FICHA DE TRABALHO FUNÇÕES POLINOMIAIS Matemática (10/11º ano) EXERCÍCIOS I. Questões de escolha múltipla 1. Das seguintes representações gráficas, quais são representativas de funções? (A) I e IV (B) II e IV (C) I e III (D) II e III 2. A Ana está sentada num baloiço. Começa a baloiçar-se e tenta chegar o mais alto possível. Qual dos gráficos representa, de forma mais correcta, a altura dos seus pés em relação ao chão, enquanto baloiça? 3. As funções f e g definidas por f ( x) = 2x 4 e g( x) = 1 x, intersectam-se no ponto de abcissa: (A) x = 0 (B) x = 1 (C) x = 1 (D) x = 2 4. O lucro de uma empresa, quando x artigos são produzidos e vendidos, é dado, em milhares de euros, por: L ( x) = 0,53x 120 para 0 x 1000 Quantos artigos têm de ser vendidos para que a empresa não tenha prejuízo? (A) 120 (B) 192 (C) 204 (D) 231 5. O domínio da função de expressão designatória:
é: (A) + R 0 (B) ],1] x + 1 x (C) [ 0,1] (D) [ 1,+ [ 6. A tabela seguinte representa a variação de uma função f contínua em todo o seu domínio: x -2 0 1 2 f(x) 1 0 3 1 indique qual das seguintes afirmações é verdadeira:. (A) f ( 1) > 1 3 1 (D) (B) f < f ( 1) (C) f < f ( 0) ( 2) f (2 2 2 f ) 7. Um tanque tem a forma de um paralelepípedo rectângulo, com 7 m de comprimento, 5 m de largura e 4 m de altura. Admite que o tanque está vazio. Num certo instante, é aberta uma torneira que verte água para o tanque, à taxa de 2 m 3 por hora, até este ficar cheio. Qual é a função que dá a altura, em metros, da água no tanque, t horas após a abertura dá torneira? (A) h( t) 4 2t, t 0,70 (B) h( t) 4 2t 2 2 (C) h( t) = t, t [ 0,70] (D) h t) t 35 35 = [ ] 8. Considere a função quadrática definida por: O vértice da parábola representativa da função f é: =, t [ 0,140] ( =, t [ 0,140] f ( t) = x ( + 1) 2 2 (A) (1, -2) (B) (1, 2) (C) (-1, 2) (D) (-1, -2) 9. Sejam f e g as funções cujas representações gráficas se seguem:
Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) ( x) = f ( x 2) + 1 x = f ( x + 2) g (B) g ( x) = f ( x 2) 1 (C) g ( ) 1 (D) g ( x) = f ( x + 2) + 1 10. Uma dada função quadrática, f, tem dois zeros, 0 e 4. Sabendo que f ( 1) = 3, indique a afirmação verdadeira. (A) O eixo de simetria da parábola representativa da função f e x = 1 (B) y = 2x(x 4) é uma decomposição em factores de f(x). (C) y = -(x-2) 2-4 é uma expressão analítica da função f. (D) f(1) = 5 11. Considere a função g representada graficamente: Os zeros positivos de h(x) = -g(x -1) são: (A) 2 e 4 (B) 1 e 3 (C) 3 e 5 (D) Não existem zeros positivos 12. O conjunto solução da condição: é: x 2 < 3x - 2 (A) R (B) ] 1,2[ (C) ] 1[ ] 2, + [, (D) 13. Considere a função h definida na figura ao lado.
Em relação a g(x) = h(x)+2 podemos afirmar que: (A) Tem um zero (C) Tem três zeros (B) Tem dois zeros (D) Não tem zeros II. Questões de resposta aberta 1. Aqueceu-se certa quantidade de água. Quando começou a ferver (a 100 C), deixou-se esfriar. Responda às seguintes questões, analisando o gráfico desta experiência. a) Que variável se representou no eixo das abcissas? E no das ordenadas? b) Quanto tempo permanece a água a 100 C? c) Quanto tempo demora a arrefecer até chegar aos 20 C? d) Qual a razão por que a água fica tanto tempo a 20 C? 2. Os alunos do 10 Ano foram fazer um passeio com saída e chegada à escola. Registaram num gráfico de meia em meia hora a sua distância à escola.
a) A que distância da escola se encontravam às 10 h? b) Sabendo que pararam para comer, diga a que distância da escola se encontravam. c) Indique em que período de tempo a distância a escola foi aumentando. d) Entre que horas a distância à escola foi diminuindo? e) A que horas foi máxima a distância à escola? Qual foi essa distância? f) Quando foi a distância nula? 3. Considere a função h definida graficamente por: Tendo por base o gráfico de h, indique: a) Domínio; b) Contradomínio; c) Zeros; d) Um intervalo onde a função seja crescente e negativa; e) Os extremos, absolutos e relativos; f) Uma tabela com os sinais e os zeros de h. 4. Seja ( x) x + 4 h =. Determine o domínio da função h. x 2 1
5. Considere a função g definida pelo gráfico em anexo: a) Analisando o gráfico, indique: a1) Domínio e contradomínio de g; a2) Zeros de g; a3) O conjunto solução de g(x) 2. a4) Um intervalo onde a função seja positiva e crescente; a5) Os extremos de g. b) Elabore uma tabela de variação da função g;. c) Defina analiticamente a função g. 6. Considere a função f representada na figura, indique: a) O domínio e o contradomínio de f. b) Os zeros de f. c) OS valores do domínio cuja imagem é 1. d) Um intervalo onde a função f seja crescente. e) Um intervalo onde f é negativa. f) Os extremos de f. 7. Considere a família de funções afins definida por h(x) = (a - 2).z + 3 com a R. a) Determine os valores de a de modo que h seja decrescente. b) Considere a = -1 e represente graficamente h, indicando o intervalo onde a função é positiva.
8. As rectas a e b são, respectivamente, as representações gráficos das funções f e g, definidas em R. a) Qual é a imagem de -1 por f e por g? b) Indique os zeros de f e de g e estude o sinal de cada uma das funções. c) Mostre que: c1) f(x) = x + 1 c2) g(x) = -0,5x+ 1,5 d) Atendendo às expressões designatórias de f e de g, resolva as condições: d1) g(x) < 3 d2) f(x) = g(x) 9. Na figura anexa estão representados os gráficos das funções f e g. a) Observando os gráficos de f e de g, indique: a1) o domínio de f e o contradomínio de g, a2) um intervalo onde g seja decrescente e positiva. a3) os valores de x tais que: i) g(x) 0 ii)f(x)<g(x) b) Determine uma expressão designatória de f. c) Sabendo que g(x) = ax 2 +2x + b, com a, b R. Determine a e b. 10. Considera a função quadrática definida por: h(x) = -(x+ 2) 2 3 a) Indica as coordenadas do vértice da parábola, b) Compara o gráfico da função h com o gráfico da função f(x) = x 2. Que podes concluir?
11. Seja g, função real de variável real, definida por g(x) = x 2 6x. Utilize processos exclusivamente analíticos para responder às 4 questões seguintes: a) Calcule os zeros de g. b) Determine as coordenadas do vértice da parábola que representa a função g e desenhe a parábola., c) Resolva, em R, g(x) 7 d) Determine k de modo que g(x) + k seja sempre positiva. 12 Quando se atira uma bola ao ar, com uma velocidade inicial de 30 m/s, a altura em metros atingida pela bola ao fim de t segundos é dada pela expressão: h(t)=30t 5t 2 Utilizando processos exclusivamente analíticos resolva as 4 questões seguintes: a) indique a altura da bola ao fim de 2 segundos. b) Justifique que a bola se manteve no ar durante 6 segundos. c) Determine a altura máxima atingida pela bola. d) Calcule o intervalo de tempo em que a bola se encontrou acima dos 25 metros. 13. Um balão meteorológico foi lançado do alto de uma montanha às 8 horas de um determinado dia. A partir do momento do lançamento, a sua altitude A (em metros) evolui com o tempo (em horas), de acordo com a função : A(t) = -20t 2 +200t+345, t 0 a) A que altitude foi lançado o balão? b) Qual a altitude do balão às 10h30? c) O balão acabou por cair no mar: A que horas e que tal aconteceu? d) Os técnicos estavam especialmente interessados nas informações obtidas no intervalo de tempo em que o balão esteve acima dos 45 m. Que intervalo foi esse? 14. [ABCD] e um rectângulo de lados AB = 7cm e AC = 5cm. Sobre cada lado designe-se por M, N, P, Q os pontos tais que AM = BN = CP = DQ = x. a) Que valores pode tomar x? b) Mostra que a área do quadrilátero [MNPQ] e dada em função de x pela expressão:
A(x) =2x 2 12x+35 c) Determina para que valores de x se tem A(x)= 19? 15. Dois gafanhotos, G e H, colocados em cima de uma mesa, dão um salto cujas alturas são dadas, respectivamente, por g e h, em cm. Estas alturas podem ser calculadas pelas expressões: g 2 d 12 ( d ) = 2d e h( d ) = 4d onde d (em cm) é a distância medida na horizontal desde o início do salto. Utilizando a calculadora gráfica, responda às questões seguintes, apresentando o gráfico ou gráficos, obtido(s) na calculadora. a) Qual dos dois gafanhotos: a1) saltou mais alto? Qual foi essa altura? a2) percorreu uma maior distância? Qual foi essa distância? b) Indique a tal que g(a) = h(a). Apresente o resultado arredondado às centésimas. interprete o valor obtido, no contexto desta igualdade. c) Qual foi a distância percorrida pelo gafanhoto G, enquanto se encontrava a uma altura superior ou igual a 8 cm? 16. Na figura está representado um paralelogramo em que AC = 6cm. Considere EB =x e EC =2x. a) Mostre que a área do triângulo [ACE] (em cm 2 ) é dada em função de x, por: A(x) = 6x x 2 com x ]0,6[ b) Recorrendo a processos exclusivamente analíticos, determine os valores de x para os quais a área do triângulo [ACE] é inferior a 8 cm 2. 17. A figura representa o esboço do gráfico de uma função f, real de variável real, de domínio R, em que C1 é parte de uma parábola e C2 uma semi-recta de origem no ponto de coordenadas (2, 0). 2 d 5 a) Indique os zeros e os intervalos de monotonia de f. b) Represente graficamente a função p(x) = 1+ f (x -2). c) Indique, recorrendo ao gráfico. O conjunto solução da condição f(x) 2.
d) Represente, por meio de uma expressão analítica, a função f para f(x) 2. 18. A figura representa o gráfico de uma função g, em que C1 é parte de uma parábola e C2 uma semi-recta com origem em (2, 0). a) Indique: a1) Domínio e contradomínio; a2) Intervalos de monotonia; a3) Zeros a4) Os valores de x tal que g(x) 0. b) Indique os valores de k tal que h(x) = g(x) + k: b1) Não tenha nenhum zero; b2) Tenha dois zeros., c) Represente graficamente: c1) t(x) = 1 + g(-x) c2) p(x)=2 + g(x-2) d) Defina g analiticamente. 19. O gráfico da figura representa uma função quadrática h, de vértice (2, -2). a) Indique o contradomínio e os intervalos de monotonia de h. b) Comente a afirmação: "A função h é negativa em ]0,4 [" c) Represente graficamente a função: d) Mostre que h(x) = 0,5x 2-2x p(x)= 1 - h(x+2)
e) Determine o conjunto solução da condição h(x) < 2x - 6. 20. Um foguete é lançado verticalmente de forma que a sua altura h (acima do solo) em metros é dada, em função de t, a partir do instante de lançamento (t=0) e até ao instante de queda no solo pela expressão: h=-5t 2 +40t+45 a) Utilizando a calculadora gráfica, indique quanto tempo demora o foguete a tocar o solo. b) Utilizando métodos exclusivamente analíticos, determine: b1)a altura máxima atingida pelo foguete; b2) Em que instantes a altura do foguete é superior a 105 m? 21. Considere as funções reais de variável real f e g definidas por: f(x) =2x-1 e g(x)=x 2-4x+8 a) Sem recorrer à calculadora resolva as duas alíneas seguintes: a1) Determine o vértice da parábola representativa do gráfico da função g. a2) Calcule as coordenadas do ponto de intersecção de f com g. b) A condição g(x) 9x 2 +15x +9 tem, em R + um conjunto solução do tipo [a, b] com a, b reais. Fazendo uso da sua calculadora gráfica, indique os valores de a e b, aproximados às centésimas. 22. Considere a função polinomial f, do terceiro grau, cujo gráfico está representado na figura. Sabe-se que -3, 1 e 2 são os zeros da função e que f(0) = 2. a) Represente graficamente: a1) -f(x) a2) f(-x) b) Determine os valores de x para os quais: b1) -f(x+2)<0 a2) f(2x)>0 1 3 7 + 3 3 c) Mostre que f ( x ) = x x 2
d) Represente f na calculadora e indique, com aproximação às centésimas, os extremos relativos da função. 23. O modelo matemático da concentração em mg/l de sangue atingida depois de t minutos da tomada de um medicamento X é o seguinte: C(t) = 0,01t 3 + 0,02t 2 + t Fazendo uso da sua calculadora gráfica responda às questões seguintes: a) Após 5 minutos da tomada do medicamento, qual é a concentração em mg/l do medicamento no sangue? b) Indique a concentração máxima atingida e o momento em que tal aconteceu. c) Durante quanto tempo a concentração foi superior a 3 mg/litro? d) Um medicamento com as características do medicamento X é considerado bom se satisfazer cumulativamente os seguintes requisitos: 1. Atingir uma concentração superior a 5 mg/l; 2.. Durante, pelo menos, 10 minutos manter uma concentração superior a 2mg/l; 3.. Actuar pelo menos durante 10 minutos. Num pequeno texto, incluindo o gráfico e dados numéricos obtidos pela calculadora, descreva, relativamente aos parâmetros definidos, as características do medicamento X e conclua se ele deve ou não ser considerado bom. 24. Num certo dia, uma localidade foi invadida por uma praga de insectos. Verificou-se que o numero de insectos N(t), em milhares, evoluiu com o tempo t, em dias, até serem exterminados de acordo com N (t) = t 3-7t 2 + 8t+16. a) Determine o número inicial de insectos. b) Ao fim de quantos dias foi exterminada a praga? c) Em que dia O número de insectos passou a ser inferior a 10000? 25.. Considere a função cúbica definida por: g(x) = 2x 3-14x +12 indique, recorrendo à sua calculadora, o conjunto solução da condição g(x) > 0. 26. Considere a família de polinómios A(x) definida por: A(x) = 2x 3 + 4x 2-2x + k, com k R a) Determine k tal que 2 seja zero de A(x), b) Considere k = -4 indique o conjunto solução da inequação: A(x) 0 27. Durante 120 minutos um balão de ar quente andou no ar sem controlo. O modelo matemático que descreve a altura h, em metros, do balão, t minutos depois do início do problema que levou o balão a andar à deriva é dado por: h(t) = 0,0001(t- 80)(t - 60)(t-0,1) +12, 0 t 120
a) Quando ocorreu o problema, a que altura do solo estava o balão? b) No referencial da figura seguinte está representado o gráfico do modelo dado. Indique as coordenadas dos pontos A e B, representados na figura, pontos em que a função atinge um máximo e um mínimo relativo, respectivamente. Descreva o significado destas coordenadas no contexto do problema c) O António observou o balão quando este estava a 14 metros de altura. Em que momento ocorreu esta observação? Escreva um pequeno texto onde explique o seu raciocínio e indique todas as soluções possíveis.