MATEMÁTICA BÁSICA 5 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS - EQUAÇÕES A expressão numérica é aquela que apresenta uma sequência de operações e de números. Também já sabemos que as letras são usadas em Matemática para representar números desconhecidos ou para generalizar propriedades e fórmulas, por exemplo. As expressões algébricas e as letras são as variáveis. Todo número natural multiplicado por 1 é igual a ele mesmo Em linguagem matemática, essa proprieade pode ser escrita da seguinte maneira: x. 1 = x Onde x representa um número natural qualquer. Veja o Exemplo: Uma pessoa ganha R$ 20,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa pessoa ganhará, após alguns dias de trabalho, podemos escrever a expressão algébrica: 20. X Onde x representa o número de dias trabalhados. Se a pessoa trabalhar dois dias, receberá R$ 20,00 x 2 = R$ 40,00 Se a pessoa trabalhar dez dias, receberá R$ 20,00 x 10 = R$ 200,00 Portanto, a expressão algébrica nos permite calcular o ganho dessa pessoa, por meio da multiplicação da variável x pelo número de dias trabalhados. Observações: 1 - Nas expressões algébricas não é usual se escrever o sinal de multiplicação, veja: 2. X se escreve 2x a. B se escreve ab 2 - Podemso ter expressões algébricas com mais de uma variável ou ainda sem variável: 2xy Expressão com duas variáveis: x e y 5abc Expressão com três variáveis: a,b e c 25 Expressão sem variável Valor Númérico Quando substituímos as variáveis de uma expressão por números e efetuamos as operaçãos indicadas, o resultado encontrado é o valor numérico da expressão. O valor numérico da expressão 5x + 4 para x = 2, por exemplo é: 5.2 + 4 = 10 + 4 = 14 Sabendo que a expressão ab representa a área de um retângulo, responda qual a área da figura para as dimensões a = 2,5 cm e b = 4 cm. a O valor numérico de ab é: 2,5 x 4 = 10 Logo, a área do retângulo é 10 cm b As expressões algébricas que não apresentam adições e subtrações entre os números e as variáveis, são chamadas de monômios. Por exemplo: 6x, 3x 2 y 2, ab, 10 etc. Página 1
A parte numérica de um monômio é o coeficiente e a outra parte formada por letras é a parte literal. De acoedo com os exemplos anteriores, vamos destacar o coeficiente e parte literal de cada monômio: 6x coeficiente: 6 parte literal: x 3x 2 y 2 coeficiente: 3 parte literal: x 2 y 2 ab coeficiente: 1 parte literal: ab 10 coeficiente: 10 parte literal: não tem Dois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal e coeficientes diferentes são chamados de monômios semelhantes. Para somar ou subtrair monômios eles devem ser semelhantes. Caso contrário, a adição e a subtração serão apenas indicadas e não efetuadas. A expressão seguinte é um exemplo de operações com monômios: 4xy + 7xy - 5xy = (4 + 7-5)xy = 6xy Veja outro exemplo: No retângulo abaixo, assinalamos as medidas dos seus lados em cm. De acordo com a figura, vamos determinar a expressão algébrica mais simples (com menos termos) que representa o perímetro desse retângulo. 2x + 1 O perímetro de um retângulo é calculado somando-se as medidas de seus lados: 2(2x + 1) + 2(x - 3) = Propriedade distributiva da multiplicação 4x + 2 + 2x - 6 Propriedade comutativa da adição 4x + 2x + 2-6 Efetuando-se as operações dos monômios semelhantes Portanto, a expressão mais simples que representa o perímetro do retângulo é 6x - 4 x - 3 Polinômios Uma expressão formada por adições e subtrações de monômios é chamada de polinômio (poli = muitos) Uma expressão como 4a 2-7ab + b 2-2a 2 - ab - b 2 é um polínômio formado por seis monômios ou termos. Como existem termos semelhantes nesse polinômio, podemos reduzi-los efetuando as operações indicadas na sequência: 4a 2-7ab + b 2-2a 2 - ab - b 2 4a 2-2a 2-7ab - ab + b 2 - b 2 2a 2-8ab + 0 2a 2-8ab Página 2
A expressão encontrada é chamada de forma reduzida do polinômio, pois os termos restantes não podem mais ser efetuados. Assim, para somar ou subtrair polinômios, basta reduzir seus termos semelhantes. Somando o polinômio 3x 2-4xy + y 2 com - x 2-2xy + 4y 2, temos: (3x 2-4xy + y 2 ) + (-x 2-2xy + 4y 2 ) = Retirar os parênteses 3x 2-4xy + y 2 - x 2-2xy + 4y 2 = 3x 2 - x 2-4xy - 2xy + y 2 + 4y 2 = 2x 2-6xy + 5y 2 = Aplicar a propriedade comutativa Reduzir os termos semelhantes Somar os dois polinômios No caso da subtração de dois polinômios, temos o exemplo: (-14ab + 7a) - (-12ab + 6a) = Retirando os parênteses e trocam os sinais do 2 polinô -14ab + 7a + 12ab - 6a = -14ab + 12ab + 7a - 6a = -2ab + a Diferença dos dois polinômios EQUAÇÕES É preciso que você saiba o significado de: equação incógnita de uma equação membros de uma equação termos de uma equação A importância do estudo das equações está no fato de que elas facilitam a resolução de certos problemas. Vejamos: Exemplo 1 Dois pacotes juntos pesam 22kg. Quanto pesa cada um deles, se o maior tem 6 kg a amis que o menor? Já vimos que podemos representar quantidades desconhecidas usando a álgebra. Neste caso, temos: Pacote menor = x Onde x representa o peso do pacote menor. pacote maior = x + 6 Então, teremos a seguinte equação: x + (x + 6) = 22 Efetuando as devidas equações: x + (x + 6) = 22 x + x + 6 = 22 2x + 6 = 22 2x + 6-6 = 22-6 2x = 22-6 Eliminar os parênteses Somar os termos semelhantes Subtrair 6 nos dois membros 2x = 16 2x = 16 Efetuar a divisão por 2, nos dois membros 2 2 x = 16 Desse modo, o peso do pacote menor é de 8kg e do pacote maior é de 2 8 + 6 = 14kg. x = 8 Página 3
A equação e a operação inversa Na prática, não costumamos resolver uma equação pensando numa balança, nem fazendo todas as operações. Observe que quando subtraímos 6 nos dois membros, na equação acima, zeramos o 6 que estava no primeiro membro: 2x + 6-6 = 22-6 0 2x = 22-6 Por isso, dizemos simplesmente que o 6 passa para o outro lado e muda de sinal. Da mesma forma, costumamos dizer que o 2 que está multiplicando um termo no primeiro membro, passa para o segundo membro dividindo. 2x = 16 x = 16 x = 8 2 É importante observar que nessa regra de "passar para o outro lado", está embutido um conceito matemático chamado operação inversa. A operação inversa da adição é a subtração: + 6 virou - 6 A operação inversa da multiplicação é a divisão: x 2 virou : 2 Vejamos outro exemplo, que faz uso do conceito de operação inversa, para resolver a equação: Exemplo 2 Sabendo que o quádruplo de um número somado com 9 é igual ao número somado com 6, descubra qual é esse número. Um número: x Quádruplo do número: 4x Equação correspondente: 4x + 9 = x + 6 Resolução: 4x + 9 = x + 6 4x - x = 6-9 3x = -3 x= -3 3 x= - 1 Portanto o número procurado é -1. passar + 9 para o segundo membro (fica -9) e + x para o primeiro membro (fica - x). como a operação inversa de : 3 é x 3, temos: A VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO A verificação da solução é tão importante quanto a própria resolução da equação. Pois ela nos dá a possibilidade de descobrir se cometemos algum erro de cálculo, por exemplo, e corrigi-lo. Para fazer a verificação, basta experimentar o valor encontrado na incógnita. Veja: Página 4
4x + 9 = x + 6 substituindo x por -1 4(-1) + 9 = -1 + 6-4 + 9 = -1 + 6 5 = 5 Logo, x = -1 é um valor que torna a equação 4x + 9 = x + 6 verdadeira. Experimente substituir x por outro valor, e veja o que acontece. A raiz de uma equação A solução de uma equação, isto é, o valor encontrado para a incógnita, é chamado, pela matemática, de raiz da equação. x = -1 é raiz da equação 4x + 9 = x + 6 EXEMPLO 3 Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 64,00? Equacionando o problema: Preço da cadeira: x Preço da estante: 3x Equação correspondente: x + 3x = 64 Resolução: x + 3x = 64 4x = 64 x= 64 4 x = 16 VERIFICAÇÃO DA RAIZ 16 + 3. 16 = 64 16 + 48 = 64 64 = 64 A estante custa R$ 48,00 Fontes: Telecurso Matemática Ensino Médio Volume I e II Rio de Janeiro - Fundação Roberto Marinho, 2008 Página 5