APOSTILA MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE PATU CURSO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS DISCIPLINA: MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA APOSTILA MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA Prof. Aluísio Dutra de Oliveira Patu-RN 2015

I UNIDADE 1.1 Números e Grandezas Proporcionais É todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a variação de um, como conseqüência o outro varia também. Exemplo: Um veículo percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado. Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo depende do número de operários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída o que se deseja concluir. A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada, pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional. A - Grandeza Diretamente Proporcional É definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que quando a variação de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido. Exemplo: 01 Kg de carne custa Y, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela pagará 02 y. Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar 20 borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o preço unitário de R$ 0,10. Exemplo: A/B = C/D Se 5/10 assim como 4/D Solução: 5D = 10x4 => 5D = 40 => D = 40/5 D = 8. Exemplo: Dividir o número 400 diretamente proporcional aos números: 2, 4 e 10. Solução 01: A + B + C A 400 A => 16 A = 400 x 2 => 16 A = 800 2 + 4 + 10 2 16 2 => A = 800 / 16 => A = 50 A + B + C B 400 => 16B = 400 x 4 => 16 B = 1.600 2 + 4 + 10 4 16 => B = 1600 / 4 => B = 100 A + B + C C 400 C => 16 C = 400 x 10 => 16 C = 3.200 2 + 4 + 10 10 16 10 => C = 4.000 / 16 => 250 Exemplo 02: Dividir o número 1.200 diretamente proporcional aos números: 8, 6 e 10. Solução: A + B + C A 1.200 A => 24 A = 1.200 x 6 => 24 A = 7.200 6 + 8 + 10 4 24 6 => A = 7.200 / 24 => A = 300

A + B + C A 1.200 B => 24 B = 1.200 x 8 => 24 B = 9.600 6 + 8 + 10 4 24 8 => A = 9.600 / 24 => B = 400 A + B + C A 1.200 C => 24 C = 1.200 x 10 => 24 C = 12.000 6 + 8 + 10 4 24 10 => C = 12.000 / 24 => C = 500 Exercício: 01º) Dividir o número 5.000 diretamente proporcional aos números 5, 10, 25 02º) Dividir o número 8.000 diretamente proporcional aos números 8 e 12 03º) Dividir o número 15.000 diretamente proporcional aos números 2, 3, 5, 6 B - Números Inversamente Proporcionais Grandeza Inversamente Proporcional Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção contrários. Exemplo 01: Velocidade e tempo. Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros. Exemplo 02: Dividir o número 600 Inversamente proporcional aos números 2, 3, 6. Solução: Inverte os números: 1 / 2 ; 1 / 3 ; 1 / 6 3 2 1 O MMC de 2,3 e 6 é: 6 =:> ----- ----- ------ despreza-se os denominadores, por que são iguai, e 6 6 6 trabalha-se com os numeradores. 3, 2, e 1. A + B + C A 600 A ---------------- = --------- =>.------------- = ------- => 6A = 600 x 3 => 6A = 1.800 => A = 1800 / 6 = 300 3 + 2 + 1 6 6 3 A + B + C B 600 B ---------------- = --------- =>.------------- = ------- => 6B = 600 x 2 => 6B = 1.200 => B = 1200 / 6 = 200 3 + 2 + 1 6 6 2 A + B + C A 600 C ---------------- = --------- =>.------------- = ------- => 6C = 600 x 1 => 6C = 600 => C = 600 / 6 = 100 3 + 2 + 1 6 6 1

Exercício 01: Um pai deseja dividir uma quantia de R$ 4.000,00 entre seus três filhos sendo que, a divisão será inversamente proporcional as idades de cada um que são: 5 anos, 6 anos e 8 anos. Quanto tocou para cada filho. Exercício nº 02: Dividir o valor de 90.000 inversamente proporcional aos números: 20 e 30. 2 Estudo da Porcentagem ou percentagem: Exercício: 1) Calcular 20% do valor 250 2) Calcular 35% do valor 650 3) Calcular 12,5% do valor 2.600 4) Quanto por cento representa 45 de 900 5) Quanto por cento representa 22 de 168 6) Quanto por cento representa 140 de 6500 7) Em uma cidade 35% são de homens, 40 % são de mulheres e o restante 2.450 são crianças. Qual a população geral da cidade, quantos homens e quantas mulheres. 8) Em determinado posto de combustível a cada litro vendido 120 ml é composto de álcool e o retante é de gasolina. Qual o percentual de álcool no combustível vendido. 9) Um pai recebeu uma certa herança. 2/5 da herança ele comprou uma casa, 1/6 ele comprou uma motocicleta, 25% ele aplicou na poupança, 10% ele pagou contas diversas e ficou com R$ 2.500,00. Qual o valor da herança? 10) Orçamento de Receitas e Despesas mês de Janeiro 2015 Empresa Oeste Ltda. De acordo com este orçamento transformar os valores absolutos em percentuais. Receita Valor % Despesa Valor % Receita de Vendas 50.000,00 Desp. Administrativas 5.000,00 Receita de Aluguel 10.000,00 Despesa com Pessoal 15.000,00 Receita de Comissão 5.000,00 Despesas Gerais 6.000,00 Receita de Serviços 3.000,00 Despesas com Vendas 4.000,00 Receita de Juros 7.000,00 Despesas Financeiras 10.000,00 Total 75.000,00 100% Total 40.000,00 100%

11) Balanço Patrimonial da Empresa Novo Tempo Ltda em 31/12/2011. Calcular os percentuais. ATIVO VALOR % Ativo Circulante xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx Caixa 25.000,00 Banco c/ Movimento 80.000,00 Estoque de Mercadorias 50.000,00 Duplicatas a Receber 30.000,00 Contas a Receber 40.000,00 Sub total 225.000,00 Ativo Não Circulante xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx Realizável a Longo Prazo 45.000,00 Imóveis 55.000,00 Móveis e Utensílios 30.000,00 Máquina e Equipamentos 60.000,00 Marcas e Patentes 15.000,00 Sub Total 205.000,00 TOTAL 430.000,00 100% PASSIVO VALOR % Passivo Circulante xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx Contas a Pagar 15.000,00 Duplicatas a Pagar 35.000,00 Fornecedores 70.000,00 Sub total 120.000,00 Passivo Não Circulante xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx Empréstimos Obtidos L/P 25.000,00 Títulos a Pagar L/P 15.000,00 Receitas Antecipada 20.000,00 Sub total 60.000,00 Patrimônio Líquido xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx Capital 150.000,00 Reserva de Capital 50.000,00 Reserva Legal 30.000,00 Ações em Tesouraria 20.000,00 Sub total 250.000,00 TOTAL 430.000,00 100%

3 - Operações com Mercadorias São operações de compra e venda de mercadorias envolvendo margens de lucros e prejuízos. Obs: As questões serão resolvidas através de regra de três: Quando a operação for envolvendo lucro ou Prejuízo Sobre a Venda, então a venda está para 100%, na regra de três. Quando a operação for envolvendo lucro ou Prejuízo Sobre a Compra ou Custo, então a compra ou custo está para 100%, na regra de três. Operações com Lucro Operações com Prejuízo Compra com Lucro 100 - % de Lucro Compra com Prejuiz 100 + % de Prejuiz Venda com Lucro 100 + % de Lucro Venda com Prejuiz 100 - % de Prejuiz Exemplo: a) Comprei uma casa por R$ 10.000,00 e desejo vendê-la com uma margem de lucro de 20% sobre a Venda. Por quanto vendi a casa e qual foi o meu lucro? Solução: Venda... 100% (sobre a venda) 10.000,00 (compra)... 80% => (100% - 20%) 80 V = 10.000 x 100 80 V = 1.000.000 V = 1.000.000,00 / 80 v = 12.500,00 Lucro = Venda Compra => 12.500,00 10.000,00 => Lucro = 2.500,00 b) Vendi um veículo por R$ 51.930,00 e tive um prejuízo de 10% sobre o valor da compra. Por quanto comprei o veículo e qual foi o meu prejuízo? Compra... 100 % 51.000,00 (venda)... 90% (100% - 10%). 90 C = 51.930 x 100 90 C = 5.193.000 C = 5.193.000 / 90 => C = 57.700,00 Prejuízo = Venda Compra = 51.930,00 57.700,00 = - 5.507,00 EXERCICIO: 1º) Vendi mercadorias no valor de R$ 4.500,00 com lucro de 18% sobre o preço de compra. Quanto me custaram as mercadorias e qual o lucro? 2º) Um comerciante compra mercadorias no valor de R$ 25.000,00 e quer vendê-las com um lucro de 25% sobre a venda. Por quanto deve vendê-la e qual o lucro?

3º) Quanto paguei por um automóvel se, ao vendê-lo por R$ 56.000,00 tive um prejuízo de 20% sobre o preço de compra. E qual o valor de prejuízo. 4º) Vendi uma fazenda no valor de R$ 500.000,00 com lucro de 15% sobre o preço de venda. Quanto me custou a fazenda e qual o lucro? 5º) Vendi uma fazenda no valor de R$ 500.000,00 com lucro de 15% sobre o preço de compra. Quanto me custou a fazenda e qual o lucro? 6º) Um negociante compra um terreno no valor de R$ 12.000,00 e quer vendê-lo com um lucro de 16% sobre a venda. Por quanto deve vendê-lo e qual o lucro? 7º) Um negociante compra um terreno no valor de R$ 12.000,00 e quer vendê-lo com um lucro de 16% sobre a compra. Por quanto deve vendê-lo e qual o lucro? 8º) Por quanto comprei uma moto se, ao vendê-la por R$ 6.800,00 tive um prejuízo de 5% sobre o preço de compra. E qual o valor de prejuízo. 9º) Por quanto comprei uma moto se, ao vendê-la por R$ 6.800,00 tive um prejuízo de 5% sobre o preço de venda. E qual o valor de prejuízo. 10º) Comprei um computador por R$ 8.000,00 e vendi por R$ 8.800,00. De quantos por cento foi meu lucro sobre o preço de compra? 11º) Comprei um computador por R$ 8.000,00 e vendi por R$ 8.800,00. De quantos por cento foi meu lucro sobre o preço de venda? 12º) Comprei um computador por R$ 8.000,00 e vendi por R$ 7.200,00. De quantos por cento foi meu prejuízo lucro sobre o preço de compra? 13º) Comprei um computador por R$ 8.000,00 e vendi por R$ 7.200,00. De quantos por cento foi meu prejuízo lucro sobre o preço de venda? 14º) De quantos por cento foi meu prejuízo sobre a venda de um objeto que me custou R$ 150,00 e foi vendido por R$ 105,00. 15º) De quantos por cento foi meu prejuízo sobre a compra de um objeto que me custou (compra) R$ 150,00 e foi vendido por R$ 105,00. 16º) De quantos por cento foi meu prejuízo sobre a venda de um objeto que me custou R$ 8.000,00 e foi vendido por R$ 6.000,00. 17º) De quantos por cento foi meu prejuízo sobre a compra de um objeto que me custou (compra) R$ 8.000,00 e foi vendido por R$ 6.000,00. 18º) De quantos por cento foi meu Lucro sobre a venda de um objeto que me custou R$ 15.000,00 e foi vendido por R$ 20.000,00. 19º) De quantos por cento foi meu lucro sobre a compra de um objeto que me custou (compra) R$ 15.000,00 e foi vendido por R$ 20.000,00.

20º) Vendi um celular que tinha comprado por R$ 500,00 obtendo um lucro de 12% sobre a venda. Qual o valor da venda e de meu lucro. 4 - Noções de Câmbio Câmbio representa o conjunto de operações com o fim efetuar pagamentos em praças diferentes (países) por meio de ordens ou letras. O câmbio pode ser interno ou externo onde os valores de moedas são convertidas em outras mediante cotações do dia. Exemplo proposto: Um empresário deseja converter R$ 45.000,00 em Dólares ao câmbio de 1 Dólar = R$ 2,0219. Resolução: 1 D -------------- R$ 2,0219 X D -------------- R$ 45.000,00 2,0219 X = 1 x 45.000,00 ==> X = 45.000,00 / 2,0219 ==> X = 22.256,29 Dólares. Exemplo proposto: Um turista deseja converter 5.600,00 Euros em Libras ao câmbio de 1 Euro = 0,8812 Libras. Resolução: 1 E -------------- 0,8812 L 5.600,00 E ---- X L X = 5.600 x 0,8812 ==> 4.934,72 Libras. Exercício: 1) João Pedro deseja converter 4.700,00 Francos em Reais ao câmbio de 1 F = R$ 2.0672. 2) Maria Fernanda deseja converter 12.800,00 Euros em Dólares ao câmbio de 1 D = R$ 1.0527. 3) Ana Amélia deseja converter 15.600,00 Libras em Francos ao câmbio de 1 L = 5,0546. 4) Um empresário deseja converter 24.100,00 Reais em Euros ao câmbio de 1 E = R$ 2.4831. 5) Um turista deseja converter 35.900,00 Dólares em Pesos ao câmbio de 1 D = 6,7123 Pesos.

5 - Juros Simples e Montante Juro (J) é o valor da remuneração do capital (C) acordado entre o credor e o tomador em uma determinada operação financeira. Juros, também, é o prêmio que se remunera um certo capital que ficou aplicado por uma taxa em determinado período de tempo. Fórmula: J = C*I*T J = Juros C= Capital i= Taxa relativa t= período de tempo. Denomina-se montante* (M) a soma do capital (C) e do juro (J) que foi acordado na operação financeira e que é devido ao seu final. Fórmula do Montante: M= C + J Exercício 1º) Calcular os Juros Simples e o Montante de um capital de R$ 20.000,00 que foi aplicado a uma taxa de 24% ao ano durante 1 ano e 4 meses. 2º) Calcular os juros simples e o montante de um Capital de R$ 12.350,00 que ficou aplicado a uma taxa de 10% ao ano durante 30 meses. 3º) Calcular os juros simples e o montante de um Capital de R$ 21.850,00 que ficou aplicado a uma taxa de 18% ao ano durante 3 anos e 4 meses. 4º) Calcular a taxa mensal de um capital de R$ 60.000,00 que foi aplicado durante 3 anos e 4 meses e que rendeu de juros R$ 30.000,00 5º) Durante quanto tempo ficou aplicado um capital de R$ 15.000,00 aplicado a uma taxa de 18% ao ano e que rendeu de juros R$ 3.150,00 6º) Durante quanto tempo se deve emprestar certa quantia a 18% ao ano para que ela quadruplique. 7º) Uma pessoa aplica 3/5 do seu capital a uma taxa de 12% ao ano durante 1 ano e seis meses e o restante aplicou a uma taxa de 1,5% ao mês no mesmo período de tempo, recebendo um juro total (nas duas aplicações) de R$ 19.440,00. Qual o valor do capital. 8º) Um certo investidor aplicou um certo capital que foi aplicado a uma taxa de 12% ao ano durante 1 ano e oito meses. O investidor no fim deste período juntou os juros ao capital e aplicou a uma taxa de 1,2% ao mês durante 1 ano. Sabendo que o montante das duas aplicações totaliza R$ 57.657,60. pede-se: Qual o valor do Capital do investidor na primeira aplicação. 9º) Calcular a taxa anual um capital de R$ 160.000,00 que foi aplicado durante 2 anos e 6 meses e que rendeu de juros R$ 5.000,00. 10º) A que taxa anual um capital qualquer produziria em 2 anos 1/5 do seu valor? 11º) Durante quanto tempo se deve emprestar certa quantia para que, a 12% ao ano ela triplique? 12º) A que taxa anual devemos colocar um certo capital para que em 8 anos ele dobre? 13º) Durante quanto tempo ficou aplicado um capital de R$ 54.800,00 aplicados a uma taxa de 12% ao ano e que rendeu de juros R$ 27.400,00. 14º) A que taxa anual devemos colocar um certo capital para que em 6 anos ele quadruplique? 15º) Qual o capital e o montante que, a taxa de 9% ao ano produziu de juros R$ 1.080,00 em dois anos.

5.1 Taxa Equivalente: Duas taxas se dizem Equivalentes se, aplicado um mesmo capital às duas taxas e pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzirem o mesmo juros. Exemplo Proposto: Seja um certo capital de R$ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativamente à taxa de de 2% ao mês ou de 24% ao ano. Supondo um prazo de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes. Obs: Resolução em classe. 5.2 Taxa Proporcional: Consideremos duas taxas de juros arbitrárias i1 e i2, relacionadas respectivamente aos períodos n1 e n2. Estas taxas se dizem proporcionais se houver a igualdade de quociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos (tempos), ou seja, se: i1 /i2 = n1/n2 Exemplo: Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. 5% ao trim => 0,05 ao trim. 20% ao ano = 0,20 ao ano. n1 = 3 meses n2 = 12 meses 0,05/0,20 = 3/12 Meios pelos extremos => 0,05 x 12 = 0,6 e 0,20 x 3 = 0,6 Obs: Produziu o mesmo resultado, logo, as taxas são proporcionais. Exercício: 1º) Calcular a taxa equivalente. a) 2% ao Bim = ao Sem. b) 1,5% ao Quadrimestre = ao Trimestre. c) 1,4% ao mês = ao ano d) 3,65% ao Sem = Quadrimestre. 2º) Comprovar se as taxas abaixo são proporcionais ou não. a) 6% ao Trim e 24% ao ano b) 1,8% ao bim e 3,6 ao Quad. c) 1% ao mês e 18% ao ano. d) 15% ao ano e 1,25% ao mês e) 12% ao sem e 4% ao bim. f) 3 % ao mês e 12% ao Trim.

6 - DESCONTO SIMPLES: São operações comerciais e financeiras onde, sobre determinado título se concede desconto mediante liquidação do mesmo antes do vencimento. Tipos de Descontos: DESCONTO COMERCIAL OU POR FORA. FÓRMULA: d = [VN * i * T] / 360 onde: d = desconto, VN = Valor Nominal. VA = Valor Atual i = Taxa Relativa T = Tempo ou período. Obs: No desconto comercial a taxa e tempo incidem sobre o Valor Nominal do título. Exemplo: Calcular o desconto comercial ou por fora e o valor atual de um título no valor de R$ 14.600,00 que foi liquidado 10 dias antes do vencimento a uma taxa de 9% ao ano. Solução: VN = 14.600,00 i = 9% ao ano ==> 0,09 T = 10 dias d = [14.600,00 * 0,09 * 10] / 360 = 36,50 Valor Atual = 14.600,00 36,50 = 14.563,50 DESCONTO RACIONAL OU POR DENTRO. FÓRMULA: d = [VN * i * T] / [360 + i * T] Onde: d = desconto, VN = Valor Nominal. VA = Valor Atual i = Taxa Relativa T = Tempo ou período. Obs: No desconto racional a taxa e tempo incidem sobre o Valor Atual do título. Exemplo: Calcular o desconto racional ou por dentro e o valor atual de um título no valor de R$ 14.600,00 que foi liquidado 10 dias antes do vencimento a uma taxa de 9% ao ano. Solução: VN = 14.600,00 i = 9% ao ano ==> 0,09 T = 10 dias d = [14.600,00 * 0,09 * 10] / [360 + 0,09 * 10] = 36,41 Valor Atual = 14.600,00 36,41 = 14.563,59 EXERCÍCIOS 1º) Certa pessoa deve R$ 50.000,00 com vencimento para 5 anos. Quanto pagarei hoje com um desconto comercial simples de 6% ao ano. 2º) Certa pessoa deve R$ 50.000,00 com vencimento para 5 anos. Quanto pagarei hoje com um desconto racional simples de 6% ao ano. 3º) Qual o valor do desconto comercial simples obtido e o valor atual sobre um título no valor de R$ 65.000,00 a uma taxa de 12% ao ano, liquidado 25 dias antes do vencimento? 4º) Qual o valor do desconto racional simples e o valor atual obtido sobre um título no valor de R$ 65.000,00 a uma taxa de 12% ao ano, liquidado 25 dias antes do vencimento? 5º) Qual o valor do desconto comercial simples e o valor atual obtido sobre um título no valor de R$ 12.000,00 a uma taxa de 18% ao ano, liquidado 20 dias antes do vencimento? 6º Qual o valor do desconto racional simples e o valor atual obtido sobre um título no valor de R$ 12.000,00 a uma taxa de 18% ao ano, liquidado 20 dias antes do vencimento? 7º) Qual o valor do desconto simples comercial obtido e o valor atual sobre um título no valor de R$ 42.000,00 a uma taxa de 3,6% ao ano, liquidado 45 dias antes do vencimento?

8º) Qual o valor do desconto simples racional obtido e o valor atual sobre um título no valor de R$ 42.000,00 a uma taxa de 13,6% ao ano, liquidado 45 dias antes do vencimento? 9º) Qual o valor do desconto comercial simples e o valor atual obtido sobre um título no valor de R$ 6.500,00 a uma taxa de 14,5% ao ano, liquidado 20 dias antes do vencimento? 10º) Qual o valor do desconto racional simples e o valor atual obtido sobre um título no valor de R$ 5.000,00 a uma taxa de 26% ao ano, liquidado 10 dias antes do vencimento? 7 - JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos reflete mais a realidade atual onde os juros produzidos sobre um a aplicação são incorporados ao capital gerando um montante que deverá ser aplicado novamente, gerando uma nova aplicação e assim sucessivamente. Na linguagem popular denominamos de juros sobre juros. FÓRUMULA: M = [C * (1 + I)ⁿ J = M - C ONDE: M = Montante C = Capital I = Taca relativa n Período de Capitalização. 7.1 Período de Capitalização: Um determinado capital poderá ser aplicado mediante diversas modalidades de capitalização como: Diária, Mensal, Bimestral, Trimestral, Quadrimestral, Semestral e Anual. Exemplos: Calcular os juros compostos de um capital R$ 20.000,00 que foi aplicado a uma taxa de 18% ao ano durante 3 anos sendo a capitalização: a) Mensal: C = 20.000,00 Capitalização mensal = Taxa = 1,5 % ao mês ==> 0,015 n =36 meses M = [C * (1 + I)ⁿ M = [ 20.000,00 * (1 + 0,015) M = 20.000,00 * (1,015) M = 20,000,00 * 1,7091372 = 34.182,74 Juros = 34.182,74 20.000,00 Juros = 14.182,74 b) Bimestral C = 20.000,00 Capitalização Bimestral = Taxa = 3,0 % ao bimestre ==> 0,03 n =18 bimestres M = [C * (1 + I)ⁿ M = [ 20.000,00 * (1 + 0,03) M = 20.000,00 * (1,03) M = 20,000,00 * 1,7024322 = 34.048,64 Juros = 34.048,64 20.000,00 Juros = 14.048,64 c) Trimestral C = 20.000,00 Capitalização Trimestral = Taxa = 4,5 % ao trimestre ==> 0,045 n =12 trimestres M = [C * (1 + I)ⁿ M = [ 20.000,00 * (1 + 0,045) M = 20.000,00 * (1,045)

M = 20,000,00 * 1,6958808 = 33.917,62 Juros = 33.917,62 20.000,00 Juros = 13.917,62 d) Quadrimestral C = 20.000,00 Capitalização Quadrimestral = Taxa = 6,0 % ao quadrimestre ==> 0,06 n =9 quadrimestres M = [C * (1 + I)ⁿ M = [ 20.000,00 * (1 + 0,06) M = 20.000,00 * (1,06) M = 20,000,00 * 1,6894787 = 33.789,57 Juros = 33.789,57 20.000,00 Juros = 13.789,57 e) Semestral C = 20.000,00 Capitalização Semestral = Taxa = 9,0 % ao semestre ==> 0,09 n =6 semestres.; M = [C * (1 + I)ⁿ M = [ 20.000,00 * (1 + 0,09) M = 20.000,00 * (1,09) M = 20,000,00 * 1,6771 = 33.542,00 Juros = 33.542,00 20.000,00 Juros = 13.542,00 f) Anual. C = 20.000,00 Capitalização Anual = Taxa = 18,0 % ao ano ==> 0,18 n = 3 anos M = [C * (1 + I)ⁿ M = [ 20.000,00 * (1 + 0,18) M = 20.000,00 * (1,18) M = 20,000,00 * 1,643032 = 32.860,64 Juros = 32.860,64 20.000,00 Juros = 12.860,64 EXERCÍCIOS 1º) Calcular os Juros Compostos e o Montante de um capital de R$ 100.000,00 que foi aplicado durante 2 anos e 6 meses a uma taxa de 18% ao ano, sendo a capitalização trimestral. 2º) Calcular os Juros Compostos e o Montante de um capital de R$ 70.000,00 que foi aplicado durante 1 ano e 2 meses a uma taxa de 24% ao ano, sendo a capitalização bimestral 3º) Calcular os Juros Compostos e o Montante de um capital de R$ 56.780,00 que foi aplicado durante 4 anos a uma taxa de 9% ao ano, sendo a capitalização semestral. 4º) Calcular os Juros Compostos e o Montante de um capital de R$ 23.779,00 que foi aplicado durante 5 anos a uma taxa de 0,25% ao mês, sendo a capitalização anual. 5º) Calcular os Juros Compostos e o Montante de um capital de R$ 200.000,00 que foi aplicado durante 3 anos e 4 meses a uma taxa de 18% ao ano, sendo a capitalização quadrimestral. 6º) Calcular os Juros Compostos e o Montante de um capital de R$ 124.600,00 que foi aplicado durante 1 ano e 2 meses a uma taxa de 15% ao ano, sendo a capitalização bimestral 7º) Calcular os Juros Compostos e o Montante de um capital que de R$ 14.560,00 foi aplicado durante 1 ano e 6 meses a uma taxa de 9% ao ano, sendo a capitalização semestral. 8º) Calcular os Juros Compostos e o Montante de um capital de R$ 54.711,00 que foi aplicado durante 6 anos a uma taxa de 0,85% ao mês, sendo a capitalização anual.

9º) Um Capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 2 anos rendendo de juros R$ 1.255,088 sendo a capitalização semestral. Qual a taxa semestral e mensal dessa aplicação? OBS: Fator da Tabela = 1,1255088 10º) Um Capital de R$ 25.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 anos e 4 meses rendendo de juros R$ 15.173, 425 sendo a capitalização bimestral. Qual a taxa bimestral e mensal dessa aplicação? Obs: Fator da Tabela = 1,606937 11º) Um Capital de R$ 12.500,00 foi aplicado a juros compostos a uma taxa de de 18% ao ano, sendo a capitalização quadrimestral, rendendo de juros R$ 7.423,098. Durante quantos meses esteve aplicado esse Capital? Obs: Fator da tabela =1,5938479 12º) Um Capital de R$ 6.400,00 foi aplicado a juros compostos a uma taxa de de 9% ao ano, sendo a capitalização trimestral, rendendo de juros R$ 1.594,8979. Durante quantos meses esteve aplicado esse capital? Obs: Fator da tabela = 1,2492028 8 - Desconto Composto 1 FÓRUMULA: Valor Atual = VN * --------------- d = VN - VA ONDE: d = Desconto VN = Valor Nominal VA = Valor Atual Exemplo: (1 + I)ⁿ Qual o valor do desconto composto obtido sobre um título no valor de R$ 45.000,00 a uma taxa de 15% ao ano, liquidado 18 dias antes do vencimento? Solução: 1 1 VA = 45.000,00 * ------------------ ==> VA = 45.000,00--------------- = (1 + 0,0004166) (1,0004166) 1 VA = 45.000,00 * ------------------ ==> VA = 45.000,00 * 09925316 = 44.663,92 1,0075245 D = VN VA = 45.000,00 44.663,92 = 336,08

Exercício 1º) Certa pessoa deve R$ 50.000,00 com vencimento para 5 anos. Quanto pagarei hoje com um desconto composto de de 6% ao ano. Resp. R$ 37.362,91. 2º) Qual o valor do desconto composto obtido sobre um título no valor de R$ 65.000,00 a uma taxa de 12% ao ano, liquidado 25 dias antes do vencimento? R$ 539,21 3º) Qual o valor do desconto composto obtido sobre um título no valor de R$ 12.000,00 a uma taxa de 18% ao ano, liquidado 20 dias antes do vencimento? R$ 119,37 4º) Qual o valor do desconto composto obtido sobre um título no valor de R$ 42.000,00 a uma taxa de 3,6% ao ano, liquidado 45 dias antes do vencimento? R$ 188,49 5º) Qual o valor do desconto composto obtido sobre um título no valor de R$ 6.500,00 a uma taxa de 1,5% ao ano, liquidado 20 dias antes do vencimento? R$ 5,40 6º) Qual o valor do desconto composto obtido sobre um título no valor de R$ 5.000,00 a uma taxa de 36% ao ano, liquidado 10 dias antes do vencimento? R$ 49,73 7º) Qual o valor do desconto composto obtido sobre um título no valor de R$ 15.000,00 a uma taxa de 1,2% ao mês, liquidado 18 dias antes do vencimento? R$ 107,58 8º) Qual o valor do desconto composto obtido sobre um título no valor de R$ 100.000,00 a uma taxa de 0,15% ao dia, liquidado 38 dias antes do vencimento? R$ 5.536,41 9º) Qual o valor do desconto composto obtido sobre um título no valor de R$ 4.000,00 a uma taxa de 0,25% ao dia, liquidado 2 meses antes do vencimento? R$ 556,51 10º) Qual o valor do desconto composto obtido sobre um título no valor de R$ 21.000,00 a uma taxa de 6% ao ano, liquidado 3 meses antes do vencimento? R$ 311,88 9 - RENDAS CERTAS E ANUIDADES Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos. Quando o objetivo é construir-se um capital em uma data futura, tem-se um processo de capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de amortização. 9.1 - TIPOS DE RENDAS CERTAS a) Rendas Certas ou Determinísticas: São aquelas cujas duração e pagamentos são prédeterminados, não dependendo de condições externas. OBS: Esse tipo de renda certa é estudada pela Matemática Financeira. b) Rendas Certas ou Probabilísticas: Os valores e/ou as datas de pagamentos ou de recebimentos podem ser variáveis aleatórias. É o que ocorre, por exemplo, com os seguros de vida: os valores de pagamentos (mensalidades) são certos, sendo aleatórios o valor do seguro a receber e a data de recebimento. OBS: Esse tipo de renda certa é estudada pela Matemática Atuarial. FÓRMULA: P = R* a n i Onde: P = Preço a Vista R = Valor da prestação a n i => Lê-se a, n cantoneira i ou, simplesmente a n i. Valor da taxa e período expresso na tabela financeira.

Exemplo Proposto: a) João compra uma motocicleta, que irá pagar em 4 prestações mensais de R$ 2.626,24 sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. Pergunta-se: Qual o preço da motocicleta à vista. Solução: A soma dos valores atuais (P) é dada por: R1 R2 R3 R4 P = -------- + --------- + --------- + --------- (1,02)¹ (1,02)² (1,02)³ (1,02)4 1 1 1 1 P = R = [ ---------------- + ------------------ + ----------------- + ------------- ] (1,02)¹ (1,02)² (1,02)³ (1,02)4 P = R [ 0,980392 + 0,961169 + 0,942322 + 0,923845] P = R [3,807728] P = 2.626,24 * 3,807728 ===> Preço à Vista = R$ 10.000,00 OBS: A taxa de 2% e período = 4, na tabela financeira de anuidades você encontra direto ==> 3,807728 b) Exemplo: Calculando o valor da Prestação R Um televisor em cores custa R$ 5.000,00 a vista, mas, pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais a taxa de 3% ao mês. Pede-se Calcular o valor de cada prestação do televisor. Solução: P = 5.000,00 i = 3% ao mês n = 10 períodos. R =? (Prestação) P = R* a n i P 5.000,00 5.000,00 R = -------- ===> R = ------------ = ------------- = R = 586,15 a n i a n i 8,530203 a n i ==> ou seja, 3% com 10 períodos, na tabela financeira de anuidades é: 8,530203.

c) Exemplo de Compra com entrada e o restante dividido em prestações. Um aparelho de Som está anunciado na loja nas seguintes condições: Entrada de R$ 1.500,00 e três prestações mensais de R$ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lojas de Som é de 2,5% ao mês. Pede-se Calcular o Preço à vista. Solução: Fórmula: P = E + ( R * a n i) P = Preço a vista? R = 1.225,48 (Prestação) E = 1.500,00 (Entrada) a = 2,5% ao mês n = 3 P = 1.500,00 + (1.225,48 8 * a n i) P = 1.500,00 + (1.225,48 * 2,856024) P = 1.500,00 + 3.500,00 P = 5.000,00 EXERCÍCIO 1º) Carlos comprou uma bicicleta em 5 prestações mensais de R$ 57,80. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte a uma taxa de 3% ao mês. Qual o valor da bicicleta se fosse adquirida á vista? 2º) Maria comprou um armário á vista no valor de R$ 2.960,00. Ela teria a opção de comprar em 9 prestações mensais a uma taxa de 3,5% ao mês. Qual o valor de cada prestação se ela tivesse adquerido a prazo? 3º) Roberta comprou um Tlabet nas seguintes condições: Entrada de R$ 600,00 e o restante dividido em 5 prestações mensais no valor de R$ 89,90 a uma taxa mensal de 5,5%. Qual o valor de Tlabet se fosse adquirido à vista? 4º) Zora comprou um veículo nas seguintes condições: Entrada de R$ 12.000,00 (representando 20% do bem á vista) e o restante dividiu em 8 parcelas a uma taxa mensal de 7%. Qual o valor do veículo à vista e o valor de cada prestação? 5º) Amanda comprou uma motocicleta por R$ 10.155,19. Ela poderia ter adquirido em 12 prestações de R$ 990,00. Qual a taxa mensal cobrada nessa transação. 6º) Fernando comprou um TV 32 polegadas à vista no valor de R$ 1.359,62. Ele poderia ter comprado em prestações mensais de 160,00 a uma taxa de 8% ao mês. Em quantas prestações ele poderia ter comprado a TV? 7º) Belinha comprou um Forno Microondas em 10 prestações mensais de R$ 97,60. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte a uma taxa de 3,5% ao mês. Qual o valor do forno se fosse adquirido á vista? 8º) Italo comprou um celular á vista no valor de R$ 3.668,00. Ele teria a opção de comprar em 14 prestações mensais a uma taxa de 6,0% ao mês. Qual o valor de cada prestação se ela tivesse adquerido a prazo? 9º) Ana Flávia comprou um armário em seis prestações mensais de R$ 188,60. As

prestações serão pagas a partir do mês seguinte a uma taxa de juros de 5,5% ao mês. Qual o valor do armário se fosse adquirido à vista? 10º) João Paulo comprou um veículo em vinte prestações mensais de R$ 2.756,45. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte a uma taxa de juros de 7,0% ao mês. Qual o valor do veículo se fosse adquirido à vista? 11º) Fernando comprou uma motocicleta em quinze prestações mensais de R$ 468,92. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte a uma taxa de juros de 48% ao ano. Qual o valor da motocicleta se fosse adquirida à vista? 12º) Uma dona de casa comprou uma máquina de lavar roupas à vista por R$ 2.860,00. Ela teria a opção de comprar em oito parcelas mensais a uma taxa de 6,5% ao mês. Qual o valor de cada prestação se ela tivesse adquirido a máquina a prazo? 13º) Batista comprou um DVD em oito prestações mensais de R$ 75,90. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte a uma taxa de juros de 5,0% ao mês. Qual o valor do armário se fosse adquirido à vista? 14º) Carlos comprou um Celular à vista no valor de R$ 3.011,46. Ele poderia ter comprado em prestações mensais de 420,00 a uma taxa de 2,5% ao mês. Em quantas prestações ele poderia ter comprado o celular? 15º) Fernanda comprou um Notebook à vista no valor de R$ 7.371,61. Ela poderia ter comprado em 13 prestações mensais de 715,50.Qual mensal seria a taxa mensal? 10 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO Empréstimos Definição: Sistema de Amortização e empréstimos são operações financeiras envolvendo pessoas e instituições que tomam valores emprestados por um certo prazo e assumem a dívida, onde são obrigados a restituir o valor principal mais os juros devidos no prazo estipulado. Modalidades de Amortizações de dívidas contraídas através de empréstimos: a) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE: SAC As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada, pelo saldo devedor existente no período anterior. Exemplo: João tomou emprestado o valor de R$ 60.000,00 para amortizar em 4 parcelas iguais a partir do mês subsequente. A taxa de juros contratada de 18% ao ano, ou seja, 1,5% ao mês.

PLANO DE AMORTIZAÇÃO PELO SAC SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE. Período Meses Saque Saldo Devedor Amortização A Juros J Prestação P =A + J 0 60.000,00 60.000,00 - - - 1-60.000,00 15.000,00 900,00 15.900,00 2-45.000,00 15.000,00 675,00 15.675,00 3-30.000,00 15.000,00 450,00 15.450,00 4-15.000,00 15.000,00 225,00 15.225,00 Total 60.000,00-60.000,00 2.250,00 62.250,00 b) SISTEMA DE VARIAÇÃO VARIÁVEL As parcelas de amortização varia de acordo com a negociação do empréstimo. Os juros são calculados a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada, pelo saldo devedor existente no período anterior. Exemplo: Ana Clara tomou emprestado o valor de R$ 50.000,00 para amortizar em 4 parcelas variáveis (veja plano de amortização) a partir do mês subsequente. A taxa de juros contratada de 22,20% ao ano, ou seja, 1,85% ao mês. PLANO DE AMORTIZAÇÃO PELO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL. Período Meses Saque Saldo Devedor Amortização A Juros J Prestação P =A + J 0 50.000,00 50.000,00 - - - 1-50.000,00 20.000,00 925,00 20.925,00 2-30.000,00 15.000,00 555,00 15.555,00 3-15.000,00 10.000,00 277,50 10.277,50 4-5.000,00 5.000,00 92,50 5.092,50 Total 50.000,00-50.000,00 1.850,00 51.850,00 c) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO A amortização da dívida será liquidada na última parcela de acordo com a negociação do empréstimo. Os juros são calculados a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada, pelo saldo devedor existente no período anterior. A cada mês ele vai pagar somente os juros do empréstimos. Exemplo: José Dos Santos tomou emprestado o valor de R$ 40.000,00 para liquidar em quatro meses sendo que a amortização se dará na última parcela, (veja plano de amortização) a partir do mês subsequente. A taxa de juros contratada de 15% ao ano, ou seja, 1,25% ao mês.

PLANO DE AMORTIZAÇÃO PELO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO. Período Meses Saque Saldo Devedor Amortização A Juros J Prestação P =A + J 0 40.000,00 40.000,00 - - - 1-40.000,00 0,00 500,00 500,00 2-40.000,00 0,00 500,00 500,00 3-40.000,00 0,00 500,00 500,00 4-40.000,00 40.000,00 500,00 40.500,00 Total 40.000,00-40.000,00 2.000,00 42.000,00 d) SISTERMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCES OU PRICE Por este sistema o devedor obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestações iguais entre si periódicas. Os juros são calculados a cada período, multiplicandose a taxa de juros contratada, pelo saldo devedor existente no período anterior. Exemplo: Fernanda tomou emprestado o valor de R$ 80.000,00 para amortizar em 4 parcelas juntamente com os juros (veja plano de amortização) a partir do mês subsequente. A taxa de juros contratada de 30% ao ano, ou seja, 2,5% ao mês. Resolução: 2,5% em 4 meses encontramos na tabela de anuidades > 3,761974 Para encontrar o valo de cada prestação dividi-se o valor do empréstimo pelo fator da Tabela. Prestação => 80.000,00 / 3,761974 = 21.265,43 PLANO DE AMORTIZAÇÃO PELO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS. Período Meses Saque Saldo Devedor Amortização A Juros J Prestação P =A + J 0 80.000,00 80.000,00 - - - 1-80.000,00 19.265,43 2.000,00 21.265,43 2-60.734,57 19.747,07 1.518,36 21.265,43 3-40.987,50 20.240,74 1.024,69 21.265,43 4-20.746,76 20.746,76 518,67 21.265,43 Total 80.000,00-80.000,00 5.061,72 85.061,72

EXERCÍCIOS 1º ) Exemplo: Antônio tomou emprestado o valor de R$ 30.000,00 para amortizar em 5 parcelas iguais a partir do mês subsequente. A taxa de juros contratada de 18% ao ano, ou seja, 1,5% ao mês. PLANO DE AMORTIZAÇÃO PELO SAC SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE. Período Meses Saque Saldo Devedor Amortização A Juros J Prestação P =A + J 0 30.000,00 30.000,00 - - - 1-2 - 3-4 - 5 - Total 30.000,00 2) Exemplo: Márcia tomou emprestado o valor de R$ 45.000,00 para amortizar em 5 parcelas iguais a partir do mês subsequente. A taxa de juros contratada de 15% ao ano, ou seja, 1,25% ao mês. PLANO DE AMORTIZAÇÃO PELO SAC SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE. Período Meses Saque Saldo Devedor Amortização A Juros J Prestação P =A + J 0 45.000,00 45.000,00 - - - 1-2 - 3-4 - 5 - Total 45.000,00 3) Paulo tomou emprestado o valor de R$ 75.000,00 para amortizar em 5 parcelas variáveis (veja plano de amortização) a partir do mês subsequente. A taxa de juros contratada de 24% ao ano, ou seja, 2% ao mês.

PLANO DE AMORTIZAÇÃO PELO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL. Período Meses Saque Saldo Devedor Amortização A 0 75.000,00-1 - 25.000,00 2-20.000,00 3-15.000,00 4-10.000,00 5-5.000,00 Total Juros J Prestação P =A + J 4º) Paulo tomou emprestado o valor de R$ 62.000,00 para amortizar em 5 parcelas variáveis (veja plano de amortização) a partir do mês subsequente. A taxa de juros contratada de 18% ao ano, ou seja, 1,5% ao mês. PLANO DE AMORTIZAÇÃO PELO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL. Período Meses Saque Saldo Devedor Amortização A 0 62.000,00 62.000,00-1 - 2.000,00 2-4.000,00 3-8.000,00 4-16.000,00 5-32.000,00 Toral Juros J Prestação P =A + J 5º) André tomou emprestado o valor de R$ 120.000,00 para liquidar em cinco meses sendo que a amortização se dará na última parcela, (veja plano de amortização) a partir do mês subsequente. A taxa de juros contratada de 9% ao ano, ou seja, 0,75% ao mês.

PLANO DE AMORTIZAÇÃO PELO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO. Período Meses Saque Saldo Devedor Amortização A Juros J Prestação P =A + J 0 120.000,00 120.000,00 - - - 1-2 - 3-4 - 5 - Total 120.000,00 6º) André tomou emprestado o valor de R$ 25.000,00 para liquidar em cinco meses sendo que a amortização se dará na última parcela, (veja plano de amortização) a partir do mês subsequente. A taxa de juros contratada de 12% ao ano, ou seja, 1,0% ao mês. PLANO DE AMORTIZAÇÃO PELO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO. Período Meses Saque Saldo Devedor Amortização A Juros J Prestação P =A + J 0 25.000,00 25.000,00 - - - 1-2 - 3-4 - 5 - Total 25.000,00 7º) Fernando tomou emprestado o valor de R$ 100.000,00 para amortizar em 5 parcelas juntamente com os juros (veja plano de amortização) a partir do mês subsequente. A taxa de juros contratada de 18% ao ano, ou seja, 1,5% ao mês. Obs: Encontrar o fator da Tabela. (ani)

PLANO DE AMORTIZAÇÃO PELO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS. Período Meses Saque Saldo Devedor Amortização A Juros J Prestação P =A + J 0 100.000,00 100.00,00 - - - 1 2 3 4 5 Total 100.00,00 8º) Vanessa tomou emprestado o valor de R$ 18.000,00 para amortizar em 5 parcelas juntamente com os juros (veja plano de amortização) a partir do mês subsequente. A taxa de juros contratada de 24% ao ano, ou seja, 2% ao mês. Obs: Encontrar o fator da Tabela. (ani) PLANO DE AMORTIZAÇÃO PELO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS. Período Meses Saque Saldo Devedor Amortização A Juros J Prestação P =A + J 0 18.000,00 18.000,00 - - - 1 2 3 4 5 Total 18.00,00 11 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA COREÇÃO MONETÁRIA O mecanismo alternativo utilizado nestes contratos foi o de combinar valores (já acrescidos de juros reais) corrigidos monetariamente por algum indexador (que pode ou não ser um índice de preços). A correção monetária foi criada em meados da década de 1960, sendo a variação das Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional (ORTN) utilizada como indexador. Tal correção foi instituída por lei para correções de débitos fiscais, saldos de financiamentos de imóveis, FGTS, alugueis etc. Com a sucessão dos planos econômicos de combate à inflação, começando pelo Plano

Cruzado (março de 1986), foram criados vários indexadores oficiais: Obrigação do Tesouro Nacional (OTN), Bônus do Tesouro Nacional (BTN) e outros. Em fevereiro de 1991, depois do Plano Collor, foi criada a Taxa Referencial (TR), visando a dar uma medida para a expectativa de inflação. Assim, a partir de taxas médias de aplicações financeiras prefixadas, eliminando-se a taxa real embutida, obtém-se a TR (esta taxa real é determinada pelas autoridades monetárias e não é um valor constante para todos os meses, mas sim variável de acordo com uma série de circunstâncias). Os indexadores mais utilizados atualmente são: a TR, o IGP-DI, o IGP-M e o INCC. (HAZZAN, 2007). Fórmula CM = P + P. Exemplo 1) A empresa Biriba S.A. foi condenada a pagar uma indenização de R$ 50.000,00 a um de seus clientes por uma cobrança indevida, sendo que essa indenização deverá ser atualizada monetariamente por 3 meses pela variação do INPC/IBGE, com as seguintes taxas de correção 0,94%, 0,54%, 0,66%. Qual o valor da dívida corrigida? Solução: P = 50.000,00 J1 = 0,94% = 0,0094 J2 = 0,54% = 0,0054 J3 = 0,66% = 0,0066 CM =? CM = P + P. Jac = P. (1+ J1). (1+J2).(1+Jn)... CM = 50.000,00 * (1+0,0094). (1+,0054). (1+ 0,0066) CM = 50.000,00 * (1,0094)).(1,0054).((1,0066) CM = 51.077,44. EXERCÍCIO 01º) A empresa Natal LTDA quer atualizar um valor de R$ 156.889,67. A conta deverá ser atualizada monetariamente por 4 meses pela variação do INPC/IBGE, com as seguintes taxas de correção 0,68%, 0,76%, 0,82% e 0,77% Qual o valor atualizado? 02º) A empresa Norte Atacadão LTDA quer atualizar um valor de R$ 200.000,00. A conta deverá ser atualizada monetariamente por 5 meses pela variação do INPC/IBGE, com as seguintes taxas de correção 0,87%, 0,91%, 0,98%, 1,05% e 1,11% Qual o valor atualizado?

12 - NÚMEROS-ÍNDICES Representa a relação entre dois estados de uma variável ou de um grupo de variáveis, suscetível de variar no tempo ou no espaço (ou de grupo de indivíduos para grupo de indivíduos). O índice representa, portanto, o nível de um fenômeno em relação ao nível que ele tinha num dado período (ou numa dada região) tomando como base, e é geralmente expresso em percentagem. Os índices mais utilizados relacionam, em geral, variação de preços, de quantidade ou de valor (preço x quantidade) ao longo do tempo. Pode-se dizer também que Números-índices representa a razão entre o valor de uma vairável numa data e o valor desta mesma variável em outra data. Esta razão se dá, dividindo o valor da variável na data objetivada ou atual (t1) pelo valor valor desta variável na data base (t0). O resultao então é multiplicado por 100. Exemplo Proposto 01. Número Índice Relativos em Cadeia Considerando a tabela abaixo, relativa a produção de peças do produto W da Cia Negreiros no período de 2006 a 2011. ANOS 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Produção 1.050 1.150 1.200 1.400 1.560 1.700 Número-índice 100,00 109,5 114,3 133,3 148,6 161,9 OBS 01: Ano data base = 2006 OBS 02: É atribuído o valor 100 para o ano data base e os demais valores dos anos subsequentes calculados em relação ao valor do ano Base. Veja os cálculos: Para 2007: (1.150 / 1.050) x 100 = 109,5 ou seja, a variação percentual foi de 9,5%. Para 2008: (1.200 / 1.050) x 100 = 114,3 ou seja, a variação percentual foi de 14,3%. E assim sucessivamente para os demais anos. Exercício 01: Considerando a tabela abaixo, relativa a receita do produto M da Cia Metal no 1º semestre de 2011. MESES JAN FEV MAR ABR MAI JUN Receita 2.500 2.900 3.200 3.850 4.600 5.150 Número-índice Pede-se: a) Calcular os índices e as variações percentuais dos meses em relação ao mês base. Exercício 02: Considerando a tabela abaixo, relativa ao custo direto do produto R da Cia Apodi no período de 2007 a 2011. ANOS 2007 2008 2009 2010 2011 Custo Direto 2.500 2.900 3.200 3.850 4.600 Número-índice Pede-se: a) Calcular os índices e as variações percentuais dos meses em relação ao mês base.

II Números-índices: Elos de Relativos Neste tipo, o Elos Relativos representa o índice calculado tomando-se com o base o ano (mês, período) anterior. Exemplo proposto nº 02. Considerando a tabela abaixo, relativa a produção de grãos em toneladas de feijão da Cia Alimentos no período de 2006 a 2011. ANOS 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Produção 500 550 620 680 700 710 Número-índice 100,00 110,00 112,7 109,7 102,9 101,4 Veja os cálculos: Para 2007: (550 / 500) x 100 = 110 Variação percentual de 10%. Para 2008: (620 / 550) x 100 = 112,7 Variação percentual de 12,7% Para 2009: ( 680 / 620) x 100 = 109,7 Variação percentual de 9,7% E assim sucessivamente para os demais anos. Exercício nº 03. Considerando a tabela abaixo, relativa a despesa do produto S da Cia Martins no 1º semestre de 2011. MESES JAN FEV MAR ABR MAI JUN Despesa 1.200 1.350 1.500 1.590 1.680 1.790 Número-índice Pede-se: a) Calcular os índices e as variações percentuais de cada mês em relação ao mês anterior. Exercício nº 04. Considerando a tabela abaixo, relativa ao consumo de energia elétrica (KW/h) do setor de produção da Cia Oeste de 2007 a 2011. ANOS 2007 2008 2009 2010 2011 Consumo 400 600 640 715 780 Número-índice Pede-se: a) Calcular os índices e as variações percentuais de cada mês em relação ao mês anterior. III Números-Índices: Agregativo Simples: Neste tipo de número-índice calcula-se a média aritmética dos relativos, obtendo o índice médio relativos.

Exemplo proposto nº 03. Considerando a tabela abaixo, relativa ao preço de venda dos meses (valores relativos) de janeiro e fevereiro da Cia Catolé do Rocha ano de 2011. MESES Relativos de Preços Janeiro Relativos de Preços Fevereiro Produto A 100 115 Produto B 100 118 Produto C 100 120 Produto D 100 110 Produto E 100 105 500 568 Lembrando que n = 5 (Cinco itens, produtos) Ip = índice de preço. Fórmula = Ip = ( mês atual) / n ==> Ip = (568 / 5) = 113,6 ou seja 113,6%. Exercício nº 04. Considerando a tabela abaixo, relativa ao custo indireto dos produtos, nos meses (valores relativos) de novembro e dezembro da Cia Umarizal ano de 2011. MESES Relativos de Preços Novembro Relativos de Preços Dezembro Produto A 100 111 Produto B 100 117 Produto C 100 128 Produto D 100 145 Pede-se Calcular o Ip médio relativo. IV - Números-Índices: Agregativo Ponderado Neste tipo de número-índice leva-se em consideração vários fatores importantes para o cálculo (pesos). Existem várias formas como: Laspeyres, Paasche, Ficher, etc. Utilizaremos neste exemplo a forma de Laspeyres.

Exemplo proposto nº 04. Considerando a tabela abaixo, relativa ao preço e quantidade vendido de quatro produtos da Cia Janduís nos meses de Maio e Junho de 2011. Produtos Maio Junho p (preço) q (quantidade) p (preço) q (quantidade) A 20 4 28 3 B 40 3 56 3 C 15 8 30 12 D 30 7 45 15 Calcular o índice ponderado para preços, empregando a fórmula de Laspeyres abaixo tomando o mês de maio = 100. (p junho x q maio) Fórmula => Ip Maio, Junho = ----------------------------- ( p maio x q maio) (28*4) + (56*3) + (30*8) + (45*7) 835 Ip Maio, Junho = ------------------------------------------- = -------- = 1,575 ou 157,55% (20*4) + (40*3) + (15*8) + (30*7) 530 A variação percentual de preços e quantidade dos produtos A,B,C e D da Cia Janduís para o mês de junho em relação ao mês de maio foi de 57,55%. Exercício nº 05. Considerando a tabela abaixo, relativa ao preço e quantidade vendido de cinco produtos da Cia Messias Targino nos meses de Agosto e Setembro de 2011. Produtos Agosto Setembro p (preço) q (quantidade) p (preço) q (quantidade) W 25 8 30 7 U 32 6 55 8 V 41 12 38 15 X 36 5 27 12 Y 50 12 40 14 Calcular o índice ponderado para preços, empregando a fórmula de Laspeyres abaixo tomando o mês de Agosto = 100 e informar a variação percentual de preço e quantidade dos produtos para o mês de setembro em relação ao mês de agosto de 2011.

Exercício nº 06. Considerando a tabela abaixo, relativa ao preço e quantidade vendido de três produtos da Cia Rafael Godeiro nos meses de Outubro e Novembro de 2011. Produtos Outubro Novembro p (preço) q (quantidade) p (preço) q (quantidade) Alfa 50 10 70 20 Gama 55 15 90 25 Beta 40 8 50 15 Calcular o índice ponderado para preços, empregando a fórmula de Laspeyres abaixo tomando o mês de Agosto = 100 e informar a variação percentual de preço e quantidade dos produtos para o mês de setembro em relação ao mês de Outubro de 2011.