Pesquisa Operacional

Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional Capítulo 3 - Teoria dos Grafos Fernando Marins fmarins@feg.unesp.br Departamento de Produção 1

Sumário Introdução Histórico Aplicações de grafos Conceitos e Notação Representações de um grafo Tipos de grafos Problemas típicos e Algoritmos Caminho Ótimo - Algoritmo de Djisktra Árvore Ótima - Algoritmo de Kruskal Fluxo Máximo - Algoritmo de Ford - Fulkerson 2

Introdução Histórico Euler resolveu o problema das pontes de Königsberg do rio Pregel, em 1736, utilizando um modelo de grafos: partir de uma das 4 regiões, atravessar cada ponte uma única vez e retornar à região de partida. Figura 1. Rio Pregel e suas sete pontes. 3

Introdução Figura 2. Modelo de Grafo para o Rio Pregel e suas sete pontes. Modelo de grafos utilizado por Euler para demonstrar que o problema não tem solução. Para haver solução é necessário que cada região tenha um número par de pontes associadas. 4

Introdução Aplicações de modelos em grafos 1. Grafos planares: problemas de montagens/ trevos A, B, C : linhas de montagens/ rodovias principais D 1, D 2, D 3 : departamentos/ rodovias secundárias Figura 3. Um problema de montagem. Ligações: esteiras/ viadutos ou túneis 5

Introdução 2. Problemas de Localização Existindo n cidades consumidoras do produto fabricado por uma determinada empresa, deseja-se saber onde seria o melhor local para a instalação de uma filial desta empresa que atendesse as n cidades com menor custos de distribuição do produto. Existem algoritmos próprios para este problema, além de várias heurísticas que possuem bom desempenho. 6

Notação Representações de um grafo G 1. G(V, A) onde: V = Conjunto de vértices ou nós do grafo A = Conjunto de arcos ou arestas do grafo 2. Diagramas e tipos de grafos 2 Grafo a c Não- orientado 1 b 3 1 a b e 4 d f c 2 3 Grafo Orientado 7

Notação 3. Matriz de adjacência (grafo não-orientado) 1, se aresta do nó i ao nó j A = (a ij ) = 0, se aresta do nó i ao nó j 2 1 a b c 3 A = 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0 1 2 3 8

Notação 4. Matriz de incidência (grafos orientados) A = [a ij ] é a matriz (não necessariamente quadrada) de incidência de G se 1, se o arco j sai do nó i a ij -1, se o arco j chega no nó i 0, se o arco j não é incidente ao nó i 1 a b 4 d c 2 e f 3 9

Grafo Valorado Grafo com as distâncias de São Paulo a 3 capitais: 700 São Paulo 400 Rio de Janeiro Belo Horizonte 1500 Brasília 10

Grafos Especiais Para o grafo G abaixo: árvore, cadeia, caminho, ciclo e circuito d a e l c j b f g h i 11

Árvore 1. Árvore (arborescência): grafo conexo sem ciclos d a j b g h 12

Cadeia 2. Cadeia: seqüência de arcos com extremidade em comum d a j l h 13

Caminho 3. Caminho: seqüência de arcos com mesma orientação a c j f 14

Ciclo e Circuito 4. Ciclo: cadeia fechada d a l b g i 5. Circuito: caminho fechado a b c 15

Problemas e Algoritmos Otimização em grafos 1. Determinação de Árvores ótimas: Algoritmo de Kruskal 2. Determinação de Caminhos Ótimos: Algoritmo de Djisktra 3. Determinação de Fluxo Máximo: Algoritmo de Ford & Fulkerson 16

Algoritmo de Kruskal Determinação de uma árvore mínima num grafo G (V, A) Para cada aresta (i, j) existe um custo associado C ij. V = cardinalidade do conjunto de nós V = número de nós. Passo 1. Considerar o grafo trivial formado apenas pelos nós de G Passo 2. Construção da Árvore Acrescentar ao grafo trivial a aresta (i, j) associada ao menor valor de custo C ij. Repetir o procedimento respeitando a ordem crescente de valores de C ij, desde que a aresta analisada não forme ciclo com as arestas já incorporadas à árvore. Após incorporar V - 1 arestas Parar! A árvore mínima foi obtida. 17

Exemplo para o Algoritmo de Kruskal Determinar uma árvore mínima A 6 F 5 D 8 1 2 5 1 9 G 4 B 9 C J 11 E 2 8 3 9 4 H 10 I 8 18

Exemplo para o Algoritmo de Kruskal Passo 1: Grafo trivial 19

Exemplo para o Algoritmo de Kruskal Passo 2: A primeira aresta a ser incorporada será a aresta associada ao valor de custo = 1. Observe-se que há duas arestas nestas condições: aresta (a, b) e aresta (c, d). Pode-se escolher arbitrariamente qual delas será incorporada primeiro ao grafo trivial. A seguir incorpore a outra (observe que elas não formam ciclo). 20

Exemplo para o Algoritmo de Kruskal Árvore parcial: colocar as arestas com custo 1 A D 1 1 B C E 21

Exemplo para o Algoritmo de Kruskal A seguir tem-se as arestas (b, e) e (b, f) correspondentes aos custo com valor 2. Analogamente ao caso anterior pode-se optar por qualquer uma elas para ser analisada primeiro. Ambas serão incorporadas ao grafo resultante da operação anterior, pois também não formam ciclo. 22

Exemplo para o Algoritmo de Kruskal Árvore parcial: colocar as arestas com custo 2. A D 1 2 1 B C 2 E 23

Exemplo para o Algoritmo de Kruskal Árvore parcial: colocar a aresta com custo 3. A D 1 2 1 B C 2 3 E 24

Exemplo para o Algoritmo de Kruskal Árvore parcial: colocar as arestas com custo 4. A D 4 1 2 B 3 2 C 1 E 4 25

Exemplo para o Algoritmo de Kruskal Árvore parcial: colocar uma das duas arestas com custo 5, a outra será descartada. 5 A D 4 1 2 1 B C 2 3 E 4 26

Exemplo para o Algoritmo de Kruskal Como o número de nós é 10 prossegue-se neste processo até que sejam incorporadas 10-1 = 9 arestas, sendo obtida uma árvore mínima: 5 1 2 1 4 2 3 8 Observe que esta é uma solução ótima do problema. Custo ótimo: 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 8 = 30. 4 27

Algoritmo de Dijsktra Problema do Caminho Ótimo Determinação de caminhos mínimos em grafos valorados. Princípio de Otimalidade de Bellman: Um caminho mínimo é constituído de sub-caminhos mínimos Aplica-se a grafos valorados onde não há laços, arcos paralelos e todos valores associados aos arcos são não-negativos. Achar caminho ótimo entre dois nós (origem = S e destino = T) de um grafo. 28

Algoritmo de Dijsktra Aspectos Gerais Adota a técnica de rotulação dos nós, havendo dois tipos de rótulos: rótulos temporários e rótulos definitivos. A cada iteração, alguns nós são rotulados temporariamente e apenas um nó é rotulado definitivamente. O valor do rótulo definitivo associado a um nó j corresponde ao valor da distância mínima entre o nó origem S e o nó j. A execução do algoritmo termina quando se consegue rotular definitivamente o nó destino T. 29

Algoritmo de Djisktra 1. Inicialização 2. Atualização dos rótulos temporários 3. Rotulação Definitiva de um nó 4. Passo geral 1. Inicialização Rotular definitivamente o nó origem S com valor 0. Rotular temporariamente os demais nós com valor. 30

Algoritmo de Djisktra 2. Atualização dos rótulos temporários Todo nó j ainda não rotulado definitivamente deve receber novo valor de rótulo dado por Min {rótulo atual do nó j, rótulo do nó i + c ij }, onde, i = último nó rotulado definitivamente c ij = valor associado ao arco que liga os nós i e j. 31

3. Rotulação definitiva Comparar os rótulos temporários e escolher para ser rotulado definitivamente o nó j associado ao menor valor. 4. Passo geral Algoritmo de Djisktra Repetir sucessivamente os passos 2 e 3 até rotular definitivamente o nó destino T. O valor da distância mínima entre os nós S e T é o valor do rótulo definitivo do nó destino T. 32

Obtenção dos nós do caminho mínimo A partir do nó t achar qual foi o nó i do passo 2 responsável pelo valor de seu rótulo definitivo. Suponha que tenha sido o nó k. A partir do nó k achar qual foi o nó i do passo 2 responsável pelo valor de seu rótulo definitivo. Suponha que tenha sido o nó h. Repetir este processo até que o nó i seja o nó origem s Os nós i encontrados em cada etapa deste processo de busca serão os nós intermediários do caminho mínimo entre s e t. 33

Exemplo para Caminho Ótimo Achar a distância mínima entre os nós S e T: S 7 1 2 A 3 B 2 4 8 3 E C 1 2 2 4 7 6 D T 10 34

Algoritmo de Djisktra Resolução completa do exemplo de caminho mínimo Aplicação do Algoritmo de Djisktra - Tabela completa Rótulos Explicação S A B C E D T Vetor com nós do grafo 0* Passo 1 - Inicialização 0* 7 1 Passo 2 com i = S 0* 7 1* Passo 3 - Rot. Def. Nó B 0* 4 1* 5 4 Passo 2 com i = B 0* 4 1* 5 4* Passo 3 - Rot. Def. Nó D 0* 4 1* 14 5 4* 11 Passo 2 com i = D 0* 4* 1* 14 5 4* 11 Passo 3 - Rot. Def. Nó A 0* 4* 1* 12 5 4* 11 Passo 2 com i = A 0* 4* 1* 12 5* 4* 11 Passo 3 - Rot. Def. Nó E 0* 4* 1* 12 5* 4* 7 Passo 2 com i = E 0* 4* 1* 12 5* 4* 7* Passo 3 - Rot. Def. Nó T (parar!) 35

Algoritmo de Djisktra Distância mínima entre os nós S e T = 7 = Rótulo definitivo do nó T. Recuperação do caminho mínimo (ótimo): Valor do rótulo definitivo do nó T = 7 sendo o nó i responsável = E Valor do rótulo definitivo do nó E = 5 sendo o nó i responsável = B Valor do rótulo definitivo do nó B = 1 sendo o nó i responsável = S T E B S 2 4 1 36

Exercício Achar a distância mínima entre os nós S e T: A 6 D 1 2 1 2 3 S 3 B 4 E 3 T 4 6 5 4 2 C 4 10 F 37

Análise de Redes: Problema do Fluxo Máximo Rede: Formada por duas entidades - Nós, Arcos Interesse: Comportamento da Variável Fluxo Exemplos: Aplicação Nós Arcos Fluxo Sistemas de comunicação Sistemas hidráulicos Sistemas de transportes Satélites, computadores Estação de bombeamento, reservatório Interseções, aeroportos Micro ondas, fibra ótica Tubos Estradas, rotas aéreas Mensagens, dados Água, gás, petróleo Veículos, passageiros 38

Problema de Fluxo Máximo Notação: Nó fonte: S Nó destino: T Fluxo no arco (i,j): F ij = quantidade de produto no arco (i,j) C ij ou K ij = capacidade do arco (i,j) = maior fluxo possível no arco (i,j) Restrições envolvidas: Há conservação de fluxo nos nós. Há limitação do valor de fluxo nos arcos. Observações: O Método Simplex resolve este problema. Método mais eficiente: Ford &Fulkerson. 39

Problema de Fluxo Máximo Seja a rede abaixo. Deseja-se achar o valor do fluxo máximo que pode ser enviado do nó S ao nó T, respeitando as restrições de capacidade nos arcos e a conservação de fluxo nos nós. Sejam K ij (ou C ij ) as restrições de fluxo (capacidade) no arco (i, j) 1 F S T F 2 40

Modelo de Programação Linear Max Z = F F S1 + F S2 = F (1) F 12 + F 1T = F S1 + F 21 (2) s. a: F 21 + F 2T = F S2 + F 12 (3) F 1T + F 2T = F (4) 0 F ij K ij (5) Restrição (1) representa a conservação de fluxo no nó fonte S. Restrições (2) e (3) representam a conservação de fluxo nos nós intermediários 1 e 2. Restrição (4) representa a conservação de fluxo no nó destino T. Restrição (5) restringe os fluxos a serem não-negativos e respeitarem os limites de capacidade nos arcos. 41

Problema de Fluxo Máximo Dada uma rede orientada formada por arcos onde há restrições de capacidade, deseja-se enviar a maior quantidade (fluxo) possível de um produto a partir de um nó fonte (S) para um nó destino (T). Fluxo de produto pode ser fluxo de eletricidade, de água, de informação, ou de veículos, entre outros. Extensões: Rede não-orientada Múltiplas fontes e múltiplos destinos 42

Problema de Fluxo Máximo Conceitos Básicos Arcos Forward para o nó i: todo arco que sai do nó i. Arcos Backward para o nó i: todo arco que entra no nó i. Caminho entre o nó fonte e o nó destino: seqüência de arcos que se inicia no nó fonte S e termina no nó destino T. Ciclo é um caminho cujos nós inicial e final são os mesmos. Seja N = conjunto de todos os nós da rede. Um Corte separando a fonte S do destino T é uma partição dos nós da rede em dois subconjuntos denotando por S aquele que contém o nó S e por S aquele que contém o nó T. 43

Exemplos: Seja a rede anteriormente considerada: Problema de Fluxo Máximo 1 F S T F 2 Nó 1: arcos Forward = {(1,2),(1,T)}, arcos Backward = {(S,1),(2,1)} Caminho: (S,1),(1,2),(2,T) Corte: S = {S,1,2}, S = {T} capacidade = K 1T + K 2T S = {S,2}, S = {1,T} capacidade = K S1 + K 21 + K 2T 44

Problema de Fluxo Máximo Resultados Importantes: O corte mínimo é aquele corte com o menor valor de capacidade associado. Excluindo os arcos de um corte da rede não há caminho entre os nós S e T nenhum fluxo ocorrerá entre S e T. Todo fluxo entre S e T deve se dar pelos arcos de um corte o valor do fluxo é limitado pela capacidade do corte. Lema 1: Se F é o fluxo da fonte ao destino e (S,S) é um corte o valor de F é menor ou igual a capacidade daquele corte (S,S). 45

Problema de Fluxo Máximo Consequências: Todo fluxo viável da fonte ao destino não pode exceder a capacidade de um corte qualquer. O fluxo máximo na rede é limitado pela capacidade do corte mínimo. Teorema do Fluxo Máximo e do Corte Mínimo O valor do fluxo máximo numa rede é igual a capacidade do corte mínimo. Usando o teorema do fluxo máximo e corte mínimo podese obter o valor do fluxo máximo. Basta encontrar as capacidades de todos os cortes existentes na rede e escolher o menor valor de capacidade. 46

Problema de Fluxo Máximo Princípios Básicos do Algoritmo do Fluxo Máximo: Encontrar um caminho pelo qual um fluxo positivo possa ser enviado da fonte S ao destino T. Este caminho é denominado Flow Augmenting Path = caminho com fluxo crescente CFC. O CFC é usado para enviar a maior quantidade de fluxo possível de S para T. Repete-se o processo até que nenhum CFC possa ser obtido. 47

Problema de Fluxo Máximo Rotina de rotulação adotada pelo algoritmo: Usada para achar CFC de S para T. 1. Iniciar com o nó fonte S. Um nó j pode ser rotulado a partir de S se um fluxo positivo pode ser enviado de S para j. 2. Em geral, a partir de qualquer nó i ( S) pode-se rotular um nó j se uma das condições abaixo ocorre: a) O arco que conecta os nós i e j é do tipo Forward para o nó i e o fluxo F ij neste arco (i,j) é menor que o valor da sua capacidade K ij. b) O arco que conecta os nós i e j é do tipo Backward para o nó i e o fluxo F ij neste arco (j,i) é maior que zero. 3. O processo continua até que o nó destino T é rotulado. Tem-se então um CFC. 48

Algoritmo do fluxo máximo 1. Inicialização Obter um fluxo viável em todos os arcos da rede. Este fluxo deve satisfazer as restrições de conservação de fluxo nos nós e as restrições de capacidade nos arcos. Inicialmente adotar fluxo nulo em todos os arcos. Ir à Etapa 2. 2. Procura de um caminho de fluxo crescente CFC de S para T Usar o procedimento de rotulação de nós, iniciando com o nó origem e terminando com o nó destino T. Se não for possível obter um CFC Parar! Uma solução ótima foi obtida o fluxo atual é máximo. Caso contrário ir a Etapa 3. 49

Algoritmo do fluxo máximo 3. Aumento no valor do fluxo entre S e T Calcular o valor máximo δ de fluxo que pode ser enviado pela CFC obtida na etapa anterior. Nos arcos Forward do CFC aumentar o fluxo de δ. Nos arcos Backward do CFC diminuir o fluxo de δ. Voltar à Etapa 2.

Exemplo Completo Determinar o fluxo máximo F da fonte S ao destino T, na rede a seguir. Os números ao lado dos arcos representam suas capacidades C ij. F S 1 7 9 3 9 8 2 Notação: Os números ao lado dos arcos representam (F ij, C ij ), onde F ij é o fluxo no arco (i, j). Nós rotulados serão marcados por asteriscos. T F Etapa 1 Inicialização: Fazer F ij = 0 em todos os arcos. 51

Exemplo Completo Etapa 2 (Figura 1) Para achar um CFC de S para T: Rotular inicialmente S. Deste nó S pode-se rotular o nó 1 pois o arco (S,1) é do tipo Forward para o nó S e 0 = F S1 C S1 = 7 a seguir, do nó 1 pode-se rotular o nó 2 pois o arco (1,2) é do tipo Forward para o nó 1 e 0 = F 12 C 12 = 3. Finalmente rotula-se o nó destino T pois o arco (2,T) é do tipo Forward para o nó 2 e 0 = F 2T C 2T = 8. Isto resulta num valor de fluxo F = 0. F = 0 1* (0,7) (0,9) S* (0,3) T* (0,9) (0,8) 2* F = 0 Figura 1 52

Exemplo Completo Desta forma foi obtida uma CFA formada por arcos do tipo Forward, (S,1), (1,2), (2,T). Etapa 3 O fluxo máximo neste CFC é dado por min {(7-0), (3-0), (8-0)} = 3. Assim pode-se aumentar o fluxo entre S e T de δ = 3. Os novos fluxos estão na Figura 2. 1 (3,7) (0,9) F = 3 S (3,3) T F = 3 (0,9) 2 (3,8) Figura 2 53

Exemplo Completo Etapa 2 Repetindo o processo de rotulação de nós para a configuração da Figura 2 obtém-se um novo CFC dado por: S* 1* T* v Etapa 3 O fluxo máximo permitido neste CFC = min {(7-3), (9-0)}= 4. Isto aumenta o fluxo pela rede para F = 3 + 4 = 7. A nova configuração de fluxos fica sendo a da Figura 3. F = 7 S 1 (7,7) (4,9) (3,3) T F = 7 (0,9) 2 (3,8) Figura 3 54

Exemplo Completo Etapa 2 Na busca de um novo CFC, o nó 1 não pode ser rotulado a partir do nó S pois o arco (S,1) é Forward para S e agora F S1 = C S1 = 7. Mas um novo CFC pode ser obtido rotulando-se o nó 2 e depois o nó T: S* 2* T* v Etapa 3 Neste CFC o fluxo pode ser aumentado de min {(9-0), (8-3)} = 5, o que resulta na configuração dada pela Figura 4: F = 12 S 1 (7,7) (4,9) (3,3) T F = 12 (5,9) 2 Figura 4 (8,8) 55

Exemplo Completo Etapa 2: Partindo-se do nó S pode-se rotular o nó 2, a seguir rotula-se o nó 1, pois o arco (1,2) contém um fluxo positivo de 3 unidades e é Backward para o nó 2, neste novo CFC, finalmente a partir do nó 1, pelo arco (1,T) rotula-se o nó destino T: S* 1* v T* 2* Etapa 3 Neste CFC pode-se aumentar o fluxo na rede de min{(9-5),3,(9-4)} = 3, pois o arco (1,2) é Backward e pode ter o fluxo de 3 diminuído até zero. A nova configuração de fluxos está na Figura 5: F = 15 S 1 (7,7) (7,9) (0,3) T F = 15 (8,9) 2 (8,8) Figura 5 56

Exemplo Completo Etapa 2: O nó 2 pode ser rotulado a partir do nó S, mas nenhum outro nó pode ser rotulado a partir do nó 2, ou seja, não há nenhum CFC adicional. Logo obteve-se o fluxo máximo de S para T dado por 15 unidades de fluxo. Observação: Pode-se usar o Teorema de Ford & Fulkerson para provar que o fluxo máximo é de fato 15. Veja a Figura 6. 57

Exemplo Completo F = 15 1 (7,7) S* (0,3) T F = 15 2* Figura 6 (8,8) Considere o corte que separa os nós rotulados (S e 2) dos não rotulados (1 e T) na última etapa 2, ele é formado pelos arcos (S,1) e (2,T), tendo capacidade = 15 e separa o nó S do nó T. Pelo Teorema de F & F o fluxo não pode exceder a capacidade de nenhum corte que separe o nó S do nó T, logo o corte em questão é o corte mínimo e o fluxo máximo = 15 é igual a capacidade deste corte mínimo. 58

Extensões para o problema de Fluxo Máximo Rede não-orientada: considere a rede urbana abaixo: 40 30 1 3 50 S 30 15 20 25 T 50 2 4 30 Maximizar o fluxo de tráfego de S até T. 59

Extensões para o problema de Fluxo Máximo Trabalhar com modelo equivalente de redes: S 40 30 30 1 3 15 15 20 20 25 2 50 4 25 50 30 T Aplicar o algoritmo apresentado e achar Fluxo Máximo. Se arco (i,j) não é direcionado e f ij > f ji fluxo = (f ij f ji ) será enviado de i para j. (Adequar mão de trânsito no arco i j) 60

Extensões para o problema de Fluxo Máximo Múltiplas fontes e múltiplos destinos: B 15 E 10 5 10 5 Capacidade do arco AC 20 C 5 F 10 HC 5 5 10 10 D 5 G Nó A = Fonte com oferta produto = 20 (Oferta Total = 40) Nó D = Fonte com oferta produto = 20 Nó E = Destino com demanda produto = 15 (Demanda Total = 35) Nó H = Destino com demanda produto =20 61

O problema é viável? Extensões para o problema de Fluxo Máximo AC BC 15 EC 15 10 5 10 5 20 C 5 FC 10 TC HC 20 f fictícia 20 5 5 10 10 f fictícia sc 20 5 DC GC MAXIMIZAR f f MAX = 30 < 35 = Demanda Total Problema Inviável 62