Conjuntos Numéricos I) Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3,... } II) Números Inteiros Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z III) Números Racionais - São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0. Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 } Assim como exemplo podemos citar 1/2, 1, 2,5,... Números decimais exatos são racionais Pois 0,1 = 1/10 Números decimais periódicos são racionais. 2,3 = 23/10... 0,1111... = 1/9 0,3232...= 32/99 2,3333...= 21/9 0,2111...= 19/90 Toda dizima periódica 0,9999... 9... é uma outra representação do número 1. IV) Números Irracionais - São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0. -São compostos por dizimas infinitas não periódicas. Ex:, V) Números Reais FACMIL 1º ADM Página 1
-É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais. Resumindo: Intervalos numéricos: Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos. Intervalo fechado nos extremos a e b: = Intervalo fechado em a e aberto em b: Intervalo aberto em a e fechado em b: Intervalo aberto em a e b: Temos também: FACMIL 1º ADM Página 2
Função de 1º grau Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0. Zero da Equação do 1º Grau Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a tal que f(x) = 0. Temos: 0, o número real x f(x) = 0 ax + b = 0 Vejamos alguns exemplos: 1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5: f(x) = 0 2x - 5 = 0 2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: 3. g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2 4. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abscissas: O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então: h(x) = 0-2x + 10 = 0 x = 5 Crescimento e decrescimento Estudo de sinais da função de 1º Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y: x -3-2 -1 0 1 2 3 y -10-7 -4-1 2 5 8 FACMIL 1º ADM Página 3
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente. Observamos novamente seu gráfico: Regra geral: A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x (a) é positivo (a > 0); a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x (a) é negativo (a < 0); Justificativa: para a > 0: se x 1 < x 2, então ax 1 < ax 2. Daí, ax 1 + b < ax 2 + b, de onde vem f(x 1 ) < f(x 2 ). para a < 0: se x 1 < x 2, então ax 1 > ax 2. Daí, ax 1 + b > ax 2 + b, de onde vem f(x 1 ) > f(x 2 ). Gráfico da função de 1º grau. O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a aos eixos Ox e Oy. 0, é uma reta oblíqua Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: a) Para x = 0, temos y = 3 0-1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é. Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. FACMIL 1º ADM Página 4
x y 0-1 0 Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy 2º) a < 0 (a função é decrescente) y > 0 ax + b > 0 x < y > 0 ax + b < 0 x < Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz. Exercícios 1) Dada a função f(x) = -2x + 3, determine f(1). FACMIL 1º ADM Página 5
2) Dada a função f(x) = 4x + 5, determine f(x) = 7. 3) Estude a variação de sinal (f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0) das seguintes funções do 1º grau: a) f(x) = x + 5 b) f(x) = - 5x c) f(x) = -3x + 9 d) f(x) = 4x e) f(x) = 2 3x f) f(x) = -2x + 10 4) Considere a função f: IR IR definida por f(x) = 5x 3 determine: a) Verifique se a função é crescente ou decrescente b) O zero da função; c) O ponto onde a função intersecta o eixo y; d) O gráfico da função; e) Faça o estudo do sinal; 5) Dadas às funções f e g, construa o gráfico das funções e descubra o ponto de intersecção dessas retas: a) f(x) = -2x + 5 e g(x) = 2x + 5 b) f(x) = 5x e g(x) = 2x 6 c) f(x) = 4x e g(x) = -x + 3 6) Um comerciante teve uma despesa de $ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por $ 5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas. Responda: a) Qual a lei dessa função f; b) Para que valores de x têm f(x) < 0? Como podemos interpretar esse caso? c) Para que valores de x haverá um lucro de $ 315,00? d) Para que valores de x o lucro será maior que $ 280,00? 7) Encontre o zero da função das seguintes equações de 1º Grau: a) 13(2x 3) 5(2 x) = 5(-3 + 6x) x 1 3x 2 b) 2 3 5 5 8) Dada a função afim f(x) = - 2x + 3, determine: a) f(1) = b) f(0) = 1 c) f 3 1 d ) f 2 9) Dada a função afim f(x) = 2x + 3, determine os valores de x para que: a) f(x) = 1 b) f(x) = 0 c) f(x) = 3 1 FACMIL 1º ADM Página 6
10) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças. b) calcule o custo para 100 peças. 11) Dadas às funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções se interceptem no ponto (1, 6). 12) Seja f a função afim definida por f(x) = - 4x + 1 e cujo gráfico é a reta r. Determinar a função afim g cuja reta correspondente passa por (1, - 1) e é paralela à reta r. FACMIL 1º ADM Página 7
Função Quadrática Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax 2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: 1. f(x) = 3x 2-4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 2. f(x) = x 2-1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 3. f(x) = 2x 2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 4. f(x) = - x 2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 5. f(x) = -4x 2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax 2 + bx + c, com a chamada parábola. 0, é uma curva Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = x 2 + x: Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. x y -3 6-2 2-1 0 0 0 1 2 2 6 Observação: Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax 2 + bx + c, notaremos sempre que: se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; FACMIL 1º ADM Página 8
Zero e Equação do 2º Grau Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax 2 + bx + c, a números reais x tais que f(x) = 0. 0, os Então as raízes da função f(x) = ax 2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: Temos: Observação A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando, chamado discriminante, a saber: quando quando quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; é zero, há só uma raiz real; é negativo, não há raiz real. Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são. Veja os gráficos: FACMIL 1º ADM Página 9
Imagem O conjunto-imagem Im da função y = ax 2 + bx + c, a que y pode assumir. Há duas possibilidades: 0, é o conjunto dos valores 1ª - quando a > 0, a > 0 2ª quando a < 0, a < 0 FACMIL 1º ADM Página 10
Construção da Parábola É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte: 1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; 2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x; Sinal 3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0); 4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; 5. Para x = 0, temos y = a 0 2 + b 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y. Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax 2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos. Conforme o sinal do discriminante = b 2-4ac, podemos ocorrer os seguintes casos: 1º - > 0 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo: FACMIL 1º ADM Página 11
quando a > 0 y > 0 (x < x 1 ou x > x 2 ) y < 0 x 1 < x < x 2 quando a < 0 y > 0 x 1 < x < x 2 y < 0 (x < x 1 ou x > x 2 ) 2º - = 0 quando a > 0 FACMIL 1º ADM Página 12
quando a < 0 FACMIL 1º ADM Página 13
Exercícios 1) Dadas as funções, encontrem as raízes, construa o gráfico e faça o estudo de sinais: a) y = x 2-7x + 12 b) y = - x 2 + 7x 10 c) y = x 2 3x d) y = - x 2 + 4 e) y = - x 2 + 2x -1 f) y = - x 2 + 4 g) y = -3x 2 + 4x 2 FACMIL 1º ADM Página 14