UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE INSTITUTO DE EDUCAÇÃO DE ANGRA DOS REIS DISCIPLINA: MATEMÁTICA CONTEÚDO E MÉTODO Período: 2016.2 NÚMEROS RACIONAIS OPERAÇÕES Prof. Adriano Vargas Freitas
Noção de número racional Já sabemos que entre os números naturais não é possível efetuar determinadas divisões como, por exemplo, a divisão de 1 por 8. No entanto, na prática, essa divisão pode ser possível? É possível dividir uma pizza em 8 partes iguais?
Diferentes significados dos números racionais SIGNIFICADO PARTE-TODO: Um todo é dividido em partes iguais e são consideradas algumas dessas partes QUOCIENTE: Refere-se à divisão entre dois números naturais, sendo o segundo diferente de zero. RAZÃO: Relação entre duas grandezas. OPERADOR: Operador em um cálculo. SITUAÇÕES-PROBLEMA Uma pizza pequena será dividida igualmente em três pedaços. Você comeu 2 pedaços. Quanto da pizza você comeu? Duas pizzas serão divididas igualmente entre 3 irmãos. Quanto das pizzas caberá a cada um? Os meninos correspondem a 2/3 da turma. Por quanto devemos multiplicar 2 para obter o número 5?
Os números racionais podem ser representados de duas formas: Fracionária: Ex.: 2/5 Decimal: Ex.: 1,25 Transformação: Para transformar frações em números decimais, basta efetuar a divisão indicada. Ex.: 2/5 = 0,4 ; 1/3 = 0,33... ; 1/10 = 0,10
Observações: Se a e b são números naturais, com b diferente de zero, então a/b é um número fracionário. O número colocado acima do traço (a) chama-se numerador e indica quantas partes foram tomadas do inteiro. O número colocado abaixo do traço (b) chama-se denominador e indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido. O numerador e o denominador são chamados termos da fração.
Como se lêem as frações Se o denominador for: 2 - meio 3 - terço 4 - quarto 5 - quinto 6 - sexto 7 - sétimo 8 - oitavo 9 - nono 10 décimos 100 - centésimos 1000 - milésimos Nos demais casos, lê-se o denominador acompanhado da palavra avos. Exemplos.: ½ - um meio 1/3 um terço 3/10 três décimos 2/15 dois quinze avos
Como se lêem os decimais Cada número racional escrito na sua forma decimal tem sua leitura de acordo com a posição que ocupam os algarismos: Parte inteira Parte decimal centenas dezenas unidades décimos centésimos milésimos Décimos milésimos Centésimos milésimos Milionésimos Lê-se a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras. Décimos, centésimos, etc... Exemplos.: 2,3 = dois inteiros e três décimos 0,07 = sete centésimos 13,12 = treze inteiros e doze centésimos 1,302 = um inteiro e trezentos e dois milésimos 4, 3415 = quatro inteiros e três mil quatrocentos e quinze décimos milésimos Obs.: Quando representa uma quantidade de dinheiro: R$ 6,71 = seis reais e setenta e um centavos
Representação de decimais no material dourado:
Representação de decimais no ábaco:
Tipos de Frações Frações equivalentes: São frações que representam a mesma quantidade Propriedade fundamental: quando multiplicamos ou dividimos os termos de uma fração por um mesmo número, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente a ela.
Atividade: Corrida das frações Material necessário: - Dados - Régua das frações - Carrinhos
Comparação de frações de mesmo denominador Duas frações com mesmo denominador podem ser comparadas pelos valores dos seus numeradores. Ex.: 1/4 < 3/4 pois 1< 3
Comparação de frações de denominadores diferentes Para comparar duas frações de denominadores diferentes, é necessário reduzi-las a um mesmo denominador. Ex.: 3/4 e 1/2 ½ pode ser escrito como 2/4 (frações equivalentes) Comparando ¾ e 2/4, temos: 3/4 > 2/4, pois 3 > 2.
O que é e como se calcula o MMC? Dados dois ou mais números naturais diferentes de zero, chama-se mínimo múltiplo comum desses números o menor de seus múltiplos comuns diferentes de zero. Ex.: Vamos determinar o MMC entre os números 12, 18 e 24 (Método 1): 12 = (12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,...) 18 = (18, 36, 54, 72, 90, 108,...) 24 = (24, 48, 72, 96, 120, 144,...)
O que é e como se calcula o MMC? Dados dois ou mais números naturais diferentes de zero, chama-se mínimo múltiplo comum desses números o menor de seus múltiplos comuns diferentes de zero. Método 2: Ex.: 12 = 2 2. 3 18 = 2. 3 2 24 = 2 3. 3 m.m.c.= 2 3. 3 2 = 72
O que é e como se calcula o MMC? Dados dois ou mais números naturais diferentes de zero, chama-se mínimo múltiplo comum desses números o menor de seus múltiplos comuns diferentes de zero. Processo prático para o cálculo do MMC: Decomposição simultânea Método 3: M.M.C. (12, 18, 24) = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 72 O mínimo múltiplo comum dos números 12, 18 e 24 é igual a 72. Atividades: Calcule o mmc entre: a) 64 e 40 b) 4, 6, 9 e 30
Redução de frações ao mesmo denominador pelo m.m.c. Ex.: a) 1/2 e 2/3 b) 1/4, 3/6 e 1/5
Comparação de números decimais O maior número decimal é aquele que tem maior parte inteira. Ex.: 12,435 ; 5,7 e 32,73 32,73 > 12,435 > 5,7
Dificuldades na aprendizagem de números racionais Algumas ideias válidas para os números naturais não são válidas para números racionais. Sendo os racionais trabalhados como extensão do conceito de número inteiro, fica fácil compreender que os alunos queiram transferir para os números racionais o que já foi aprendido sobre os números naturais. Por isso há algumas dificuldades na aprendizagem de números racionais para os quais o professor deve estar atento. Uma das dificuldades é a forma de representação. Se para os números naturais, cada número tem representação única, para os racionais há infinitas formas fracionárias de representar um mesmo numero e uma única forma decimal. Outra dificuldade é a comparação entre números racionais. No caso da escrita fracionária, quando se compara, por exemplo, ½ e 1/3, alguns alunos tendem a pensar, pelo menos num primeiro momento, que ½ é menor que 1/3, pois 2 é menor que 3 (2<3). Quando na verdade ½ é maior que 1/3. No caso da escrita decimal, também surgem dificuldades na comparação de números racionais. Os alunos aprendem na comparação de números naturais que, quanto mais dígitos tem um número, maior ele é. (SILVEIRA, 2010).
Adição e Subtração de números fracionários de mesmo denominador Obs.: Na educação básica é importante o uso de materiais concretos, que permitam visualizar as operações, tais como tiras de papel retangular, onde será destacada a parte-todo. Ex.: 1/3 + 1/3 2/3 1/3 2/4 + 1/4
Adição e Subtração de números fracionários de denominadores diferentes Para somar e subtrair frações com denominadores diferentes, utiliza-se o conceito de frações equivalentes. Ex.: 2/3 + 1/6 1 1/3
Ex.: modo para encontrar soma entre os decimais 2,169 + 0,152 utilizando o Ábaco.
Multiplicação e Divisão de números fracionários Podemos usar representações geométricas para compreender os resultados: Ex.: 2 x 1/3 ½ : 2 ¼. 1/3 ¼ : 1/3
Multiplicação e Divisão de números decimais Para que os alunos melhor compreendam o algoritmo da multiplicação de número decimais podemos utilizar, por exemplo, o material dourado ou o ábaco. Ex.: 4. 0,10 0,10. 0,12 1,56 : 3 6,45 : 0,5
1) Comprei duas barras iguais de chocolate, uma de chocolate branco e outra de chocolate preto. Comi 1/2 de chocolate branco e 1/3 de chocolate preto. Quanto de chocolate eu comi ao todo? 2 ) Eu comi 1/2 de uma barra de chocolate branco e meu amigo 1/3 de uma barra igual, de chocolate preto. Quem comeu mais? Quanto a mais? 3) Meu pai comeu 2 pedaços de 2/8 de chocolate. Qual a fração que representa o total comido por ele?
É importante, também, propor situações em que a criança perceba que trabalhar com material concreto, qualquer que seja ele, se torna pesaroso e, portanto, há necessidade de um algoritmo que possa ser utilizado em qualquer situação. Essa é a forma que acreditamos que os algoritmos devem ser apresentados aos alunos nos primeiros ciclos do ensino fundamental: devem ser construídos com a participação deles e a partir da necessidade de generalizações (SILVEIRA, 2010).