PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática Cálculo I - 2006 PONTO CRÍTICO ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO Um ponto c do domínio de uma função f é chamado de ponto crítico da f se f (c) = 0 ou f (c) não existe. 1) Encontre os pontos críticos da f, sendo: a) f(x) = x 3 3x + 2 b) f(x) = x 4-6x 2 DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Seja f uma função continua em [a;b] e derivável em (a;b). a) Se f (x) > 0, x (a;b), então f é crescente em [a;b] b) Se f (x) < 0, x (a;b), então f é decrescente em [a;b] Exemplos: a) b) c) d) e) f) 2) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções do exercício 1. 1
EXTREMOS ABSOLUTOS Um número f(c) é dito máximo absoluto de uma função f se f(c) f(x), x Dom f. * notação: f(c) = max f Um número f(c) é dito mínimo absoluto de uma função f se f(c) f(x), x Dom f. * notação: f(c) = min f Se f é uma função continua em um intervalo fechado [a;b], então ela tem o seu valor máximo e o valor mínimo pelo menos uma vez em [a;b]. EXTREMOS RELATIVOS Um número f(c) é dito máximo relativo de uma função f se e somente se existir um intervalo (a;b) contendo c tal que f(c) f(x), x [ (a;b) Dom f ] Um número f(c) é dito mínimo relativo de uma função f se e somente se existir um intervalo (a;b) contendo c tal que f(c) f(x), x [ (a;b) Dom f ] DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÀO TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA (TDP) Seja f uma função continua e derivável em (a;b), exceto possivelmente em c (a;b) a) Se f passa de positiva para negativa em c então f(c) é máximo relativo de f b) Se f passa de negativa para positiva em c então f(c) é mínimo relativo de f c) Se f não muda de sinal em c então f(c) não é extremo relativo de f 3) Encontre os máximos e mínimos relativos das funções do exercício 1. TESTE DA DERIVADA SEGUNDA (TDS) Seja f uma função derivável em (a;b) e seja c (a;b) tal que f (c) = 0. a) Se f (c) > 0, x (a;b), então f(c) é mínimo relativo de f. b) Se f (c) < 0, x (a;b), então f(c) é máximo relativo de f. c) Se f (c) = 0 então nada podemos concluir. 4) Encontre os máximos e mínimos relativos das funções dadas por: a) f(x)= x 3-12x+7 b) f(x)=x 3-3x 2 +5 2
CONCAVIDADE E INFLEXÃO Uma função é dita côncava em um intervalo (a;b) se e somente se f (x) é decrescente em (a;b). Uma função é dita convexa em um intervalo (a;b) se e somente se f (x) é crescente em (a;b). TESTE DA CONCAVIDADE Se f é tal que f (x) existe x (a;b) então: a) f é côncava em (a;b) (concavidade para baixo) se f (x) < 0, x (a;b). b) f é convexa em (a;b) (concavidade para cima) se f (x) > 0, x (a;b). INFLEXÃO Um ponto (c,f(c)) é chamado de inflexão do gráfico da f se nesse ponto a f muda de concavidade. 5) Estude a concavidade das funções do exercício 1. EXERCÍCIOS 1. Faça um estudo completo das funções abaixo definidas: a. f(x) = 2x 3 + 3x 2 12x 7 b. f(x) = x 4 + 8x 3 + 18x 2 8 x c. f(x) = e 2 d. f(x) = 3x 4-8x 3 + 6x 2 2. Determine dois números positivos cuja soma seja 20 e cujo produto seja o maior possível. 3. Um veterinário tem 70 metros de cerca e deseja construir 6 canis, cercando em primeiro lugar a região retangular e, em seguida, subdividindo a região em 6 retângulos menores, colocando 5 cercas paralelas a um dos lados. Que dimensões da região maximizarão a área total? 4. Uma caixa aberta de base quadrada, deve conter 32 cm 3. Determine as dimensões que exigem o mínimo de material utilizado na construção da caixa. ( Desprezar a espessura e a perda de material.) 3
5. Deseja-se cercar um terreno retangular de área 60 m 2. Sabendo que: a) o custo para cercar as laterais é de R$ 300,00 por metro linear; b) o custo para cercar a frente e o fundo é de R$ 500,00 por metro linear; determine as dimensões do terreno de tal modo que o custo para cercá-lo seja o menor possível. Determine também o custo mínimo. 6. Por várias semanas, o serviço de trânsito vem pesquisando a velocidade do tráfego numa auto-estrada. Constatou que, num dia normal de semana, à tarde, entre 1 e 6 horas a velocidade do tráfego é de, aproximadamente v(t) = 2t 3-21t 2 + 60t + 40 km/h, onde t é o número de horas transcorridas após o meio-dia. A que horas, dentro do intervalo de tempo mencionado, o tráfego se move mais rapidamente e a que horas se move mais lentamente? 7. De todos os retângulos com 10000m 2 de área, qual é o que tem menor perímetro? 8. Um reservatório cilíndrico de base circular tem capacidade de 64 m 3. Sabendo que o reservatório não tem cobertura, encontre as dimensões do mesmo para que o metal utilizado na sua construção seja mínimo. 9. De uma folha laminada quadrada de 2 dm de lado, foram cortados quadrados iguais nos quatro cantos e com o restante da folha foi construída uma caixa sem tampa. Determine as dimensões do quadrado retirado para que o volume da caixa seja máximo. Respostas 1. a. crescente: (- ;-2] [1;+ ) decrescente: [-2;1] máx. rel.: f(-2) = 13 mín. rel.: f(1) = -14 côncava: (- ;-1/2] convexa: [-1/2; + ) inflexão: (-1/2, -1/2) b. crescente: [0;+ ) decrescente: (- ;0] mín. f: f(0) = -8 côncava: [-3;-1] convexa: (- ;-3] [-1;+ ) inflexão: (-1, 3) (-3, 19) c. crescente: [0;+ ) decrescente: (- ;0] mín. f: f(0) = 1 convexa: IR 4
d. crescente: [0;+ ) decrescente: (- ;0] mín. f: f(0) = 0 côncava: [1/3;1] convexa: (- ;1/3] [1;+ ) inflexão: (1, 1) (1/3, 11/27) 2. 10 e 10 3. 5m e 17,5m 4. base 4 cm altura 2 cm 5. 10 m, 6 m e R$ 12000,00 6. 2 horas e 5 horas 7. O quadrado de lado 100 m 8. r = 3 4 4 π m e h = 3 π m 9. 3 1 dm 5