1 MATEMÁTICA II Aula 5 Trigonometria na Circunferência Professor Luciano Nóbrega 1º Bimestre
2 ARCOS e ÂNGULOS A medida de um arco é, por definição, a medida do ângulo central correspondente. As unidades de medida restringem-se a três principais: o grau (º), o radiano (rad) e o grado (Gr). Considere uma circunferência de centro O. Sejam A e B dois pontos distintos. Um arco de circunferência de extremos A e B é cada uma das partes em que fica dividida uma circunferência por dois de seus pontos.
3 O NÚMERO π Dada uma circunferência de raio r, diâmetro d = 2r, o número π é definido como a razão do comprimento C da circunferência pelo seu diâmetro d, isto é, O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA Observando a definição do número π, podemos concluir que: C = 2.π.r O COMPRIMENTO DE UM ARCO Em uma circunferência de raio r a definição de radiano implica que um ângulo de 1 radiano compreende um arco de comprimento r. Logo um ângulo de Θ radianos compreende um arco de comprimento s. O valor s é dado por
4 EXEMPLO: Sabendo que 1 radiano compreende um arco de comprimento r (ou seja, s = r). Determine quantos radianos são necessários para completar uma volta? SOLUÇÃO: Fazendo a regra de 3, temos: 1 rad está para o arco de medida s = r, assim como Θ rad está para a volta completa C = 2πr. Sendo assim: Isto é, uma volta completa na circunferência corresponde a um ângulo de medida 2π radianos.
5 CONVERSÃO GRAU RADIANO Assim, dado um ângulo Θ radianos, sua medida x em graus é dada por EXEMPLO: Determine a medida do ângulo ( 3 / 4 )π rad em graus. EXEMPLO: Determine a medida do ângulo 155º graus em radianos.
6 O CICLO TRIGONOMÉTRICO No plano cartesiano, considere uma circunferência de centro (0, 0), de raio r e o ponto A(1,0). A cada número real α associaremos um único ponto P da circunferência; Se α = 0, então tomamos P = A; Se α > 0 realizamos, a partir de A um percurso de comprimento α no sentido anti-horário e marcamos o ponto P como final desse percurso. Se α < 0 realizamos, a partir de um percurso de comprimento α no sentido horário, e marcamos o ponto como final desse percurso.
7 ÂNGULOS CÔNGRUOS Os ângulos α e β em graus, são côngruos ou congruentes se, e somente se, α β = k. 360º para algum k R, ou seja, se α e β têm a mesma imagem no ciclo trigonométrico. EXEMPLO: Nos itens abaixo, determine o arco côngruo de primeira volta e seu respectivo quadrante. a) 685º b) 780º c) 4000º d) 15 π /2 e) 23 π /3
8 ÂNGULOS CÔNGRUOS Podemos estabelecer uma expressão geral dos arcos que têm imagem em um determinado ponto do ciclo trigonométrico. Por exemplo, a expressão geral dos arcos que têm imagem no ponto A dar-se-á por 0º+n.360º = n.2π, com n N, sendo n o número de voltas completas. OBSERVAÇÃO: Quando n > 0 deve-se andar no sentido antihorário; se n < 0 deve-se andar no sentido horário. EXEMPLOS:
9 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Observe a figura: Considere o segmento OP de medida igual a 1. (Pergunte ao Professor porque razão OP = 1) No triângulo OPQ, temos: sen Θ = PQ = x e cos Θ = OQ = y No sentido anti-horário, a partir do semi-eixo positivo das abscissas. Definimos o cosseno do ângulo Θ como o valor da abscissa de P e seu seno como o valor da ordenada de P.
10 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Observe essa outra figura: As medidas do cosseno estão sobre o eixo das abscissas (eixo x). Analogamente, as medidas do seno podem ser sobrepostas no eixo das ordenadas (eixo y). Observe que os triângulos OPM e OTA são semelhantes pelo caso AA, logo: Portanto, o eixo no qual está inserido o segmento TA é denominado como o eixo da tangente. OBSERVE que a Relação Fundamental da Trigonometria continua sendo válida na circunferência. sen²x + cos²x = 1
11 VALORES NOTÁVEIS NA CIRCUNFERÊNCIA Observe a figura e preencha a tabela: Ângulo Seno Cosseno Tangente 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º
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13 REDUÇÃO DO 2º PARA O 1º QUADRANTE Se o ângulo Θ estiver no 2º quadrante, então sua redução ao 1º quadrante é π Θ. Observe que : sen Θ = OR = sen (π Θ) cos Θ = OP = OQ = cos (π Θ) tg Θ = EXEMPLO: Determine os valores de seno, cosseno e tangente de 5 π /6
14 REDUÇÃO DO 3º PARA O 1º QUADRANTE Se o ângulo Θ estiver no 3º quadrante, então sua redução ao 1º quadrante é Θ π. Observe que : sen Θ = OS = OR = sen (Θ π) cos Θ = OP = OQ = cos (Θ π) tg Θ = EXEMPLO: Determine os valores de seno, cosseno e tangente de 5 π /4
15 REDUÇÃO DO 4º PARA O 1º QUADRANTE Se o ângulo Θ estiver no 4º quadrante, então sua redução ao 1º quadrante é 2π Θ. Observe que : sen Θ = OS = OR = sen (2π Θ) cos Θ = OQ = cos (2π Θ) tg Θ = EXEMPLO: Determine os valores de seno, cosseno e tangente de 5 π /3
GABARITO: 1) 2 /2 2) ¾ 16 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 [FECAP-SP] Determine o valor da expressão: sen( π / 4 ) + cos( π / 4 ) + cos( π / 2 + π / 4 ). 2 [FEP-PA] No círculo trigonométrico um ângulo é tal que seu seno vale 3 / 5 e encontra-se no segundo quadrante. Calcule o valor da tangente deste ângulo.
GABARITO: 1) 12 10 /31 2) 17 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 3 [ITA-SP] Calcule o valor da expressão y = 2tg(x)/[1 tg 2 (x)] quando cos(x) = 3 / 7 e tg(x) < 0. 4 Simplificar a expressão (sen120º.cos120º)/(tg120º)
18 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 5 Resolva os exercícios do livro Matemática_Manoel Paiva : P.239_1 e 2 // P.240_3 // P.243_4, 5 e 6 // P.245_9 e 10 P.246_11 e 12 // P.250_13,14, 15 e 16 // P.252_21 e 26 P.264_1, 3 e 4 // P.266_5 e 6 // P.267_11 // P.