PODER DO TESTE Poder do Teste e Tamanho de Amostra para Testes de Hipóteses 1
Tipos de erro num teste estatístico Realidade (desconhecida) Decisão do teste aceita H rejeita H H verdadeira decisão correta (probab = 1 ) erro tipo I (probab = ) H falsa erro tipo II (probab = ) decisão correta (probab = 1 ) P(erro tipo I) = P(rejeitar H H é verdadeira) = P(erro tipo II) = P(aceitar H H é falsa) =
Poder do teste Definimos poder de um teste estatístico como a probabilidade do teste rejeitar H quando H é realmente falsa, ou seja, o poder de um teste é igual a 1. O poder do teste dependerá de alguns fatores: Do nível de significância adotado; Da distância entre o valor real do parâmetro e o considerado verdadeiro em H. Da variabilidade da população. Do tamanho da amostra retirada. 3
Questões Para o mesmo tamanho de amostra n Se o valor considerado como real for muito próximo daquele adotado em H : o teste terá maior dificuldade para detectar a diferença: menor poder, menor 1-, maior, mas, menor gravidade do erro. Se o valor considerado como real for muito distante daquele adotado em H : o teste terá maior facilidade para detectar a diferença: maior poder, maior 1-, menor, mas, maior gravidade do erro. 4
Exercício 18 Capítulo 8 Num certo banco de dados, o tempo para a realização das buscas é aproximadamente normal com média 53 s e desvio padrão 14 s. Modificou-se o sistema para reduzir o tempo. Foram contados os tempos para 3 buscas. Admita que as 3 observações possam ser consideradas uma amostra aleatória e que não houve alteração na variância. Use = 1%. Calcule o poder do teste se a verdadeira média de tempo fosse de: 4s, 41s, 4s, 43s, 44s, 45s, 46s, 47s, 48s, 49s, 5s, 51s, 5s. 5
Resolução 1ª parte H: = 53 s H1: < 53 s =,1, n = 3, = 14 s Z,36 c X c Z c n 53,36 14 3 47,5 6
Resolução ª parte Média real = 45 s Z 47,5 45 14 / 3,8 =,18 Poder =,789 7
Resolução 3ª parte H Média 53 53 53 Desvio padrão 14 14 14 n 3 3 3 alfa,1,1,1 Zc -,36347874 -,36347874 -,36347874 xbar c 47,537653 47,537653 47,537653 H1 Média 4 47 5 Desvio padrão 14 14 14 n 3 3 3 Zb,75964733,134515-1,935117476,89319,4916961,9735159 Poder,9971681,5839939,6487941 8
Poder do teste de 1 média σ desconhecida Variável de teste: t de Student com n 1 graus de liberdade. Calcular a probabilidade de aceitar H quando H é falsa (probabilidade de erro tipo II - ), ou o complementar, o poder do teste. Quando o verdadeiro valor da média é μ = μ + (H falsa) a distribuição passa a ser a t não central, com n-1 graus de liberdade e parâmetro de não centralidade ( n) / s Se, a distribuição t não central passa a ser a distribuição t usual. 9
Distribuição t não central Dois parâmetros: graus de liberdade (>), e não centralidade ( ). 1
Cálculo do poder do teste 1 média σ desconhecida Supondo que a média real seja μ, a média testada em H μ, e s como estimativa confiável de σ: Usar curvas características de operação para obter o poder do teste para um determinado nível de significância. Abscissa: fator de não centralidade H 1 : μ μ d = μ μ /s H 1 : μ > μ d = (μ μ )/s H 1 : μ < μ d = (μ μ)/s Ordenada, poder do teste. Curvas para diferentes tamanhos de amostra. 11
Cálculo do poder do teste 1 média σ desconhecida Supondo que a média real seja μ, a média testada em H μ, e s como estimativa confiável de σ: Usar aplicativos computacionais. R: Hipóteses (<, >, ); Nível de significância; Estimativa de σ; Desvio (diferença entre μ e μ ); Outros: Minitab, PopTools 1
Cálculo do poder do teste 1 Solução alternativa: média σ desconhecida Realizar cálculos aproximados do poder do teste através da distribuição t de Student. Encontrar valor crítico da média amostral em H. X c t Calcular valor de t, em H 1 (supondo média = μ, e desvio padrão igual a s). Obter o valor de ou 1- (poder do teste). c s n (Xc ) t s n 13
Exercício 19 Capítulo 8 Um certo tipo de pneu dura, em média, 5. km. O fabricante investiu em uma nova composição de borracha para pneus, objetivando aumentar sua durabilidade. Vinte pneus, fabricados com esta nova composição, apresentaram desvio padrão de 4. km. Use = 1%. Calcule o poder do teste se a verdadeira média de durabilidade dos pneus fosse de: 55 km, 54 km, 53 km, 5 km, 51 km. 14
Resolução 1ª parte H: = 5 km H1: > 5 km =,1, n =, s = 4 km t c,5395 X c t c s n 5,5395 4 571,38 15
Resolução ª parte H Média 5 5 5 Desvio padrão 4 4 4 n alfa,1,1,1 t c,539483189,539483189,539483189 xbar c 571,388 571,388 571,388 H1 Média 55 53 51 Desvio padrão 4 4 4 n t -3,5686755 -,814618777 1,41449,389453,16919,9143355 Poder,99671547,787388,85696495 16
Definir: Tamanho de amostra para Testes distância entre valor testado e valor real em número de desvios padrões; valor de ou 1- ; valor de ou poder do teste (1-). 17
18 Testes de Média Média com conhecida: Teste bilateral: Teste unilateral: Z Z n Z Z n
Testes de Média Média com desconhecida amostra piloto n : Teste bilateral: n Teste unilateral: t n t 1, t n n t n 1, n 1, 1, s 19
Testes de proporção Teste bilateral: Teste unilateral: p p p) (1 p Z ) p (1 p Z n p p p) (1 p Z ) p (1 p Z n
Exercício 18 Capítulo 8 Num certo banco de dados, o tempo para a realização das buscas é aproximadamente normal com média 53 s e desvio padrão 14 s. Modificou-se o sistema para reduzir o tempo. Foram contados os tempos para 3 buscas. Admita que as 3 observações possam ser consideradas uma amostra aleatória e que não houve alteração na variância. Use = 1%. Qual deveria ser o tamanho mínimo de amostra para detectar, com 9% de probabilidade, que a média real vale 5s? 1
Resolução Teste unilateral: = 53 s, = 5 s, = 14 s = - / = 53 5 /14 =,14 =,1; Poder = 1- =,9; =,1 Z =,36; Z = 1,8 Resolvendo: n Z Z,36 1,8,14 83,48 84