Versão 016 - Página:1 C O N T E Ú D O S E E X E R C Í C I O S R E S O L V I D O S CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Divisibilidade por : Um número é divisível por quando seu último algarismo é par. Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3. Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos dois últimos algarismos é divisível por 4. Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando o último algarismo é 0 ou 5. Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por e por 3. Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos 3 últimos algarismos é divisível por 8. Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é divisível por 9. Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando o seu último algarismo é 0. Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par é um número divisível por 11. Divisibilidade por 1: Um número é divisível por 1 quando é divisível por 3 e por 4. 1) (EPCAR) Considere o número m = 488a9b, em que b é o algarismo das unidades e a é o algarismo das centenas. Sabendo-se que m é divisível por 45, o valor da soma a + b é: A) 7 B) 9 C) 16 D) 18 Um número é divisível por 45 se esse número é divisível por 9 e por 5. Para que m seja divisível por 5, temos de considerar duas possibilidades: b = 0 ou b = 5 i) Para b = 0, temos m = 488a90. Porém, m é divisível também por 9, ou seja, a soma 4 + 8 + 8 + a + 9 + 0 = 9 + a deve ser divisível por 9. O múltiplo de 9 mais próximo de 9 é o número 36. Para que a soma seja igual a esse número, temos a = 7. ii) Para b = 5, temos m = 488a95. Porém, m é divisível também por 9, ou seja, a soma 4 + 8 + 8 + a + 9 + 5 = 34 + a deve ser divisível por 9. Como no caso anterior, a soma deve ser igual a 36. Portanto, a =. Em ambos os casos, temos a + b = 7. Resposta: Letra A Ano bissexto: a cada quatro anos, o mês de fevereiro tem 9 dias, em vez de 8, como ocorre nos três anos anteriores. Isso acontece porque o ano é o tempo que demora para a Terra dar uma volta em torno do Sol: 365 dias e aproximadamente seis horas. Essas horas são acumuladas e, a cada quatro anos, acumulam 4 horas, formando um dia a mais no mês de fevereiro. Se o ano não termina em 00, ele é bissexto caso seja divisível por 4. Exemplos: 1988, 199, 1996, 004, e assim por diante. Um número é divisível por 4 se a sua dezena (1988 = 88) é divisível por 4. Quanto ao ano terminado em 00 será bissexto se for divisível por 400. Se uma data desse ano caiu
Versão 016 - Página: num domingo, no próximo ano ela cairá numa ª feira se o ano não for bissexto, ou cairá numa 3ªfeira, caso o ano seja bissexto. ) O dia 03/0/016, início das aulas na Etec Rio Pardo, caiu numa 4ª feira, em qual dia da semana, cairá 03/0/00? Resposta: ª feira 3) Sabendo que um número é divisor de outro quando o resto da divisão é igual a 0. Determine os divisores naturais de 1 e de 0. O conjunto dos divisores da unidade é um conjunto unitário formado pelo elemento 1, ou seja: D(1) = { 1 } O conjunto dos divisores do ZERO é um conjunto infinito formado por todos os números naturais diferentes de 0, ou seja: D(0) = { 1,, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 13,...} 4) Determine os divisores inteiros de 1. O exercício pede o conjunto dos números inteiros, então teremos divisores positivos e negativos, ou seja: D(1) = { -1, - 6, - 4, -3, -, -1, 1,, 3, 4, 6, 1 } 5) Sabendo que a quantidade de divisores ímpares de um número pode ser obtida através do produto dos expoentes dos números primos ímpares adicionados de uma unidade, determine a quantidade de divisores pares do número 36. Fatorando o 36, temos,. 3, portanto o total de divisores do 36 é: 3. 3 = 9. Do enunciado temos que o total de divisores ímpares é dado por 3, ou seja, + 1 = 3. Logo, a quantidade de divisores pares será: 9 3 = 6. 6) Um número de três algarismos, m3, é somado ao número 36, resultando no número de três algarismos, 5n9, divisível por 9. Encontre o valor se m + n. Se 5n9 é divisível por 9, então, a soma dos algarismos tem que ser divisível por 9. 5+9= 14 (Menor resultado) 5 + 9 + 9= 3 (Maior) O único número divisível por 9 nesse intervalo é o 18. Então: 5 + n + 9 = 18 14 + n = 18 n = 4 Do enunciado, (m3)+36=5n9, mas 5n9=549, portanto 549 36 = 3, m =. Logo, a soma m+ n = + 4 = 6 7) Considere todas as divisões entre números naturais tais que o divisor é 13 e o resto é o triplo do quociente. Determinar a soma dos possíveis quocientes dessas divisões. Sejam D o dividendo e q o quociente na situação descrita. Como o resto é o triplo do quociente, escrevemos:
Versão 016 - Página:3 Sabemos que o resto deve ser menor do que o divisor. Portanto, devemos encontrar todos os valores de q para os quais 3q < 13. Assim, temos: Para q = 0 3q = 0 < 13 Para q = 1 3q = 3 < 13 Para q = 3q = 6 < 13 Para q = 3 3q = 9 < 13 Para q = 4 3q = 1 < 13 Para q = 5 3q = 15 > 13 (não convém) Portanto, os possíveis valores de q são 0, 1,, 3 e 4. A sua soma é igual a 10. 8) Seja n um número inteiro positivo. Para verificarmos se n é primo, podemos proceder da seguinte forma: i) Calculamos o valor de n. ii) Verificar se n é divisível por cada um dos números primos menores do que n. iii) Se n não é divisível por nenhum desses números primos, então n é primo. Caso contrário, n é composto. Verifique se 97 é primo. 97 = 9,85 (aproximadamente) Os primos menores do que 97 são, 3, 5 e 7. Observe que 97 não é divisível por nenhum desses números, ou seja, 97 é primo. 9) Um colecionador possui uma determinada coleção de moedas. Contando-as de 1 em 1 ou de 15 em 15 ou de 36 em 36, sempre obteve uma quantidade exata de grupos, sem sobrar nenhuma moeda. Quantas moedas possui? O mmc é o número de moedas procurado, porque ele pode ser simultaneamente dividido por 1, por 15 e por 36. Logo, mmc(1; 15; 36) = 180, que é o número de moedas que o colecionador possui. 10) O produto de dois números é 400 e o mdc deles é 0. Calcule o seu mmc. mmc (a, b). mdc (a, b) = 400, propriedade: o produto do mdc pelo mmc de dois números é igual ao produto dos dois números. mmc (a, b). 0 = 400 mmc(a, b) = 400 0 = 10 11) Calcule o maior número pelo qual dividindo-se 690 e 387, obtemos, respectivamente, os restos 15 e 7. Subtraindo 15 de 690 e 7 de 387, obtemos os números 675 e 360 e o mdc(675, 360) = 45. 1) (UNICAMP) Dividindo-se 7.040 por n, obtém-se resto 0. Dividindo-se 1.384 por n, obtém-se resto 9. O valor de n é: Seguindo o raciocínio do exemplo acima, temos: mdc(700; 1375) = 45 13) Obtenha todos os números compreendidos entre 1000 e 300 que sejam divisíveis simultaneamente por 10; 1 e 60. O menor número divisível simultaneamente por 10; 1 e 60 é o mmc(10; 1; 60) = 40. Entre 1000 e 300 estão os seguintes múltiplos que satisfazem a condição do exercício: 3. 40 = 160; 4. 40 = 1680 e 5. 40 = 100, logo os números procurados são: 160; 1680 e 100.
Versão 016 - Página:4 14) A capacidade de 3 reservatórios é de 6000 litros, 300 litros e 500 litros, respectivamente. Quer se construir um quarto reservatório, de modo que, ao ser usada a sua capacidade total, venha a ser preenchido um número exato de vezes com o líquido contido em cada um dos três reservatórios citados, separadamente. Qual deve ser a capacidade do reservatório construído? Basta calcularmos o mdc das três litragens dadas, mdc(6000; 300; 500) = 100 litros. Dessa forma, o reservatório de 6000 litros poderá preencher 60 vezes o quarto reservatório; o de 300 litros, 3 vezes, o de 500 litros, 5 vezes; os três exatamente. 15) Uma empresa de transporte de cargas possui cinco caminhões: A, B,C, D e E. O caminhão A permanece fora do recinto da empresa a ela retornando a cada 1 dias; o caminhão B, a cada 5 dias; o caminhão C, a cada 10 dias; o caminhão D, a cada 4 dias e o caminhão E, a cada 3 dias. No dia 0 de um determinado mês, os 5 caminhões encontravam-se no recinto da empresa. Na próxima vez em que os 5 caminhões voltarem a se encontrar no recinto da empresa, quantas viajens terão sido realizadas pelo caminhão D? mmc(1; 5; 10; 4; 3) = 60 dias e 60 : 4 = 15 viagens. 16) (Unesp) Durante um evento, o organizador pretende distribuir, como brindes, a alguns dos participantes, caixas (kits), com o mesmo conteúdo, formado de camisetas e chaveiros. Sabe-se que ele possui exatamente 00 camisetas e 10 chaveiros. Determine o número máximo de caixas, com o mesmo conteúdo, que o organizador conseguirá formar utilizando todos os chaveiros e camisetas disponíveis. Todas as n caixas devem ter o mesmo conteúdo, isto é, o mesmo número x de camisetas e o mesmo número y de chaveiros. Logo 00 = nx, 10 = ny e, portanto, n é um divisor comum de 00 e 10. Assim, o número máximo de caixas é mdc (00, 10) = 3 5 = 40 17) Uma sala retangular de dimensões 36 m e 40 m deverá ter o seu piso preenchido com placas idênticas, de formato quadrado e dimensões inteiras. Qual é o menor número de placas quadradas necessário para revestir esse piso nas condições dadas, de maneira que não haja cortes ou sobras de material? Seja x a medida do lado de cada placa quadrada. Observe que, para que não haja sobra de material, a medida x deve ser um divisor de 36 e de 40. Para que tenhamos o menor número de placas, é necessário que a medida x seja a maior possível. Portanto, x = MDC (36, 40) = 4 m. O número de placas é obtido dividindo-se a área total da sala pela área de uma das placas quadradas. Logo, 90 placas 18) Calcule o mmc e o mdc entre A e B, sendo A = a 5. b 3. x 4. y. t e B = a 3. b 4. x 6. y. s. mmc(a,b) = a 5 b 4 x 6 y ts, que é o produto dos fatores comuns e não comuns de maior expoente; mdc(a,b) = a 3 b 3 x 4 y, que é o produto só dos fatores comuns e de menor expoente. 19) Determine o algarismo das unidades de N = 5 014. 7 015. O número N é ímpar e múltiplo de 5, logo o seu algarismo das unidades só pode ser 5. Você conhece a curiosidade das divisões por 5? É muito fácil, por exemplo, dividir 137,68 por 5. E a curiosidade dos quadrados de números terminados em 5? 0) Encontre o algarismo das unidades do número. 5 014 + 6 015 + 4 01. Primeiro devemos observar que 5 014 (como ocorre com toda potência de 5) termina em 5, logo. 5 014, termina em 0 e, por isso, não contribui para o algarismo das unidades da soma dada. Dessa forma, o algarismo das unidades da soma será igual ao algarismo das unidades de 6 015 + 4 01. Como todas as potências de 6 terminam em 6, o número 6 015 termina em 6. Quanto às potências de 4, temos o
Versão 016 - Página:5 seguinte padrão, o resultado termina em 4 se o expoente é ímpar e termina em 6 se o expoente é par. Como 01 é par, 4 01 termina em 6 e, portanto, as contribuições de. 5 014, 6 015 e 4 01 para o algarismo das unidades da soma são, respectivamente, 0, 6 e 6. Assim, o algarismo das unidades de. 5 014 + 6 015 + 4 01 é o mesmo de 0 + 6 + 6, ou seja, é. 1) O resto da divisão do inteiro N por 0 é 8. Qual é o resto da divisão de N por 5? Considerando que o quociente da divisão de N por 0 é x, como o resto é 8. Então: Considerando que o quociente da divisão de N por 5 é y e o resto é R. Então: Igualando N = N, temos: Reescrevendo o lado esquerdo tentando colocar o 5 em evidência, temos que 0x = (5*4)x e 8 = 5+3, então: Comparando os dois lados da equação, temos que y = (4x+1) e R = 3 Enfim, se N deixa resto 8 na divisão por 0, então N = 0x + 8. Mas 0x deixa resto 0 na divisão por 5, pois 0 é divisível por 5, e 8 deixa resto 3 na divisão por 5, logo N, que é a soma de 0x + 8 deixa resto 3 na divisão por 5. ) Um prédio possui duas escadarias, uma delas com 780 degraus e a outra com 700 degraus. Sabendo que os degraus das duas escadas só estão no mesmo nível quando conduzem a um andar, descubra quantos andares tem o prédio. 780 =.. 3. 5. 13 e 700 =.. 5. 5. 7. Assim,.. 5 são os fatores comuns entre os dois números, de modo que: 780 = (.. 5). 3. 13 e 700 = (.. 5). 5. 7, onde (3. 13) e (5. 7) são primos entre si. Assim, a escada de 780 degraus tem 39 = 13. 3 degraus por andar e a escada de 700 degraus tem 35 = 5. 7 degraus por andar, pois, uma vez que elas só estão no mesmo nível quando conduzem a um andar, então os números de degraus por andar de cada uma devem ser primos entre si. Logo o prédio tem.. 5 = 0 andares. 3) (UFF) Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior. Dentre esses números, o maior é: Três múltiplos consecutivos: 5a, 5a + 5, 5a + 10. O triplo do menor é igual ao dobro do maior: 3 5a = (5a+10), Assim, temos: 3 5a = (5a + 10) 5a = 0 a = 4 os três números são 0, 5 e 30. Portanto, o maior número, 30, é múltiplo de 3. 4) A maioria dos seres humanos entendem o sistema decimal, enquanto os computadores digitais usam o sistema de base ou numeração binária. Tratando com números binários o termo bit significa digito binário. Um byte possui 8 bits. Para converter um decimal em binário, basta dividílo sucessivamente por. Agora vamos ver abaixo, como converter 11001 de binário em decimal: 1 1 0 0 1 4 3 1 0 1. 4 1. 3 0. 0. 1 1. 0 1. 16 1. 8 0. 4 0. 1. 1 16 + 8 + 0 + 0 + 1 5
Versão 016 - Página:6 E X E R C Í C I O S P R O P O S T O S 1) Escreva o número um, um, zero, zero, em base dois, usando o índice. ) Converta os seguintes números binários em seus equivalentes decimais: a) 1011 b) 1111 c) 1 d) 1000 e) 101 f) 111 g) 0 3) Converta os seguintes números decimais em seus equivalentes binários: a) 310 b) 3910 c)5510 d)4810 e)10 f)1010 4) Lúcia levou um pacote de balas para os amigos e observou que, se as dividisse por, sobrava uma bala; por 3, não sobrava nenhuma; por 5, também sobrava uma bala. Quantas balas Lúcia levou, sabendo que é um número inferior a 5? 5) Três torneiras estão com vazamento. Da primeira cai uma gota de 4 em 4 minutos; da segunda, uma de 6 em 6 minutos e da terceira, uma 10 em 10 minutos. Exatamente às horas cai uma gota de cada torneira. A próxima vez em que pingarão juntas novamente será às: 6) Um serralheiro precisa cortar duas barras de ferro, uma com 180 centímetros de comprimento e outra com 150 centímetros de comprimento, em pequenos pedaços, todos do mesmo tamanho e do maior comprimento possível. Qual deve ser o comprimento de cada pedaço? Quantos desses pedaços o serralheiro vai obter? 7) Hoje, Joana e Antônia estão num mesmo cinema que costumam frequentar. Joana vai a cada 18 dias, e Antônia vai a cada 4 dias. Daqui a quantos dias as duas amigas irão se encontrar nesse cinema? 8) Três navios fazem viagem entre dois portos: o 1º, a cada 4 dias; o º, a cada 9 dias; e o 3º, a cada 6 dias. Se os três partirem juntos no dia 6/06, em que data eles voltarão a partir juntos novamente? 9) Dois números decompostos em fatores primos são expressos assim: 3. 3. 5 e. 3. 5. Indique o m.m.c. e o m.d.c. desses números. 10) Calcule o maior valor de a para que o número 5.10.45a seja divisível por 5. 11) Qual o menor valor de a para que o número 35.45a seja divisível por 6? 1) Quais são os divisores naturais de: a) 8 b) 0 c) 7 13) Determine quantos divisores possui o número: a) 70 b) 3. 5. 7. 11 c) 5. 6 3 14) Calcule k, sabendo que. 3 k. 5. 6. 10 3 tem 40 divisores. 15) O produto de dois números é 400 e o mdc deles é 0. Calcule o seu mmc. 16) Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 7m. Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros e sem que haja perda de material.
Versão 016 - Página:7 O menor número total possível de pedaços é: 17) Na fila da bilheteria de um teatro há menos de 50 pessoas. Contando essas pessoas de 6 em 6, sobram 5. Contando de 7 em 7 também sobram 5. Quantas pessoas estão na fila nesse momento? 18) Entre as datas indicadas qual coincide com ano bissexto? a) 179 Execução de Tiradentes; b) 1930 Revolução de 30; c) 1876 Invenção do telefone por Alexandre Graham Bell; d) 199 Olimpíadas de Barcelona. 19) O ano de 100 será bissexto? 0) O menor número que se deve adicionar a 457 para se obter um número divisível por 3 é: 1) Carlos produziu, em sua pequena fábrica, uma quantidade de parafusos menor do que 400 e obviamente maior do que zero. Quando desejou colocar esses parafusos em caixas com exatamente 17 parafusos, sobraram 5 deles; quando desejou colocá-los em caixas com exatamente 3 parafusos, também sobraram 5. Calcule a quantidade de parafusos que Carlos tinha. ) Considere a e b dois números inteiros tais que a - b = 3, sendo b > 0. Sabendo-se que na divisão de a por b, o quociente é 8 e o resto é o maior possível, nessa divisão, então, a + b é igual a: 3) Observe a sequência infinita de símbolos:,,,, Δ,,,,, Δ,..., qual símbolo ocupará a 016º posição? 4) A televisão de Marco consegue sintonizar os canais de 1 até 50. Se Marco começa sintonizando o canal 11 e aperta o botão que avança o canal 00 vezes, em que canal estará sintonizado ao parar? 5) A televisão de Maria consegue sintonizar os canais de até 4. Se Maria começa sintonizando o canal 15 e aperta o botão que avança o canal 005 vezes, em que canal estará sintonizado ao parar? 6) Antonio vai a um supermercado que vende uma garrafa de suco de laranja por R$,80 e uma caixa com 6 garrafas por R$ 15,00. Ele precisa comprar garrafas para o seu aniversário. Quanto ele gastará, no mínimo? 7) Em uma sala retangular de piso plano nas dimensões 8,80m por 7,60m, deseja-se colocar ladrilhos quadrados iguais, sem necessidade de recortar peça alguma. Calcule a medida máxima, em centímetros, do lado de cada ladrilho. 8) (UFV) Seja x = 3600, se p é o número de divisores naturais de x, e q é o número de divisores naturais pares de x, então os valores de p e q são? 9) (UNIFESP) O número de inteiros positivos que são divisores do número N = 14. 353 é: 30) (FGV) Quantos divisores tem o número 105000? 31) Encontre o algarismo das unidades de 1989 1989.
Versão 016 - Página:8 3) o quociente da divisão de um número inteiro por outro número inteiro é 1 e o resto é 8. Se a soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto é 145, encontre o divisor. 33) A altura aproximada de um prédio de 13 andares, em metros, é: 34) Frações equivalentes são frações que visivelmente são diferentes, mas se fizermos as devidas representações percebemos que representam a mesma quantidade. As frações equivalentes. Então, o valor de x é: 15 8 e 10 x são 35) O valor de 0,666 é: 36) Se x e y são números inteiros tais que x > y > 0, é correto afirmar que: (a) x y (b) 1 1 x y (c) y x (d) x 6 y 6 (e) y x 37) A margem de erro em uma pesquisa eleitoral é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho n da amostra, Isto é M e = k, onde k é a constante de proporcionalidade. Se, em uma pesquisa n com 3600 eleitores, a margem de erro é de %, em uma pesquisa com 1600 eleitores será de: 38) Uma loja de doces apresenta as seguintes ofertas: I Um chocolate de 100g custa R$,00 II Um pacote com dois chocolates de 100g cada um custa R$3,00 III Um pacote com 4 chocolates de 100g cada um custa R$4,00 IV- Um pacote com 4 chocolates de 100g cada um mais um bombom de 50g custam, juntos, R$5,00 V- Um pacote com 4 chocolates de 100g cada um mais dois bombons de 50g cada um custam, juntos, R$6,00 Pensando simplesmente no custo benefício, a opção mais vantajosa é: 39) Dada a sequência de números reais (, 5, 10, 17, 6,...). O 8 (oitavo) termo dessa sequência é: 40) Dos números abaixo, escritos na forma de potência, o único divisível por 9 é: a) 10 015 5 b) 10 015 6 c) 10 015 7 d) 10 015 8 e) 10 015 9 a 41) Se 3, o valor de a 7 é : 4) O valor de 18 0,666 é:
Versão 016 - Página:9 43) Claudiomira resolveu dar 5 voltas em torno de uma praça quadrada. Ela partiu do vértice P, no sentido indicado pela flecha. Faltando 7 do percurso total para percorrer as 5 voltas, ela caiu e teve que interromper o passeio. Qual é o ponto na figura que indica o lugar em que Claudiomira caiu? (a) A (b) B (c) C (d) D (e) E Dica: chame de x o lado do quadrado, calcule o perímetro e a distância total após 5 voltas e ache os 5/7 percorridos. 44) Qual é o algarismo das dezenas da soma: Respostas: 1)1100 )a)1110 b)1510 c)110 d)810 e)510 f)710 g) 010 3)a)10111 b)100111 c)110111 d)110000 e)10(o disse para o 10: -você é grande, mas não é. O 10 respondeu: vá estudar binário.) f)1010 4)15 5)3 horas 6)30cm e 11 pedaços 7)7 8)01/08 9)mmc= 3. 3. 5 = 10, que é o produto dos fatores comuns e não comuns de maior expoente e mdc=. 3. 5 = 30, que é o produto só dos fatores comuns e de menor expoente. 10)a=5 11)a=4 1)a) {1,, 4, 8} b) {1,, 4, 5, 10, 0} c) {1, 7} 13)a)8 b)48 c)48 14)k=3 15) mmc (a, b). mdc (a, b) = 400, propriedade: o produto do mdc pelo mmc de dois números é igual ao produto dos dois números. Logo, mmc (a, b). 0 = 400 e portanto mmc(a, b) = 400 = 10 16)13 17)4 18)a, c e d. 19)Não, 0 pois termina em 00 e não é múltiplo de 400. 0) 1)396 )9 3) 4)13 5)11 6)R$56,0 7)40cm 8)45 e 36 9)160 30)80 31)9 3)9 33)40 34)64 35)3 36)A 37)3% 38)III 39)65 40)D 41)64 4)6 43)D 44)5