Softwares Para o Ensino da Matemática Funções Winplot: É um software gratuito que permite plotar gráfico de funções de uma ou duas variáveis. Além disto é possível plotar o gráfico da derivada e representar a integral como área. Possui uma interface extremamente simples e fácil de utilizar. Apresenta recursos interessantes do ponto de vista didático que são: o recurso de animação que permite a variação do gráfico em função de um parâmetro e o recurso Advinhar que permite que o usuário adivinhe a função a partir do gráfico mostrado na tela. É possível também exportar os gráficos realizados para diversos formatos. Na página do professor Ségio de Albuquerque da UFPB encontramos um ótimo tutorial: http://www.mat.ufpb.br/~sergio/winplot/winplot.html Instalação: 1. Baixe o Winplot para Windows versão português: através do site http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html 2. Clique duas vezes no arquivo baixado. Abrirá uma nova tela, então clique em Unzip 3. Será criada uma pasta C:\peanut a qual conterá um ícone amarelo wplotpr. 4. Basta clicar neste link wplotpr que o Winplot abrirá. 1 Exemplo: Adivinhando a função: 1. No menu Janela selecione Advinhar.
2. Uma nova tela será aberta mostrando o gráfico de uma função. 3. Para escrever sua resposta tecle F4 e digite a função na janela que será aberta. 2 4. Se sua resposta não estiver correta o gráfico será plotado em vermelho na janela. 5. Para conferir a resposta correta tecle F5.
Geogebra: É uma poderosa ferramenta gratuita de grande valia não apenas para a matemática elementar mas também para o cálculo, uma vez que através dele podemos trabalhar com as funções mais elementares como as funções: afim, quadrática, modular, polinomial, trigonométrica, logarítmica e exponencial, bem como com funções especiais como as funções gama e beta. Através do geogebra é possível não apenas plotar o gráfico das funções mas também obter sua derivada, integral, limite, assíntotas, entre outras. Uma das coisas que torna este software bastante didático é a possibilidade de animar os gráficos, possibilitando assim que o usuário veja a variação no gráfico em função da variação dos coeficientes. O software apresenta uma interface bastante intuitiva. Uma desvantagem é que os tutoriais oferecidos na aba ajuda estão em inglês, porém há vários tutorias em vídeo no youtube bastante simples e interessante, como por exemplo o vídeo do link abaixo: http://www.youtube.com/watch?v=xyhdqzjpelq Instalação: 1. No site http://www.geogebra.org/cms/pt_br/download, clique em instalação offline e baixe o executável para o sistema operacional desejado(nesta caso o sistema escolhido foi o Windows). Há também a possibilidade de executar o applet do programa onde você poderá utilizá-lo online sem necessitar de instalação. 2. Ao executar o programa selecione o idioma como português brasileiro e clique em Próximo. 3. Aceite o contrato de licença clicando em Eu concordo. 4. Na tela seguinte selecione a opção Standard e em seguida clique em Instalar. 5. Clique em Terminar. 3
Exemplo: Construindo o gráfico da função sen(x): 1. Construa um círculo unitário digitando no campo de entrada a equação: x^2+y^2=1 e tecle ENTER. 2. Agora, construa um segmento de reta unindo o centro da circunferência à um ponto sobre o círculo. 4 Para isso, na barra de ferramenta clique sobre o ícone e selecione o item para criar o segmento. Em seguida clique no centro da circunferência e em um ponto sobre o círculo.
3. Para visualizar o ângulo formado entre o eixo e o segmento, clique sobre a ferramenta e selecione o item. Em seguida clique sobre o eixo x e logo após sobre o segmento de reta. 4. Para desenhar a função seno é preciso que o ponto B esteja livre para movimentar-se sobre o círculo, para isso clique sobre o ícone e selecione o item e selecione o ponto A. 5. Note que o ponto que descreverá a curva terá como coordenadas o par ordenado (α, sen α). Então criaremos no campo de entrada o ponto C digitando: C=(α, sin(α)). 5 6. Para desenhar a curva, clique com o botão direito do mouse sobre o ponto C e clique em habilitar rastro.
7. Agora mova o ponto B através do círculo. O ponto C descreverá o gráfico da função sen x. Para adequar convenientemente o eixo x, clique com o botão direito do mouse sobre o eixo das abscissas e selecione o item janela de visualização e altere a distância de 1 para π/2. Graphamatica: O Graphmatica é um programa shareware, isto é, o software possui licença paga, mas permite testar por 30 dias. O Graphmatica representa graficamente funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas funções na forma explícita, implícita, paramétrica e polar, podendo também representar a função derivada, e a tangente. O programa possui recursos de cálculo com derivada e integral. É um aplicativo que trabalha com duas dimensões, desenha gráficos de derivadas e cria gráficos de equações diferenciais ordinárias. Uma vantagem didática deste software é que ele exibi uma planilha com valores da função em alguns pontos. No link abaixo podemos encontrar um bom tutorial http://www.graphmatica.com/user/guiadousuario-graphmaticav2003p.pdf 6 Instalação: 1. O download da versão em português pode ser feito através do site http://www8.pair.com/ksoft/ 2. Ao abrir o programa de instalação clique em Próximo e em seguida em Próximo novamente. 3. Quando a instalação estiver concluída clique em Terminar. Exemplo: Podemos plotar uma família de funções e analisar as variações em seu gráfico devidos as variações de um parâmetro. Neste exemplo vamos plotar uma família de funções do tipo y = a sen(x), para 1 a 3 1. Primeiro vamos alterar o eixo x para medidas em radianos. Para isso clique sobre a barra de ferramentas No menu Opções e selecione Papel do gráfico. No campo Selecionar o tipo de papel de fundo selecione a opção Trig e clique em OK.
2. Na linha de comando vamos digitar a função y=a*sin(x) {a: 1, 3, 1}. O comando entre chaves determina respectivamente o valor inicial, o valor final e o incremento do parâmetro a. Assim ao digitar ENTER o programa plotará o gráfico daas seguintes funções: y = sen(x), y = 2 sen(x) e y = 3 sen(x). 7
Maxima: O Maxima utiliza-se de linguagem computacional e permite realizar cálculos numéricos e simbólicos e representações gráficas. O Maxima é semelhante ao Matlab com a vantagem se ser um software livre. É uma poderosa ferramenta tanto para a álgebra quanto para o cálculo. Com ele é possível determinar raízes de funções, plota gráfico de funções em 2 ou 3 dimensões, resolver limites, integrais, derivadas e equações diferenciais. Embora seja um software utilize linhas de código não é necessário conhecer programação para utilizá-lo, pois a versão 12.04.0 apresenta uma interface bastante intuitiva e de fácil manipulação. A aba Ajuda oferece tutoriais mas estão em inglês. No site http://www.ime.unicamp.br/~marcio/tut2005/maxima/042290bruno.pdf podemos encontrar um tutorial bem simples para uma introdução ao Máxima, embora o enfoque seja a programação. Instalação: 1. Baixe o aplicativo pelo site http://maxima.sourceforge.net/download.html clicando no link Sourceforge download page. 2. Você será redirecionado para uma outra página onde haverá um link para o downlod. 3. Abra o arquivo executável e selecione o idioma como português (Brasil) e clique em OK. 4. Na tela seguinte clique em Avançar. 5. Selecione a opção Eu aceito os termos de contrato em seguida em Avançar. 6. Nas telas seguintes clique em Avançar e depois em Instalar. 7. Quando a instalação estiver concluída clique em Avançar e depois em Concluir. 8 Exemplo: Vamos determinar as raízes função f(x) = x³-2x, sua derivada e seu gráfico. 1. Na barra de ferramentas clique sobre Equações e selecione Resolver.
2. Digite a função na caixa de texto que abrirá, segundo a sintaxe abaixo: 3. Na tela aparecerá as raízes da função: 4. Para derivar a função, selecione-a, clique sobre o botão Cálculo na barra de ferramentas e selecione a opção diferenciar. Em seguida clique em OK na caixa de texto que será aberta. 9 5. A derivada da função irá aparecer na tela:
6. Para plotar o gráfico da nossa função f(x) = x³-2x basta selecioná-la e na barra de ferramentas clicar sobre o botão Gráfico e selecionar Gráfico 2d. 7. É possível plotar na mesma janela o gráfico da função derivada, para tanto basta selecionar a derivada 3x²-2 copiar e colar na linha de comando wxplot2d([x^3-2*x], [x,-5,5])$ juntamente com a função f(x) separando-as por vírgula, de forma que ficará reescrito como wxplot2d([x^3-2*x,3*x^2-2], [x,-5,5])$. Em seguida tecle ENTER. 10
Microsoft Mathematics: Foi lançado como uma proposta de ser um auxílio aos estudantes onde é possível resolver equações passo-a-passo, plotar gráfico de funções em 2 e 3 dimensões com coordenadas cartesianas, cilíndricas, polares e esféricas bem como animá-lo. O programa possui ainda recursos para o estudo do cálculo permitindo determinar limite, integral e derivada. É uma calculadora gráfica gratuita que possui uma interface bastante atrativa e de fácil manipulação, similar os softwares do pacote Office, além de ser bastante didática. Uma outra vantagem é possuir um manual em português. Instalação: 1. Faça o download no site http://www.microsoft.com/en-us/download/details.aspx?id=15702 Há opção de idioma par português na caixa Change Language. 2. Ao executar o aplicativo, abrirá uma tela de boas vindas. Clique em Avançar vançar. 3. Selecione a opção Aceito os termos de contrato e clique em Avançar vançar. 4. Escolha se deseja participar do programa de aperfeiçoamento do software e clique em Avançar e na tela seguinte clique em Avançar ar novamente. 5. Em seguida clique em Instalar e na tela seguinte clique em Concluir. 6. Assim que abrir o programa será solicitado a instalação do DirectX, aceite o contrato e clique em Avançar 7. Na tela seguinte clique em Concluir. 11 Exemplo: Vamos definir implicitamente a solução da função y = 2x-3 e plotar seu gráfico. 1. Digite a função no campo de entrada e tecle ENTER
2. Na janela Planilha, clicando sobre expandir solução obtemos : 3. Logo abaixo da solução, ainda na janela Planilha há sugestão de plotar o gráfico da função, clicando sobre ela você será redirecionado para a janela Representação gráfica 12
Variação da função afim: O applet tem por objetivo estudar a variação de uma função real afim; caracterizar uma função real afim a partir do seu comportamento variacional; resolver problemas do cotidiano ou científicos tendo a função afim como modelo. Apresenta uma sequência de atividades contendo um estudo dirigido que permeia o desenvolvimento de todas as atividades, há também o estudo das relações existentes entre as progressões aritméticas x n com valores no domínio da função e as sequências de valores f(x n ), bem como as variações dessas últimas visualizas através de uma planilha. Há ainda apresentação de situações problemas. O applet está disponível no site: http://www.uff.br/cdme/afim/afim-html/ap1.html Exemplo: Usando a função afim para modelar um problema cotidiano. 1. É bastante simples de utilizar basta alterar os valores de p, q e s de acordo com o que diz a questão através da barra de rolagem e clicar no botão Iniciar 13
2. Depois responda as perguntas no fim da página preenchendo os campos de entrada com as respostas e em seguida clicar no botão Confira sua resposta. 14
Anatomia da função quadrática: Descrição: é um conjunto de applets coma a finalidade de analisar aspectos algébricos e geométricos da função quadrática. Há a possibilidade de fazer download de um arquivo zipado contendo orientações pedagógicas para o professor, ficha de atividades para o aluno e applets para uso offline. Para isso basta clicar em um dos ícones com a figura de um computador localizado na parte superior da página. Pode ser acessado no site : http://www.uff.br/cdme/fqa/fqa-html/fqa-br.html Exemplo: Na Interface 1: Elementos Gráficos e Algébricos com Coeficientes Inteiros temos duas propostas: 1. Analisar a variação gráfica quando os coeficientes são alterados, sendo possível mostrar na janela elementos como eixo de simetria, raízes, imagem da função, etc. 15
2. Analisar algebricamente a função: 16
Funções trigonometricas: Descrição: é um conjunto de applets devidos em 11 partes que apresentam um estudo sobre as funções trigométricas partindo da função de Euler. Os applets apresentam animações onde é possível associar o deslocamento de um ponto sobre o círculo trigonmétrico com o gráfico função trigonométrica, bem como a variação no gráfico dessas funções em relação a varição de alguns parâmetros. Há a possibilidade de fazer download de um arquivo zipado contendo orientações pedagógicas para o professor e applets para uso offline. Para isso basta clicar em um dos ícones com a figura de um computador localizado na parte superior da página. Os applets podem ser acessados no site : www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-br.html Exemplo: A atividade 10 trata sobre transformações dos gráficos das funções trigonométricas. O software permite desenhar os gráficos da funções y = a f(bx + c) + d, onde f é uma das seis funções trigonométricas: cos, sen, tg, sec, cossec e cotg alterando os coeficientes a, b, c e d. Neste exemplo vamos analisar as alterações no gráfico da função seno. 17 1. Inicialmente os coeficiente estão definidos como a = b = 1 e c = d = 0. 2. Alterando o coeficiente a modificamos a amplitude da função.
3. Alterando o coeficiente b modificamos sua frequência 18 4. O coeficiente c desloca a função através do eixo 0x.
5. O coeficiente d descolora a função no eixo 0y. 19
Como b depende de a: a Descrição: applet que ajuda a desenvolver a noção de termo dependente e independente em uma função. A proposta é descobrir a função f(a) = b ali representada movendo o ponto a através da reta numérica e analisando a variação do ponto b. O site disponibiliza uma animação para exemplificar. Há a possibilidade de fazer download de um arquivo zipado contendo orientações pedagógicas para o professor, ficha de atividades para o aluno e applets para uso offline. Para isso basta clicar em um dos ícones com a figura de um computador localizado na parte superior da página. Pode ser acessado no site : http://www.uff.br/cdme/c1d/c1d-html/c1d-br.html Exemplo: 20 1. Vamos tentar adivinhar a primeira função. Nossa tela inicial é a seguinte:
2. Movendo o ponto a de a = - 4 até a = 0, notamos que quando a desloca 1 unidade b também se desloca 1 unidade. 3. Portanto, nossa função é f(a) = a + 1. Basta digitá-la no campo sua resposta. Para conferir clique no botão Acertei? 21