O CASO INVERSO DA QUEDA LIVRE Vamos analisar o caso em que se lança um corpo para o alto, na vertical. Tomemos o seguinte exemplo: uma pedra é lançada para o alto, na vertical, com uma velocidade inicial de 2 m/s. Desprezando-se a resistência do ar, pergunta-se: a) qual a altura máxima atingida pela pedra? b) Após quanto tempo a pedra atinge a altura máxima? c) Qual a velocidade no ponto mais alto atingido? d) qual a velocidade com que a pedra chega, de volta, ao solo? Inicialmente, vamos verificar os dados com que contamos. Ora, a velocidade inicial, v0 = 2 m/s e a aceleração da gravidade g = 9,81 m/s². b) No ponto mais alto da trajetória (altura máxima): v = v0 - g.t <=> observe que a pedra vai para cima e a aceleração da gravidade age para baixo (logo sua ação estará reduzindo a velocidade, ou seja, o valor de "g" é negativo). Já a velocidade no ponto mais alto sempre será igual a 0. Ou seja, para que a pedra inicie a descida, sua velocidade passará pelo valor 0, invertendo-se, logo em seguida, o sentido do movimento: 0 = 2-9,81. t => 9,81t = 0 + 2 => t = 2 / 9,8 => t = 0,2039 segundos. c) v = 0 m/s. a) d = d0 + v0t + 1/2.g.t² => d = 0 + 2.0,2039-1/2.9,81.(0,2039)² => d = 0,2039 metros. d) Chamemos de vs a velocidade da pedra ao tocar o solo: vs = 0 + 9,81.0,2039 => vs = 2,0003 m/s, ou seja, 2,00 m/s (aproximando até a 2ª casa decimal). O que devemos guardar deste estudo: 1- Ao lançar um objeto para o alto, sob a ação da gravidade e, desprezando-se a resistência do ar, sua velocidade no ponto mais alto da trajetória será sempre v = 0 m/s. 2- Nas mesmas condições do item anterior, a velocidade do objeto lançado para cima, no momento em que toca de volta o solo será igual à velocidade inicial com que partiu, no momento do lançamento para o alto.
NOÇÕES BÁSICAS DE TRIGONOMETRIA Para se entenderem alguns conceitos da Física e mesmo para se resolverem alguns problemas relacionados a ela, é necessário que conheçam algumas noções básicas de Geometria e Trigonometria. Então a partir de agora, vamos apresentar o Teorema de Pitágoras e as definições de seno e cosseno que serão absolutamente necessárias para a sequência de nossos estudos. O TEOREMA DE PITÁGORAS Tomemos um triângulo retângulo como aquele que é mostrado na figura abaixo. Antes, lembremos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180. Lembremos ainda que, um triângulo retângulo é aquele que possui 1 ângulo reto, ou seja, que mede: 90. c α a b ângulo reto No triângulo retângulo acima, o lado "a", o qual se encontra oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa (observe que ele será sempre o maior dos lados do triângulo retângulo). Os lados: "b" e "c" são chamados de catetos. O enunciado do Teorema de Pitágoras é, então: "em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos". Ou seja: a² = b² + c². Observe que o enunciado acima é uma Lei da Geometria. Ou seja, se você desenhar qualquer triângulo retângulo e medir com o mais preciso instrumento, sua hipotenusa e seus dois catetos, o quadrado do valor encontrado para a hipotenusa,
elevado ao quadrado, será sempre igual à soma dos valores dos quadrados dos dois catetos, sempre utilizando-se as mesmas unidades de medida. AS DEFINIÇÕES DE SENO E COSSENO Seno que se abrevia por: "sen" e cosseno que se abrevia por: "cos" são relações entre os valores dos catetos e da hipotenusa. O seno de um ângulo é o valor obtido ao se dividir, em um triângulo retângulo, o valor do cateto oposto a ele, pelo valor hipotenusa (todos os valores tomados na mesma unidade de medida). Já o cosseno de um ângulo é o valor obtido ao se dividir, em um triângulo retângulo, o valor do cateto adjacente a ele, pelo valor da hipotenusa (tomados ambos na mesma unidade de medida). Costumam-se representar os ângulos por letras do alfabeto grego. Assim, em nosso triângulo exemplo, acima, o ângulo "α"(alfa) é aquele formado entre os lados "a" e "c" e o ângulo: "" (beta) é aquele formado entre os lados: 'a" e "b". Ora, em relação ao ângulo: "α", "b" será chamado de cateto oposto e "c" de cateto adjacente. Portanto, podemos dizer que: sen α = b / a e cos α = c / a. Já em relação ao ângulo: "","c" é o cateto oposto e "b" o cateto adjacente. Logo, sen = c / a e cos = b / a. UM EXEMPLO PARA ELUCIDAR OS CONCEITOS Tome para o exemplo do triângulo mostrado acima os seguintes valores: comprimento da hipotenusa (lado "a") = 5 cm, comprimento do lado "b' = 4 cm e comprimento do lado "c" = 3 cm (o desenho não está em escala). Pelo Teorema de Pitágoras teremos: a² = b² + c² => 5² = 4² + 3² => 25 = 16 + 9 => 25 = 25. Para o ângulo "α": sen α = cateto oposto / hipotenusa => sen α = 4 / 5 => sin α = 0,80. Já cos α = cateto adjacente / hipotenusa => cos α = 3 / 5 => cos α = 0,60.
Para o ângulo "" sen = cateto oposto / hipotenusa = 3 / 5 = 0,60 e cos = 4 / 5 = 0,80. A tabela abaixo mostra o seno e o cosseno de alguns ângulos cujos valores são mais utilizados: ÃNGULO SENO COSSENO 0 0,0000 1,0000 30 0,5000 0,8660 45 07071 0,7071 60 08660 0,5000 90 1,0000 0 105 0,9659-0,2588 120 0,8660-05000 150 0,5000-0,8660 180 0,0000-1,0000 TESTE DE CONSISTÊNCIA Se você é como São Tomé, isto é, só acredita naquilo que pode ver e testar, faça o desenho em escala para os valores de lados dos catetos, para os triângulos retângulos cujas medidas são dadas na tabela abaixo. Confira a validade do Teorema de Pitágoras, medindo todos os comprimentos das hipotenusas. Depois calcule os valores do seno e do cosseno para cada caso. Verifique, com uma calculadora ou uma tabela de seno e cosseno, se os valores dos ângulos estão corretos: Veja um exemplo de como fazer:
c = 65 cm, b = 72 cm, a = 97. Primeiro você deve desenhar um triângulo, digamos em uma escala de 1 : 10, ou seja, o lado c terá: 6,5 cm e o lado b terá 7,2. Agora faça entre eles um ângulo de 90 e meça o lado "a" (hipotenusa). Seu valor deve ser: 9,7 cm. O seno de α (veja posição no desenho do triângulo retângulo acima) será: sen α = 72 / 97 (valor da hipotenusa) => sen α = 0,7423. cos α = 65 / 97 = 0,6701 Calculando o valor do ângulo com uma calculadora HP 10s: sin ¹ (0,7423) = 47,93 cos ¹ (0,6701) = 47,93. Agora, para confirmar, basta medir o ângulo, usando-se um transferidor. CATETO c CATETO b HIPOTENUSA SENO α COS α α SENO 3 4 5 6 8 10 12 16 20 COS