Universidade Cruzeiro do Sul Campus Virtual Unidade I: Unidade: Matemática Financeira 2010 0
Nesta Unidade iremos apresentar alguns conceitos importantes de Matemática Financeira tais como porcentagem, juros simples e juros compostos que são bastante utilizados no dia-a-dia das pessoas, seja na sua vida pessoal como na vida profissional. PORCENTAGEM A porcentagem é de grande utilidade no mercado financeiro, pois é utilizada para capitalizar empréstimos e aplicações, expressar índices inflacionários e deflacionários, descontos, aumentos, taxas de juros, entre outros. No campo da Estatística possui participação ativa na apresentação de dados comparativos e organizacionais. A porcentagem pode ser representada de três formas diferentes: porcentagem, razão centesimal e número decimal ou valor unitário. Porcentagem: o número sempre aparecerá com o símbolo % (porcentagem). Fração centesimal: quando o número é escrito na forma de fração de denominador. Número decimal ou forma unitária: basta dividir o numerador da fração centesimal pelo denominador e obtemos como resultado um número decimal. 92
www.cafune.zip.net Observe as porcentagens representadas na tabela abaixo e suas representações: Porcentagem Razão centesimal 1% 5% 7,2% 13,21% % 115% 1 1 = 0, 01 5 5 = 0, 05 7,2 0,072 13,21 0,1321 1 115 1,15 Número decimal ou forma unitária Para calcular porcentagens podemos utilizar a fórmula a seguir: Fórmula para cálculo da Porcentagem: é o valor porcentagem que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa. Podemos porcentagem taxa = empregar na prática principal palavras como desconto, comissão, multa, parte, quota, abatimento, 93
prejuízo, lucro, etc. em lugar de porcentagem. Representa uma parte do todo. Principal: é o valor sobre o qual se calcula a porcentagem. Representa o todo. Taxa: é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada. A melhor forma de assimilar os conteúdos referentes à porcentagem é com a utilização de exemplos que envolvem situações cotidianas. Exemplo 1: Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três prestações mensais e iguais, totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o valor a prazo. Qual o preço da mercadoria na compra à vista? Porcentagem =? (parte: valor com desconto) Principal = 900 (todo: representa o valor total da mercadoria) Taxa = 12 porcentagem taxa = principal cruz) x 900 = 12 (multiplicando em x = 900.12 x = 10800 (passando o dividindo) 94
10800 x = = 108 (valor do desconto) Portanto 900 108 = 792 (preço da mercadoria à vista) Resposta: A mercadoria à vista custa R$ 792,00 Exemplo 2: O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador é obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal o valor de 8% do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser sacado pelo funcionário na ocorrência de demissão sem justa causa. Determine o valor do depósito efetuado pelo empregador, calculado o FGTS sobre um salário bruto de R$ 1.200,00. Porcentagem =? (parte do salário) Principal = 1200 (todo o salário) Taxa = 8 porcentagem taxa = principal cruz) x 1200 = 8 (multiplicando em.x = 1200.8.x = 9600 (passando o dividindo) 9600 x = = 96 (valor do depósito efetuado) Resposta: Foi efetuado um deposito de R$ 96,00 de FGTS Exemplo 3: Em uma sala de aula com 52 alunos, 13 utilizam bicicletas como transporte. Expresse em porcentagem a quantidade de alunos que utilizam bicicleta. 95
Porcentagem = 13 (parte: representa os alunos da classe que usam bicicleta) Principal = 52 (todo: representa todos os alunos da classe) Taxa =? porcentagem taxa = principal cruz) 13 x = (multiplicando em 52 52x = 13. 52x = 1300 (passando o 52 dividindo) 1300 x = = 25 (porcentagem de alunos que usam bicicleta) 52 Resposta: Concluímos que 25% dos alunos usam bicicleta como transporte. Exemplo 4: Em um colégio 26% dos alunos são meninas. Quantos alunos possui o colégio, se elas são em numero de 182? Porcentagem = 182 (parte: representa somente as alunas) Principal =? (todo: representa todos os alunos) Taxa = 26 porcentagem principal cruz) taxa = 182 = x 26 (multiplicando em 26x = 182. 26x = 18200 (passando o 26 dividindo) 18200 x = = 700 (total de alunos) 26 Resposta: O colégio possui 700 alunos no total MATEMÁTICA FINANCEIRA Ouvimos constantemente frases como: 96
Vou depositar o dinheiro em caderneta de poupança, pois renderá juros. Vou emprestar meu dinheiro, pois ele renderá juros. Situações desse tipo são resolvidas por um ramo da Matemática chamada de Matemática Financeira. Conceitos básicos de Matemática Financeira Veremos o que significam alguns termos muito utilizados em Matemática Financeira tais como: capital, juro, taxa de juro e regime de capitalização. Capital: O capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). Juro: O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou composto. Taxa de juros: A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano) 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). 97
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual à taxa percentual dividida por : Porcentagem Taxa unitária 15% a.m 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês) 10% a. q 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) Regime de capitalização: Entendemos por regime de capitalização o processo de formação do juro. Existem dois tipos de regime de capitalização que são: a juro simples e a juro composto o JURO SIMPLES - Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial, independente do tempo que o valor ficar aplicado. Por exemplo, um capital inicial de R$ 0,00 reais aplicado a juro simples durante 3 meses a uma taxa de 2% ao mês nos daria ao final quanto de juro? Mês Cálculo 1º mês 0 X 0,02 = 20 2º mês 0 X 0,02 = 20 3º mês 0 X 0,02 = 20 Total do juro simples no final: R$ 60,00 Veja que o juro incide sempre sobre o capital inicial 98
o Cálculo do juro simples Para calcular o juro simples vamos usar a fórmula J = juro C = capital inicial ou principal J = C. i. n i = taxa unitária n = período/tempo de aplicação Esta formula só pode ser aplicada se o tempo de aplicação (n) é expresso na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa (i) considerada. Exemplos de aplicação: Exemplo 1: Qual o valor do juro produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses? C = 1200 i = 2% ao mês = 0,02 (taxa unitária) n = 10 meses J =? J = C. i. n J = 1200. 0,02. 10 J = 240 Resposta: O juro simples produzido foi de R$ 240,00 99
Exemplo 2: Determine o valor do capital que aplicado durante 14 meses, a uma taxa de 6%, rendeu juros simples de R$ 2.688,00. C =? i = 6% ao mês = 0,06 (taxa unitária) n = 14 meses J = 2688 Taxa e período na mesma unidade de tempo www.cafune.zip.net J = C. i. n 2688 = C. 0,06. 14 (multiplicando) 2688 = C. 0,84 (passando 0,84 dividindo) 2688 = C 0,84 C = 3200 Resposta: O valor do capital aplicado a juros simples é de R$ 3.200,00. 4.1.2 Cálculo do montante do juro simples (M) O montante é a soma do capital principal com os juros simples do período de aplicação, dessa forma temos que: M = C + J ou M = C + C.i.n (colocando C em evidência) M = C. (1 + i. n) Vejamos alguns exemplos de aplicação: Exemplo 1: Calcule o montante ao final de dez anos de um capital R$10.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 18% ao semestre (18% a.s).
M =? C = 00 n = 10 anos = 20 sem i = 18% ao semestre = 0,18 (taxa unitária) Veja que n e i estão em unidades de tempo diferentes, precisamos acertar. Acerte sempre o período (n), nunca na taxa (i) Vamos fazer uma regra de três para transformar o período de semestre para ano usando a relação: 2 semestre = 1 ano x semestres = 10 anos (multiplicando em cruz) x = 20 Concluímos que 10 anos equivalem a 20 semestres Para calcular o montante vamos usar: M = C. (1 + i. n) M = 00. (1 + 0,18. 20) (vamos fazer a multiplicação do parênteses) M = 00. (1 + 3,6) (vamos fazer a soma dos elementos do parênteses) M = 00. 4,6 M = 46000 Resposta: O montante ao final da aplicação será de R$ 46.000,00 101
Exemplo 2: Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14.800,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juros simples? C =? M = 14800 n = 18 meses = 1,5 anos i = 48% a.a (0,48 taxa unitária) Veja que o período e a taxa estão em unidades de tempo diferentes, vamos acertar fazendo uma regra de três para transformar o período (n) de mês para ano 1 ano = 12 meses x ano = 18 meses (multiplicando em cruz) 12.x = 1. 18 (passando o 12 dividindo) x = 18 / 12 x = 1,5 anos Para calcular o capital temos que usar a fórmula do montante, pois esse valor foi fornecido no enunciado do problema M = C. (1 + i. n) 14800 = C. (1 + 0,48. 1,5) (vamos fazer a multiplicação do parênteses) 14800 = C. (1 + 0,72) (vamos fazer a soma dos elementos do parênteses) 14800 = C. (1,72) (para isolar o C,vamos passar o 1,72 dividindo) 14800 / 1,72 = C C 8605 102
Resposta: O capital inicial necessário é de aproximadamente R$ 8.605,00 JURO COMPOSTO O regime de juro composto é o mais utilizado no sistema financeiro brasileiro. Nele o juro a partir do segundo período, é calculado sobre o montante do período anterior. O popular juro sobre juro. Assim um capital de R$,00 aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte evolução no regime de juro composto. Período Juro J = C.i.n Montante M = C + J 0 -,00 1. 0,02. 1 = 2 102,00 2 102. 0,02. 1 = 2,04 104,04 3 104,04. 0,02. 1 = 106,12 2,08 Cálculo do juro composto Para calcular o juro composto vamos usar a fórmula M = montante C = capital inicial ou principal M = C. (1+i) n i = taxa unitária n = período/tempo de aplicação Esta fórmula só pode ser aplicada se o tempo de aplicação (n) é expresso na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa (i) considerada. 103
Vejamos alguns exemplos de aplicação: Exemplo 1: Calcule o montante produzido por R$ 2.000,00, aplicados em regime de juros compostos a 5% ao mês durante 2 meses. M =? C = 2000 i = 5% ao mês (0,05 taxa unitária) n = 2 meses Vamos usar a fórmula do juro composto M = C. (1+i) n M = 2000. (1 + 0,05) 2 potência) M = 2000. 1,1025 C =? i = 3% ao mês (0,03 taxa unitária) n = 5 meses (resolvendo a soma e depois a (multiplicando) M = 2205 Resposta: O montante produzido será de R$ 2.205,00 Exemplo 2: Calcule o capital que, no prazo de 5 meses, a uma taxa de juros compostos de 3% ao mês produziu um montante de R$ 4.058,00 M = 4058 Taxa e período na mesma unidade de tempo Vamos usar a fórmula do juro composto M = C. (1+i) 4058 = C. (1 + 0,03) 5 (resolvendo a soma e depois a potência) 4058 = C. 1,1593 (para isolar o C passaremos o 1,1593 dividindo) 4058/ 1,1593 = C C = 3500 n 104
Resposta: O capital era de R$ 3.500,00 Exemplo 3: Uma loja financia um bem no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049,00 ao final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada sabendo que o regime utilizado pela loja foi de juros composto. M = 4049 C = 3200 i =? n = 6 meses Vamos usar a fórmula do juro composto M = C. (1+i) n, substituindo os valores na fórmula. Operação Comentário 4049 = 3200. (1 + i) 6 vamos passar o 3200 dividindo para começar a isolar o i 4049 / 3200 = (1 + i) 6 6 1,2653 = (1 + i) para continuar isolando o i temos que passar a potência 6 para o outro termo da equação na forma de raiz sexta 6 1,2653 = 1+ i usando a calculadora científica do seu computador para calcular a raiz sexta temos: Digite 1,2653 Selecione o botão Inv Selecione o botão x^ y Digite o índice da raiz 6 Selecione o botão = Aparecerá no visor 1,0399 que arredondando para duas casas decimais vira 105
1,04 1,04 = 1+ i vamos passar o 1 para o outro termo da equação subtraindo para isolar o i definitivamente 1,04 1 = i i = 0,04 (taxa unitária) Resposta: A taxa mensal cobrada foi de 4% ao mês (0,04. ) Exemplo 4: Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto. n =? C = 10 M = 22125 i = 15% ao semestre ( 0,15 taxa unitária) Vamos usar a fórmula do juro composto M = C. (1+i) n, substituindo os valores na fórmula Operação Comentário 22125 = 10. (1 + vamos fazer a soma do 0,15) n parênteses 22125 = 10. (1,15) n vamos passar o 10 n 22125 / 10 = 1,15 dividindo para isolar o termo com o n 2,0114 = 1,15 n em Matemática só existe uma forma de podermos calcular o valor de n que é usando 106
log 2,0114 = log 1,15 n logaritmos, vamos usar log dos dois lado da equação existe uma propriedade de logaritmos que permite jogar o n na frente do log de 1,15 multiplicando, fazemos então: log 2,0114 = n. log 1,15 usando a calculadora cientifica do seu computador extraímos os logaritmos da seguinte forma: Digite 2,0114 Selecione o botão log Aparecerá no visor 0,3035 (arredondando 4 casas decimais) Digite 1,15 Selecione o botão log Aparecerá no visor 0,0607 (arredondando 4 casas decimais) 0,3035 = n.0,0607 para isolar o n vamos passar o 0,0607 dividindo 0,3035 / 0,0607 = n n = 5 semestres Resposta: O prazo do empréstimo foi de 5 semestres. OBSERVAÇÕES: Veja que com a fórmula dos juros compostos M = C. (1+i) n podemos calcular: 107
M = Montante Ver exemplo 1 C = Capital Ver exemplo 2 i = taxa Ver exemplo 3 n = período de tempo Ver exemplo 4 Para cada caso há uma forma de resolução. Baseie-se sempre nesses exemplos que não terá problemas FINALIZANDO Finalizamos mais uma Unidade onde aprendemos um pouco de Matemática Financeira. Como vimos, ela é de grande utilidade em nosso cotidiano ou na vida profissional. Estou certa que vocês conseguiram acompanhar e que estão satisfeitos por terem conseguido vencer mais essa etapa. Agradeço a todos, continuem se esforçando sempre e até a próxima! Um forte abraço! 108
Referências BRANCO, A. C. C. Matemática Financeira Aplicada. 2. ed. rev. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira. 13. ed. São Paulo: Saraiva, 2004. 109
Responsável pelo Conteúdo: Profª. Ms. Rosangela Maura Correia Bonici Revisão Textual: Profª Ms. Eliana Pantoja www.cruzeirodosul.edu.br Campus Liberdade Rua Galvão Bueno, 868 01506-000 São Paulo SP Brasil Tel: (55 11) 3385-3000