O Solver é uma ferramenta de otimização disponível no MS- Excel; PESQUISA OPERACIONAL 4470E- 04 A estrutura de planilha do Excel facilita na modelagem de um problema de Programação Linear neste ambiente; Entretanto, a resolução do problema através do Solver depende de uma adequada interpretação e modelagem deste. SEMESTRE 2012/1 Prof. Rafael Roco de Araújo 1 Prof. Rafael Roco de Araújo 2 A opção Solver está localizada no Menu Dados Se a opção Solver não estiver disponível, ela poderá ser habilitada em Opções do Excel. Prof. Rafael Roco de Araújo 3 Prof. Rafael Roco de Araújo 4
A seguir, selecionar Suplementos Clicar em Ir Prof. Rafael Roco de Araújo 5 Prof. Rafael Roco de Araújo 6 Selecionar Solver e clicar ok Para desenvolvermos a aplicação de um modelo de PL no Solver vamos considerar o seguinte problema Certa empresa fabrica dois produtos, denominados como P1 e P2, respectivamente. O lucro por unidade vendida de P1 é de R$ 100,00 e de P2 é de R$ 150,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para fabricação é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes a serem produzidos não devem ultrapassar 40 unidade de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. Prof. Rafael Roco de Araújo 7 Prof. Rafael Roco de Araújo 8
O modelo matemático para este problema é dado por: O modelo matemático é reescrito da seguinte forma no MS-Excel Max Z = 100x 1 + 150x 2 s.a. 2x 1 + 3x 2 120 x 1 40 x 2 30 x 1, x 2 0 Prof. Rafael Roco de Araújo 9 Prof. Rafael Roco de Araújo 10 Na planilha mostrada no slide anterior temos: Nas células E3 e F3 são digitados os valores dos coeficientes de custo da função-objetivo; Nas células E4 e F4 são digitados os valores das variáveis, inicialmente iguais a zero. Quando o problema for resolvido estes valores poderão mudar; Na célula H3 será apresentado o resultado final da solução ótima (valor de Z); Nas células E6, F6, E7, F7, E8, F8 são digitados os coeficientes tecnológicos das restrições do problema; Nas células H6, H7 e H8 são digitados os valores do lado direito das restrições. H3 que dará o resultado da função-objetivo Na seqüência são inseridas as formulações matemáticas necessárias conforme indicado nos slides seguintes. Prof. Rafael Roco de Araújo 11 Prof. Rafael Roco de Araújo 12
G6 que dará o resultado da restrição 1 G7 que dará o resultado da restrição 2 Prof. Rafael Roco de Araújo 13 Prof. Rafael Roco de Araújo 14 G8 que dará o resultado da restrição 3 Após serem digitados os parâmetros do modelo e as fórmulas matemáticas, são informados os parâmetros ao Solver, conforme será mostrado nos próximos slides. Prof. Rafael Roco de Araújo 15 Prof. Rafael Roco de Araújo 16
Clicar na opção Solver no menu Dados Esta caixa de diálogo será aberta Prof. Rafael Roco de Araújo 17 Prof. Rafael Roco de Araújo 18 Na caixa de diálogo de parâmetros do Solver são especificados inicialmente: A célula de destino, que conterá o resultado da funçãoobjetivo (H3); O objetivo a ser alcançado no problema. Neste caso, como é um problema de maximização, selecionar Máx ; As células das variáveis (E4, F4). Clicar em Adicionar Na seqüência são acrescentadas nos parâmetros do solver as restrições do problema. Prof. Rafael Roco de Araújo 19 Prof. Rafael Roco de Araújo 20
Abre-se a caixa Adicionar restrição Para a restrição 1 digita-se a referência de célula (G6), o tipo de desigualdade ( ) e o lado direito da restrição (H6). Clicar a seguir em Ok Prof. Rafael Roco de Araújo 21 Prof. Rafael Roco de Araújo 22 Clicar em Adicionar para acrescentar a restrição 2 Para a restrição 2 digita-se a referência de célula (G7), o tipo de desigualdade ( ) e o lado direito da restrição (H7). Clicar a seguir em Ok Prof. Rafael Roco de Araújo 23 Prof. Rafael Roco de Araújo 24
Clicar em Adicionar para acrescentar a restrição 3 Para a restrição 3 digita-se a referência de célula (G8), o tipo de desigualdade ( ) e o lado direito da restrição (H8). Clicar a seguir em Ok Prof. Rafael Roco de Araújo 25 Prof. Rafael Roco de Araújo 26 Clicar em Opções para definições adicionais do modelo Abre-se a caixa Opções do Solver e seleciona-se Presumir modelo linear e Presumir não negativos. Mantendo os demais parâmetros, clica-se em Ok. Prof. Rafael Roco de Araújo 27 Prof. Rafael Roco de Araújo 28
Valor das variáveis x 1 e x 2 Valor de Z Clicar em Resolver Recursos consumidos Prof. Rafael Roco de Araújo 29 Prof. Rafael Roco de Araújo 30 Relatórios adicionais do Solver são obtidos selecionando-se Resposta, Sensibilidade e Limites. A seguir clica-se em Ok. São abertas 3 abas adicionais na planilha, que trazem os respectivos resultados Prof. Rafael Roco de Araújo 31 Prof. Rafael Roco de Araújo 32
O Relatório de Resposta trás os seguintes resultados: o valor de Z; o valor das variáveis; o valor das folgas para o problema em questão. O Relatório de Sensibilidade trás os seguintes resultados: alterações permitidas para os coeficientes da função-objetivo; alterações permitidas para o lado direito das restrições ; o Preço Sombra. Prof. Rafael Roco de Araújo 33 Prof. Rafael Roco de Araújo 34 Um Problema do Transporte é representado da seguinte forma no Excel Min Z = 60x 11 + 40x 12 + 28x 13 + 50x 21 + 30x 22 + 30x 23 + 43x 31 + 20x 32 + 20x 33 O Relatório de Limites trás os valores inferior e superior conforme o valor das variáveis de decisão. s.a x 11 + x 12 + x 13 120 x 21 + x 22 + x 23 150 x 31 + x 32 + x 33 160 x 11 + x 21 + x 31 = 100 x 12 + x 22 + x 32 = 100 x 13 + x 23 + x 33 = 100 Prof. Rafael Roco de Araújo 35 Prof. Rafael Roco de Araújo 36
Um Problema do Transporte é representado da seguinte forma no Excel G8 que dará o resultado da restrição 1 Origens, destinos e custos unitários de transporte Variáveis do problema, oferta por ponto de fornecimento e demanda por ponto de destino Valor de Z para a solução ótima do problema Prof. Rafael Roco de Araújo 37 Prof. Rafael Roco de Araújo 38 G9 que dará o resultado da restrição 2 G10 que dará o resultado da restrição 3 Prof. Rafael Roco de Araújo 39 Prof. Rafael Roco de Araújo 40
C11 que dará o resultado da restrição 4 D11 que dará o resultado da restrição 5 Prof. Rafael Roco de Araújo 41 Prof. Rafael Roco de Araújo 42 E11 que dará o resultado da restrição 6 F11 que dará o resultado da restrição da variável dummy Prof. Rafael Roco de Araújo 43 Prof. Rafael Roco de Araújo 44
D14 que dará o resultado da função-objetivo Prof. Rafael Roco de Araújo 45 Prof. Rafael Roco de Araújo 46 Prof. Rafael Roco de Araújo 47 Prof. Rafael Roco de Araújo 48
Um Problema de Alocação é representado da seguinte forma no Excel Operários, máquinas e custos unitários G9 que dará o resultado da restrição 1. Completar nas células G10, G11 e G12 as restrições 2, 3 e 4 respectivamente Variáveis do problema, oferta e demanda Valor de Z para a solução ótima do problema Prof. Rafael Roco de Araújo 49 Prof. Rafael Roco de Araújo 50 C13 que dará o resultado da restrição 5. Completar as células D13, E13 e F13 com as restrições 6, 7 e 8 respectivamente D16 que dará o resultado da função-objetivo Prof. Rafael Roco de Araújo 51 Prof. Rafael Roco de Araújo 52
Prof. Rafael Roco de Araújo 53 Prof. Rafael Roco de Araújo 54 Prof. Rafael Roco de Araújo 55