MATEMÁTICA BÁSICA 4 Frações Leitura Três quartos da população do estado X recebe até um salário mínimo A herança será dividida, cabendo um sétimo do total a cada um dos herdeiros A parede será azulejada até os dois terços Esse cano é meia podelgada. O médico receitou um quarto do comprimido a cada 4 horas São exatamente 2 horas e um quarto. Em cada uma dessas frases, há uma quantidade indicada em forma de fração. Veja: Três quartos da população do estado x recebe até um salário mínimo Imagine dividir a população desse Estado em 4 grupos exatamente iguais. Três quartos correspondem a desses grupos. A herança será dividida, cabendo um sétimo do total a cada um dos herdeiros A herança foi dividida em 7 partes exatamente iguais, cabendo acada um dos herdeiros uma dessas partes A parede será azulejada até dos dois terços A altura da parede (pé-direito) foi dividida em três partes iguais, e os azuleijos colocados em duas partes dessa altura. Esse cano é de meia polegada.1/2 A polegada equivale a 2,4 cm ou 2,4 mm O médico receitou um quarto do comprimido a cada 4 horas. O comprimido deverá ser dividido em 4 partes exatamente iguais e, de cada vez, deve ser tomada uma dessas partes. São exatamente duas horas e um quarto. Isso significa que são 2 horas e 1 minutos, pois um quarto de hora corresponde a 1 minutos (60 mim : 4) As frações foram criadas justamente para representar partes de um todo Página 1
Fração de um número Quando usamos os termos dodro, triplo ou metade, estamos aplicando um operador a um número ou uma unidade. Assim, sabemos que, para encontrar o dodro de um número, é preciso multiplicar este número pelo operador 2. Para encontrar seu triplo, basta multiplicá-lo pelo operador. Do mêsmo modo, a fração também tem um significado de operador. Vamos ver alguns exemplos: Exemplo 1: Exemplo 1 de 0 = 1 x 0 = 0 : 2 = 1 das bolinhas do desenho abaixo são pretas. 2 2 4 Se, ao todo, existem 12 bolinhas, Exemplo 2: quantas são as bolinhas pretas? 1 de 0 = 1 x 0 = 0 : = 10 de 12 = x 12 = (12 : 4) x = 9 4 4 Para calcular a fração de um número, dividimos este número pelo denominador e, depois, multiplicamos o resultado pelo numerador. Frações Equivalentes São aquelas que têm aparênciia diferente, mas querem dizer a mesma coisa. Veja o exemplo de um quadrado dividido ao meio. Se pintarmos umas das partes, teremos: fração colorida = 1 2 Dividimos agora o quadrado em quatro partes iguais e pintamos duas: Dividimos o quadrado em oito partes iguais e pintamos quatro: fração colorida = 2 fração colorida 4 4 8 Você reparou que, em qualquer caso, a parte pintada do quadrado é a mesma. Dizemos, então, que esses frações são equivalentes, porque elas nos dão a mesma informação. E podemos escrever: 1 2 4 Em geral, quando temos um grupo de frações equivalente, procuramos usar 2 4 8 a mais simples, aquela que possui os menores números no numerador e no denominador. Exemplo 1 Encontre duas frações equivalentes a 1 Observe, o retangulo, a parte que está pintada. Ela representa a fração 1 : 1 Página 2
Agora, imagine que cada uma destas partes, Vamos voltar à primeira figura e dividir cada parte, pintada ou não, seja dividida ao meio: pintada ou não, em e partes iguais: 2 6 9 Você pode observar que a parte pintada do retangulo não mudou: ela apenas foi dividida de modos diferentes. Então, concluímos que essas frações são equivalentes: 1 2 A principal regra das frações equivalentes é a seguinte: 6 9 Uma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número. Observe a aplicação dessa regra nos seguintes exemplos: 1 1 x 2 2 1 1 x 1 1 x 10 10 x 2 6 x 9 x 10 0 Essa regra é utilizada também para simplificar frações. Simplificar uma fração significa encontrar uma fração equivalente a ela com numerador e denominador menores. Vamos, por exemplo, simplificar a fração 12 0 Sabemos que 12 = 2 x 6 e que 0 = x 6. Então: 12 2 x 6 2 0 x 6 Portanto, 2 é uma fração equivalente (ou igual) a 12 0 Dizemos, na prática, que o 6 foi cortado do numerador e do denominador da fração. Uma forma eficiente de simplificar uma fração é fatorar o numerador e denominador e, depois, cortar os fatores comuns, ou seja, cortar os fatores que aparecem tanto no numerador quanto no denominador. Observe com atenção o exemplo seguinte. Exemplo 2 Em uma fábrica, de 240 peças produzidas, 180 estavam perfeitas. Que fração das peças produzidas estava perfeita? Que fração das peças estava imperfeita? Para responder a primeira pergunta, devemos simplificar a fração ção do numerador e do denominador:.240 2.180 2.120 2. 90 2. 60 2. 4. 0 2. 1. 1... 1. 1 180. Para isso, observe a fatora- 240 Página
Veja que, "cortando" os fatores comuns ao numerador e ao denominador, obtemos a fração simplificada: 180 2 x 2 x x x = 240 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 x 2 4 Concluímos, então, que das peças produzidas estavam perfeitos. Portanto, 1 das peças 4 4 estava com defeito. Quem é maior? Comparação de frações Comparar duas frações é verificar se elas são iguais ou não e, caso sejam diferentes, qual delas é a maior Quando as frações têm o mesmo denominador, a comparação é imediata. Veja o exemplo. Exemplo 1 Qual é a fração maior: ou? Observe as figuras: 8 8 8 8 É fácil concluir a seguinte regra: Quando os denominadores são iguais, a maior fração é a que tem maior numerador E quando apenas os numeradores das frações forem iguais? Qual será a maior fração? Exemplo 2 Qual é a maior fração: 2 ou 2? 7 2 2 7 Você pode observar que a primeira figura foi dividida em menor número de partes que a segunda. Por isso, as duas partes que representam 2 são maiores que as duas partes que representam 2 Concluímos, então, que: 7 Quando as frações têm numeradores iguais, a maior é a que tem menor denominador. Comparar frações de denominadores iguais ou de numeradores iguais é bastante simples. Mas, como comparar frações de denominadores e de numeradores diferentes? Página 4
Podemos fazer isso usando um conjunto repartido em outros conjuntos que permitam a representação das frações que desejamos comparar. Veja o exemplo. Exemplo Qual é a maior fração: 2 ou? 7 Vamos considerar um conjunto de x 7 = 21 elementos. Para facilitar, organizamos esses elementos formando um retângulo, como na figura seguinte. Depois, fazemos uma cerca em volta dos elementos que representam do total e outra em volta dos 7 elementos que representam 2 do total. Precisamos de um conjunto que possa ser repartido em terços e em sétimos. Escolhemos um conjunto com os elementos em fileiras com 7 elementos ou em 7 fileiras com elementos. Assim: 2 7 Na figura, é fácil ver que é maior que 2 ; 7 do conjunto contêm 1 elementos; 2 do conjunto contêm 14 elementos. 7 Também podemos comparar frações com denominadores diferentes sem usar figuras. Para isso, substituímos as frações dadas por outras equivalentes a elas, com denominadores iguais. Para comparar 2 e, por exemplo, qual deverá ser o denominador das novas frações? 0 denomina- 4 dor deverá ser múltiplo de e também multiplo de 4, já que devemos encontrar frações equivalentes. Sabemos que 20 é múltiplo de e 4. Portanto, ele será o denominador das frações equivalentes a 2 e. 4 Além disso, já sabemos que, multiplicando o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número, encontramos uma fração equivalente. Para transformar 2 em uma fração de denominador 20, fazemos assim: 2 2 x 4 8 x 4 20 Como também deve ser transformada em uma fração de denominador 20, fazemso assim: 4 x 1 Como 1 é maior que 8, concluímos que: 2 > 4 4 x 20 20 20 4 Adição e Subtração de Frações Vamos efetuar: 2 + = 7 7 7 Na adição ou na subtração de frações com denominadores iguais, somamos ou subtraímos os numeradores, mantendo o denominador comum. Página
Exemplo Vamos efetuar 1 : 1 6 + + = 12 12 12 12 12 Observe que 6 é uma fração que pode ser simplificada: 6 6 : 6 = 1 = 12 12 12 : 6 2 Agora vejamos o que acontece com denominadores diferentes. Vamos efetuar 1 1. + 2 Repare que não adiantea fazer uma figura e juntar as partes correspondentes a cada fração porque meios e terços tem tamanhos diferentes. Vamos, então, fazer o seguinte: trocar as frações dadas por outras, equivalentes, e que tenham um mesmo denominador. É importante que esse fenomindador seja múltiplo de 2 e de. Por isso, o denominador escolhido será 6, que não só é multiplo comum de 2 e, mas também é o menor múltiplo comum. Devemos ter 1 #. Para "ir de 2 para 6", multiplicamso por. Logo, o numerador da fração = 2 6 equivalente será 1. =. Isto é, 1 1.. 2 2. 6 Também devemos ter 1 #. Para "ir de para 6", multiplicamos por 2, por isso = 6 1 1. 2 2.. 2 6 Agora, podemos trocar as frações iniciaid por suas equivalentes e efetuar adição: 1 1 2 + = + = 2 6 6 6 Perceba que a chave para somar ou subtrair frações de denominadores diferentes é trocá-las por frações equivalentes de mesmo denominador. Se esse novo denominador é o mmc dos denomindadores iniciais, dizemos que fizemos uma redução ao menor denominador comum. Na adição ou na subtração de frações de denominadores diferentes: # reduzimos as frações ao menor denominador comum, obtendo frações equivalentes às iniciais; # somamos ou subtraímos essas novas frações. Vamos efetuar: 1. mmc (4,10) = 20 4 10 2-4 10 2 2 1 1 1 20 # 20 : 4 =. 1 = 4 20 4 4. 20 1 1 2 1 - = - = 4 10 20 20 20 1 # 20 : 10 = 2 1 1. 2 2 ou = 10 20 10 10. 2 20 1 1-2 1-4 10 20 20 Página 6
Multiplicação de frações Certas expressões de nossa língua correspondem a multiplicações na linguagem matemática: # o dobro de é 2. ; # o triplo de 12 é.12; Essas expressões multiplicativas podem envolver frações: # um quarto de 20 é 1. 20; 4 # três sétimos de 14 é. 14. 7 Veja o padrão: 2 2 2. 2 4 Para multiplicar frações, multiplicamos seus.. 1 numeradores e tamém seus denominadores Por exemplo:. 1. 4 7 4. 7 28 Simplificação: Cancelamento 7 21 21 : 7 Neste caso, simplificamos depois de obter o produto. É mais. = 10 0 0 : 10 fácil, no entanto, fazer o cancelamento, simplificando antes de efetuar a multiplicação: 7 7 7. 1 7. =. 10 10 1. 10 10 Outro exemplo de cancelamento: 2 8 2 8. 8 40. =. 7 1 7 1 7. 21 Divisão de frações Inversa de uma fração Dizemos que a inversa de 7 é 10. Assim, obtemos a inversa dessa fração trocando as posições do 10 7 seu numerador e do seu denominador. Por exemplo: # a inversa de 2 é # a inversa de 8 é 2 8 Você vai ver que a fração inversa é importante na divisão de frações. Para toda divisão de frações vale esta regra prática: Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pela inversa da segunda Por exemplo: 7 4 12 7 21 7 0 1 : =. = : =. =. = 4 7 0 0 0 21 9 Página 7
Outra maneira de indicar a divisão de frações Sabemos que toda fração indica o quociente da divisão do seu numeror pelo seu denominador. por exemplo: = : 4. Então, o traço da fração representa o sinal de divisão (:). 4 Vamos, por exemplo, calcular o valor da expressão 12 ; 1-1 8 12 12 7 8 10 : =. = 1-1 7 12 8 12 7 21 8 8 Fontes: Telecurso Matemática Ensino Médio Volume I e II Rio de Janeiro - Fundação Roberto Marinho, 2008 Página 8