Progressão Aritmética E Progressão Geométrica David Armando Zavaleta Villanueva Departamento de Matemática-CCET-UFRN 1 1 villanueva@ccet.ufrn.br
Progressão Aritmética Definição 1 Chamamos de progresão aritmética a sequência de números (a n ) n, n N, onde cada termo, começando do segundo é igual ao anterior somado por uma constante única d, isto é, a n+1 = a n + d, n N. O número d chama-se razão da progresão aritmética, a 1 -primeiro termo e a n -termo geral. Assim por exemplo, a sequência, 7, 1, 17,,... tem como primeiro termo, e razão 5, pois 7 = + 5, 1 = 7 + 5, etc.. Agora, tentemos deduzir uma fórmula que relacione o n-ésimo termo com o primeiro termo, o número de termos e a razão. De fato, escrevendo a definição para cada termo da progressão, obtemos a n = a n 1 + d a n 1 = a n + d = a n 3 + d donde somando a n.. a 3 = a + d a = a 1 + d, a n = a 1 + (n 1)d. Exemplo 1 Para a progressão aritmética (a n ) n com a 1 = 7 e d = 4, obtemos a seguinte fórmula; a n = 7 + (n 1) 4 = 4n + 3. Em geral, podemos escrever o termo geral de uma progressão aritmética da seguinte maneira: Para qualquer n temos desta forma a n = nd + (a 1 d). a n+1 a n = d, a n a n 1 = d, a n+1 a n = a n a n 1 ou a n = a n 1 + a n+1. Assim, vemos que cada termo da progresão aritmética começando do segundo termo é igual a média aritmética do termo anterior e do termo posterior a ele.
3 Exemplo Mostre que a sequência (a n ) n com termo geral a n aritmética. = 3n 5 é uma progressão Solução Para n temos a n = 3n 5, a n 1 = 3(n 1) 5 = 3n 8, a n+1 = 3n. Portanto a n = 3n 5 = o que demonstra a afirmação. (3n 8) + (3n ) = a n 1 + a n+1, Já vimos acima que na progressão aritmética (a n ) n com razão d, vale a n = a 1 + (n 1)d. Mas, isto pode-se escrever na forma a n = a 1 + (n k + k 1)d = a 1 + (k 1)d + (n k)d, ou seja tem lugar a seguinte fórmula: a n = a k + d(n k), 1 k n 1, onde n e k são números naturais. Trocando k por n k e por n + k, obtemos a n a n = a n k + kd, = a n+k kd, donde encontramos a n = a n k + a n+k, 1 k n 1. Vejamos a n = a 1 + (n 1)d, a m = a 1 + (m 1)d, a k = a 1 + (k 1)d e a l = a 1 + (l 1)d. Daqui, a m + a n = a 1 + (m + n) )d e a k + a l = a 1 + (k + l) )d. Observamos que a m + a n = a k + a l, se m + n = k + l. Exemplo 3 Para uma progressão aritmética (a n ) n qualquer, obtemos as seguintes fórmulas; 1. a 30 = a 15 + a 45, pois a 15 = a 30 15 e a 45 = a 30+15 ;. a 11 + a 13 = a 15 + a 9. Exemplo 4 A soma do segundo e quarto termos da progressão aritmética (a n ) n é igual a 16, o produto do primeiro e quinto termos é igual a 8. Encontre o primeiro termo e a razão desta progressão. Solução: Por hipótese, temos a + a 4 = 16 e a 1 a 5 = 8; então obtemos o seguinte sistema { a 1 + d = 8 a 1 (a 1 + 4d) = 8. Substituindo d da primeira equação na segunda equação, obtemos a 1 16a 1 + 8 = 0, ou (a 1 14)(a 1 ) = 0. Desta forma, a 1 = 14 e a 1 = ; portanto, d = 8 a 1 = ±3.
Exemplo 5 Os números 7 e 7 são o primeiro e oitavo termos respectivamente de uma progressão aritmética (a n ) n. Encontre a n para n =, 3,, 7. Solução: Como d = a 8 a 1 8 1 = 7 7 7 então os correspondentes termos são =, 7, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7. Agora vamos a deduzir a fórmula para calcular a soma S n = a 1 + a + a n dos primeiros n-termos de uma progressão aritmética (a n ) n : S n = a 1 + a + a 3 + a n = = a 1 + a 1 + d + a 1 + d +... + a 1 + (n )d + a n = = (n 1)a 1 + (1 + + 3 +... + n )d + a n = = (n 1)a 1 + 1 + n (n ) a n a 1 n 1 + a n = = na 1 + na n = a 1 + a n n. Mais fácil e genial é a ideia que teve o grande Gauss para calcular a soma do primeiros n números naturais: S n = a 1 + a + a 3 + + a n + a n 1 + a n, S n = a n + a n 1 + a n +... + a 3 + a + a 1 somando, obtemos S n = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + (a + a n ) +... + (a n + a 1 ). Mas, como (a 1 + a n ) = (a + a n 1 ) + (a + a n ) +... + (a n + a 1 ), então S n = (a 1 + a n )n, donde S n = a 1 + a n n. Exemplo 6 Num jardim que possui a forma de um triângulo equilátero queremos saber se é possivel plantar 156 árvores, de tal forma que na primeira fileira colocamos uma árvore, na segunda fileira colocamos duas árvores, na terceira 3 árvores, e assim adiante até chegar a n ésima fileira onde queremos colocar n árvores. 4 n arvores
Solução: Suponha que n seja o número de fileiras. Observamos, que a existência de tal jardim corresponde a existência de n, que satisfaça a seguinte igualdade Para isto, basta resolver a seguinte equação 1 + + n = 156. n(n + 1) = 156. Encontramos daqui n = 16, ou seja, o jardim possui 16 fileiras. 5
Progressão Geométrica Definição Chamamos de progressão geométrica a sequência de números {b n }, n N, onde cada termo, começando do segundo é igual ao termo anterior multiplicado por uma constante única q 0, isto é, b n+1 = a n q, n N. O número q chama-se razão da progressão geométrica, b 1 -primeiro termo e b n -termo geral. Assim, por exemplo a sequência 1, 3, 9, 7, 81, onde cada termo, começando pelo segundo, obtem-se do anterior multiplicando por 3 é uma progressão geométrica, de razão q = 3 e b 1 = 1. Para uma progressão geométrica {b n }, n com razão q, temos isto é, ou seja Por exemplo, para a progressão geométrica temos as seguintes igualdades b n b n 1 = b n+1 b n = q, b n = b n 1 b n+1, b n = b n 1 b n+1. 1, 3, 9, 7, 81, 43,, 3 n 1, 3 = 1 9; 9 = 3 7; 7 = 9 81; 43 = 81 79; 3 n = 3 n 1 3 n+1. Exemplo 7 Suponha que os números a, b, c são os termos consecutivos de uma progressão geométrica. Mostre que a b c ( 1 a 3 + 1 b 3 + 1 c 3 ) = a 3 + b 3 + c 3. Solução: Como a, b, c são os termos consecutivos de uma progressão geométrica, então b = ac. portanto ( 1 a b c a + 1 3 b + 1 ) = b c 3 c 3 a + a c + a b = acc b c a + b4 b + a ac = c = a 3 + b 3 + c 3. Para qualquer progressão geométrica {b n } é válida a seguinte igualdade b m b n = b k b l se m + n = k + l. 6
Exemplo 8 Suponha que todos os termos da progressão geométrica {b n } sejam positivos. Se b 10 = e b 18 = 3. Encontre b 16 e b 3 b 7. Solução: Como 10 + 18 = 14 + 14, então b 14 = b 10 b 18 = 6; portanto, b 14 = 6. Também, como 14 + 18 = 16 + 16, então b 16 = b 14 b 18 = 3 6, isto é, b 16 = 3 6. Porfim, de 14 + 16 = 30 = 3 + 7, segue que, b 3 b 7 = b 14 b 16 = 6 3 6 = 3 6. A soma S n = b 1 + b + b 3 + + b n dos primeiros n termos de uma progressão geométrica {b n } de razão q 0 é dado pela fórmula se q = 1, então S n = nb 1. Por exemplo, S n = b 1 1 q n 1 q, 1. 1 + + 4 + + n 1 = 1 n 1 = n 1;. 1 5 + 1 3 5 + + 1 4 5 = 1 1 ( 1 5 )n 3 n 1 5 3 1 1 5 Exemplo 9 Calcular a seguinte soma = 1 ( 1 1 ). 100 5 n 3 S n = 1 + a + 3a + 4a 3 + + na n 1, a 0. 7 Solução: Multiplicando S n por a, temos então ou Como obtemos Exemplo 10 Calcular a seguinte soma as n = a + a + 3a 3 + 4a 4 + + na n, as n S n = na n (1 + a + a + a 3 + a n 1 ), (a 1)S n = na n (1 + a + a + a 3 + a n 1 ). 1 + a + a + a 3 + a n 1 = an 1 a 1, S n = nan a 1 an 1 (a 1). S = 8 + 88 + 888 + + } 8888 {{ 8888}. 1000 algarítmos
8 Solução. O número } 8888 {{ 888} para qualquer n natural, podemos escrever na forma n algarítmos 8888 888 }{{} n algarítmos = 8 n algarítmos {}}{ 1111 111 1 = 8 n algarítmos {}}{ 9999 999 9 = 8 10n 1. 9 Então S = 8 10 1 + 8 10 1 + 8 103 1 + + 8 101000 1 = 9 9 9 9 = 8 1 9 (10 + 10 + 10 3 + + 10 1000 1000) = = 8 1 9 [10(101000 1) 10 1 = 8 9 ( } 1111 {{ 11} 0110). 997 algarítmos 1 1000] = 8 1 9 ( } 1111 {{ 11} 0 1000) 1000 algarítmos 1
9 Exercícios 1. Mostre que se (a n ) n é uma progressão aritmética, então 1 + 1 + 1 +... + 1 = n 1. a 1 a a a 3 a 3 a 4 a n 1 a n a 1 a n. Resolva 3. Calcule (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) +... + (x + 8) = 155. (100) (99) + (98) (97) +... + 1. 4. Mostre que para a progressão geométrica (b n ) n, de razão q, com n, valem (a) b + b 4 + b 6 +... + b n = (b) 1 b 1 + 1 b +... + 1 b n = S n b 1 b n. q 1 + q S n; 5. Mostre que se a, b, c, d são os termos consecutivos de uma progressão geométrica, entao (a c) + (b c) + (b d) = (a d).
10 Problemas Complementares 1. As páginas de um livro são numeradas de 1 até n. Quando foi feita a numeração das páginas, uma delas foi erroneamente numerada duas vezes, resultando um total de 1986 páginas. Qual foi o número da página repetida?. Um mágico pede a um dos espectadores que escreva num tabuleiro 8 8 os inteiros de 1 até 64, um número em cada um dos quadrados unitários, da maneira seguinte: 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5 53 54 55 56 57 58 59 60 61 6 63 64 O mágico, sem ver o tabuleiro, solicita que o espectador escolha um número qualquer do tabuleiro e apague a linha e a coluna contendo este número e que repita este procedimento para o tabuleiro 7 7 resultante, e assim por diante até o último número. Sem ver nenhum dos números, o mágico diz a soma de todos eles. Como o mágico consegue advinhar? 3. Do conjunto dos números inteiros {1,, 3,..., n} apagamos 5 número que formam uma progressão aritmética. A soma dos números restantes é 5000. (a) Determine todos os valores de n para os quais isto é possível. (b) Para cada n satisfazendo (a), determine os 5 inteiros possíveis de serem apagados. 4. Do conjunto dos números inteiros {1,, 3,..., n} apagamos 3 número que formam uma progressão geométrica. A soma dos números restantes é 615. (a) Determine todos os valores de n para os quais isto é possível. (b) Para cada n satisfazendo (a), determine os 5 inteiros possíveis de serem apagados. 5. Qual é o número máximo de termo de uma progressão geométrica de razão maior do que 1 formada inteiramente por números inteiros entre 100 e 1000, inclusive?
6. Sejam a, b, c as raízes cúbicas de três inteiros primos distintos. Mostre que a, b, c não podem ser termos (consecutivos ou não) de uma progressão aritmética. 11 7. Diga, justificando, se é possível escolher 1983 inteiros positivos distintos, todos menores do que ou iguais a 100000, de modo que nenhum terno deles esteja em progressão aritmética.