ANÁLISE NUMÉRICA DO MÉTODO DE NEWTON PARA OBTENÇÃO DE ZEROS DE FUNÇÕES.

ANÁLISE NUMÉRICA DO MÉTODO DE NEWTON PARA OBTENÇÃO DE ZEROS DE FUNÇÕES. Edevilson Gomes Pereira PUCPR- edevilson.pereira@pucpr.b Viviana Cocco Mariani PUCPR- viviana.mariani@pucpr.br Resumo: Neste artigo é feita uma análise da modificação do método de Newton-Raphson, utilizado na obtenção de raízes de equações ou zeros de funções, surgindo o método de Newton Quadrático, Newton Quadrático 2 e Newton Melhorado. A extensão do método de Newton para os outros três métodos é descrita e a comparação do número de iterações, tempo de processamento e número de ponto flutuante entre os métodos utilizados é apresentada para algumas funções algébricas e transcendentes mostrando que os métodos de Newton Melhorado e Newton Quadrático tiveram comportamento superior, a respeito do número de iterações, em quase todos os casos analisados, quando comparados com o método de Newton-Raphson. Palavras-chave: Newton-Raphson, zeros de funções, métodos numéricos. 1. INTRODUÇÃO Visto a importância de se obter à raiz de equações (ou zero de funções, nas mais diversas situações da atividade humana, observa-se à necessidade de se encontrar métodos computacionais que facilitem e agilizem este processo com exatidão, confiabilidade e esforço computacional menor. Todos estes fatores dependem do comportamento da função próximo as suas raízes. A pesquisa desenvolvida tem por objetivo evidenciar novos processos para este fim, bem como apontar a eficácia dos métodos, suas falhas e suas condições (restrições para convergência e a descrição de tabelas de desempenho dos mesmos. A partir do método de Newton Raphson, obtém-se outros métodos iterativos, esta pesquisa, em especial, investigará o método de Newton melhorado, o método de Newton quadrático e o método de Newton quadrático 2. O método de Newton Raphson, conhecido também como método das tangentes, provém da expansão em série de Taylor, pois utiliza os dois primeiros termos desta série. Visto que, a série de Taylor utiliza em as derivadas da função, a convergência dependerá da função na região em torno da raiz (Ruggiero e Lopes, 1996. O método de Newton quadrático, como o próprio nome diz, é obtido por uma equação do segundo grau, proveniente dos três primeiros termos da

2 série de Taylor. Sabe-se que para resolver uma equação do segundo grau, a fórmula de Bhasara ou Basara pode ser utilizada, no qual aparece o cálculo da raiz quadrada de um número. Nos resultados coletados no presente trabalho utilizando o método de Newton quadrático notou-se que em alguns casos testados durante o processo iterativo o radicando era negativo, mesmo assim o método continuava iterando resultando em um valor x +1 = a + bi, onde b a parte imaginária do número era um número infinitesimal. Neste caso observamos que desprezando a parte imaginária infinitesimal a parte real era a raiz da equação. O método de Newton quadrático convergia nestes casos apenas se a parte imaginária era extremamente pequena, caso contrário o método divergia. Percebe-se, nas funções analisadas no presente trabalho, que uma das condições necessárias para a convergência deste método, é que a derivada segunda da função em cada ponto analisado x, seja diferente de zero. O método de Newton melhorado é obtido pela combinação do método de Newton-Raphson e Newton quadrático, executa-se três cálculos consecutivos a cada iteração, no primeiro cálculo a aproximação para a raiz é obtida utilizando o método de Newton-Raphson, e em seguida duas avaliações usando o método de Newton Quadrático são executadas, surgindo assim o método de Newton melhorado. Em geral, este método, leva o mesmo número de iterações que o método de Newton quadrático para convergir. Na maioria dos casos analisados, este número é menor ou igual ao número de iterações do método de Newton Raphson, e menor que o método de Newton quadrático 2. O número de operações em ponto flutuante, é em sua maioria, maior que a do método de Newton Raphson. Observa-se ainda, que o referido método não falha em todas as funções analisadas, convergindo para a mesma raiz que o método de Newton-Raphson e o método de Newton quadrático 2, quando estes convergem. O método de Newton quadrático 2, é obtido utilizando-se os mesmos termos utilizados pelo método de Newton quadrático, mas resolvido isolando-se o fator comum aos dois últimos termos (x +1 - x.

3 Na simulação numérica adotou-se o critério de convergência ε 10-6. Alguns problemas aplicados a processos químicos foram testados e os resultados são apresentados a seguir. 2. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS O método de Newton-Raphson é baseado na expansão em série de Taylor, isto é, expandindo a série de Taylor em torno de x tem-se, 2 3 (x x (x x f(x = f(x + f (x (x x + f (x + f (x +..., 2! 3! (1 onde x é um valor aproximado para a raiz λ da equação na iteração do processo iterativo, f(x é a função, f (x a derivada primeira da função e f (x a derivada segunda da função. Seja x +1 a raiz da equação f(x = 0, logo a equação (1 resulta, 2 3 (x+ 1 x (x + 1 x 0 = f(x + f (x (x +1 x + f (x + f (x +... 2! 3! (2 Usando os dois primeiros termos da expansão da série de Taylor, do lado direito da equação (2, obtém-se o popular método de Newton-Raphson, ou seja (Roque, 2000, f(x x +1 = x - f (x (3 As desvantagens do método de Newton-Raphson surgem quando a inclinação da função tem um valor próximo da raiz e/ou o seu valor é muito pequeno. Este valor para a inclinação da função faz com que na próxima iteração o valor para x +1 fique fora da vizinhança da raiz, λ, podendo divergir (Barroso et al., 1987. A derivada primeira da função pode ser obtida numericamente de uma maneira rápida, basta para isto usar a aproximação,

4 f (x = f(x + h f(x 2h h, (4 onde h é um incremento, com valor pequeno. Assim, substituindo a equação (4 na equação (3 tem-se, f (x = x 2hf(x f(x + h f(x h, (5 que requer a avaliação da função f(x em três valores vizinhos e distintos, x, x + h e x - h. Naturalmente pode-se estimar o valor da derivada segunda da função como, f(x + h 2f(x f (x = 2 h + f(x h. (6 Nota-se na equação (6 que o cálculo da derivada de segunda ordem, semelhante ao cálculo da derivada de primeira ordem, só precisa da avaliação da função f(x em três pontos distintos x, x + h e x h. Deste modo voltando na equação (2 e utilizando os três primeiros termos da série de Taylor obtémse, (x 0 = f(x + f (x (x +1 x + f (x 2 + 1 x. 2! (7 A equação (7 é quadrática para o fator ( x + 1 x, resolvendo-a o resultado será exposto na equação (8 e representa o método que será denominado Newton quadrático, [ f (x ] 2 f (x + 2f(x f (x x = + + 1 x. (8 f (x

5 Outra maneira de resolver a equação (7 é isolando o fator x x ( + 1 comum aos dois últimos termos da equação (7 produzindo a equação (9 que é a fórmula do método de Newton Quadrático 2. [ f(x /(f (x + f (x (x x / 2 ] x 1 = x (9 + + 1 Para utilizar a equação (9 emprega-se a equação (3 para avaliar uma estimativa para x +1 no lado direito da equação. O método de Newton Melhorado executa três cálculos consecutivos a cada iteração, no primeiro cálculo a aproximação para a raiz é feita utilizando o método de Newton-Raphson, equação (3, e em seguida duas avaliações usando o método de Newton quadrático são executadas, isto é, empregando a equação (9, surgindo assim o método de Newton melhorado, conforme apresentado na equação (10 (Shammas, 2002, f(x x 1 = x 0 - f (x 0 0 [ f(x /(f (x + f (x (x x / 2 ] x 2 = x 0 0 0 0 1 (10 0 [ f(x /(f (x + f (x (x x / 2 ] x 3 = x 0 0 0 0 2 0 3. RESULTADOS NUMÉRICOS Algumas funções e problemas foram testados para comparar os métodos de Newton e os resultados são apresentados nas tabelas que seguem. A capacidade calorífica (Cp do O 2 na faixa de temperatura entre 298 a 1500 K apresenta a seguinte equação, em função da temperatura: Cp(T = 7,16 + 1.10-3 T (0,4.10 5 /T², onde: T está expressa em K e Cp em cal/mol C. A temperatura (K em que a capacidade calorífica do O 2 é de 8,15 cal/mol C resulta na função f(t = - 0,99+10-3 T 0,4 10 5 /T 2, e o zero da função obtido através dos métodos numéricos analisados no presente trabalho é apresentado na tabela 1. A sigla NPF, nas tabelas, indica o número de operações em ponto flutuante, a precisão adotada em todas as simulações foi 6 10.

6 Tabela 1 Solução numérica para uma raiz de f(t = - 0,99+10-3 T 0,4 10 5 /T 2. Métodos T 0 Raiz Iterações Tempo NPF Newton 500 1027,8609 4 0,078 182 Newton Melhorado 500 1027,8609 5 0,078 302 Newton Quadrático 500 1027,8609 4 0.016 250 Newton Quadrático 2 500 e 500,1 1027,8609 7 0,094 250 Newton 2000 1027,8609 4 0,094 182 Newton Melhorado 2000 1027,8609 3 0,110 214 Newton Quadrático 2000 1027,8609 3 0,125 196 Newton Quadrático 2 2000 e 2000,1 1027,8609 6 0,109 228 Newton 1000 1027,8609 3 0,109 154 Newton Melhorado 1000 1027,8609 3 0,140 214 Newton Quadrático 1000 1027,8609 3 0,108 196 Newton Quadrático 2 1000 e 1000,1 1027,8609 5 0,124 206 A raiz aproximada é 1027,860929749276. Nota-se na tabela 1 que os métodos de Newton Melhorado e Newton Quadrático para o valor inicial 2000 convergiram com menor número de iterações quando comparados com o método de Newton-Raphson, contudo o tempo de processamento e o número de operações em ponto flutuante é maior nestes métodos. A figura 1 ilustra o comportamento da função f(t = - 0,99+10-3 T 0.4 10 5 /T 2 e das retas tangentes nos pontos (x i, f(x i durante o processo iterativo do método de Newton. Figura 1 Ilustração da convergência da função f(t com T 0 = 1000.

7 O metano apresenta a seguinte equação do calor específico em função da temperatura, na faixa entre 298 e 1500 K, Cp(T = 3,381 + 18,044.10 - ³T- 4,3.10-6 T², onde T está em K e Cp em cal/mol C. A temperatura (K para a qual a capacidade calorífica do CH 4 vale 15,0 cal/mol C, resulta na seguinte equação f(t = 18,044 10-3 T 4,3 10-6 T 2-11,619. Tabela 2 Solução numérica para as raízes de f(t = 18,044 10-3 T 4,3 10-6 T 2 11,619. Métodos Valor inicial Raiz Iterações Tempo NPF Newton 500 794,2621 4 0,156 182 Newton Melhorado 500 794,2621 3 0,187 204 Newton Quadrático 500 794,2621 3 0,203 152 Newton Quadrático 2 500 e 1000 794,2621 6 0,219 216 Newton 2098 794,2621 18 0,047 574 Newton Melhorado 2098 794,2621 9 0,047 454 Newton Quadrático 2098 794,2621 9 0,047 128 Newton Quadrático 2 1598 e 2417 794,2621 25 0,297 596 Newton 2099 3402,017 15 0,281 490 Newton Melhorado 2099 3402,017 8 0,297 404 Newton Quadrático 2099 794,2621 8 0,328 128 Newton Quadrático 2 1598 e 2418 3402,017 23 0,250 556 Uma das raízes aproximadas é 794,2620542183545. Na tabela 2 observa-se que os métodos de Newton Melhorado e Quadrático convergem para a raiz da equação com menor número de iterações, contudo o tempo de processamento ainda é menor com o método de Newton-Raphson. Nesta tabela também verificamos que o método de Newton Quadrático convergiu sempre para a mesma raiz, 794, embora a condição inicial tenha sido modificada, isto é, para qualquer utilizado como aproximação inicial, onde a derivada primeira da função não se anule o método de Newton Quadrático converge para a raiz 794. A figura 2 ilustra o gráfico da função f(t = 18,044 10-3 T 4,3 10-6 T 2 11,619 com suas duas raízes reais e o comportamento do método de Newton-Raphson durante o processo iterativo. Na figura 3 é ilustrada uma ampliação do gráfico da figura 2.

8 Figura 2 Ilustração da convergência da função f(t para T0 = 2098. Figura 3 Ampliação da figura 2. A tabela 3 mostra os resultados obtidos para a função f(x = 100- x - x 2 /2 - x 3 /3 - x 4 /4 e o desempenho dos métodos a respeito do número de iterações, tempo de processamento e número de ponto flutuante.

9 Para os dados apresentados na tabela 3 nota-se que para a aproximação inicial 1, no método de Newton Quadrático 2, a função diverge, já para a aproximação inicial 3, no método de Newton Quadrático, converge para um número complexo cuja parte complexa do número citado é extremamente pequena e a parte real é a raiz -4,772, raiz esta que os outros métodos não convergiram para esta mesma aproximação inicial. O método de Newton Melhorado foi o método que apresentou melhor desempenho quanto ao número de iterações se comparado aos demais métodos, porém o tempo de processamento e o número de operações em ponto flutuante, que está relacionado ao número de iterações, não apresenta uma constância, variando muito. Tabela 3 - Solução numérica para uma raiz de f(x = 100 - x - x 2 /2 - x 3 /3 - x 4 /4. Métodos Valor Raiz Iterações Tempo NPF inicial Newton 1 4,031 12 0,063 475 Newton Melhorado 1 4,031 5 0,047 356 Newton Quadrático 1-4,772 4 0,063 276 Newton Quadrático 2 1 e 1,1 -inf - - - Newton 3 4,031 5 0,109 237 Newton Melhorado 3 4,031 4 0,094 300 Newton Quadrático 3-4,772 9 0,032 572 Newton Quadrático 2 3 e 3,1 4,031 7 0,109 292 Newton 5 4,031 5 0,125 237 Newton Melhorado 5 4,031 3 0,125 244 Newton Quadrático 5-4,772 7 0,031 442 Newton Quadrático 2 5 e 5,1 4,031 7 0,125 292 Uma das raízes aproximadas é 4,03104780823003. A figura 4 ilustra o processo iterativo do método de Newton-Raphson, com suas retas tangentes, com o valor inicial x 0 = 1.

10 Figura 4 - Ilustração da convergência da função f(x para x 0 = 1. A tabela 4 mostra os resultados numéricos dos diversos métodos utilizados para obter as raízes da função f(x = x 2-7xcos(x. Nesta tabela para a aproximação inicial 5 o método de Newton Quadrático na segunda iteração calcula a raiz quadrada de um número negativo, isto é, um número complexo que a priori não é nenhuma das raízes da função estudada. Graficamente, na figura 5, observa-se que a referida função, tem no mínimo 6 raízes reais. Tabela 4 - Solução numérica para as raízes de f(x = x 2-7xcos(x. Métodos Valor inicial Raiz Iterações Tempo NPF Newton 5 5,6522 4 0,172 189 Newton Melhorado 5 5,6522 4 0,188 300 Newton Quadrático 5 - - - - Newton Quadrático 2 5 e 5,1 5,6522 7 0,203 292 Newton 5,5 5,6522 4 0,219 189 Newton Melhorado 5,5 5,6522 3 0,219 244 Newton Quadrático 5,5 6,6160 3 0,219 276 Newton Quadrático 2 5,5 e 5,51 5,6522 6 0,219 265 Newton 6 5,6522 5 0,219 219 Newton Melhorado 6 5,6522 4 0,219 300 Newton Quadrático 6 6,6160 4 0,219 226 Newton Quadrático 2 6 e 6,1 5,6522 9 0,234 348 Uma das raízes aproximadas é 5,65222352013264.

11 Na tabela 4 para a aproximação inicial 5 o método de Newton Quadrático na segunda iteração calcula a raiz quadrada de um número negativo, isto é, um número complexo que a priori não é nenhuma das raízes da função estudada. Na figura 5, apresenta-se o processo de convergência do método de Newton-Raphson, com as suas retas tangentes, para x 0 = 6. Figura 5 Ilustração da convergência da função f(x para x 0 = 6. 4. CONCLUSÕES Este artigo apresentou os resultados numéricos, para obter a raiz de algumas funções matemáticas, utilizando os métodos de Newton-Raphson, Newton Melhorado e Newton Quadrático e Newton Quadrático 2. Os métodos de Newton Melhorado e Newton Quadrático apresentaram convergência mais rápida, a respeito do número de iterações, que o método de Newton-Raphson na maior parte dos casos avaliados, o que já havia sido observado por Shammas (2002. Contudo, nota-se que estas vantagens podem ser alteradas dependendo da função matemática avaliada, do valor inicial da raiz, da curvatura da função próxima à raiz, etc.

12 O método de Newton Melhorado a cada iteração utiliza três avaliações sucessivas para o cálculo da raiz, isto é, utiliza a avaliação do método de Newton-Raphson e duas avaliações do método de Newton Quadrático, já o método de Newton Quadrático é bastante instável, não convergindo em alguns casos analisados, o método de Newton Quadrático 2 é altamente dependente das estimativas iniciais para a raiz. Recomenda-se antes de adotar um método para obter a raiz, que se faça o gráfico da função e analise como é a curvatura da função próxima à raiz e a estimativa inicial da raiz. 5. REFERÊNCIAS BARROSO, C. L., BARROSO, M. M., FILHO, C. F. F., CARVALHO, M. L. B., Cálculo Numérico - com Aplicações, São Paulo, Harbra, 2ª. edição, 1987. ROQUE, W. L., Introdução ao Cálculo Numérico - Um Texto Integrado com Derive, São Paulo, Atlas, 2000. RUGGIERO, M. A. G., LOPES, V. L. R., Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computacionais, Rio de Janeiro, Maron, 2ª. edição, 1996. SHAMMAS, N. C., Enhancing Newton s Method, Dr. Dobb s Journal, p. 94-97, 2002.