendência a sofrer prejuízos que aumentam no sentido da riqueza. 47 / 57

tipos de cobertura Temos vindo a falar de seguros de cobertura total face a um possível dano que afecte um agente de decisão. Vejamos no seguinte exemplo as consequências que advêm do facto de ser adoptada uma poĺıtica de cobertura parcial. 48 / 57

Exemplo: Consideremos u(w) = e 0.005w. A probabilidade que uma propriedade não seja danificada, no próximo período, é de 0.75; sendo sujeita a um dano convenientemente modelado pelo modelo EXPONENCIAL de valor médio 100, caso contrário. Compare os montantes prémio quando tem à sua escolha cada uma das seguintes poĺıticas face ao dano: 1 Cobertura total; 2 Cobertura parcial, de metade dos danos. (seguro PROPORCIONAL). e calcule o montante de excesso face às indemnizações esperadas, em cada um dos casos. 49 / 57

Resolução: O dano, X, é uma v.a. mista: X : { 0 Z Exp(100) 0.75 0.25, f Z (z) = 0.01e 0.01z, z > 0; I (X ) := cobertura. 1 Cobertura Total, i.e., tem-se I (X ) = X. E[I (X )] = E[X ] = 0.75 0+0.25 E[Z] = 0.25 100 = 25u.m. 2 Cobertura Parcial de tipo Proporcional tem-se I (X ) = X 2. E[I (X )] = 25 2 = 12.5u.m. 50 / 57

Determinemos para ambos os casos o montante máximo que o agente está disposto a pagar para ter a cobertura contratada, G: caso 1: cobertura total u(w G) = E[u(w X )] = 0.75u(w) + 0.25E[u(w Z)] e 0.005(w G) = 0.75( e 0.005w ) + 0.25E[ e 0.005(w Z) ] ( e 0.005w )e 0.005G = 0.75( e 0.005w ) +0.25( e 0.005w )E[e 0.005Z ] e 0.005G = 0.75 + 0.25E[e 0.005Z ] Note-se que E[e 0.005Z ] = M Z (0.005). 51 / 57

Sendo M Z (r) = 1 1 100r, para r < 0.01, obtemos M Z (0.005) = 2 e portanto G = 44.63u.m. donde o excesso face à indemnização esperada é G E[I (X )] = G E[X ] = 44.63 25 = 19.63u.m. 52 / 57

caso 2: cobertura parcial de metade dos danos. Desta vez vamos igualar a utilidade esperada com cobertura parcial à utilidade esperada sem cobertura. E[u(w G (X I (X )))] = E[u(w X )] [ ( E u w G X )] = E[u(w X )] 2 [ ( 0.75u(w G) + 0.25E u w G Z )] = 2 = 0.75u(w) + 0.25E[u(w Z)]. G = 28.62u.m. G E[I (X )] = 28.62 12.5 = 16.12 > 12.5 (perda parcial esperada) 53 / 57

Uma vez identificada uma classe de situações sujeitas a risco (e como tal candidatas a seguro) podem ser obtidas informações acerca das utilidades esperadas, associadas ao processo de prejuízos respectivo. As ideias acerca da teoria da utilidade que foram apresentadas têm sido usadas como fundamento para uma teoria elaborada no sentido de constituir um guia para os agentes de decisão, no sentido de tomarem acções consistentes com as suas preferências. Façamos um ponto da situação nesse campo: 0 I (X ) X.(apólices admissíveis) 54 / 57

Hipótese simplificadora do problema Suponhamos que qualquer apólice admissível pode ser adquirida pelo montante respeitante à indemnização esperada E[I (X )] E[X ] Suponhamos que a função utilidade é tal que o agente de decisão é adverso ao risco (u (w) > 0 e u (w) < 0) P- prémio a ser pago pelo agente de decisão. 0 < P = E[I (X )] E[X ] E[X ] = µ 55 / 57

Teorema: Arrow (1963) (seguro de saúde) De acordo com as condições anteriores, a utilidade de um agente de decisão adverso face ao risco é MAXIMIZADA adquirindo uma apólice de seguro tipo STOP-LOSS ou EXCESS-OF-LOSS { I d (x) = em que d é solução da equação P = d 0, x < d x d, x d (x d)f (x)dx (= E[I d (X )]) 56 / 57

Observações: Uma apólice de seguro não pode ser adquirida simplesmente pelo valor esperado das indemnizações. (despesas admnistrativas, lucro, carga de segurança) O teorema indica o tipo de contrato a estabelecer entre a seguradora e o segurado, mas não estabelece o prémio P a ser pago. (P fixado à partida.) 57 / 57