Nível 1 Instruções para a realização da Prova Leia com muita atenção Prova da segunda fase Caro Aluno, Parabéns pela sua participação na décima terceira edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai enfrentar não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois, pense... Bem-vindo ao mundo dos desafios!!! Não importa a quantidade de questões que vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente, Comissão Organizadora Instruções: O tempo de duração da prova é de três horas. Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas (a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta. Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou preta. Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10: 10) A B C D E Realização: Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto. SOMA - Sociedade dos Matemáticos. Apoio: CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto. Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto. O gabarito estará disponível no site www.mat.ibilce.unesp.br/olimpiada das 20 horas de 04/06/2015 (quinta-feira). a partir OMRP
Gabarito 1. Alternativa B 2. Alternativa D 3. Alternativa A 4. Alternativa A 5. Alternativa C 6. Alternativa D 7. Alternativa E 8. Alternativa E 9. Alternativa C 10. Alternativa C 11. Alternativa A 12. Alternativa A 13. Alternativa A 14. Alternativa C 15. Alternativa C 16. Alternativa B 17. Alternativa C 18. Alternativa E 19. Alternativa E 20. Alternativa C
4 1. Qual é a fração equivalente a cuja soma dos termos 5 é igual a 81? a) b) c) d) e) 39 42 36 45 40 41 24 30 41 40 2. Ana Lítica comeu 11 metades de tortas, Chico das Contas comeu 12 quartos de tortas, Zé da Álgebra comeu 13 oitavos de tortas, e Ari Timético comeu 14 de tortas. Quantas tortas foram consumidas? 16 a) 32. b) 18. c) 14. d) 11. e) 10. 3. Zé da Álgebra desenhou um quadrado, de área 9 cm 2, numa malha quadriculada. Ele coloriu uma parte desse quadrado. Qual é a área que Zé coloriu? 5. Ana Lítica se diverte criando sequências de números. Ela escolhe um número inteiro como o primeiro número da sequência. Ela calcula o próximo número da sequência multiplicando os dois algarismos do primeiro número. Em seguida, Ana faz a mesma coisa com o resultado e continua até que tenha encontrado um número de apenas um algarismo. Por exemplo, se ela começa com 68, a sequência fica assim determinada: 68, 48, 32, 6. Qual dos números a seguir determina a sequência mais longa? a) 98. b) 87. c) 77. d) 62. e) 44. 6. Para evitar que sua irmã descubra o que escreve no seu diário, Ari Timético inventou um código em que cada letra corresponde a um número com um ou mais algarismos. Infelizmente sua irmã conseguiu descobrir que a frase O dia estava de sol tinha sido codificada para 52 85567 534437467 855 34526. Qual é o código que corresponde à letra T? a) 3. b) 4. c) 37. d) 43. e) 44. a) 6 cm 2. b) 6,25 cm 2. c) 6,5 cm 2. d) 6,75 cm 2. e) 7 cm 2. 4. Chico das Contas nadou 200 metros em 3 minutos e 20 segundos. O objetivo de Chico é conseguir nadar essa distância de forma 25% mais rápida. Determine quanto tempo Chico levará para nadar os 200 metros quando ele atingir seu objetivo. 7. Gê Ométrica desenhou um retângulo de comprimento medindo 12 cm e área igual a 108 cm 2. Qual é o perímetro do retângulo que Gê desenhou? a) 120 cm. b) 96 cm. c) 60 cm. d) 48 cm. e) 42 cm. a) 2min 30s. b) 2min 20s. c) 2min. d) 1min 50s. e) 1min 30s. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 3
8. Dadas as seguintes premissas: (I) Par (II) Ímpar (III) Quadrado perfeito (IV) Múltiplo de 5. Então, é verdade que o produto 21. 35. 15 é: a) II e IV b) I e IV. c) II e III. d) I e III. e) II, III e IV. 11. Chico das Contas aprendeu que um número palíndromo é um número que não se altera quando é lido ao contrário. Por exemplo, 808 e 15751 são palíndromos. Chico ficou tão empolgado com esses números que fez uma lista com os palíndromos com cinco algarismos (os números não podem começar com 0), por ordem crescente e observou que o décimo primeiro número era o número de sua casa. Que número é esse? a) 11011. b) 11111. c) 12012. d) 12112. e) 12121. 9. Um novo brinquedo de Zé da Álgebra é um conjunto de 4 quadros numéricos e 4 capas que podem girar e inverter. 12. Gê Ométrica corta um quadrado de três dias por três dias da página de um calendário. Se a soma das nove datas desse quadrado é um número divisível por 10 e a data do vértice superior esquerdo é múltiplo de 4, qual é a data do vértice inferior direito? a) 28. b) 27. c) 25. d) 24. e) 22. 13. O produto de três inteiros positivos é 50. Qual é a menor soma possível para esses três números? O objetivo do jogo é que cada quadro: mostre apenas um tipo de algarismo e que esse tipo de algarismo seja diferente em cada quadrado. Uma associação correta para que o objetivo do jogo seja alcançado está na alternativa: a) I A, II B, III C, IV D. b) I A, II B, III D, IV C. c) I C, II A, III B, IV D. d) I C, II B, III A, IV D. e) I A, II C, III B, IV D. 10. Quantos são os números primos, de dois algarismos, tais que a soma de seus algarismos é igual a 11? a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. a) 12. b) 13. c) 14. d) 15. e) 16. 14. Um número natural, diferente de zero, se diz curioso se, quando lido da esquerda para a direita, cada par de seus dígitos, escritos de forma consecutiva, formam um número quadrado perfeito. Por exemplo, o número 3649 é curioso pois 36, 64 e 49 são quadrados perfeitos. Quantos números inteiros formados por 4 ou 5 algarismos (incluindo o número do exemplo) são curiosos? a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 4
15. Os pais de Ana Lítica têm um terreno retangular onde construíram um canil e também cultivam rosas, como mostra a figura a seguir. A área onde cultivam rosas é o quádruplo da área reservada ao canil. Sabendo que a medida de AE é igual a 6 m e que a medida de AB é igual a 10m, quanto mede AD? B A E 18. Ana Lítica nasceu dois anos antes do que Ari Timético e Zé da Álgebra três anos antes do que Maicom Binatória. Se Ari é mais velho do que Chico das Contas e Maicom Binatória e, além disso, Chico nasceu três anos depois do que Maicom Binatória, qual dos cinco é o mais novo? a) Ana Lítica. b) Ari Timético. c) Zé da Álgebra. d) Maicom Binatória. e) Chico das Contas. a) 9 m. b) 12 m. c) 15 m. d) 18 m. e) 24 m. C 16. Maicon Combinatória estava construindo casas, pontes e castelos, com um jogo de blocos muito conhecido. Para construir um castelo e uma casa, Zé utilizou 120 peças. Na construção de uma ponte e um castelo precisou de 200 peças. Já na construção de uma casa e de uma ponte usou 160 peças. Para construir a casa, o castelo e a ponte, quantas peças, no total, são necessárias? a) 220. b) 240. c) 260. d) 280. e) 300. D 19. O irmão de Maicom Binatória tem uma caixa com 3 bolas vermelhas e 2 brancas. Retirou 3 bolas da caixa. O que se pode, com certeza, afirmar sobre as bolas que o irmão de Maicom retirou? a) As bolas são da mesma cor. b) Uma bola é vermelha e duas são brancas. c) Pelo menos uma bola e branca. d) Uma bola é branca e duas são vermelhas. e) Pelo menos uma bola é vermelha. 20. Determine o número máximo de triângulos na figura abaixo: a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12. 17. Qual o número mínimo de pessoas que devemos reunir, para que tenhamos certeza de que entre elas há três que fazem aniversário no mesmo mês? a) 36. b) 37 c) 25. d) 26. e) 43. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 5