Matemática 0. Considere a expressão x 4 x 3 5x x 6. Pede-se: A) encontrar o valor numérico da expressão para x =. B) oter todas as raízes complexas do polinômio p(x) = x 4 x 3 5x x 6. Questão 0 Comentários: A questão explora conhecimentos sore aritmética, álgera elementar, números complexos e polinômios. A) A sustituição direta fornece ( ) 4 ( ) 3 5( ) ( ) 6 = 6 ( 8) 5 4 + 6 = 6 + 8 0 + 6 = 0. A) Dois (0) pontos se chegar à resposta correta (dar um (0) ponto pela sustituição correta, ainda que com cálculos aritméticos errados e não chegando ao resultado 0 (zero)). B) Pelo item A), uma das raízes de p(x) é. Portanto p(x) é divisível por x ( ) = x + e, efetuando tal divisão, otemos p(x) = (x + )(x 3 3x + x 3). A partir disso, há duas aordagens possíveis. i. Oservando que x 3 3x + x 3 = (x 3 + x) (3x + 3) = x(x + ) 3(x + ) = (x + )(x 3), concluímos que as demais raízes de p(x) são as raízes complexas dos polinômios x + ou x 3, isto é, são ± i e 3. ii. Aplicando o critério de pesquisa de raízes racionais ao polinômio q(x) = x 3 3x + x 3, concluímos que suas possíveis raízes racionais são da forma a, em que a e são inteiros tais que a é divisor de 3 e é divisor de. Portanto, as possíveis raízes racionais de q(x) são 3,, ou 3. Testando tais possiilidades, concluímos que 3 é raiz de q e então otemos q(x) = (x + )(x 3). O resto se dá como em (i). B) Três (03) pontos pela fatoração correta (otendo o polinômio x 3 3x + x 3). Penalizar em um (0) ponto por eventuais erros de cálculo. Três (03) pontos se chegar à raiz x = 3. Dois (0) pontos pelo cálculo das outras duas raízes (i e i). Oservação: penalizar em um (0) ponto se a resposta for simplesmente ± i. Pág. de 8
0. Os números reais a, e são tais que a 0 e a cos sen. Se calcule o valor de tg(x ) em função de a e somente. tg a sen + cos x =, a cos sen Questão 0 Comentários: A questão explora conhecimentos sore trigonometria. atg + Solução : Dividindo numerador e denominador por cos, otemos tg x =, e daí a tg x a tg tg x tg = a tg +, ou ainda a(tg x tg ) = (tg x tg + ). Portanto, tg(x ) = tg x tg + tg xtg =. a Solução. Note inicialmente que a sen + cos sen tg x tg = = a cos sen cos ( a sen + cos )sen = ( a cos sen )cos a sen = a cos a = 0, tg x tg o que não ocorre. Portanto, podemos aplicar a fórmula de adição tg( x ) =. + tg x.tg Sustituindo a expressão para tg x na mesma fórmula, otemos sucessivamente a sen + cos tg tg x tg a cos sen tg( x ) = = + tg x.tg a sen + cos + tg a cos sen ( a sen + cos ) cos ( a cos sen ) sen cos + sen = = a cos sen cos + a sen + cos sen a cos + a sen Pauta de correção (Soluções e ): Três (03) pontos por escrever corretamente a fórmula para a tangente da diferença (não penalizar pela não-verificação de que tg x.tg ). Sete (07) pontos por sustituir a expressão dada para tg x na fórmula para tg (x ) e efetuar corretamente as simplificações (procurar limitar as pontuações parciais a quatro (04) pontos ou nada). = ( ) ( ) a Solução 3. Denote c = a +, e seja θ [ 0,π) o arco trigonométrico tal que a cos θ = e c sen θ =. Então, a= c cos θe = c sen θ, donde segue que c c cos θsen + c sen θcos sen ( θ+ ) tg x= = = tg ( θ+ ). c cos θcos c sen θsen cos ( θ+ ) Logo, existe um inteiro k tal que x ( θ + ) = kπ, ou ainda x =θ+ kπ, e segue daí que tg(x ) = tg ( θ + kπ) = tg θ=. a Pauta de correção (Solução 3): a Três (03) pontos pelas sustituições cos θ = e sen θ =. c c Quatro (04) pontos por chegar a uma igualdade equivalente a tg x = tg (θ + ). Penalizar em um (0) ponto se chegar a tg x = cotg (θ + ) ou tg x = tg (θ ), ou cometer erro equivalente. Três (03) pontos se resolver corretamente a equação trigonométrica (em θ) tg x = tg (θ + ) e chegar à resposta correta. 03. Calcule o menor valor inteiro de n tal que n > 5 0, saendo que 0,3 < log 0 < 0,30. Pág. de 8
Questão 03 Comentários: A questão aorda conhecimentos sore logaritmos. Tomando logaritmos decimais em amos os memros da desigualdade desejada, otemos Utilizando as estimativas do enunciado, otemos n > 5 0 log 0 n > log 0 5 0 n log 0 > 0 log 0 5 n log 0 > 0( log 0 ) n > 0. log 0 0 log 0 0 > 0,30 0 = 0 30 = 6980 5 > 46 e 0 log 0 0 < 0,3 0 40 = 0 = 3 3 < 47. Portanto, o menor valor possível de n é 47. Quatro (04) pontos se chegar à desigualdade n > 0. log 0 Três (03) pontos pela estimativa por aixo (> 46). Penalizar em um (0) ponto se otiver > 45 6980 ou parar em. 5 Três (03) pontos pela estimativa por cima (< 47). Penalizar em um (0) ponto se otiver < 48 40 ou parar em <. 3 Pág. 3 de 8
04. Poupêncio investiu R$ 0,00 numa aplicação ancária que rendeu juros compostos de % ao mês, por cem meses seguidos. Decorrido esse prazo, ele resgatou integralmente a aplicação. O montante resgatado é suficiente para que Poupêncio compre um computador de R$ 490,00 à vista? Explique sua resposta. Questão 04 Comentários: A questão aorda conhecimentos sore matemática financeira, seqüências e inômio de Newton. Para ver por que o dinheiro de que Poupêncio dispunha após os cem meses foi suficiente para a compra, oserve-se que, se o montante investido em um certo mês fosse x reais, no mês seguinte Poupêncio teria x + (%)x = + x reais. Portanto, a sequência que define a evolução do montante aplicado é uma progressão geométrica de razão + e termo inicial 0, de maneira que Poupêncio resgatou, após cem meses, um total de 0 + maior que 490 reais, pois a fórmula do inômio de Newton nos dá reais. Esse total é certamente 0 0 k 0 k + = = k > 0 + 0 0 + 99 = 0 + = 495. 00 Cinco (05) pontos por deduzir ou dizer que o montante resgatado é Penalizar em um (0) ponto se escrever 0 + ou 99 0 +. 0 0 +. Cinco (05) pontos por estimar corretamente que 0 + > 490. Penalizar em dois (0) pontos se otiver a estimativa pior 0 + > 000 (correspondente a juros simples) ou estimativa correta partindo do valor incorreto 0 +. Oservação: i. se continuar errado a partir de 0 + > 000 ou 0 +, a segunda parte vale no máximo quatro (04) pontos. ii. considerar a mesma pauta se ignorar o montante inicial 0 e olhar só os juros. iii. se calcular a evolução do montante mês a mês, notando que aumenta pelo menos 0 reais a cada mês, dando 000 no final, utilizar a mesma pauta acima em relação aos juros simples, i.e., dar três (03) pontos. 0 99 0 Pág. 4 de 8
05. Em um sistema Cartesiano de origem O, seja P o ponto de coordenadas (, ) e r uma reta que passa por P e intersecta os semi-eixos positivos das ascissas e ordenadas respectivamente nos pontos A e B. Calcule o menor valor possível para a área do triângulo AOB. Questão 05 Comentários: A questão aorda conhecimentos sore geometria analítica, funções de segundo grau e álgera elementar. a Se A(a, 0), B(0, ) e S denota a área de AOB, então a, > 0 e S =. Por outro lado, a x equação da reta r no sistema Cartesiano em questão é + =, e, como P r, devemos ter a + =. A partir disso, há duas possíveis aordagens. a i. S será mínima se e somente se for máxima. Como S = = = ( u)u = u + u, S a em que u =, é suficiente maximizarmos, para u > 0, a função f (u) = u + u. A teoria de máximos e mínimos de funções de segundo grau garante que o valor máximo de tal função é 8, valor atingido quando u = 4. Portanto, o valor máximo para 4. ii. Isolando a em função de, otemos a = é, e daí otemos que o valor mínimo para S é S 8 ; como a > 0, temos > 0, e daí 4 S = a = = + + 4 = + + 4 4 ( ) + 4 = 8, em que utilizamos a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica para dois números reais 4 positivos na última passagem acima. Portanto, S 4, sendo o valor 4 atingido quando =, isto é, quando = 4. Um (0) ponto por figura correta, com indicação dos eixos Cartesianos, da reta desejada e dos pontos A, B e P. Três (03) pontos por modelar algericamente o prolema de maneira correta, chegando à equação + =. a Três (03) pontos por oter uma fórmula equivalente a S = ou =. S Três (03) pontos por minimizar corretamente a área, utilizando qualquer das maneiras acima ou Cálculo (mesmo que só aplique o teste da derivada primeira). Pág. 5 de 8
06. Temos, em um mesmo plano, uma reta r e um triângulo ABC, de lados AB = 3 cm, AC = 4 cm e BC = 5cm, situado de tal forma que o lado AC é paralelo à reta r, distando 3 cm dela. Calcule, em cm 3, os possíveis valores para o volume V do sólido de revolução otido pela rotação do triângulo ABC em torno da reta r. Questão 06 Comentários: A questão explora conhecimentos sore geometria espacial e geometria plana. Inicialmente, como 3 + 4 = 5, a recíproca do teorema de Pitágoras garante que ABC é retângulo em A. Portanto, o ponto D, de interseção da reta r com a reta suporte do lado AB, coincide com o pé da perpendicular aixada de B (ou de A) a r. Seja E o pé da perpendicular aixada de C a r. Há dois casos a considerar: a) B e D coincidem: neste caso, temos V = V V, em que V é o volume do cilindro circular reto de geratriz AC e raio da ase CE e V o volume do cone circular reto de altura DE e raio da ase CE. Em cm 3, V = π. 3.4 = 36 π e V = π. 3. 4 = π ; logo, V = 36 π π = 4 π. 3 ) A é o ponto médio do segmento BD: sendo F a interseção de r com a reta suporte do lado BC, temos V = V 3 (V + V 4 ), em que V 3 é o volume do cone circular reto de altura DF e raio da ase BD e V 4 o volume do cone circular reto de altura EF e raio da ase CE. Agora, a semelhança dos triângulos CEF e BDF garante que EF = 4 cm, daí DF = 8 cm. Portanto, em cm 3 temos V 3 = π. 6. 8 = 96 π 3 e V 4 = V = π, de maneira que V = 96π (36π + π ) = 48π. Um (0) ponto por oservar que ABC é retângulo em A. Dois (0) pontos pelas figuras correspondentes aos casos B = D e A ponto médio de BD, indicando o sólido de revolução em cada caso (um ponto por figura). Três (03) pontos pelo cálculo correto do volume quando B = D. Quatro (04) pontos pelo cálculo correto do volume quando A for o ponto médio de BD. Não penalizar se usar corretamente a fórmula para o volume V de um tronco de cone de ases com raios a > e altura h: V = π h ( a + a + ). 3 Pág. 6 de 8
07. Os inteiros não todos nulos m, n, p, q são tais que m n p q 45. 60. 75. 90 =. Pede-se: A) dar exemplo de um tal quaterno (m, n, p, q). B) encontrar todos os quaternos (m, n, p, q) como acima, tais que m + n + p + q = 8. Questão 07 Comentários: A questão explora conhecimentos sore aritmética e sistemas lineares. Escrevendo 45 = 3 5, 60 = 3 5, 75 = 3 5 e 90 = 3 5, otemos = (3 5) m ( 3 5) n (3 5 ) p ( 3 5) q = n + q 3 m + n + p + q 5 m + n + p + q, e, a partir daí, o sistema linear homogêneo de equações n + q = 0 m + n + p + m + n + p + q = 0 A primeira equação do sistema nos dá q = n. Sustituindo essa relação nas duas outras equações e escrevendo-as como um sistema linear em m e p, otemos m + p = 3n m + p = n. 5n n Resolvendo o sistema para m e p, otemos m = e p =. 3 3 a) Fazendo n = 3, otemos a possiilidade m = 5, n = 3, p =, q = 6. 5n n n n ) Como m + n + p + q = + n n =, devemos ter = 8, e daí n = 4, m = 40, 3 3 3 3 p = 8, q = 48. A) Três (03) pontos por armar o sistema homogêneo corretamente. Oservação: se as equações do sistema armado não estiverem todas corretas, a nota deve ser 0 (zero). Três (03) pontos por expressar três das variáveis em função da variável restante e oter valores corretos. Oservação: dar os seis (06) pontos se o aluno der exemplo correto, mesmo que sem justificativa. Dar 0 (zero) a essa parte caso os valores encontrados estejam errados. B) Quatro (04) pontos por resolver o sistema possível e determinado correspondente. Penalizar em um (0) ponto pelo cometimento, na resolução do sistema, de algum erro de cálculo que o leve a um dos quaternos de inteiros (*, 4, 8, 48), (40, *, 8, 48), (40, 4, *, 48) ou (40, 4, 8, *), em que, em cada caso, * representa um inteiro diferente do correto. Oservação: caso o aluno somente monte o sistema correto e resolva B corretamente, deve receer 0 pontos. q = 0. Pág. 7 de 8
08. ABC é um triângulo retângulo em A, com catetos AB e AC de medidas respectivamente iguais a 3 cm e 4 cm. Com centros em B e em C, traçamos dois círculos e, de raios respectivamente 3 cm e 4 cm, e, em seguida, uma reta r que passa por A e intersecta e respectivamente nos pontos P e Q, com P, Q A. Calcule o maior valor possível do produto dos comprimentos dos segmentos PA e QA. Questão 08 Comentários: A questão aorda conhecimentos sore geometria plana e funções trigonométricas. Se PAB =, então QAC = θ 90 0. Como os triângulos PAB e QAC são isósceles de θ ases PA e QA, respectivamente, a trigonometria de triângulos retângulos nos dá PA = 6 cos 0 90 θ = 8 senθ. Logo, θ e QA = 8 cos ( ) PA QA = 48 cosθ senθ = 4 sen(θ), de maneira que o maior valor possível para PA QA é 4 cm 0, otido quando θ = 45. Dois (0) pontos por figura correta, correspondente ao caso em que A é interior ao segmento PQ ou ao caso em que A é exterior a tal segmento. Quatro (04) pontos pela introdução de uma variável angular apropriada e pela otenção das expressões corretas para os comprimentos dos segmentos PA e QA em função da mesma. Quatro (04) pontos pela otenção do máximo desejado, utilizando transformações trigonométricas ou Cálculo (mesmo que somente o teste da derivada primeira). Prof. José Othon Dantas Lopes Coordenador da Prova de Matemática-CCV/UFC Pág. 8 de 8