8. Estabilidade e bifurcação

8. Estabilidade e bifurcação Os sistemas dinâmicos podem apresentar pontos fixos, isto é, pontos no espaço de fase onde o sistema permanece sempre no mesmo estado. Para identificar os pontos fixos e estudar o comportamento dos sistemas dinâmicos na vizinhança dos pontos fixos, vamos começar por estudar sistemas mecânicos simples em equilíbrio estático. Um primeiro sistema simples, já estudado por Euler no século XVIII, é uma barra flexível, por exemplo uma régua plástica, que suporta um peso P. Se P não ultrapassar um valor crítico P c, a barra permanece directa e em equilíbrio. Se o peso P ultrapassar o valor crítico P c, a régua encurva-se, até ficar numa nova posição de equilíbrio em que o centro da régua está afastado uma distância x da vertical. Acontece que o desvío da barra pode ser para a direita ou para a esquerda da vertical. Nomeadamente, existem dois pontos de equilíbrio com x positiva ou negativa. Em função de P, o ponto de equilíbrio x = 0, para P < P c, separa-se em dois pontos de equilíbrio, x > 0 e x < 0, para P > P c. Este fenómeno é designado de bifurcação. 8.1 Teoria linear da estabilidade Outro sistema mecânico que apresenta o fenómeno de bifurcação do ponto de equilíbrio, que vamos estudar com maior pormenor, consiste num pêndulo simples ligado a uma mola elástica (figura 8.1). Um objecto de massa m está pendurado de uma barra rígida, de comprimento l, com massa desprezável. O pêndulo pode descrever um círculo completo de raio l. Uma mola elástica, de comprimento normal l, é ligada ao objecto desde o ponto mais alto do círculo. 88 Física dos Sistemas Dinâmicos

l α d l θ α F e m T mg Figura 8.1: Pêndulo simples ligado a uma mola e diagrama de corpo livre. Usaremos coordenadas polares, com origem no centro do círculo e ângulo medido a partir do ponto mais baixo do círculo. A coordenada r do objecto de massa m é igual a l e permanece constante (ṙ = r = 0). Assim, a segunda lei de Newton para as componentes polares da força resultante é: F θ = ml d θ dt (8.1) ( ) dθ F r = ml (8.) dt Na direcção do versor transversal u θ actuam as componentes da força elástica, F e, e do peso 1 A mola faz um ângulo α com a barra do pêndulo e é fácil ver na figura 8.1 que α = θ/ porque o triângulo formado pela barra e a mola é isósceles; assim, a força resultante na direcção transversal é F θ = F e sin θ mg sin θ (8.3) Para calcular a força elástica, precisamos do alongamento da mola. Em função do ângulo θ, o comprimento d da mola verifica a relação d = l cos θ (8.4) 1 A equação da força F r servirá para calcular a tensão no barra, depois de θ(t) ter sido calculada, mas não vamos abordar essa parte do problema. Estabilidade e bifurcação 89

O alongamento da mola é igual a d l e a força elástica obtém-se multiplicando o alongamento pela constante elástica k F e = kl ( cos θ ) 1 (8.5) Subsituindo na equação 8.1 obtemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem d θ dt = k m sin θ ( cos θ ) 1 g sin θ (8.6) l As constantes k/m e g/l têm unidades de tempo ao quadrado. Convêm escrever a equação numa forma independente de unidades físicas; em função do tempo adimensional, u = e substituindo sin θ = sin(θ/) cos(θ/), a equação fica θ = [(S 1) cos θ ] S sin θ g l t (8.7) (8.8) onde θ é a segunda derivada do ângulo em função de u, e o parâmetro numérico S é relação entre a força elástica e o peso, na posição mais baixa: S = kl mg (8.9) O sistema estará em equilíbrio nos pontos onde a força F θ for nula. Nomeadamente, nos valores de θ que fazem com que o lado direito da equação 8.8 seja nulo. Existem duas possibilidades para que isso aconteça: sin(θ/) = 0 ou a expressão dentro dos parêntesis quadrados em 8.8 igual a zero. O segundo caso será estudado na próxima secção. No primeiro caso, sin(θ/) = 0, o ponto de equilíbrio encontra-se em θ = 0, isto é, na posição mais baixa do pêndulo. A série de Taylor da função no lado direito de 8.8, a partir de θ = 0 é ( ) ( S 7 1 θ 8 S 1 ) θ 3 +... (8.10) 6 Mantendo unicamente o termo dominante, a equação diferencial 8.8 aproxima-se a ( ) S θ = 1 θ (8.11) Neste sistema mecãnico o valor de θ não pode aumentar até π, pois isso implicaria comprimir a mola até um comprimento nulo, o qual é impossível. 90 Física dos Sistemas Dinâmicos

As forma das soluções dessa equação serão diferentes para valores de S maiores ou menores que. No caso de uma constante elástica fraca, S <, a equação 8.11 é a equação de um oscilador harmónico simples: θ = p θ p = 1 S (8.1) As soluções serão movimentos oscilatórios, à volta de ponto de equilíbrio θ = 0 θ = C 1 cos(pu) + C sin(pu) (8.13) dizemos que o ponto θ = 0 é um ponto de equilíbrio estável. Quando o sistema estiver perto do ponto de equilíbrio, a sua tendência será regressar para o ponto de equilíbrio, devido à acção do peso que neste caso é maior do que a força elástica. No caso de uma constante elástica forte, S >, a equação 8.11 já não é a equação de um oscilador harmónico simples S θ = p θ p = 1 (8.14) As soluções dessa equação são funções exponenciais ( θ0 θ = + ω ) ( 0 e pu θ0 + p ω ) 0 e pu (8.15) p o primeiro termo cresce rapidamente e implica que o pêndulo se afasta da posição de equilíbrio 3. Trata-se de um ponto de equilíbrio instável; quando o sistema é afastado ligeiramente da posição de equilíbrio θ = 0, a força elástica puxa o pêndulo para cima; repare que a força elástica terá que ser pelo menos o dobro do peso, devido à diferença dos ângulos na equação 8.3. 8. Bifurcação Consideremos agora o segundo ponto de equilíbrio no sistema estudado na secção anterior, definido pela equação (S 1) cos θ S = 0 (8.16) 3 quando θ já não estiver perto de zero, a aproximação que fizemos para obter a solução anterior já não é válida. Estabilidade e bifurcação 91

a solução dessa equação dá dois valores de θ, com o mesmo valor absoluto: [ ] θ = ± cos 1 S (S 1) se S > (8.17) Se a constante elástica não for suficientemente forte, S <, só existe o primeiro ponto de equilíbrio θ = 0, e esse ponto de equilíbrio é estável. Se S for maior que, o ponto de equilíbrio estável bifurca-se em dois ângulos, positivo e negativo, com o mesmo valor absoluto (a demonstração de que esses pontos de equilíbrio são estáveis, deixa-se ao leitor como um dos problemas propostos no fim do capítulo). θ π/3 estável instável S π/3 Figura 8.: Diagrama de bifurcação do ponto de equilíbrio do pêndulo com mola e energia potencial. Em S >, o ponto de equilíbrio θ = 0 continua a existir, mas é agora instável. No limite S, os pontos de equilíbrio situam-se em ±π/3, nomeadamente, os pontos onde a mola tem o seu comprimento normal l. A figura 8. mostra a posição do ponto de equilíbrio estável (curva contínua) e do ponto de equilíbrio instável (curva tracejada) em função do parâmetro S. Os pontos de equilíbrio estável correspondem a os vales na função de energia potencial, definida como menos a primitiva do lado direito de 8.8. 9 Física dos Sistemas Dinâmicos

8.3 Pontos fixos Consideremos um sistema autonómo com duas equações diferenciais de primeira ordem ẋ 1 = f 1 (x 1, x ) (8.18) ẋ = f (x 1, x ) (8.19) um ponto fixo é um ponto (x 1, x ) no espaço de fase, que verifica as condições f 1 (x 1, x ) = 0 (8.0) f (x 1, x ) = 0 (8.1) para um ponto qualquer (c, d), podemos escrever cada uma das funções f 1 e f na forma de uma série de Taylor; por exemplo, para f 1 f 1 = k 0 + k 1 (x 1 c) + k (x d) + k 3 (x 1 c)(x d) + k 4 (x 1 c) +... (8.) se (c, d) for um ponto fixo, a constante k 0 será nula. Os termos dominantes na série de Taylor são os termos com as constantes k 1 e k, e essas constantes são iguais às derivadas parciais da função, no ponto (c, d); assim, perto do ponto fixo (c, d) uma boa aproximação para a função f 1 é: f 1 (x 1, x ) = f 1 x 1 (x 1 c) + f 1 (c,d) x (x d) (8.3) (c,d) o mesmo tipo de aproximação pode ser feito para f. Assim, perto do ponto fixo (c, d), o sistema de equações diferenciais pode ser aproximado pelo sistema linear [ ẋ 1 ẋ ] = f 1 x 1 f 1 x f x 1 f x (c,d) [ x 1 c x d ] (8.4) A matriz das derivadas parciais das duas funções f 1 e f designa-se de matriz Jacobiana f 1 f 1 x 1 x J(x 1, x ) = (8.5) f f x 1 x Estabilidade e bifurcação 93

Uma mudança de coordenadas, y 1 = x 1 c, y = x d, que equivale a deslocar a origem para o ponto fixo, torna o sistema linear homogéneo ẏ = J(c, d) y (8.6) onde y é o vector (matriz coluna) com dois coordenadas y 1 e y. Se num instante dado o estado do sistema for o vector y 0, o produto matrizial Jy será o deslocamento do estado no intervalo infinitesimal dt. Se y 0 for um vector próprio da matriz J Jy 0 = λy 0 (8.7) onde λ é o respectivo valor próprio. Isto implica que o deslocamento do estado é na mesma direcção do vector próprio y 0 ; o estado do sistema desloca-se na direcção do vector próprio, afastando-se da origem, se o valor próprio for positivo, ou aproximando-se da origem se o valor próprio for negativo. Se os dois valores próprios da matriz J forem reais e diferentes, existem dois vectores próprios diferentes. Se os dois valores próprios são positivos, o ponto fixo é um ponto onde saem linhas de campo em todas as direcções; o ponto fixo é repulsivo (figura 8.3). Se os dois valores próprios forem negativos, no ponto fixo entram linhas de campo em todas as direcções; o ponto fixo é atractivo. Se um dos valores próprios for positivo e o outro negativo, há duas linhas de campo que entram no ponto (na direcção do vector próprio do valor próprio negativo) e duas linhas de campo que saem do ponto (na direcção do vector próprio do valor próprio positivo); o ponto fixo é um ponto de sela. Figura 8.3: Os três tipos de pontos fixos, quando os valores próprios são reais. Ponto repulsivo, atractivo e de sela. As coordenadas (y 1, y ) podem ser transformadas em outras duas coor- 94 Física dos Sistemas Dinâmicos

denadas normais (z 1, z ) onde o sistema de equações é mais simples [ ] [ ] [ ] ż 1 λ 1 0 z 1 = ż 0 λ z (8.8) a soluçaõ geral desse sistema é z 1 = C 1 e λ1t (8.9) z = C e λt (8.30) Os dois valores próprios podem também ser dois números complexos, cada um deles complexo conjugado do outro: nesse caso as duas soluções 8.9 e 8.30 são λ = u ± iv (8.31) z 1 = C 1 e ut [cos(vt) + i sin(vt)] (8.3) z = C e ut [cos(vt) i sin(vt)] (8.33) as constantes complexas C 1 e C deverão ser escolhidas de forma a dar valores reais para as funções y 1 e y ; assim, y 1 e y serão uma combinação linear das funções e ut cos(vt), e ut sin(vt). Figura 8.4: Os três tipos de ponto fixo, quando os valores próprios são complexos. Em função dos valores de u e v, podemos classificar 3 casos para as linhas de campo (figura 8.4): se u for nula (valores próprios imaginários) as linhas de campo serão elipses à volta do ponto fixo; diz-se que o ponto fixo é um centro. Se u for positiva, as linhas de campo serão espirais que se afastam do ponto Estabilidade e bifurcação 95

fixo; o ponto fixo é um centro repulsivo. Finalmente, se u for negativa, as linhas de campo serão espirais que entram no ponto fixo; o ponto é um centro atractivo, ou simplesmente um atractor. Pode também existir um único valor próprio com multiplicidade igual a. Nesse caso, se existirem dois vectores próprios linearmente independentes, então qualquer outro vector é vector próprio com o mesmo valor próprio; as linhas de campo serão rectas a entrar ou sair do ponto fixo, conforme o valor próprio for negativo ou positivo. Se só existe um vector próprio linearmente independente, as linhas de campo agrupam-se na direcção do vector próprio. 8.4 Problemas 1. Para demonstrar que os pontos de equilíbrio estudados na secção 8. são pontos de equilíbrio estável, é preciso mostrar que a derivada da função no lado direito da equação 8.8 é negativa nos pontos de equilíbrio. Derive o lado direito da equação 8.8, em função de θ, e demonstre que a condição 8.16 implica um valor negativo para a derivada.. O sistema de equações: ẋ = x( y) ẏ = y (x 3) define um modelo de Lotka-Volterra. (a) Encontre os pontos fixos. (b) Calcule a matriz Jacobiana do sistema. (c) Para cada ponto fixo, substituia as coordenadas do ponto na matriz Jacobiana e encontre os valores próprios e vectores próprios. A partir do resultado, classifique cada um dos pontos fixos e diga como serão as linhas do campo de direcções na vizinhança do ponto. (d) Use plotdf para visualizar os resultados da alínea anterior. Substituia as coordenadas do ponto fixo para os parâmetros xcenter e ycenter, use valores pequenos de xradius e yradius, por exemplo 0.5, aumente o valor de nsteps (por exemplo até 1000) e use forward no campo direction. 96 Física dos Sistemas Dinâmicos

3. Encontre os pontos fixos do sistema de Verhulst: ẋ = x x xy ẏ = y y + 5xy e diga como são as linhas do campo de direcções perto de cada ponto. Estabilidade e bifurcação 97