ABORDAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA NUMA PERSPECTIVA CONCEITUAL E GRÁFICA NO ENSINO MÉDIO José Geraldo de Araújo Pereira Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais - CEFET-MG josegeraldoap@yhoo.com.br João Bosco Laudares Pontifícia Universidade Católica - PUC-MINAS jblaudares@terra.com.br Resumo: Este artigo apresenta uma pesquisa de Mestrado, em desenvolvimento, que estuda uma abordagem metodológica da Função Exponencial e Logarítmica numa perspectiva conceitual e gráfica no ensino médio. Foram elaboradas atividades referenciadas em Polya, quanto a resolução de problemas, Frienlander, quanto a interpretação geométrica e gráfica, e em Laudares e Miranda quanto a focalização na compreensão conceitual. Foram elaboradas atividades que contemplaram problemas das Ciências Biológicas e Matemática Financeira, com a abordagem do conceito das Funções Exponenciais e Logarítmicas. Para interpretação gráfica, foi utilizado traçado de gráfico privilegiando a variação de parâmetros das funções, bem como a relação de simetria das duas funções, levando o estudante a entender a inversão das mesmas. Foi utilizado o Software Winplot, no tratamento das translações horizontais e verticais das Funções Exponenciais e Logarítmicas. Para validação das atividades, as mesmas foram aplicadas em turmas do ensino médio - técnico cujos resultados estão sendo analisados. Palavras-chave: Educação Matemática; Função Exponencial e Logarítmica em abordagem conceitual; Interpretação gráfica da Função Exponencial e Logarítmica. INTRODUÇÃO É apresentado nesse artigo o desenvolvimento de uma pesquisa em Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática, quanto à abordagem do ensino e aprendizagem das Funções Exponenciais e Logarítmicas. Foram elaboradas atividades que contemplaram problemas das Ciências Biológicas e Matemática financeira, com a abordagem do conceito das Funções Exponenciais e Logarítmicas. Para interpretação gráfica, foi utilizado traçado de gráficos privilegiando a variação de parâmetros das funções, bem como a relação de simetria das duas funções, levando o estudante a entender a inversão das mesmas. Foi utilizado o Software Winplot, no tratamento das translações horizontais e verticais das funções Exponenciais e Logarítmicas. Para validação das atividades, as mesmas foram aplicadas em turmas do ensino médio-técnico cujos resultados estão sendo analisados. Especificamente, para o tratamento conceitual foram utilizados itens tais como: crescimento/decrescimento, simetrias, interseções do gráfico com os eixos coordenados, 1
procedimentos assintóticos das curvas, taxa de variação, condições iniciais ou de contorno, sendo os dois últimos itens analisados em problema. Para interpretação gráfica e sua análise, foram trabalhadas as funções com variação de parâmetros com o objetivo da compreensão do comportamento das funções. ENSINO APRENDIZAGEM DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS Os logaritmos foram inventados, no começo do século 17, como um instrumento auxiliar dos cálculos aritméticos, transformando produtos em somas, quocientes em diferenças. Além do seu emprego generalizado para tornar possíveis operações aritméticas complexas, as funções Logarítmicas, juntamente com suas inversas, as Exponenciais, revelaram-se possuidoras de notáveis propriedades, que as qualificam como modelos ideais para certos fenômenos de variação, nos quais a grandeza estudada aumenta (ou diminui) com taxa de variação proporcional à quantidade daquela grandeza existente no momento dado. Segundo (CORRÊA, 1989), as aulas que antecedem o estudo de logaritmos, como potenciação, têm o objetivo de preparar o terreno para esse estudo, isto é, constituem prérequisitos importantes para a construção gradativa do conceito de logaritmo. Uma das metas principais do ensino e aprendizagem de matemática é a focalização na compreensão conceitual, na visão de (MIRANDA, LAUDARES, 2007), quando se busca a ênfase nas estratégias de estudo, as quais se fazem com abordagens variadas, sejam elas descritivas explicativas e de análise, com diversidade de metodologias do tipo algébrica, numérica ou geométrica. O tratamento conceitual matemático atrelado às situações e a resolução de problemas das ciências e da realidade, fugindo da abstração restrita, contribui para uma compreensão significativa das proposições matemáticas. O entendimento conceitual pode ser facilitado com resolução de problema, sendo estruturada por (POLYA, 1995) com quatro fases. Primeira, compreensão do problema; segunda, busca de diversos itens relacionados como, por exemplo, a incógnita está relacionada aos dados, e estabelecimento de um plano. Terceira execução do plano. E quarta retrospecto da resolução completa com uma discussão fazendo um retrospecto da resolução completa, revelando-a e discutindo-a. Assim, na elaboração conceitual, (POLYA, 1995) defende a necessidade do raciocínio heurístico, o qual se faz com suporte em todo o capital acumulado de saberes e da sua mobilização, formulando hipóteses e conjecturas. É aquele, segundo o mesmo autor, que não se considera final e rigoroso, mas apenas provisório e plausível. 2
À medida que avança o nosso exame do problema, prevemos com clareza cada vez maior o que deve ser feito para a sua resolução e como isso deve ser feito. Ao resolver um problema matemático, podemos prever, se tivermos sorte, que um certo teorema conhecido poderá ser utilizado, que um certo problema já anteriormente resolvido poderá ser útil, que a volta à definição de um certo problema já anteriormente resolvido poderá ser útil, que a volta á definição de um certo termo técnico poderá ser necessária. Não prevemos essas coisas com certeza, apenas com um certo grau de plausibilidade. (POLYA, 1995, p.130). A construção e análise de gráficos das Funções Exponenciais e Logarítmicas são tratadas com a interação da Álgebra e Geometria. Segundo (FRIENDLANDER, 1995), a interpretação geométrica, torna a compreensão mais fácil para a obtenção da inversa e da resolução de equações e inequações Exponenciais e Logarítmicas e neste caso, a resolução gráfica é menos tediosa e mais rápida que a solução algébrica. De acordo com o PCN s, a ênfase do estudo das diferentes funções deve estar no conceito da função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções. Assim, o ensino pode ser iniciado diretamente pela noção de função para descrever situações de dependência entre duas grandezas, o que permite o estudo a partir de situações contextualizadas, descritas algébrica e graficamente. Nos livros didáticos analisados, existe o interesse em se trabalhar a Função Exponencial e Logarítmica, explorando os seus parâmetros, destacando a construção gráfica e trabalhando de maneira significativa o uso das aplicações práticas envolvendo cada item. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Foi realizada extensa revisão bibliográfica referente ao tema investigado e encontradas as seguintes produções acadêmicas do ensino-aprendizagem de Exponenciais e Logarítmicas. Título Autor Instituição Ano Tipo Analise do processo de argumentação e prova em relação ao tópico logaritmos, numa coleção de livros didáticos e Fernando T. da Silva PUC/SP 2007 Dissertação 3
numa seqüência de ensino Resolução das Inequações logarítmicas; um olhar sobre a produção dos alunos Análise de uma intervenção didática sobre desigualdades inequações logarítmicas no ensino médio Margarete da S. H. C. Clara Maria S. G. Saldanha PUC/SP 2007 Dissertação PUC/SP 2007 Dissertação Uma Seqüência de Ensino Usando o Programa Winplot: Em Busca de uma Aprendizagem Autônoma do Aluno Caren S. Berlez Centro U. F. - Santa Maria - RS 2007 Dissertação A concepção de um software de Matemática para auxiliar na aprendizagem dos alunos da 1ª série do ensino médio no estudo das funções Exponenciais e Logarítmicas Elpídio de Araújo PUC/SP 2005 Dissertação Logaritmos: proposta de uma seqüência de ensino utilizando calculadora Mônica Karrer PUC/SP 1999 Dissertação Metodologia para desenvolvimento da capacidade cognitiva no ensino de Matemática: Assimilação e retenção de conteúdos as funções exponenciais e logarítmicas Jorge A. Barbosa Universidade Católica de Brasília 1998 Dissertação Logaritmos Aspectos Históricos e Didáticos Roseli de A. Corrêa UNESP- SP 1989 Texto resultado de pesquisa 4
A Apropriação da Ferramenta logaritmo a partir de situações com exponenciais aliada ao uso da calculadora Mônica Karrer, Sandra Magina PUC SP 1999 Periódico (Educação Matemática Pesquisa) Uma seqüência de ensino para a introdução de Logaritmo: estudos Exploratórios Usando a Calculadora Mônica Karrer, Sandra Magina UNESP - Rio Claro 2000 Periódicos (Bolema) O Ensino De Logaritmo Na Prática De Alguns Professores Do Ensino Médio Luiz A. Moreira PUC - MG 2008 Texto resultado de pesquisa Foram estabelecidos os seguintes objetivos: GERAL: Estudar o comportamento gráfico e o conceito das Funções Exponenciais e Logarítmicas, quanto as suas características que a diferenciam das demais funções, seja pela representação gráfica ou em situações da vida real, nas ciências e na tecnologia, privilegiando o seu tratamento conceitual. ESPECÍFICOS: Analisar os PCN s quanto ao ensino médio, relativamente ao ensino e aprendizagem das Funções Exponenciais e Logarítmicas; Verificar em livros textos didáticos de ensino médio, como são abordados o conteúdo e a metodológica das Funções Exponenciais e Logarítmicas; Elaborar atividades que privilegiam o entendimento conceitual das Funções Exponenciais e Logarítmicas, com a análise de problemas; Buscar entendimento das Funções Exponenciais e Logarítmicas por meio da interpretação e análise gráfica, com auxilio de Softwares Matemáticos. ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES DIDÁTICAS 5
Foram propostas 6 (seis) atividades, com níveis de dificuldades crescentes. A primeira e a segunda atividades exploraram o conceito das Funções Exponenciais e Logarítmicas, dando ênfase a Ciência Biológica e a Matemática Financeira. Nessas atividades, mostramos a relação entre as variáveis dependente e independente e o comportamento das funções. A terceira e quarta atividades abordaram a interpretação dos parâmetros das funções, analisando o comportamento das mesmas com variação dos mesmos. Na quinta atividade é explorada a interpretação da função inversa, através de recursos gráficos para a sua obtenção, levando o estudante a deduzir que as funções exponenciais e Logarítmicas são inversas. A sexta atividade utiliza o software matemático Winplot, para esboço de gráficos e deslocamento de curvas (translações). Neste artigo serão apresentadas duas atividades, uma de compreensão conceitual e outra de interpretação gráfica. 1ª ATIVIDADE: Nessa atividade foi explorado o Conceito da Função Exponencial e Logarítmica, dando ênfase a Ciência Biológica (crescimento vegetativo). OBJETIVOS: Identificar e representar graficamente as variáveis em estudo; Relacionar e classificar o gráfico em estudo com as funções já conhecidas; Analisar e descrever relação entre variáveis definidas; Formalizar a lei que descreve o fenômeno. HABILIDADES: Reconhecer e interpretar informações relativas a problemas, construindo conjecturas; Aprender a fazer tratamento de dados, com a montagem de tabelas e plotagem gráfica; Usar a intuição na problematização, durante a exploração do problema, e validar as conjecturas levantadas na avaliação dos resultados. O quadro seguinte apresenta a 1ª atividade. Se a altura de uma planta dobra a cada mês, durante um certo período de sua vida, 6
e supondo que sua altura inicial, é de 1 cm, então: a) Qual o valor para o instante inicial? b) Qual é a altura da planta ao final do 1º mês, e sucessivamente no final do 2º, até o 10º mês? c) Identifique a variável dependente e independente em estudo, e dê nome para elas? d) Construa uma tabela que represente essa situação. e) Plote no sistema de eixos os dados da tabela construída, indicando a variável dependente na vertical e independente na horizontal. f) Una os pontos. g) Interpretando o gráfico dê um valor aproximado da altura para: a) 2,5 meses. b) 4 meses e 10 dias. c) 5 meses e 20 dias. h) A curva obtida no item f corresponde a uma função: a) do 1º grau (cujo gráfico é uma reta)? b) do 2º grau (uma parábola)? c) uma curva desconhecida? i) Qual o comportamento das grandezas envolvidas? j) O gráfico é uma função crescente ou decrescente? Justifique? k) Repita o gráfico construído no item f e trace uma reta que tangencia a curva, a partir do ponto inicial. O que você conclui a respeito das coordenadas dos pontos da reta e da curva? l) Existe um valor extremo num determinado ponto do gráfico (mínimo ou máximo)? m) Formalize usando as variáveis nomeadas, uma lei de formação que melhor se ajusta ao gráfico. A relação encontrada é denominada Função Exponencial (cujo gráfico é uma Exponencial). 2ª ATIVIDADE: Nessa atividade, foi explorada a construção gráfica (Translações: horizontais e verticais) das funções Exponenciais e Logarítmicas, utilizando um Software Matemático Winplot. OBJETIVOS: 7
Construir gráficos das Funções Exponenciais e Logarítmicas, utilizando o Winplot; Determinar o domínio e o conjunto imagem dessas funções; Construir as translações horizontais e verticais dos seus gráficos. HABILIDADES: Trabalhar com recursos de informática; Manusear o Winplot. O quadro seguinte apresenta a 2ª atividade. Foram dadas as Funções Exponenciais e Logarítmicas, explorando a translação dos gráficos, a partir das funções básicas: e, para, com o auxílio do WINPLOT. Assim, a atividade explorou as funções na sua diversidade. Translação Vertical Translação Horizontal Foi explorado cada um dos tipos de translação, como o exemplo a seguir:. Considere. 8
Para facilitar a interpretação gráfica foram solicitadas respostas para as seguintes questões: a) Usando a notação de intervalo, determine a imagem das funções. b) Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados, se houver. d) Quando x diminui o que acontece com as curvas? e) Quando x aumenta o que acontece com as curvas? f) Existe um valor de y, para o qual as curvas se aproximam? g) Nas funções acima há uma translação horizontal ou vertical, em relação à? h) Plote, num mesmo sistema de eixos, os gráficos para o valor de e. CONSIDERAÇÕES FINAIS Todas as atividades já foram aplicadas com o objetivo de fazer sua validação, em turmas de ensino médio-técnico profissional de um CEFET. A pesquisa está na fase de análise dos resultados, e logo após será escrita e defendida a dissertação. Os objetivos específicos da pesquisa quanto à análise dos PCN s e abordagem de livros-textos relativamente ao ensino-aprendizagem das Funções Exponenciais e Logarítmicas, já foram cumpridas e este estudo será apresentado na dissertação. REFERÊNCIAS BILIOGRAFICAS BRASIL, Secretária de Educação Média e Tecnológica. PCN + Ensino Médio: Brasília: p. 141. Disp.: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/cienciasnatureza.pdf. Acesso em 20 de setembro de 2009. CORRÊA, R. A. Logaritmos Aspectos históricos e didáticos. Anais do I º Encontro Paulista de Educação Matemática. Campinas SP, PUC - CAMP, p.85 86, 1989. 9
FRIEDLANDER, Alex; HADAS, Nurit. Ensinando valor absoluto numa abordagem em espiral. In: DOMINGUES, Hygino H. (tradutor). As idéias da Álgebra. São Paulo, Editora Atual, cap.29, p.244-254, 1995. MIRANDA, Dimas Felipe de; LAUDARES, João Bosco. Informatização no Ensino da Matemática: Investindo no ambiente de aprendizagem. Zetetiké. Campinas, v.15, n.27, p.71-88, jan., jun., 2007. POLYA, G. A arte de resolver problemas, Rio de Janeiro: Editora Interciência. 1975. 10