CONSTRUINDO UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS POR MEIO DE PLANILHAS ELETRÔNICAS Fernando Valério Ferreira de Brito fernandobrito500@gmail.com Ewerton Roosewelt Bernardo da Silva e.roosewelt@hotmail.com RESUMO Este trabalho discorre sobre uma pesquisa em andamento que pretende verificar a possibilidade de desenvolver uma sequência didática sobre números complexos tendo como ferramenta o Calc, software de planilhas eletrônicas. Para tanto, analisa-se a abordagem desse assunto nos livros didáticos atuais, a possibilidade de relacionar os números complexos ao estudo de matrizes e, posteriormente, a capacidade do Calc em demonstrar propriedades e operações envolvendo matrizes e números complexos. A partir dessas análises, pretende-se propor uma sequência didática a ser experimentada no ensino médio. Como resultados parciais, constatou-se a ausência de relação entre esses conteúdos na maioria dos livros didáticos atuais desenvolvidos para a última etapa da educação básica, apesar de ser possível fazê-la. A integração desses diferentes conteúdos pode ser feita, por exemplo, com a utilização de ferramentas e funções do Calc, ou seja, é possível apresentar as propriedades operacionais de números complexos a partir de matrizes antissimétricas, constituindo-se em um meio para relacionar conceitos matemáticos apresentados tanto na segunda quanto na terceira séries do ensino médio. Dessa forma, a presente pesquisa tende a validar mais um caso de aplicação de planilhas eletrônicas para fins educacionais, contribuindo para melhoria do processo de ensino e aprendizagem de Matemática e na discussão do uso de tecnologias digitais na educação. PALAVRAS-CHAVE: Calc. Matrizes. Números Complexos. 1 PROBLEMÁTICA DA PESQUISA Esta pesquisa revela sua importância na pretensão de contribuir para o processo de ensino e aprendizagem de Matemática no ensino médio, em particular, para o ensino de números complexos. Este conteúdo é geralmente apresentado na terceira série de maneira totalmente dissociada dos demais conceitos matemáticos e segundo abordagem tradicional. Isso tem provocado nos alunos dificuldades de aprendizagem, além de serem relativamente raros os registros de experiências em sala de aula nas quais os discentes desenvolvem a habilidade de estabelecer relações, conexões e integração entre diferentes campos da Matemática e conhecimentos tecnológicos competência apontada pelas Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006). Sendo assim, surge naturalmente o seguinte questionamento: como introduzir o conceito de números complexos e 1
apresentar suas propriedades relacionando-os a outros conceitos matemáticos, em particular, as propriedades e operações envolvendo matrizes? Considerando que as matrizes, assim como as planilhas eletrônicas, são representadas por tabelas, surge a hipótese de que as operações com matrizes podem ser facilmente apresentadas utilizando-se de planilhas eletrônicas, em particular, o software Calc, aplicativo de planilhas eletrônicas do LibreOffice, um programa gratuito. Mas, é possível representar um número complexo como um caso especial de matriz? Logo, faz sentido indagar sobre a possibilidade de abordar aquele conceito a partir da utilização de planilhas eletrônicas, dessa forma, contribuindo também para a discussão da aplicação de tecnologias digitais na educação. 2 OBJETIVOS Esse trabalho tem como principal objetivo desenvolver uma sequência didática sobre números complexos utilizando planilhas eletrônicas. Pretende-se ainda: validar situações didáticas nas quais os alunos relacionam conhecimentos matemáticos do currículo do ensino médio; desenvolver objetos de aprendizagem no Calc para o ensino de números complexos; apresentar funcionalidades básicas das planilhas eletrônicas aos discentes. 3 METODOLOGIA Esta pesquisa pretende adotar, em alusão aos passos metodológicos da Engenharia Didática 1, a seguinte metodologia: realizar revisão bibliográfica sobre números complexos e sobre abordagens desse conceito nos livros didáticos, verificando se em algum caso se estabelece relação entre matrizes e números complexos; 1 Uma metodologia de pesquisa em didática, segundo Machado (2010). 2
verificar as ferramentas disponíveis no Calc para lidar com matrizes e com números complexos procurando desenvolver objetos de aprendizagem; elaborar uma sequência didática a partir dos objetos de aprendizagem desenvolvidos no Calc; experimentar a sequência didática em uma turma da terceira série do ensino médio e registrando as ocorrências; verificar os obstáculos surgidos e situações de aprendizagem criadas, validar ou refutar as hipóteses levantadas, principalmente sobre a contribuição do uso daquele software no processo de ensino e aprendizagem. 4 RESULTADOS Concluída a fase preliminar desta pesquisa, na qual foram analisados os livros de Dante (2013), Iezzi (2013), Souza (2013) e Leonardo (2013) quatro dos seis livros didáticos aprovados pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD 2015), que representam cerca de 73% dos livros de Matemática do ensino médio distribuídos nas escolas públicas do país, pôde-se observar que esses autores trazem basicamente a mesma abordagem sobre os números complexos. Todos esses exploram a definição de número complexo a partir da necessidade histórica da resolução de equações polinomiais, seguida pela construção do conjunto dos números complexos como extensão do conjunto dos números reais. Por unanimidade, abordam basicamente os seguintes tópicos, distribuídos em capítulo único em cada uma das obras: definição do número i; conjunto dos números complexos; forma algébrica, operações e propriedades; conjugado e propriedades; módulo; representação geométrica; forma trigonométrica, operações e propriedades; e aplicações. Os autores abordam as diversas formas de representar os números complexos, articulando bem esse conceito com a trigonometria, as transformações lineares (rotação, translação, dilatação, contração e inversão) e os polígonos regulares. Além disso, trazem ao longo do capítulo sobre o tema conexões tanto com a história da Matemática quanto com aplicações em outras áreas do conhecimento, principalmente a engenharia. Entretanto, nenhum desses autores 3
relaciona ou faz menção à representação de números complexos por matrizes antissimétricas, nem tampouco faz conexões entre as operações e propriedades destas com aqueles. Assim, esse resultado preliminar ressaltou a importância desta pesquisa em propor uma forma alternativa de estudo dos números complexos. Proposta coerente, uma vez que outro resultado preliminar desta pesquisa, análise das ferramentas do Calc, foi a constatação da capacidade desse software de representar números complexos, seja na forma de matrizes ou mesmo na algébrica a + bi, permitindo inclusive operações entre esses números. No entanto, a possibilidade do próprio aluno construir as fórmulas para realizar as operações com matrizes, sugere a criação de situações didáticas para o aprendizado de algoritmos relacionados às operações e propriedades de matrizes e de números complexos. Espera-se também que, ao construir fórmulas nas planilhas, o aluno organize o pensamento e desenvolva seu raciocínio lógico. Além disso, o Calc permite a correção das operações com números complexos na forma de matrizes a partir de fórmulas que retornam o resultado na forma a + bi, constituindo-se numa calculadora de números complexos. Essas fórmulas, como a que retorna o valor do argumento, sugerem que o assunto dos números complexos pode ser tratado nas planilhas para além de uma introdução. Dessa forma, pretende-se elaborar uma sequência didática que trata inicialmente do uso do Calc para construção de uma planilha eletrônica com fórmulas para o cálculo de operações com matrizes 2x2. Em seguida, os alunos passarão a realizar operações e verificar propriedades das matrizes utilizando como exemplos apenas matrizes antissimétricas. Por fim, os alunos representarão os números complexos como matrizes ainda utilizando as planilhas, agregando ao saber matemático conhecimento sobre as funcionalidades básicas das planilhas eletrônicas. 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS Tendo em vista os resultados parciais, conclui-se que as planilhas eletrônicas servirão de oficina para construção de objetos de aprendizagem para o 4
ensino de números complexos a partir do conhecimento prévio de matrizes, articulando esses conhecimentos e aliando a abordagem tradicional ao uso de recursos tecnológicos tão presentes no dia a dia dos alunos. Portanto, espera-se que, com a continuidade da pesquisa, seja possível apresentar uma sequência didática alternativa para o ensino de números complexos na terceira série do ensino médio, assim validando outra experiência de sucesso no uso de tecnologias voltadas à Educação. REFERÊNCIAS BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Diretrizes curriculares nacionais gerais da educação básica. Brasília: MEC, SEB, DICEI, 2013. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/index.php?option=comdocman&view= download&alias=13677-diretrizes-educacao-basica-2013-pdf&itemid=30192>. Acesso em: 10 set. 2015. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Guia de livros didáticos: PNLD 2015: matemática: ensino médio. Brasília: MEC, SEB, 2014. Disponível em: <http://www.fnde.gov.br/programas/livro-didatico/guias-do-pnld/item/ 5940-guia-pnld-2015>. Acesso em: 25 ago. 2015. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações curriculares para o ensino médio: Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC, SEB, 2006. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/ arquivos/pdf/book_volume_02_internet.pdf>. Acesso em: 25 set. 2015. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. v.3. 2 ed. São Paulo: Ática, 2013. IEZZI, Gerson et al. Matemática: ciência e aplicações. v.3. 7 ed. São Paulo: Saraiva, 2013. LEONARDO, Fábio Martins de. Matemática: conexões com a Matemática. v.3. 2 ed. São Paulo: Moderna, 2013. MACHADO, S. D. A. (Org.). Educação Matemática: uma (nova) introdução. São Paulo: EDUC, 2010. OLIVEIRA, C. N. C. de. Números complexos: um estudo dos registros de representação e de aspectos gráficos. 2010. Dissertação (Mestrado em Educação) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2010. Disponível em: <http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/carlos_nely_ oliveira.pdf>. Acesso em: 17 set. 2015. 5
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo Olhar Matemática. v.3. 2 ed. São Paulo: FTD Educação, 2013. 6