Pesquisa Operacional

Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional Capítulo 2 - Programação Linear Fernando Marins fmarins@feg.unesp.br Departamento de Produção 1

Sumário Modelagem e limitações da Programação Linear. Resolução Gráfica. Forma padrão de um modelo de Programação Linear. Definições e Teoremas. Forma canônica de um sistema de equações lineares. Método Simplex. Exercícios 2

Programação Linear Programação Linear: Preocupação em encontrar a melhor solução para problemas associados com modelos lineares. Modelo de Programação Linear: Maximização (ou minimização) de uma função objetivo linear com relação as variáveis de decisão do modelo. Respeitando-se as limitações (restrições) do problema expressas por um sistema de equações e inequações associadas com as variáveis de decisão do modelo. 3

Modelagem em Programação Linear Razões para o uso da Programação Linear: 1. Grande variedade de situações podem ser aproximadas por modelos lineares. 2. Existência de técnicas (algoritmos) eficientes para a solução de modelos lineares. 3. Possibilidade de realização de análise de sensibilidade nos dados do modelo. 4. Estágio de desenvolvimento da tecnologia computacional. 4

Modelagem em Programação Linear Passos básicos na obtenção de modelos de PL: 1. Identificar as variáveis de decisão, representá-las em simbologia algébrica. 2. Identificar as restrições do problema, expressá-las como equações ou inequações lineares em termos das variáveis de decisão. 3. Identificar o objetivo de interesse no problema, representá-lo como função linear em termos das variáveis de decisão, que deverá ser maximizada ou minimizada. 5

Modelagem em Programação Linear Construção de modelos não é uma ciência, mas uma arte, podendo ser melhorada com a prática. Exemplos a serem trabalhados: Determinação do mix de produção Seleção de mídia para propaganda Um problema de treinamento Uma indústria química Uma oficina mecânica Dimensionamento de equipes de inspeção 6

Modelagem em Programação Linear Determinação do mix de produção Uma companhia deseja programar a produção de um utensílio de cozinha que requer o uso de dois tipos de recursos mão-de-obra e material. A companhia está considerando a fabricação de três modelos e o seu departamento de engenharia forneceu os dados a seguir: Mão-de-obra (horas por unidade) Material (kg por unidade) Lucro ($ por unidade) Modelo A B C 7 3 6 4 4 5 4 2 3 O suprimento de material é de 200 kg por dia. A disponibilidade diária de mãode-obra é 150 horas. Formule um modelo de Programação Linear para determinar a produção diária de cada um dos modelos de modo a maximizar o lucro total da companhia. 7

Modelagem em Programação Linear Formulação do modelo 1. Identificação das variáveis de decisão: X A produção diária do modelo A X B produção diária do modelo B X C produção diária do modelo C 2. Identificação das restrições: (Limitação de mão-de-obra) 7X a + 3X b + 6X c 150 (Limitação de material) 4X a + 4X b +5X c 200 (Não-negatividade) X a 0, X b 0, X c 0. 3. Identificação do objetivo: maximização do lucro total Lucro Total = L = 4X a + 2X b +3X c Max L = 4X a + 2X b +3X c 8

Modelagem em Programação Linear Modelo Encontrar números X a, X b, X c tais que: Max L= 4X a + 2X b +3X c Sujeito as restrições: 7X a + 3X b +6X c 150 4X a + 4X b +5X c 200 X a 0, X b 0, X c 0 9

Modelagem em Programação Linear Seleção de mídia para propaganda Uma companhia de propaganda deseja planejar uma campanha em 03 diferentes meios: TV, rádio e revistas. Pretende-se alcançar o maior número de clientes possível. Um estudo de mercado resultou em: TV horário TV horário Rádio Revistas normal nobre Custo 40.000 75.000 30.000 15.000 Clientes Atingidos Mulheres Atingidas 400.000 900.000 500.000 200.000 300.000 400.000 200.000 100.000 0bs: valores válidos para cada veiculação da propaganda. 10

Modelagem em Programação Linear A companhia não quer gastar mais de $ 800.000 e, adicionalmente, deseja: (1) Que no mínimo 2 milhões de mulheres sejam atingidas; (2) Gastar no máximo $ 500.000 com TV; (3) Que no mínimo 03 veiculações ocorram no horário normal TV; (4) Que no mínimo 02 veiculações ocorram no horário nobre TV; (5) Que o nº. de veiculações no rádio e revistas fiquem entre 05 e 10, para cada meio de divulgação. Formular um modelo de PL que trate este problema, determinando o nº. de veiculações a serem feitas em cada meio de comunicação, de modo a atingir o máximo possível de clientes. 11

Modelagem em Programação Linear Resolução do exemplo seleção de mídia para propaganda Variáveis de decisão: X 1 = nº. de exposições em horário normal na tv. X 2 = nº. de exposições em horário nobre na tv. X 3 = nº. de exposições feitas utilizando rádio X 4 = nº. de exposições feitas utilizando revistas. Função-objetivo: Maximizar nº. de clientes atingidos Max Z = 400.000X 1 + 900.000X 2 + 500.000X 3 + 200.000X 4 12

Modelagem em Programação Linear Restrições: Orçamento: 40.000X 1 + 75.000X 2 + 30.000X 3 + 15.000X 4 800.000 Mulheres atingidas: 300.000X 1 + 400.000X 2 + 200.000X 3 + 100.000X 4 2.000.000 Gasto com TV 40.000X 1 + 75.000X 2 500.000 Nº. de veiculações em TV, rádio e revistas X 1 3, X 2 2, 5 X 3 10, 5 X 4 10 Não-negatividade X 1, X 2, X 3, X 4 0. 13

Modelagem em Programação Linear Um problema de treinamento Uma empresa de máquinas ferramentas tem um programa de treinamento para operadores de máquinas. Alguns operadores já treinados podem trabalhar como instrutores neste programa ficando responsáveis por 10 trainees cada. A empresa pretende aproveitar apenas 07 trainees de cada turma de 10. Estes operadores treinados também são necessários na linha de fabricação, e sabe-se que serão necessários para os próximos meses: 100 operadores em janeiro, 150 em fevereiro, 200 em março, e 250 em abril. Atualmente há 130 operadores treinados disponíveis na empresa. 14

Modelagem em Programação Linear Os custos associados a cada situação são: Trainees...$ 400. Operador treinado trabalhando...$ 700. Operador treinado ocioso...$ 500. Encontrar um modelo de PL que forneça um programa de treinamento de custo mínimo e satisfaça os requisitos da empresa em termos de nº. de operadores treinados disponíveis a cada mês. Observação: acordo firmado com o sindicato proíbe demissões de operadores treinados no período. 15

Modelagem em Programação Linear Resolução do exemplo: Um problema de treinamento Observe que a cada mês um operador treinado está: operando máquina, trabalhando como instrutor, ou está ocioso. Além disto, o nº. de operadores treinados trabalhando nas máquinas é fixo e conhecido: 100 em janeiro, 150 em fevereiro, 200 em março e 250 em abril. Variáveis de decisão: X 1 = operadores trabalhando como instrutores em janeiro X 2 = operadores ociosos em janeiro X 3 = operadores trabalhando como instrutores em fevereiro X 4 = operadores ociosos em fevereiro X 5 = operadores trabalhando como instrutores em março X 6 = operadores ociosos em março 16

Modelagem em Programação Linear Função-objetivo: Custo total = custo trainees + custo instrutores + custo ociosos + custo operadores trabalhando em máquinas. Min C = 400(10X 1 + 10X 3 + 10X 5 ) + 700(X 1 + X 3 + X 5 ) + + 500(X 2 + X 4 + X 6 ) + 700(100 + 150 + 200) Min C = 4700X 1 +500X 2 + 4700X 3 +500X 4 +4700X 5 +500X 6 + 315.000 17

Modelagem em Programação Linear Restrições: X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6 0 (não-negatividade) Equação de balanço mensal: operadores treinados no início do mês = operadores nas máquinas + instrutores + operadores ociosos. Janeiro: 130 = 100 + X 1 + X 2 X 1 + X 2 = 30 Fevereiro: 130 + 7X 1 = 150 + X 3 + X 4 7X 1 - X 3 - X 4 = 20 Março: 130 + 7X 1 + 7X 3 = 200 + X 5 + X 6 7X 1 + 7X 3 - X 5 - X 6 = 70 Abril: 250 = 130 + 7X 1 + 7X 3 + 7X 5 7X 1 + 7X 3 + 7X 5 = 120. 18

Modelagem em Programação Linear Uma indústria química Dois produtos, A e B, são feitos a partir de duas operações químicas. Cada unidade do produto A requer 02 horas da operação 1 e 03 horas da operação 2. Cada unidade do produto B requer 03 horas da operação 1 e 04 horas da operação 2. O tempo total disponível para a realização da operação 1 é de 16 horas, e o tempo total para a operação 2 é de 24 horas. A produção do produto B resulta, também, num subproduto C sem custos adicionais. Sabe-se que parte do produto C pode ser vendido com lucro, mas o restante deve ser destruído. Previsões mostram que no máximo 05 unidades do produto C serão vendidas, e sabe-se que cada unidade do produto B fabricada gera 02 unidades do produto C. 19

Modelagem em Programação Linear Sabe-se que: Produto A gera um lucro de $ 4 por unidade. Produto B gera um lucro de $ 10 por unidade. Produto C gera um lucro de $ 3 por unidade se for vendido. Produto C gera um custo de $ 2 por unidade se for destruído Determinar um modelo de PL para tratar este problema, e encontrar quanto produzir de cada produto, de modo a maximizar o lucro da indústria química. 20

Modelagem em Programação Linear Resolução do exemplo: Uma indústria química - produto A Observe que o lucro da venda do produto A é uma função linear, mas com respeito ao produto C isto não ocorre. Lucro Produto B Produto A Lucro Produto C 10 4 3-2 Quantidade 5 Quantidade 21

Modelagem em Programação Linear Artifício: considerar as variáveis de decisão como sendo X 1 = quantidade produto A produzida X 2 = quantidade produto B produzida X 3 = quantidade produto C vendida X 4 = quantidade produto C destruída Função-objetivo: Max Z = 4 X 1 + 10 X 2 + 3 X 3 2 X 4 Restrições: 2 X 1 + 3 X 2 16 (disponibilidade de tempo para operação 1) 3 X 1 + 4 X 2 24 (disponibilidade de tempo para operação 2) X 3 + X 4 = 2 X 2 (produção do produto C a partir do produto B) X 3 5 (previsão de produto C que pode ser vendido) X 1, X 2, X 3, X 4 0 (não-negatividade) 22

Modelagem em Programação Linear Oficina mecânica Uma oficina mecânica tem 01 furadeira vertical e 05 fresas, que são usadas para a produção de conjuntos formados de 2 partes. Sabe-se qual é a produtividade de cada máquina na fabricação destas partes do conjunto: Furadeira Fresa Parte 1 03 20 Parte 2 05 15 Obs: tempo para produzir as partes dado em minutos. 23

Modelagem em Programação Linear O encarregado pela oficina deseja manter uma carga balanceada nas máquinas de modo que nenhuma delas seja usada mais que 30 minutos por dia que qualquer outra, sendo o carregamento de fresamento dividido igualmente entre as 05 fresas. Achar um modelo de PL para dividir o tempo de trabalho entre as máquinas de modo a obter o máximo de conjuntos completos ao final de um dia, num total de 08 horas de trabalho. 24

Modelagem em Programação Linear Resolução do exemplo: Oficina mecânica Variáveis de decisão: X 1 = número de partes 1 produzidas por dia X 2 = número de partes 2 produzidas por dia Restrições: 3X 1 + 5X 2 480 (minutos por dia disponíveis para a furadeira) (20X 1 + 15X 2 )/5 = 4X 1 + 3X 2 480 (minutos por dia disponíveis para cada fresa) 25

Modelagem em Programação Linear (4X 1 + 3X 2 ) - (3X 1 + 5X 2 ) = X 1-2X 2 30 (Balanceamento de carga entre as máquinas) Observe que esta última restrição não é linear, mas é equivalente a duas equações lineares que podem substituí-la: X 1-2X 2 30 e -X 1 + 2X 2 30 X 1, X 2 0 (não-negatividade). 26

Modelagem em Programação Linear Função-objetivo: maximização do número de conjuntos completos por dia Max Z = min (X 1, X 2 ) Observe que esta função não é linear, mas pode ser linearizada utilizando-se uma nova variável, da forma: Seja Y = min (X 1, X 2 ), Y 0, naturalmente tem-se duas novas restrições Dadas por: Y X 1 e Y X 2. A função-objetivo linear fica sendo: Max Z = Y 27

Modelagem em Programação Linear Problema de dimensionamento de equipes de inspeção Uma companhia deseja determinar quantos inspetores alocar à uma dada tarefa do controle da qualidade. As informações disponíveis são: Há 08 inspetores do nível 1 que podem checar as peças a uma taxa de 25 peças por hora, com uma acuracidade de 98%, sendo o custo de cada inspetor deste nível $4 por hora; Há 10 inspetores do nível 2 que podem checar as peças a uma taxa de 15 peças por hora, com uma acuracidade de 95%, sendo o custo de cada inspetor deste nível $3 por hora. 28

Modelagem em Programação Linear A companhia deseja que no mínimo 1800 peças sejam inspecionadas por dia (= 08 horas). Sabe-se, ainda, que cada erro cometido por inspetores no controle da qualidade das peças acarreta um prejuízo à companhia de $2 por peça mal inspecionada. Formular um modelo de PL para possibilitar a designação ótima do nº. de inspetores de cada nível de modo a otimizar o custo da inspeção diária da companhia. 29

Modelagem em Programação Linear Resolução do exemplo: Dimensionamento de equipes de inspeção Variáveis de decisão: X i = nº. de inspetores do nível i (= 1, 2) alocados à inspeção. Função objetivo: Minimizar C = custo total diário de inspeção ($/dia) onde : custo total = custo do salário dos inspetores + custo dos erros Min C = 8 *[(4X 1 + 3X 2 ) + 2 * (25*0,02X 1 + 15*0,05X 2 )] Min C = 40X 1 + 36X 2 30

Modelagem em Programação Linear Restrições: 1. Quanto ao nº. de inspetores disponíveis: X 1 8 (inspetores do nível 1) X 2 10 (inspetores do nível 2) 2. Quanto ao nº. de peças inspecionadas por dia: 8 * (25X 1 + 15X 2 ) 1800 5X 1 + 3X 2 45 3. Restrições implícitas de não negatividade: X 1 0 X 2 0. 31

Resolução gráfica de modelos de PL Aplicável para modelos com 02 variáveis de decisão Útil para a ilustração de alguns conceitos básicos utilizados na resolução de modelos de maior porte. Etapas a serem seguidas na resolução gráfica 1º Passo: identificar a região viável do modelo, isto é, quais são os pares (X 1, X 2 ) que satisfazem a todas as restrições. 2º Passo: achar a melhor solução viável, denominada Solução Ótima e denotada por (X 1 *, X 2 *), que leva ao valor ótimo da função-objetivo Z*. 32

Resolução gráfica de modelos de PL Problema de mix de Produção Fabricação de dois modelos de brinquedos: B 1 e B 2. Lucros unitários/dúzia: $8 para B 1 e $5 para B 2 Recursos disponíveis: 1000 kg de plástico especial. 40 horas para produção semanal. Requisitos do Departamento de Marketing: Produção total não pode exceder 700 dúzias; A quantidade de dúzias de B 1 não pode exceder em 350 a quantidade de dúzias de B 2. Dados técnicos: B 1 requer 2 kg de plástico e 3 minutos por dúzia. B 2 requer 1 kg de plástico e 4 minutos por dúzia. 33

Resolução gráfica de modelos de PL A Gerência está procurando um programa de produção que aumente o lucro da Companhia. 34

Resolução gráfica de modelos de PL Variáveis de decisão: X 1 : produção semanal de B 1 (em dúzias). X 2 : produção semanal de B 2 (em dúzias). Função Objetivo: Maximizar o Lucro semanal 35

Resolução gráfica de modelos de PL Max 8X 1 + 5X 2 (Lucro semanal) sujeito a: 2X 1 + 1X 2 1000 (Plástico - Kg) 3X 1 + 4X 2 2400 (Tempo de produção - minutos) X 1 + X 2 700 (Produção total) X 1 - X 2 350 (mix) X j 0, j = 1,2 (Não negatividade) 36

Resolução gráfica de modelos de PL Conceitos importantes: Os pontos (X 1, X 2 ) que satisfazem todas as restrições do modelo formam a Região Viável. Esses pontos são chamados de Soluções Viáveis. Usando a resolução gráfica pode-se representar todos as restrições (semi-planos), a função objetivo (reta) e os três tipos de pontos viáveis. 37

Resolução gráfica de modelos de PL 1º Passo: Traçar eixos cartesianos, associando a cada um deles uma variável de decisão. No exemplo de fabricação de brinquedos: X 1 para o eixo das abscissas e X 2 para o eixo das ordenadas. As restrições de não-negatividade, X 1 0 e X 2 0, implicam que os pares (X 1, X 2 ) viáveis estão no 1º quadrante dos eixos considerados. 38

Resolução gráfica de modelos de PL Representando as condições de não negatividade X 2 X 1 39

Resolução gráfica de modelos de PL Observar que no exemplo dos brinquedos, as restrições correspondem a semi-planos associados, respectivamente, às retas suportes dadas por: 2X 1 + 1X 2 = 1000 3X 1 + 4X 2 = 2400 X 1 + X 2 = 700 X 1 - X 2 = 350 X j 0, j = 1,2 Notar que cada reta suporte define dois semi-planos no espaço (X 1, X 2 ). Para identificar qual destes semi-planos é de interesse no caso, ou seja, contém os pontos que satisfazem a desigualdade da restrição, basta testar algum ponto à esquerda ou à direita (acima ou abaixo) da reta suporte da desigualdade. Um ponto que torna isto fácil é a origem (0, 0), mas poderia ser qualquer outro. 40

Resolução gráfica de modelos de PL X 2 1000 700 500 Restrição do plástico 2X 1 +X 2 1000 Restrição da produção total X 1 +X 2 700 (redundante) Inviável Tempo de produção 3X 1 +4X 2 2400 Viável 500 700 X 1 41

Resolução gráfica de modelos de PL X 2 1000 700 500 Tempo de Produção 3X 1 +4X 2 2400 Viável Restrição do plástico 2X 1 +X 2 1000 Restrição da produção total: X 1 +X 2 700 (redundante) Inviável Restrição do mix da produção: X 1 -X 2 350 X 1 42

Resolução gráfica de modelos de PL X 2 1000 700 500 Inviável Viável 500 700 Pontos interiores. Pontos na fronteira. Pontos extremos. Há três tipos de pontos viáveis. X 1 43

Resolução gráfica de modelos de PL 2º Passo: Observar que a função-objetivo, ao se fixar um valor para Z, representa uma reta. Alterações neste valor de Z gera uma família de retas paralelas. No exemplo dos brinquedos: considere a reta obtida fazendo Z= 2000, isto é, a reta dada por 8X 1 + 5X 2 = 2000. Percebe-se que ao se traçar retas paralelas no sentido de ficar mais afastado da origem (0, 0), o valor de Z aumenta. De fato pode-se verificar que a reta paralela, que contém algum ponto da região viável, no caso o ponto ótimo X* = (320, 360), e está mais afastada da origem, corresponde a um valor ótimo da função objetivo Z* = 4360. 44

Resolução gráfica de modelos de PL 1000 700 600 A busca por uma Solução Ótima: X 2 Começar com algum valor de lucro arbitrário, Por exemplo $2000... Depois aumentar o lucro, se possível......e continuar até que seja inviável X* = (320, 360) com Z* = 4.360 500 X 1 45

Resolução gráfica de modelos de PL Pontos extremos e Soluções Ótimas Se o problema de Programação Linear tem uma Solução Ótima, um ponto extremo é Solução Ótima. 46

Resolução gráfica de modelos de PL Soluções Ótimas Múltiplas Quando a função objetivo é paralela a alguma restrição. Todos os pontos do segmento de reta serão Soluções Ótimas. X* 1 X* = X* 1 + (1 - )X* 2, com 0 1 X* 2 47

Resolução gráfica de modelos de PL Visualização de situações possíveis X 2 X 2 Z Z* Z Solução única X 1 Solução ilimitada X 1 48

X 2 X 2 Resolução gráfica de modelos de PL Z * X* Z X* Múltiplas Soluções Ótimas 1 Segmento de Reta Ótimo X 1 Z* Múltiplas Soluções Ótimas 2 Semi-reta Ótima X 1 49

Resolução gráfica de modelos de PL X 2 O conjunto viável é vazio. Há restrições incompatíveis. Problema inviável X 1 50

Forma padrão de modelo de PL Um modelo de PL com m restrições e n variáveis está na forma padrão se possuir as características abaixo: 1. A função-objetivo é de minimização ou maximização; 2. Todas as restrições estão na forma de igualdade; 3. Todas as variáveis são não-negativas; 4. As constantes de cada restrição são não-negativas. 51

Forma padrão de modelo de PL Modelo na forma padrão: Minimizar (ou maximizar) Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 +... + C n X n Sujeito a: A11 X1 + A12 X2 +... + A1n Xn = b1 A21 X1 + A22 X2 +... + A2n Xn = b2........................ Am1 X1 + Am2 X2 +... + Amn Xn = b X1 0, X2 0,..., Xn 0 b1 0, b2 0,..., bm 0. m 52

Forma padrão de modelo de PL Notação matricial para um modelo na forma padrão: Minimizar (ou maximizar) Z = C X Sujeito a: AX X b Onde: A (m x n) matriz de coeficientes tecnológicos 0 0. b X (n x 1) vetor das variáveis de decisão b (m x 1) vetor de demandas C (1 x n) vetor de custos (lucros) 53

Forma padrão de modelo de PL Redução de um modelo geral para a forma padrão O Método Simplex exige que o modelo esteja na forma padrão. Tratando com restrições na forma de inequações: Estas restrições são transformadas em equações através da introdução de novas variáveis (não-negativas), chamadas de variáveis de folga. 54

Forma padrão de modelo de PL Exemplo: Considere o problema de dimensionamento de equipes de inspeção: X 1 8 X 1 + X 3 = 8, X 3 0 é uma variável de folga. X 2 10 X 2 + X 4 = 10, X 4 0 é uma variável de folga. 5 X 1 + 3 X 2 45 5 X 1 + 3 X 2 X 5 = 45, X 5 0 é uma variável de folga. 55

Forma padrão de modelo de PL Interpretação das variáveis de folga no exemplo: X 3 = número de inspetores do nível 1 não utilizados. X 4 = número de inspetores do nível 2 não utilizados. X 5 = número (extra) de peças inspecionadas por dia, acima da quantidade mínima (1800) especificada pela empresa Variáveis de folga fornecem informações úteis sobre o problema. 56

Forma padrão de modelo de PL Tratando com variáveis livres (irrestritas em sinal): Em algumas situações exige-se o uso de variáveis que podem assumir tanto valores positivos, nulos, e negativos. Estas variáveis são chamadas de livres (free) ou irrestritas em sinal. Exemplo: Modelo de Planejamento Macroeconômico Uma das Variáveis de Decisão é a Taxa de Inflação que pode assumir qualquer valor positivo, nulo ou negativo (neste caso é conhecida como Deflação). 57

Tratando com variáveis livres (irrestritas em sinal): Estas variáveis devem ser eliminadas do modelo na forma padrão. Há, pelo menos, duas maneiras de se fazer isto: 1. Por substituição utilizando uma das restrições do modelo, já na forma padrão (igualdade), procura-se expressar a variável livre como função das demais variáveis (não negativas) do modelo. A seguir eliminar a variável livre do modelo substituindo-a pela função escolhida na etapa anterior. A equação utilizada para expressar a variável livre como função das demais variáveis também será eliminada do modelo. 2. Por transformação Suponha que a variável livre é S. Basta substituir em todas as restrições, e na função objetivo, a variável S por S = S S, com S 0 e S 0 sendo duas novas variáveis (auxiliares) no modelo. 58

Forma padrão de modelo de PL Tratando com variáveis não-positivas: Suponha que num determinado modelo há uma variável X 1 0. Basta substituí-la no modelo por uma nova variável não-negativa X 1 0, dada por X 1 = X 1. 59

Forma padrão de modelo de PL Exemplo Completo Obtenha a forma padrão do modelo abaixo: Maximizar Z = X 1 2X 2 + 3X 3 Sujeito a: X1 + X2 + X3 X1 X2 + X3 3X1 X2 2X3 X1 0, X2 0, 7 2 = 5 X 3 livre 1 2 3 60

Forma padrão de modelo de PL 1. Introduzir variáveis de folga nas restrições (1) e (2): X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = 7 (1 ) com X 4 0. X 1 X 2 + X 3 X 5 = 2 (2 ) com X 5 0. 2. Multiplicar a restrição (3) por ( 1) para eliminar b 3 = 5 < 0: 3X 1 + X 2 + 2X 3 = 5 (3 ) 3. Substituir X 2 0 por X 2 0 através de X 2 = X 2 : Max Z = X 1 + 2 X 2 + 3 X 3 X Sujeito a: X 3X X 2' + X 2' + 2X 1 1 1 X 2' + X X 3 3 3 + X 4 X 5 = 7 = 2 = 5 1'' 2'' 3'' 61

Forma padrão de modelo de PL 4. Eliminar X 3 : 4.1. Substituição ou 4.2. Transformação Max Z = -2X 1 + 5X 2-3X 4 + 21 ou Max Z = X 1 + 2X 2 + 3X 3-3X 3 2X 2' X4 + X5 = 5 s. a: s. a: 5X1 X 2' + 2X4 = 9 X 1, X 2', X 4, X5 0 X1 X 2'+ X 3' X 3'' X4 X1 + X 2'+ X 3' X 3'' 3X1 X 2'+2X 3' 2X 3'' X 1, X 2', X 3', X 3'', X 4, X5 0 X 5 = 7 = 2 = 5 Usando De (1 ): X 3 = 7 X 1 + X 2 X 4 ou X 3 = X 3 X 3 62

Definições e Teoremas em PL Ponto central na resolução de modelos de PL é a solução de sistemas de equações lineares. Apresenta-se a seguir o Método de Eliminação de Gauss Jordan. Considere o sistema de equações abaixo: (S 1 ) X X 1 1 2X X 2 2 X X 3 3 4X 3X 4 4 2X X 5 5 4 2 1 2 (nº variáveis >> nº equações) 63

Definições e Teoremas em PL Conjunto solução de (S 1 ) é a coleção de todos os valores de (X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 ) que satisfazem as equações (1) e (2) conjuntamente. Dois sistemas são equivalentes se possuem o mesmo conjunto solução. Sistemas equivalentes podem ser obtidos por meio de operações elementares sobre as linhas do sistema: 1. Multiplicar (dividir) qualquer equação por um nº. 2. Adicionar à qualquer equação uma Combinação Linear das demais equações. 64

Forma Canônica Um sistema (S 2 ) equivalente a (S 1 ) pode ser obtido multiplicando-se a equação (1) por 1 e adicionando-se o resultado à equação (2): (S 2 ) Um sistema (S 3 ) equivalente a (S 1 ) pode ser obtido multiplicando-se equação (4) por 2 e adicionando-se o resultado à equação (3): (S 3 ) X 1 X 1 2X X X 2 2 2 X 3 2X 3X 2X 3 4X 3 3 + X + 4 4 2X X 2X 4 3X 4 (S 3 ) é denominado uma forma canônica do sistema original (S 1 ). 5 5 4X 3X 5 5 2 2 = 6 = 2 (3) (4) (5) (6) 65

Forma Canônica Considere uma forma canônica de um sistema de equações lineares: (como (S 3 ) anteriormente obtido) Uma variável é dita ser variável básica para uma dada equação do sistema se ela possuir coeficiente 1 nesta equação e coeficientes nulos nas demais equações do sistema. Exemplo: em (S 3 ) X 1 e X 2 são variáveis básicas Variáveis que não satisfazem a condição acima são chamadas de variáveis não-básicas. Exemplo: em (S 3 ) X 3, X 4, X 5 são variáveis não-básicas. 66

Solução Básica A solução de um sistema na forma canônica, obtida fazendo-se as variáveis não-básicas iguais a zero, é chamada de uma solução básica (SB). Nº máximo de soluções básicas = Nº de soluções básicas = 5 = 10 2 N M Exemplo: Em (S 3 ) fazendo-se X 3 = X 4 = X 5 = 0 X 1 = 6 e X 2 = 2 formam uma solução básica. Uma Solução Básica Viável (SBV) de um sistema é uma solução básica onde todas as variáveis assumem valores não-negativos. Exemplo: a solução básica do exemplo anterior é uma SBV. 67

Pivoteamento Operações de Pivoteamento são as operações elementares aplicadas à um sistema para transformar uma dada variável em variável básica. São usadas pelo método de eliminação de Gauss Jordan. Deve-se identificar o elemento Pivô que deve ser transformado em 1 e os demais elementos da sua coluna que devem ser transformados em 0. Para obter uma forma canônica de um sistema basta aplicar uma sequência de operações de pivoteamento (método de Gauss Jordan) de modo se conseguir uma variável básica associada com cada equação. 68

Método de Eliminação de Gauss Jordan Artifício para a realização de operações de pivoteamento: Considere o sistema (S) abaixo: (S) 2X1 2X X1 + 4X 2 2 + 6X X 3 3 = 4 = 2 (1) (2) Achar (S ) uma forma canônica de (S) de modo que X 1 seja a variável básica associada com a equação (1), e X 3 seja a variável básica associada com a equação (2). 69

Método de Eliminação de Gauss Jordan VB X 1 X 2 X 3 b Operações Elementares Feitas X 1 2-2 6 4 (1) - Pivô em azul X 3-1 4-1 2 (2) X 1 1-1 3 2 (1 ) = (1)/2 - Equação do Pivô X 3 0 3 2 4 (2 ) = (2) + (1 ) Pivô em Azul X 1 1-11/2 0-4 (1 ) = (1 ) - 3*(2 ) X 3 0 3/2 1 2 (2 ) = (2 )/2 Equação do Pivô (S ) X1 11/ 2 X2 = 4 3/2X2 + X3 = 2 Solução básica (não é viável): X1 = 4 (Variável básica) X 3 = 2 (Variável básica) X2 = 0 (Variável não básica) 70

Teoremas em PL Teorema 1 Dado um modelo já na forma padrão, as soluções básicas viáveis do sistema de equações, correspondente às restrições do modelo, estão associadas a pontos extremos do conjunto de soluções viáveis do modelo original. Teorema 2 Se um modelo de Programação Linear possui Solução Ótima então pelo menos um ponto extremo, do conjunto de soluções viáveis do modelo original, corresponde a uma Solução Ótima. 71

Comentários Gerais Procedimento simplista para resolver um modelo de PL Gerar todas as possíveis soluções básicas viáveis. Determinar qual das soluções básicas viáveis corresponde ao melhor valor da função-objetivo. Problemas: 1. Nº de soluções básicas viáveis pode ser excessivo. 2. Modelo pode apresentar solução ilimitada ou ainda ser inviável. Observe que problemas de médio porte, que aparecem na prática, costumam envolver centenas de variáveis (valor de n) e milhares de restrições (valor de m). 72

Comentários Gerais Linhas de Pesquisa Algoritmos de pontos interiores e suas derivações. Implementações de algoritmos para processamento em paralelo. Linguagens de modelagem: ajudar no desenvolvimento e aplicação de modelos de Pesquisa Operacional. Exemplos: AMPL - Modeling Language for Mathematical Programming - R. Fourer, D. M. Gay, and B. W. Kerningham, 1993. GAMS - General Algebraic Modeling System - J. Bisschop and A. Meeraus, 1982. What s best - The ABC of Optimization - S. L. Savage, 1992. 73

Método Simplex Procedimento iterativo que resolve qualquer modelo de PL num número finito de iterações. Indica a ocorrência de múltiplas Soluções Ótimas, solução ilimitada, e problema inviável. Etapas de aplicação do Método Simplex Considere um modelo de PL que esteja na forma padrão, e uma Solução Básica Viável inicial. O Método Simplex consiste basicamente da aplicação sucessiva de duas etapas: Etapa A: Identificação de uma Solução Ótima. Etapa B: Melhoria de uma Solução Básica Viável. 74

Método Simplex Etapa A: Identificação de uma Solução Ótima. Verificar se a Solução Básica Viável atual satisfaz o critério de otimalidade do algoritmo: Se o critério for satisfeito termina a aplicação do método; Caso contrário deve-se aplicar a etapa B. Etapa B: Melhoria de uma Solução Básica Viável. Procurar obter uma Solução Básica Viável melhor que a atual: Determinação da variável não-básica que deve entrar; Determinação da variável básica que será substituída; Obtenção da nova Solução Básica Viável - através de operações de pivoteamento. 75

Método Simplex - Minimização Desenvolvimento do Método Simplex Seja um modelo de PL (minimização) colocado na forma padrão: Min Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 +... + C n X n s. a: A11 X1 + A12 X 2 +... + A1n X n = b1 A21 X 1 + A22 X 2 +... + A2n X n = b2........................ Am1 X 1 + Am2 X 2 +... + Amn X n = b X 1 0, X 2 0,..., X n 0 b1 0, b2 0,..., bm 0 m 76

Considere o sistema (S) abaixo: s. a: Método Simplex - Minimização A11 X1 + A12 X2 +... A21 X1 + A22 X2 +..................... Am1 X1 + Am2 X2 +... - Z + C1 X1 + C2 X2 +... (m +1) Obter, aplicando o método de eliminação de Gauss-Jordan, o sistema equivalente (S ) = uma forma canônica de (S) onde: + A + A 1n...... + A + C 2n mn n X X X n n X n = b = b n...... = b = 0 1 2 m (1) (2) (m) X 1 seja a variável básica referente a equação (1), X 2 seja a variável básica referente a equação (2),... X m seja a variável básica referente a equação (m), Z seja a variável básica referente a equação (m+1). 77

Método Simplex - Minimização O sistema (S ), que é uma forma canônica de (S), foi obtido pelas operações de pivoteamento aplicadas às variáveis X 1, X 2,..., X m, e Z, é dado por: X 1... Z X 2 X m + A + A + A + C 1, m + 1 2, m + 1 m, m + 1 m + 1 X X X X m + 1 m + 1 m + 1 m + 1 +... +... +... + A + A + A +... + C n 1, n 2, n m, n X n X X X n n n = b = b = b = Z m o 1 2 (I) 78

Método Simplex - Minimização Em (S ) : (1) A i, j, b j, C j são respectivamente os novos coeficientes das variáveis nas equações de (S ), as novas constantes nestas mesmas equações, e os novos coeficientes das variáveis na função objetivo (expressão (I)), obtidos pelas operações de pivoteamento no sistema (S). (2) Os coeficientes Cj são denominados coeficientes de custo relativo (ou reduzido) das variáveis não-básicas da solução atual. (3) Há uma Solução Básica Viável explícita em (S ), onde: Variáveis básicas: Variáveis não-básicas: Valor da função objetivo: X1 b 1, X2 b2,..., Xm X m Z o 1 X C 1 m b 1 2 C 2... b 2 b m X... ; n C 0 n b n 79

Método Simplex - Minimização Visualização da etapa A do Método Simplex: Teste de otimalidade da Solução Básica Viável atual. Min Z = 4X 1 + X 2 + X 3 s. a: 2X1 X2 2X 3X1 3X2 X Xi 0, i 1,3 3 3 4 3 (S): 2X1 + X2 + 2X3 = 4 (1) 3X 1+ 3X2 + X3 = 3 (2) Z 4X1 X2 X3 0 (3) 80

Método Simplex - Minimização Aplicando o método de eliminação de Gauss Jordan para obter uma forma canônica (S ) associando X 3 como variável básica para a equação (1), X 1 para a equação (2) e Z para a equação (3), tem-se: (S ): Z 3/4X 2+ X X 1+5/4X 2 13/4X 2 3 = 3/2 = 1/2 = 7/2 (I) Solução básica viável atual Variáveis básicas: X 1 = 1/2, X 3 = 3/2 Variáveis não-básicas: X 2 = 0 Função objetivo: Z = Z 0 = 7/2 81

Método Simplex - Minimização De (I): Z = 7/2 13/4 X 2 Análise de otimalidade da Solução Básica Viável (SBV) atual: X 2 = 0 é variável não básica Se X 2 se tornar VB o valor de X 2 Se X 2 o valor de Z o que é desejável pois a função objetivo é de minimização Conclusão: A SBV atual não é ótima e X 2 deve se tornar VB numa próxima SBV melhor que a atual. Assim X 2 deve Entrar. Ir a etapa (B). 82

Método Simplex - Minimização Etapa (A) do Método Simplex Questão: Como verificar se a Solução Básica Viável explicitada em (S ) é ótima para o modelo em estudo? Resposta: Considere a expressão (I) em (S ), dada por: Z Onde +C m 1 Z X m +1 o =C1 b1 +...+C +C 2 b 2 n X n = +...+C m Z o, b m. 83

Método Simplex - Minimização Analisando (I) há duas possibilidades: Se não há C j 0 então a solução atual é ótima. Não haverá a aplicação da etapa (B). Fim da aplicação do Método Simplex. Se há C j 0 a solução atual não é ótima. Uma variável não-básica X S, associada com um coeficiente de custo relativo, deve ser transformada em variável básica numa próxima solução básica viável. Esta nova Solução Básica Viável terá um valor para a função objetivo melhor (no caso do modelo de minimização, menor) que o valor da função objetivo atual Z 0. Aplicar a etapa (B). 84

Método Simplex - Minimização Visualização da etapa B do Método Simplex (PL de Minimização): Seja uma Solução Básica Viável disponível dada por, X 1 = 5, X 2 = 6, X 3 = X 4 = 0, Z = 4, Associada ao sistema (S) abaixo: X1 (S): X Z Aplicando a etapa (A) tem-se: 2 + 2X + 2X 3 3 4X 3 + 3X 2X + 5X 4 4 4 = 5 = 6 = 4 (1) (2) (3) Como C 3 = - 4 < 0 se o valor de X3 o valor de Z. Desta maneira X 3 deve Entrar e seu valor deverá aumentar. Observe-se que X 4 não deve Entrar pois piorará o valor da F. O. 85

Método Simplex (minimização) Problema: Até quanto aumentar o valor de X 3? Análise: como X 4 = 0 (permanece variável não-básica), tem-se: De (1): X 1 = 5 2X 3 ou seja se De (2): X 2 = 6 2X 3 ou seja se Sabe-se que X 1 0 X 3 5/2 Sabe-se que X 2 0 X 3 6/2 X3 X3 X1 X3 X2 = Min 5/2, 6/2= 5/2 Portanto X 3 substituirá X 1 no conjunto das variáveis básicas da nova Solução Básica Viável dada por: X 3 = 5/2, X 2 = 1, X 1 = X 4 = 0, Z = 4-4X 3 = -6 86

Método Simplex - Minimização Etapa (B) do Método Simplex Hipótese: Há um coeficiente de custo relativo C S < 0 deve-se achar uma nova Solução Básica Viável onde X S seja variável básica. Problema: Qual das atuais variáveis básicas será substituída por X S próxima Solução Básica Viável? na 87

Método Simplex - Minimização Solução: Sejam A i,s os coeficientes de X S restrições, onde i = 1,..., m. nas equações do sistema de Procurar a equação r do sistema de restrições onde ocorra: b A r = Min A > 0 r, s i, s Ai, s A variável básica da Solução Básica Viável atual associada com a equação r acima será substituída por X S. b i 88

Método Simplex - Minimização Artifício para aplicar as etapas (A) e (B) do Método Simplex. Considere o exemplo de minimização usado na visualização da etapa (B), já colocado numa forma canônica: Z X 1 X 2 + 2X 3 + 2X 3 4X 3 + 3X 4 2X + 5X 4 4 = = = 5 6 4 (1) (2) (3) 89

Método Simplex - Minimização Operacionalização da aplicação das etapas (A) e (B): VB X 1 X 2 X 3 X 4 b X 1 1 0 2 3 5 X 2 0 1 2-2 6 (5/2) menor quociente X 1 sai (6/2) -Z 0 0-4 5-4 X 3 entra X 3 1/2 0 1 3/2 5/2 X 2-1 1 0-5 1 -Z 2 0 0 11 6 Não há C j < 0, assim a solução atual é ótima. X X X* X X 1 2 3 4 Z* = - 6 * * * * = 0 1 5/2 0 90

Método Simplex - Maximização Modelo de Programação Linear com função objetivo de maximização. Etapa (A): Solução básica viável atual será ótima C j > 0. Etapa (B): A variável X S que entra terá CS > 0, para possibilitar uma melhoria (aumento) no valor da função objetivo associado com a Solução Básica Viável atual. Importante: as operações de pivoteamento não se alteram. 91

Método Simplex (maximização) Exemplo de modelo de maximização resolvido pelo Método Simplex. Modelo original Modelo na forma padrão Max Z = 3X 1 + 5X 2 Max Z = 3X 1 + 5X 2 X1 X2 3X 1 + 2X2 X1 0, X 4 s. a: s. a: 2 6 18 0 X1 + X X2 3X 1 +2X2 Xi 0, i = 1,5 3 + X 4 + X = 4 = 6 5 =18 92

Método Simplex VB X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 b X 3 1 0 1 0 0 4 X 4 0 1 0 1 0 6 X 5 3 2 0 0 1 18 Entra X 2, Sai X 4 -Z 3 5 0 0 0 0 X 3 1 0 1 0 0 4 X 2 0 1 0 1 0 6 X 5 3 0 0-2 1 6 Entra X 1, Sai X 5 -Z 3 0 0-5 0-30 X 3 * 0 0 1 2/3-1/3 2 X 2 * 0 1 0 1 0 6 X 1 * 1 0 0-2/3 1/3 2 -Z* 0 0 0-3 -1-36 Solução Ótima X* 1 = 2, X* 2 = 6, X* 3 = 2, X* 4 = X* 5 = 0, Z* = 36 93

Método Simplex Comentários Gerais Considere um modelo de Programação Linear na forma padrão que seja de minimização. (1) Ocorrência de Empate na Entrada : Escolher para entrar a variável não-básica X s associada ao menor valor de coeficiente de custo relativo CS < 0. (Regra de entrada de Dantzig) 94

Método Simplex (2) Identificação de Solução Ilimitada: Pode ser feita a identificação de solução ilimitada durante a aplicação da etapa (B). Se houver alguma variável não-básica X s para entrar que tenha coeficientes A i, s 0, em todas as equações i (= 1,..., m) do sistema de restrições. 95

Método Simplex Exemplo de Modelo com Solução Ilimitada: Seja a Solução Básica Viável abaixo, associada a forma canônica (S): X 1 = 5, X 2 = 6, X 3 = X 4 = 0, Z = 4 (S): Z X 1 X 2 2X 2X 3 3 4X 3 + 3X 2X + 5X 4 4 4 = 5 (1) = 6 (2) = 4 (3) Observar que C3 = 4 < 0 X 3 deve entrar. Quem vai sair? De (1): X 1 = 5 + 2X 3 quando X3 X1, X2 e Z De (2): X 2 = 6 + 2X 3 Assim o modelo apresenta solução ilimitada com Z. 96

Método Simplex (3) Interpretação geométrica do Método Simplex: Em cada iteração do Método Simplex (Etapa (A) + Etapa (B)) há um deslocamento de uma Solução Básica Viável para outra que apresenta um valor para a função objetivo melhor. Em termos da resolução gráfica: numa iteração há a locomoção de um ponto extremo para outro ponto extremo adjacente na região viável do modelo em questão. 97

Método Simplex Exemplo: Modelo original Min Z = 3X 1 5X 2 s. a: X 1 3X 1 X i + 0, X 2X 2 2 i = 1, 2 4 6 18 X 2 Região viável X 1 98

Método Simplex Exemplo: Modelo original Modelo na forma padrão Min Z = 3X 1 5X 2 Min Z = 3X 1 5X 2 X1 4 s. a: X2 6 s. a: 3X1 + 2X2 18 Xi 0, i =1, 2 X1 + X X2 3X 1 + 2X2 Xi 0, i =1, 5 3 + X 4 + X = 4 = 6 5 =18 X 2 Região viável X 1 99

Método Simplex Resolução do exemplo para interpretação geométrica do Método Simplex: VB X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 b X 3 1 0 1 0 0 4 X 4 0 1 0 1 0 6 X 5 3 2 0 0 1 18 -Z -3-5 0 0 0 0 X 3 1 0 1 0 0 4 X 2 0 1 0 1 0 6 X 5 3 0 0-2 1 6 -Z -3 0 0 5 0 30 X 3 * 0 0 1 2/3-1/3 2 X 2 * 0 1 0 1 0 6 X 1 * 1 0 0-2/3 1/3 2 -Z* 0 0 0 3 1 36 Solução básica viável ótima: X 1 * = 2, X 2 * = 6, X 3 * = 2, X 4 * = X 5 * = 0, Z* = 36 Quadro 1: Entra X 2 Sai X 4 Quadro 2: Entra X 1 Sai X 5 Quadro 3 (ótimo) 100

Método Simplex Visualização das iterações X 2 Quadro 3: X 4 *= X 5 * = 0, Z* = -36, X 1 * = 2, X 2 * = 6, X 3 * = 2. Quadro 2: X 1 = X 4 = 0, Z = -30, X 2 = 6, X 3 = 4, X 5 = 6. Região viável Quadro 1: X 1 = X 2 = 0, Z = 0, X 3 = 4, X 4 = 6, X 5 = 18. X 1 101

Método Simplex (4) Identificação de Soluções Ótimas Múltiplas: Considere que há uma Solução Básica Viável ótima para um modelo de minimização, ou seja, tem-se Z* = Z* e todos C S 0 para toda variável não-básica X s. A identificação da ocorrência de Soluções Ótimas múltiplas é feita, no Quadro Ótimo, quando há alguma variável não-básica X j com = 0. Assim ao se escolher X j para entrar no conjunto das variáveis básicas, não se alterará o valor ótimo Z* da função objetivo. Desta maneira, pode-se obter uma nova Solução Básica Viável ótima na qual X j será uma variável básica. Fica caracterizada assim a existência de múltiplas Soluções Ótimas. C j 102

Método Simplex Exemplo: Modelo original Modelo na forma padrão Min Z = X 1 2X 2 Min Z = X 1 2X 2 X1 3 S. a: X2 4 S. a: X1 + 2X2 9 Xi 0, i = 1, 2 X X X 1 1 i X + 2X 2 2 + X 0, i = 1, 5 3 + X 4 + X 5 = 3 = 4 = 9 A seguir apresenta-se: A resolução gráfica do modelo original. A resolução do modelo na forma padrão pelo Método Simplex. Uma visualização das iterações desenvolvidas pelo Método Simplex sobre a região viável do modelo original. 103

Método Simplex Resolução gráfica do exemplo com múltiplas Soluções Ótimas X 2 1 = X A * 4 (0,4) X* 3 3 = X B * Z* = - 9 Z = - 6 Observação: X A *, X B * são soluções básicas viáveis ótimas, Z* = 9 é o valor ótimo da função objetivo, a expressão geral da Solução Ótima é: X* = X A * + (1 ) X B * com 0 1. (3,0) X 1 104

Método Simplex Resolução do modelo na forma padrão VB X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 b X 3 1 0 1 0 0 3 X 4 0 1 0 1 0 4 Quadro 1: Entra X 2 e Sai X 4 X 5 1 2 0 0 1 9 -Z -1-2 0 0 0 0 X 3 1 0 1 0 0 3 X 2 0 1 0 1 0 4 Quadro 2: Entra X 1 e Sai X 5 X 5 1 0 0-2 1 1 -Z -1 0 0 2 0 8 X 3 * 0 0 1 2-1 2 X 2 * 0 1 0 1 0 4 Quadro 3: Ótimo (X A *) X 1 * 1 2 0-2 1 1 -Z* 0 0 0 0 0 9 X 4 * 0 0 1/2 1-1/2 1 X 2 * 0 1-1/2 0 1/2 3 X 1 * 1 0 1 0 0 3 Z* 0 0 0 0 1 9 Quadro 4 Ótimo (X B *) Solução ótima geral: X* = X A * + (1 - ) X B *, com 0 1, e Z* = - 9 105

Método Simplex Visualização das iterações do Método Simplex X 2 Quadro 3: X 4 * = X 5 * = 0, X 1 * = 1, X 2 * = 4, X 3 * = 2, Z* = -9 X* = X A * + (1 -) X B *, onde 0 1 Quadro 2: X 1 = X 4 = 0, X 2 = 4, X 3 = 3, X 5 = 1, Z = -8 X* X A Quadro 4: X 3 * = X 5 * = 0, X 1 * = 3, X 2 * = 3, X 4 * = 1, Z* = -9 X B É o caso, em termos de resolução gráfica, de um segmento de reta ótimo. (0,0) Quadro 1: X 1 X 1 = X 2 = 0, X 3 = 3, X 4 = 4, X 5 = 9, Z = 0 106

Método Simplex Observação importante: Se no Quadro 3, na coluna da variável X 4 não houvesse algum coeficiente A i,4 > 0, não se poderia efetuar o pivoteamento; Então este é o caso, em termos da resolução gráfica, que a Solução Ótima é uma semi-reta, da forma X* = X A * com 1. 107

Procedimentos de inicialização para o Método Simplex Considere um modelo de Programação Linear que esteja na forma padrão Se todas as restrições do modelo original (ainda não colocado na forma padrão) forem desigualdades do tipo, tem-se uma forma canônica inicial (ou seja, uma Solução Básica Viável inicial) evidente, onde as variáveis básicas serão as variáveis de folga introduzidas para a redução das desigualdades para equações equivalentes. Se alguma restrição do modelo original for uma igualdade =, ou ainda desigualdade do tipo, a condição acima não ocorrerá e não haverá uma Solução Básica Viável inicial explícita. Quando não há uma Solução Básica Viável inicial deve-se utilizar algum procedimento de inicialização para o Método Simplex. 109

(1) Método das Duas Fases. Procedimentos de inicialização para o Método Simplex Fase 1: (a) Construção e resolução de um modelo artificial (b) Análise da Solução Ótima do modelo artificial Fase 2: Resolução do modelo original utilizando como solução inicial a Solução Ótima do modelo artificial. (2) Método do Big M. Introduz variáveis artificiais, nas equações do sistema de restrições (exatamente como o método das duas fases), e na função objetivo original com coeficientes penalizantes adequados, isto é, M >>0 para minimização e M <<0 para maximização. A seguir apresenta-se as bases do Método das Duas Fases para inicialização do Método Simplex. 110

Procedimentos de inicialização para o Método Simplex Desenvolvimento do Método das Duas Fases Considere que o modelo de Programação Linear na forma padrão abaixo não apresenta uma Solução Básica Viável inicial, isto é, não há uma forma canônica evidente. Modelo original (na forma padrão) Min Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 +... + C n X n s.a: A 11 X 1 +............... A m1 X 1 +... X i 0, i = 1, + A............ + A n 1n mn X n X = b n = b 1 m 111

Procedimentos de inicialização para o Método Simplex Fase 1: Construção e resolução de um modelo artificial O modelo artificial, a partir das equações do sistema de restrições do modelo original será: com Y 1, Y 2,..., Y m sendo as variáveis artificiais não negativas. Min W = Y 1 + Y 2 +... + Y m s. a: A11X1 +... + A1nXn + Y1 = b1 A21X1 +... + A2nXn + Y2 = b2... Am1X1 +... + AmnXn + Ym = b Xi 0, i =1, n ; Yj 0, j =1, m A F. O. artificial sempre será de Minimização, qualquer que seja o Modelo Original. m 112

Procedimentos de inicialização para o Método Simplex Observe que o modelo artificial está na forma padrão com Solução Básica Viável inicial: X 1 = X 2 =... = X n = 0 (variáveis não-básicas) Y 1 = b 1, Y 2 = b 2,..., Y m = b m (variáveis básicas) W = b 1 + b 2 +... + b m. Analisando o valor ótimo da função objetivo W* do modelo artificial pode-se concluir: Caso 1: Se W* 0 há pelo menos uma variável básica artificial Y j com valor 0. Nesta situação conclui-se que o sistema de restrições do modelo original depende destas variáveis artificiais não nulas para ser satisfeito. Assim o Modelo Original é inviável. Não há a fase 2. 113

Procedimentos de inicialização para o Método Simplex Caso 2: se W* = 0 Y 1 * = Y 2 * =... = Y m * = 0. Conclui-se que o sistema de restrições do Modelo Original pode ser satisfeito apenas com as variáveis X i. Desta forma o Modelo Original é viável. Subcaso 2.1: se todas as variáveis artificiais são nãobásicas na Solução Ótima do modelo artificial. Basta eliminar todas as variáveis artificiais, substituir a função objetivo artificial pela original, e iniciar a fase 2. 114

Procedimentos de inicialização para o Método Simplex Subcaso 2.2: se alguma variável artificial permanece como variável básica na Solução Ótima do modelo artificial. Observe que estas variáveis devem ser nulas, pois W* = 0. Deve-se, através de operações de pivoteamento, substituir estas variáveis artificiais básicas por variáveis originais, eliminar todas as variáveis artificiais não básicas, substituir a função objetivo artificial pela original, e iniciar a fase 2. Se não é possível substituir alguma variável artificial básica por uma variável original (pela inexistência de elemento pivot), basta eliminar a equação associada com a variável artificial em questão (a equação é uma combinação linear das demais equações do modelo original). 115

Procedimentos de inicialização para o Método Simplex Exemplo de aplicação do Método das Duas Fases Modelo Modelo na forma padrão Min Z = -3X 1-5X 2 Min Z = -3X 1-5X 2 X1 4 X 6 3X1 + 2X2 18 Xi 0, i =1,2 2 s. a: s. a: X1 + X X2 3X1 + 2X2 Xi 0, i =1, 5 3 + X 4 - X 5 = 4 = 6 =18 116

Procedimentos de inicialização para o Método Simplex Fase 1: construção do Modelo Artificial Min W = Y 1 s. a: X 1 + X 3 = 4 X 2 +X 4 = 6 3X 1 + 2X 2 X 5 + Y 1 = 18 X i 0, i = 1,5; Y i 0 Solução básica viável inicial para o Modelo Artificial: X 1 = X 2 = X 5 = 0 (variáveis não-básicas) X 3 = 4, X 4 = 6, Y 1 = 18 (variáveis básicas) W = 18 117

Exemplo de aplicação do Método das Duas Fases Fase 1: Resolução do Modelo Artificial VB X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 Y 1 b X 3 1 0 1 0 0 0 4 Adequar a X 4 0 1 0 1 0 0 6 função Y 1 3 2 0 0-1 1 18 objetivo -W 0 0 0 0 0 1 0 Transformar em Zeros os coeficientes das variáveis artificiais na F. O. X 3 1 0 1 0 0 0 4 X 4 0 1 0 1 0 0 6 Quadro 1 Y 1 3 2 0 0-1 1 18 -W -3-2 0 0 1 0 18 X 1 1 0 1 0 0 0 4 X 4 0 1 0 1 0 0 6 Quadro 2 Y 1 0 2-3 0-1 1 6 -W 0-2 3 0 0 1 0 X 1 1 0 1 0 0 0 4 X 4 0 0 3/2 1 1/2-1/2 3 Quadro 3 X 2 0 1-3/2 0-1/2 1/2 3 -W* 0 0 0 0 0 1 0 Fase 1: Análise da Solução Ótima do Modelo Artificial W* = 0 Caso 2.1: Modelo Original viável. Não há variáveis básicas artificiais. Eliminar variáveis artificiais, substituir função objetivo artificial pela original. Iniciar fase 2. 118

Exemplo de aplicação do Método das Duas Fases Fase 2: Resolução do Modelo Original VB X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 b X 1 1 0 1 0 0 4 Adequar a X 4 0 0 3/2 1 1/2 3 função X 2 0 1-3/2 0-1/2 3 objetivo -Z -3-5 0 0 0 0 X 1 1 0 1 0 0 4 X 4 0 0 3/2 1 1/2 3 Quadro 3 X 2 0 1-3/2 0-1/2 3 -Z 0 0-9/2 0-5/2 27 X 1 * 1 0 0 0 0 4 X 5 * 0 0 3 2 1 6 Quadro 4 X 2 * 0 1 0 1 0 6 (Ótimo) -Z* 0 0 3 5 0 42 Coeficientes de variáveis básicas na F. O. devem ser Zero Solução ótima (única) do Modelo Original: X 1 * = 4, X 2 * = 6, X 5 * = 6, X 3 * = X 4 * = 0, Z* = -42 119

Exemplo de aplicação do Método das Duas Fases Visualização das iterações Modelo Min Z = -3X 1-5X 2 s. a: X 1 4 X 2 6 3X 1 + 2X 2 18 X i 0, i = 1,2 (1) (2) (3) (4) 120

Visualização da Iterações do Método das Duas Fases X 2 Quadro 4: Ótimo, Z* = -42 (2, 6) Região (4, 6) Viável Quadro 1: W = 18, Z = 0 Quadro 3= Quadro 3 : W = 0, Z = -27 (4, 0) (4, 3) Quadro 2: W = 6, Z = -12 X 1 121

Exercícios: Resolver graficamente e pelo Simplex 1. Min Z = X 1 + 2 X 2 X 1 + X 2 3 s. a: 2X 1 + X 2 2 X 1, X 2 0 (R: Inviável) 2. Max Z = 6X 1 + 10 X 2 3X 1 + 5X 2 15 s. a: 5X 1 + 2X 2 10 X 1, X 2 0 R: há mais de uma solução ótima (Segmento de reta ótimo) 123

Exercícios 3. Max Z = 2X 1 + 2X 2 X 1 - X 2-1 s. a: - ½ X 1 + X 2 2 X 1, X 2 0 (R: Solução ilimitada) 4. Max Z = X 1 + X 2 X 1 + 4X 2 4 s. a: 3X 1 + X 2 = 1 X 1, X 2 0 Comentário: Fica a Variável Artificial na solução ótima do Problema Artificial como Variável Básica, ela sai por pivoteamento. 124

Exercícios 5. Max Z = X 1 + X 2 2X 1 + 3X 2 = 5 s. a: - 6X 1-9X 2 = - 15 X 1 X 2 0 X 1, X 2 0 Comentário: 1a. equação é combinação linear das demais. 6. Max Z = - 4X 1 + X 2 3X 1 + X 2 3 s. a: X 1 - X 2-1 4X1 X2-4 X 1, X 2 0 R: Há mais de uma solução ótima (Semi-reta ótima) 125