Problema Proposto Um exame de laboratório tem eciência de 95% para detectar uma doença, quando ela de fato existe. Entretanto, o teste aponta um resultado falso-positivo para 1% das pessoas sadias testadas. Se 0, 5% da população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o seu exame foi positivo? Vamos denir P (p) como a probabilidade do exame dar positivo, e P (d) como a probabilidade da pessoa ter a doença. Queremos calcular a probabilidade da doença sabendo que o exame foi positivo, ou seja, queremos o valor de P (d p). Sabemos que existem 0, 5% de pessoas com a doença, logo, existem 99, 5% de pessoas sem a doença. Dos 0, 5%, existe 95% de chance do exame dar positivo, enquanto existe apenas 1% de chance dele dar positivo nos outros 99, 5% da população. A probabilidade de uma pessoa estar doente, sabendo que o exame foi positivo, é calculada da seguinte forma: P (d p) = P (d) P (p) = 0, 005 0, 95 0, 005 0, 95 0, 995 0, 01 Ou seja, P (d) é a probabilidade da pessoa ter a doença (0, 5%) vezes a probabilidade do exame dar positivo (95%). P (p) é a probabilidade da pessoa ter a doença e o exame dar positivo mais a probabilidade da pessoa não ter a doença (99, 5%) vezes a probabilidade do exame dar positivo (1%). Assim, P (d p) = 0, 00475 0, 00475 = 0, 00475 0, 00995 0, 0147 = 32% 1
Problema 2 Em uma certa cidade da Região Norte do país, durante a estação chuvosa, a probabilidade de que chova em um dia qualquer é igual a 50%. Assim, a probabilidade de que chova em um m de semana (sábado, domingo ou ambos) vale quanto? 1 Usaremos a seguinte notação: P(S) - probabilidade de chover no sábado. P(D) - probabilidade de chover no domingo; A probabilidade de chover apenas no sábado é igual a: P 1 = P (S) (1 P (D)) = 0.5 0.5 = 0.25 Do mesmo modo, a probabilidade de chuva apenas no domingo é P 2 = 0.25. A probabilidade de chuva nos dois dias é igual a P 3 = P (S) P (D) = 0.5 0.5 = 0.25 Como queremos a probabilidade de chuva durante o nal de semana, temos então P = P 1 P 2 P 3 = 0.25 3 = 0.75 Portanto, existe uma chance de 75% de chuva no nal de semana. 2
Problema 3 (UNESP) numa cidade com 30000 domicílios, 10000 domicílios recebem regularmente o jornal da loja de eletrodomésticos X, 8000 recebem regularmente o jornal do supermercado Y e metade do número de domicílios não recebe nenhum dos dois jornais. Determine: a) O número de domicílios que recebem os dois jornais. b) A probabilidade de um domicílio da cidade, escolhido ao acaso, receber o jornal da loja de eletrodomésticos X e não receber o jornal do supermercado Y. a) Metade dos domicílios não recebem jornais, logo, apenas 15000 domicílios recebem jornais. No total, 18000 jornais são entregues nesta cidade, 10000 de X e 8000 de Y. Comparando os dois valores, 15000 pessoas recebem jornais e 18000 jornais são entregues, é fácil constatar que 3000 jornais acabam "sobrando". Portanto temos que 3000 domicílios recebem os dois jornais. De maneira mais analítica: Seja P os domicílios que recebem apenas os jornais de X. Seja Q os domicílios que recebem apenas os jornais de Y e seja R os domicílios que recebem ambos os jornais. Pelo enunciado, temos que P Q R = 15000, P R = 10000 e Q R = 8000. Basta então resolver o sistema P Q R = 15000 P R = 10000 Q R = 8000 obtendo os valores P = 7000, Q = 5000 e R = 3000. Logo, 3000 domicílios recebem ambos os jornais. b) Ao todo, 15000 domicílios recebem os jornais. Dentre eles, 7000 recebem apenas os jornais da loja de eletrodomésticos X. A probabilidade de escolher um domicílio, ao acaso, que receba apenas jornais de X é igual ao total de domicílios que recebem os jornais de X sobre todos os domicílios da cidade, ou seja, { 7000 em X 30000 domicilios 7000 = = 0, 23 30000 Portanto, a probabilidade de escolher um domicílio que recebe apenas os jornais da loja X é de 23%. 3
Problema 4 (FUVEST - modicada) Um recenseamento revelou as seguintes características sobre a idade e a escolaridade da população de uma cidade. Se for sorteada, ao acaso, uma pessoa da cidade, a probabilidade de esta pessoa ter curso superior (completo ou incompleto) é? Segundo a tabela, temos que 4% 2% = 6% dos jovens tem curso superior; 4% 3% = 7% das mulheres adultas tem ensino superior e 5% 5% = 10% dos homens adultos tem ensino superior também. Portanto, segundo o gráco, a probabilidade pedida é de: 0, 06 0, 48 0, 07 0, 27 0, 1 0, 25 = 0, 0727 = 7, 27% 4
Problema 5 Um casal decidiu que vai ter 5 lhos. Qual seria a probabilidade de que tivesse pelo menos 2 meninos? O casal terá 5 lhos, para cada lho, existem 2 possibilidades (menino ou menina), logo teremos 2 5 = 32 possibilidades no total. Não estamos nos importando com a ordem dos lhos, queremos apenas ter, no minimo, 2 meninos. Assim, estamos interessados nos casos onde nasçam 2 meninos e 3 meninas, 3 meninos e 2 meninas, 4 meninos e 1 menina e 5 meninos. Deste modo, o total de casos favoráveis é a soma de cada combinação dentre os nascimentos, ou seja, 2 3 4 = 10 10 5 1 = 26 5 Logo, a probabilidade de nascerem pelo menos 2 meninos é igual a P = 26 32 = 81, 25% 5