NÚMEROS DE FERMAT (Pedro H. O. Pantoja, Universidade de Lisboa, Portugal) Intrudução: O matemático francês Pierre de fermat (1601-1665) é famoso pelo seu extensivo trabalho em teoria dos números. Suas principais contribuições são o pequeno teorema de Fermat, o último teorema de fermat (demonstrado por A. Wiles), números de fermat, entre outros. Nesse trabalho vamos explorar algumas propriedades elementares dos números de Fermat. Para aprofundar os conceitos aqui introduzidos, recomendamos a excelente obra Um número de Fermat é um número da forma Para Fermat conjecturou que esses números eram todos primos, de fato, para dão realmente números primos 3, 5, 17, 257, 65537. Entretanto Euler mostrou que é divisível por 641. O argumento usado abaixo é devido a Kraïtchik. Note que daí Logo 641 divide Atualmente os únicos números primos de Fermat conhecidos, são aqueles apresentados pelo próprio Fermat. Proposição: A fórmula é verdadeira para todo e Prova: Por indução, temos que que é verdadeiro. Suponhamos que a expressão é válida para m, daí Corolário:, para Prova: Suponhamos que tenham um fator primo p, então pela proposição anterior,
Como p divide ambos p deverá dividir 2, ou seja, p é igual a 1 ou 2. Não pode ser 2, pois são ímpares. Em particular, esse corolário mostra que existem infinitos números primos( vide [2] ). Pode-se também provar que para m maior ou igual a 1. É muito conhecido que para é composto (devido a Sophie Germain). De fato, Fazendo para, encontramos e portanto Exemplo 1: Para o dígito das unidades de é 7. Para é múltiplo de 4 então existe k inteiro tal que daí e como o dígito das unidades é 2 ou 7, não pode ser 2 pois não pode ser par. Em particular, esse exemplo mostra que nenhum número de Fermat pode ser quadrado perfeito. Com efeito, é bem conhecido que o dígito das unidades de um quadrado perfeito é 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, e como e para é 7, uma contradição. Mais geralmente é fácil provar que nenhum número de fermat é uma potência perfeita. O caso de cubo perfeito foi proposto na Baltic Way. Exemplo 2: (Baltic Way) Prove que nenhum dos números Para cubo de um inteiro. Assuma que exista um inteiro K tal que, k ímpar e daí e para alguns s,r inteiros positivos com soma igual a. Agora,, contradição pois o lado esquerdo é par e o direito ímpar. Exemplo 3: Cada número de Fermat maior do que 3 é da forma É suficiente provar que 6 divide para com efeito, E o número entre parênteses é par. Exemplo 4: Resolva a equação diofantina
Temos que fazendo e portanto Como o último fator é sempre inteiro, concluímos que é par, absurdo. Assim a equação proposta não possui solução em inteiros. Exemplo 5: Prove que existem infinitos inteiros positivos n tais que não é primo. Vamos mostrar que, são múltiplos de 7. Agora para Os números de Fermat podem ser generalizados. Define-se Onde p é primo, o qual generaliza tanto os números de Fermat os números de Mersenne Vamos estudar alguns casos como, por exemplo, Exemplo 6: Prove que para todos os inteiros positivos n, o número é produto de pelo menos (não necessariamente distintos) primos. Por indução, o caso é evidentemente verdadeiro. Como Então é suficiente provar que é composto, já que por hipótese de indução tem fatores primos. Claramente, que completa a prova por indução.
Exemplo 7: (USAMO-2007) Prove que para todos os inteiros não-negativos n, o número é produto de pelo menos (não necessariamente distintos) primos. Por indução, o caso é trivial pois Como é ímpar, para algum inteiro m, agora onde Portanto é suficiente provar que É composto, pois consequentemente terá pelo menos dois fatores primos a mais do que Assim. O primeiro fator é maior do que 1. Para o segundo, a prova está completa. Exercícios: 1) Prove que para qualquer divide 2) (USAMO-1991) Mostre que, para qualquer inteiro fixo a sequência é eventualmente constante. 3) (Iran-2009) Seja um número natural fixo. Prove que o conjunto dos divisores primos de, para é infinito. 4) (China-2010) Suponhamos que são inteiros não-negativos, e é um número primo. Prove que: a) b) é o menor inteiro positivo n que satisfaz a equação de congruência
REFERÊNCIAS [1] MICHAL K., F. LUCA, L. SOMER, 17 LECTURES ON FERMAT NUMBERS, CANADIAN MATHEMATICAL SOCIETY. [2] RIBENBOIM, P. THE BOOK OF PRIME NUMBERS RECORDS, SPRINGER, 1991. [3] DUBRER, H. GENERALIZED FERMAT PRIMES, J. RECREATIONAL MATH. 1985.