ANÁLISE MATEMÁTICA I (com Laboratórios) Curso: EB Lógica - Resumo Ana Matos DMAT
Noções básicas de Lógica Consideremos uma linguagem, com certos símbolos. Chamamos expressão a qualquer sequência de símbolos. Uma expressão pode ser uma expressão com significado expressão sem significado designar um objecto Uma expressão com significado pode traduzir uma afirmação Termo ou designação é uma expressão com significado que designa um objecto. Exemplo: 1. Em português, Ana e gato são termos ou designações; Setúbal é uma cidade é uma afirmação. 2. Na linguagem dos reais, 0 e 3 25 são termos ou designações; 3 5 2 é uma afirmação. Nota: As aspas permitem distinguir a designação do ente designado; quando não há risco de confusão, dispensamos o seu Ana Isabel Matos - AMI (versão de 6 de Outubro 2010) Resumo de Lógica - 2
uso. Na Lógica consideramos apenas afirmações sobre as quais se possa decidir se são verdadeiras ou falsas - a que chamamos proposições. O valor lógico de uma proposição é verdade se a proposição for verdadeira falso se a proposição for falsa denota-se por V ou 1 denota-se por F ou 0 Toda a proposição tem um, e um só, dos valores V ou F. Duas proposições dizem-se equivalentes quando têm o mesmo valor lógico. Ana Isabel Matos - AMI (versão de 6 de Outubro 2010) Resumo de Lógica - 3
Cálculo Proposicional Muitas afirmações que fazemos são obtidas a partir de outras afirmações por meio de certas operações, como é o caso de: 1. 3 não é um número par; 2. 10 é múltiplo de 3 eéum número irracional; 3. lne 1 ou 2! 2; 4. se eu sou um ser humano, então sou mortal; 5. vou à praia se e só se estiver bom tempo. De igual modo, as operações lógicas permitem obter novas proposições a partir de outras, de modo que, se soubermos o valor lógico das proposições de que foi obtida, sabemos o valor lógico da nova proposição (independentemente do seu significado). Estas operações lógicas são: negação, conjunção, disjunção, implicação e equivalência, associadas aos símbolos,,,, chamados conectivos lógicos. No Cálculo Proposicional faz-se o estudo destas operações e respectivas propriedades. A tabela de verdade de uma operação lógica (ou de uma proposição) dá-nos o valor de verdade da nova proposição em função do valor de verdade das proposições de que foi obtida. Ana Isabel Matos - AMI (versão de 6 de Outubro 2010) Resumo de Lógica - 4
Sejam p e q proposições: a negação de p representa-se por p e lê-se não p. p é verdadeira se e só se p é falsa A sua tabela de verdade é p p V F F V a conjunção de p e q representa-se por p q e lê-se p e q. pqéverdadeira caso p e q sejam ambas verdadeiras e é falsa se pelo menos uma delas for falsa. A sua tabela de verdade é p q pq V V V V F F F V F F F F Ana Isabel Matos - AMI (versão de 6 de Outubro 2010) Resumo de Lógica - 5
a disjunção de p e q representa-se por pqelê-se p ou q. pqéverdadeira se pelo menos uma das proposições iniciais for verdadeira e é falsa se ambas forem falsas. A sua tabela de verdade é p q pq V V V V F V F V V F F F a implicação de p por q representa-se por p q e lê-se p implica q ou se p então q. - p é o antecedente e q é o consequente - p é uma condição suficiente para q - q é uma condição necessária para p. O único caso em que a implicação é falsa é quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. A sua tabela de verdade é p q p q V V V V F F F V V F F V Ana Isabel Matos - AMI (versão de 6 de Outubro 2010) Resumo de Lógica - 6
Nota: O sentido aqui dado ao termo implicação não traduz necessariamente uma relação de causa-efeito entre as afirmações. Estabelece apenas uma relação entre os valores lógicos das duas proposições originais e o valor lógico da nova proposição. Por exemplo, a proposição 2 é par a Terra é um planeta é uma proposição verdadeira, visto que ambas as afirmações são verdadeiras. No entanto, não há qualquer relação de causa-efeito entre as duas afirmações. Saliente-se ainda que, se o antecedente da implicação for falso, a implicação é verdadeira, qualquer que seja o consequente. a equivalência entre p e q representa-se por p q e lê-se p equivale a q ou p se e só se q. p q é verdadeira quando p e q têm o mesmo valor lógico e é falsa caso contrário. A sua tabela de verdade é p q p q V V V V F F F V F F F V Nota: Tal como no caso da implicação, a equivalência entre duas proposições não traduz necessariamente uma relação entre o conteúdo dessas proposições, mas apenas uma relação entre os seus valores lógicos. Usam-se parêntesis para indicar a ordem pela qual se realizam as Ana Isabel Matos - AMI (versão de 6 de Outubro 2010) Resumo de Lógica - 7
operações lógicas, sobrepondo-se à seguinte convenção de prioridade das operações: primeiro a negação; depois a conjunção e disjunção; por último a implicação e a equivalência. Por exemplo, a proposição pq p q pode escrever-se simplesmente pq p q. No entanto, certos parêntesis, embora dispensáveis, devem ser mantidos pois tornam a leitura mais clara. Nota: Podem ser definidas outras operações lógicas. Por exemplo, a disjunção exclusiva, cuja tabela de verdade é p q p q V V F V F V F V V F F F O símbolo lê-se ou exclusivo Ana Isabel Matos - AMI (versão de 6 de Outubro 2010) Resumo de Lógica - 8
Algumas propriedades das operações lógicas Certas proposições, pelo modo como foram obtidas a partir de outras proposições por meio das operações lógicas, são verdadeiras, qualquer que seja o valor lógico das proposições que a originam. Uma proposição nestas condições diz-se uma tautologia. As propriedades das operações lógicas podem ser expressas por meio de tautologias. Por exemplo, pode-se provar que p é equivalente a p verificando que as proposições p e p têm sempre o mesmo valor de verdade, o que é o mesmo que verificar que p p é uma tautologia (ou seja, que o seu valor lógico é sempre V). Vejamos a tabela de verdade: p p p p p V F V V F V F V Propriedades da conjunção e da disjunção A conjunção e a disjunção são comutativas; são associativas; têm elemento neutro; têm elemento absorvente. Ana Isabel Matos - AMI (versão de 6 de Outubro 2010) Resumo de Lógica - 9
A conjunção é distributiva relativamente à disjunção, isto é p q r é equivalente a pqpr. A disjunção é distributiva relativamente à conjunção, isto é p q r é equivalente a pqpr. Tal como no caso anterior, a demonstração destas propriedades é feita recorrendo às tabelas de verdade. Por exemplo, p qr pqr exprime a propriedade associativa da conjunção. Vejamos que é verdadeira. Na tabela de verdade p q r pq p qr q r p q r V V V V V V V V V F V F F F V F V F F F F V F F F F F F F V V F F V F F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F as colunas correspondentes a pqreapqr são iguais, o que garante que a proposiçãopqr pqr é sempre verdadeira (ou seja, é uma tautologia). Ana Isabel Matos - AMI (versão de 6 de Outubro 2010) Resumo de Lógica - 10
Em vez desta justificação final, podemos simplesmente acrescentar à tabela anterior a coluna correspondente a pqr p q r e comprovar que o seu valor lógico é sempre V. Primeiras Leis de De Morgan São tautologias: pq p q; pq p q. Propriedades da implicação São tautologias: p q pq; p q p q; p q q p (uma implicação e sua contra-recíproca são equivalentes). Todas estas propriedades podem ser demonstradas por meio de tabelas de verdade. Ana Isabel Matos - AMI (versão de 6 de Outubro 2010) Resumo de Lógica - 11
Expressões com variáveis Para estudar uma certa teoria: definimos uma linguagem adequada (que inclua, por exemplo, símbolos para as operações fundamentais); num certo conjunto - a que chamamos Universo - interpretamos devidamente os símbolos da linguagem. Consideramos ainda variáveis, que são símbolos (ou grupos de símbolos) que podem ser substituídos por elementos do universo. Por exemplo, no universo dos reais, temos a expressão x, em que x varia num certo subconjunto de(neste caso os reais não negativos). Da substituição de x por qualquer real não negativo, resulta uma designação (substituindo x por 2, obtemos 2. Considerando a expressão x 4 e substituíndo x por um valor do domínio de x obtemos uma proposição. (Por exemplo, para o valor 5 obtemos 5 4, que é uma proposição falsa; para o valor 16 obtemos 16 4, que é uma proposição verdadeira.) O domínio de uma expressão é constituído pelos valores, do universo, pelos quais faz sentido substituir as suas variáveis. Chama-se expressão proposicional, condição ou propriedade a qualquer expressão com variáveis que se transforma em proposição (verdadeira ou falsa) sempre que se atribuem valores (dos respectivos domínios) às variáveis que nela ocorrem. O conjunto solução de uma condição é constituído pelos valores que a transformam numa proposição verdadeira. Ana Isabel Matos - AMI (versão de 6 de Outubro 2010) Resumo de Lógica - 12
Exemplo: No Universo dos reais, consideremos a condição 1 x 2 1 4. O seu domínio é x : x 2 1 0 \1,1; o seu conjunto solução é 5 2, 5 2. Cálculo com quantificadores As operações lógicas associadas a,,, epermitem obter novas condições a partir de condições mais simples. Trabalhando agora com variáveis, podemos definir três novas operações quantificação universal quantificação existencial quantificação de existência e unicidade por meio das quais obtemos, a partir de uma condição, novas condições: a quantificação universal tem o significado de para todo ou qualquer que seja ; a quantificação existencial tem o significado de existe ; a quantificação de existência e unicidade tem o significado de existe um e um só. Ana Isabel Matos - AMI (versão de 6 de Outubro 2010) Resumo de Lógica - 13
Num certo Universo, uma expressão proposicional diz-se: universal, se ao substituirmos as suas variáveis por quaisquer valores dos respectivos domínios obtemos sempre proposições verdadeiras; impossível, se obtemos sempre proposições falsas. Seja px uma condição na variável x. Quantificador universal x, px é uma proposição, que se lê qualquer que seja x, px. Num certo universo, x,px é verdadeira sse a condição px é universal. Quantificador existencial x, px é uma proposição, que se lê existe pelo menos um x tal que px. Num certo universo, x,px é verdadeira sse a condição px tem alguma solução. Quantificador de existência e unicidade 1 1 x, px é uma proposição, que se lê existe um e um só x tal que px. Num certo universo, 1 x,px é verdadeira sse a condição px tem uma única solução. Ana Isabel Matos - AMI (versão de 6 de Outubro 2010) Resumo de Lógica - 14
Notação:x D, px, x D, px e 1 x D, px indicam que a variável x varia em D (subconjunto do universo). Convenção: O quantificador abrange a mais pequena expressão proposicional que o segue. Quantificação múltipla A troca de ordem de dois quantificadores consecutivos do mesmo tipo origina uma condição (ou proposição) equivalente. Pelo contrário, a troca de ordem de quantificadores que não são do mesmo tipo, origina condições (ou proposições) que, em geral, não são equivalentes às iniciais. Exemplo: Em, universo dos inteiros, a proposição ba, ab 0 é verdadeira (traduz a propriedade de qualquer inteiro ter simétrico em). A proposição ab, ab 0 é falsa (corresponde a afirmar que existe um inteiro que é simétrico de todos os inteiros, o que não é verdade). Segundas leis de De Morgan Sendo p uma condição tem-se: x,p x, p; x,p x, p. Ana Isabel Matos - AMI (versão de 6 de Outubro 2010) Resumo de Lógica - 15