TÓPICOS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: COMBINATÓRIA

TÓPICOS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: COMBINATÓRIA Heitor Achilles Dutra da Rosa CEFET RJ heitorachilles@aolcom Introdução Entendemos por Combinatória o ramo da Matemática que nos permite resolver problemas em que basicamente, é necessário escolher e organizar os objetos de um conjunto, isto é, a parte da Matemática em que estudamos as técnicas de contagem de agrupamentos que podem ser feitos com elementos de um dado conjunto Tendo sua origem basicamente no estudo dos jogos de azar, tais como lançamentos de dados, jogos de carta, etc, a Combinatória sofreu e sofre até hoje, intenso desenvolvimento Seus métodos são aplicados em diversas áreas como no cálculo das probabilidades, em problemas de transporte, de confecção de horários, de elaboração de planos de produção, de programação linear, de estatística, de teoria da informação, de biologia molecular, de economia, de lógica, etc Além disso, esses métodos são também utilizados em problemas de Matemática Pura, como na teoria dos grupos e de representações, no estudo dos fundamentos da geometria, nas álgebras não associativas, etc Diante de tamanha importância, não só para a Matemática, mas em diversas áreas, acredita-se que seu estudo merece maior destaque e atenção já nas séries iniciais da Educação Básica, bem como, na sua etapa final, uma vez que a combinatória pode exercer uma função não apenas de levar o aluno a ter acesso à Matemática como ciência, com suas peculiaridades e conceitos específicos, mas também possibilitar que ele ao se apropriar da linguagem que as ciências naturais e sociais utilizam para descrever fenômenos diversos e de aprofundar seu conhecimento sobre procedimentos matemáticos de enfrentamento e resolução de situações-problema Tradicionalmente, o estudo de Combinatória é calcado em definições e fórmulas que automatizam os estudantes num trabalho mecânico que muitas vezes fica distante da compreensão do que estão fazendo E é aí que começam a surgir equívocos,

2 como por exemplo, entre definições como a de arranjos e combinações Isso traz a impossibilidade do professor ir além do desenvolvimento dos agrupamentos simples, já que a situação se complica quando se tenta abordar os agrupamentos com repetição Já é consenso entre educadores e matemáticos que, no ensino bemsucedido, os alunos precisam compreender aquilo que aprendem e que essa compreensão é garantida quando eles participam da construção das idéias matemáticas Dessa forma alcançar tais objetivos só é possível quando os próprios professores compreendem os conceitos matemáticos abstratos Diante de tais considerações este mini-curso é uma proposta oferecida a professores de Ensino fundamental e médio, bem como, dirigido também a alunos de graduação em licenciatura de Matemática Assim, o mini-curso dará ênfase a resolução de problemas contextualizados, que mostram várias aplicações da combinatória É também um dos objetivos do mini-curso demonstrar, por meio de conceitos da combinatória alguns resultados matemáticos que se mostram bastante freqüentes ao longo das séries do ensino fundamental e médio O princípio multiplicativo Problema 1: Três estradas X, Y e Z conduzem ao topo de morro De quantos modos diferentes uma pessoa pode subir e descer este morro? Se a pessoa pode subir por X então pode descer por X, Y ou Z Diante disso escolhendo uma das três estradas para subir temos 3 possibilidades de escolha de estradas para descer Podemos dispor todas as maneiras de percursos na tabela abaixo: subida\descida X Y Z X (X, X) (X, Y) (X, Z) Y (Y, X) (Y, Y) (Y, Z) Z (Z, X) (Z, Y) (Z, Z) A tabela mostra facilmente que há 33 =9percursos possíveis de ida e volta Problema 2: Suponha que no problema 1 a pessoa não queira descer o morro pela mesma estrada que usou para subir Quantos caminhos diferentes de ida e volta ela pode efetuar?

3 Neste caso temos que há 3 maneiras diferentes para subir e 2 diferentes para descer Logo, o número de percursos diferentes possíveis é igual a 32 = 6 A partir dos problemas acima podemos enunciar um dos princípios básicos da combinatória, o princípio multiplicativo Princípio multiplicativo: Se um acontecimento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e se, para cada uma das m maneiras possíveis de ocorrências de A, um segundo acontecimento B pode ocorrer de n maneiras diferentes então o número de maneiras de ocorrer o acontecimento A seguido do acontecimento B é m n Mas, como verificar a validade de tal princípio? Podemos fazer isso de forma bastante simples, isto é, verificando a validade do Princípio intuitivamente Denote por a1, a 2,, am as m maneiras de ocorrências de A e por b1, b2,, bn as n maneiras de ocorrências de B, após A ter ocorrido da maneira a (onde i = 1,2,, m) Diante disso, podemos construir o seguinte uma tabela como a do problema 1: i A \ B b 1 b 2 b n a 1 (a 1,b 1 ) (a 2,b 2 ) (a 1,b n ) a 2 (a 2,b 1 ) (a 2,b 2 ) (a 2,b n ) a m (a m,b 1 ) (a m,b 2 ) (a m,b n ) Diante da tabela temos que existem m n pares ordenados e em cada par ordenado ( a, b ), representa uma das m possibilidades de ocorrer o acontecimento A, i j enquanto que b representa uma das n possibilidades de ocorrer o acontecimento B j a i Segue de imediatamente a constatação da validade do princípio multiplicativo

4 Problema 3: Quantos números de três algarismos podem ser formados no sistema decimal? Considere um número de três algarismo, como algo representado por P 1 P 2 P 3 Daí, temos: d 1 : escolher um algarismo, diferente de zero, para a posição P 1 ; d 2 : escolher um algarismo para a posição P 2 ; d 3: escolher um algarismo para a posição P 3 Assim, temos que # d 1 = 9, # d 2 = 10 e # d 3 = 10 Logo, pelo princípio multiplicativo temos que 91010 = 900números Problema 4: Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados no sistema decimal? Considere um número de três algarismo, como algo representado por P 1 P 2 P 3 Daí, temos: d 1 : escolher um algarismo, diferente de zero, para a posição P 1 ; d 2 : escolher um algarismo, diferente do escolhido em d 1, para a posição P 2 ; d 3: escolher um algarismo, diferente dos escolhidos em d 1 e d 2, para a posição P 3 Assim, temos que # d 1 = 9, # d 2 = 9 e # d 3 = 8 Logo, pelo princípio multiplicativo temos que 998 = 648números Os dois últimos problemas ilustram que nunca devemos, quando estamos resolvendo um problema de combinatória, deixar uma dificuldade para depois Ou seja: se existe uma restrição causando dificuldades então devemos satisfaze-la em primeiro lugar

5 Problema 5: Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados no sistema decimal? Este problema apresenta uma dificuldade maior por isso vamos resolve-lo em duas etapas Etapa 1: Calcular a quantidade de números de três algarismos distintos terminados em zero Considere um número de três algarismo, como algo representado por P 1 P 2 P 3 Daí, temos: d 1 : colocar o número zero na posiçãop 3 ; d 2 : escolher um algarismo, diferente de zero, para a posição P 1 ; d 3: escolher um algarismo, diferente dos escolhidos em d 1 e d 2, para a posição P 2 Assim, temos que # d 1 = 1, # d 2 = 9 e # d 3 = 8 Logo, pelo princípio multiplicativo temos que 198 = 72números Etapa 2: Determinar a quantidade de números pares de três algarismos distintos não terminados em zero Considere um número de três algarismo, como algo representado por P 1 P 2 P 3 Daí, temos: d 1 : escolher um algarismo, dentre 2, 4, 6, 8 para a posiçãop 3 ; d 2 : escolher um algarismo, diferente de zero e diferente do escolhido em d 1, para a posição P 1 ; d 3: escolher um algarismo, diferente dos escolhidos em d 1 e d 2, para a posição P 2 Assim, temos que # d 1 = 4, # d 2 = 8 e # d 3 = 8 Logo, pelo princípio multiplicativo temos que 488 = 256números Portanto, temos que a solução do nosso problema inicial é dada por 72 + 256 = 328 números Do problema 5 podemos tirar a seguinte lição: se em certa posição um objeto causa dificuldade para escolha de ocorrência de objetos em outra posição, então devemos dividir o problema em duas etapas, conforme o objeto ocupe ou não a posição considerada Problema 6: Um dado é lançado 4 vezes Qual o número de maneiras nas quais o 6 pode aparecer em seqüência, precisamente duas vezes

6 Usando a lição tirada do problema 5, vamos dividir em etapas a solução desse problema Etapa 1: Cálculo do número de maneiras de aparecer o número 6 em seqüência nos dois primeiros lançamentos A 1 : resultado do lançamento do dado pela 3 a vez A 2 : resultado do lançamento do dado pela 4 a vez 6 6 Assim, temos que # A 1 = 5 e # A 2 = 6 Logo, pelo princípio multiplicativo temos que 56 =30 Etapa 2: Cálculo do número de maneiras de aparecer o número 6 em seqüência no 2 o e no 3 o lançamento A 1 : resultado do lançamento do dado pela 1 a vez A 2 : resultado do lançamento do dado pela 4 a vez 6 6 Assim, temos que # A 1 = 5 e # A 2 = 5 Logo, pelo princípio multiplicativo temos que 55 = 25 Etapa 3: Cálculo do número de maneiras de aparecer o número 6 em seqüência nos dois últimos lançamentos A 1 : resultado do lançamento do dado pela 1 a vez A 2 : resultado do lançamento do dado pela 2 a vez 6 6 Assim, temos que # A 1 = 6 e # A 2 = 5 Logo, pelo princípio multiplicativo temos que 65 =30 Portanto, a resposta do problema é 30 + 25 + 30 = 85 Problema 7: De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 7 cadeiras em fila? d 1 : escolher uma cadeira para a primeira pessoa; d 2 : escolher uma cadeira para a segunda pessoa depois de ter ocorrido d 1; ; d 3: escolher uma cadeira para a terceira pessoa, após ter ocorrido d 1 e d 2 Assim, temos que # d 1 = 7, # d 2 = 6 e # d 3 = 5 Logo, pelo princípio multiplicativo temos que 7 6 5 = 210 números Problema 8: Quantos divisores naturais possui o número 108? 2 3 Temos que o número 108 pode ser escrito como 108 = 2 3 Com isso temos que qualquer divisor de 108 e da forma 2 x en =1 3 y a com de e y {0,1, 2, Dessa forma, para obter um 11 s t (A)= aa+aa++aa 11 11 12 12 1n 1n sen 3} 1

7 divisor de 108 devemos substituir em 2 x y 3 expoente y por um dos números 0, 1, 2,3 Então: d 1 : escolha de um valor para x d 2 : escolha de um valor para y o expoente x por um dos números 0, 1,2 e o Assim, temos que # d 1 = 3, # d 2 = 4 Logo, pelo princípio multiplicativo temos que 34 = 12números divisores Problema 9: Quantos subconjuntos possui um conjunto com n elementos? Seja o conjunto A= { a1, a2,, a n } Cada subconjunto de A possui x 1 elementos, x 2 elementos a,, x n elementos a, onde xi {0,1} com i = 1,2,, n Para se formar um subconjunto de A devemos escolher um valor para x 1, um valor para x 2,, um valor para x n d 1 : escolher um valor para x 1 d 2 : escolher um valor para x 2 d n : escolher um valor pára x n a1 2 Assim, temos que # d 1 = 2, # d 2 = 2,, # d n = 2 Logo, pelo princípio multiplicativo temos que 2222 = 2 n subconjuntos n Problema 10: n automóveis devem entrar sucessivamente numa rua que dá mão para um único lado e estacionar em n vagas existentes Cada carro deve justapor-se a um carro já estacionado Podendo o primeiro carro ocupar qualquer das vagas, quantas filas distintas podem ser formadas? O número de maneiras de arrumar automóveis os n automóveis nas n vagas, nas condições do problema é igual ao número de maneiras de arruma-los fora das vagas e em seguida encaixa-los nas mesmas d 1 : colocar o 1 o carro d 2: colocação do 2 o carro, após ter ocorrido d 1 d 3 : colocação do 3 o carro, após terem ocorrido d 1 e d 2

8 d n : colocação do n-ésimo carro, após ter ocorrido d 1, d 2,, d n Assim, temos que # d 1 = 1 (já que o primeiro carro não há condição de ser satisfeita); # d 2 =2 (na frente ou atrás do 1 o carro), # d 3 = 2 (na frente ou atrás dos dois carros já arrumados),, # d n = 2 (na frente ou atrás dos n 1 carros já arrumados) Logo, pelo princípio multiplicativo temos que 1 2 22 = 2 n 1 modos Problema 11: Sejam os conjuntos A= { a1, a2,, ap} e B = { b1, b2,, bm} Quantas aplicações f:a B podem ser definidas? d 1 : escolher uma imagem para o elemento ; a 1 d 2 : escolher uma imagem para o elemento, após ter ocorrido d 1 ; a 2 d 3: escolher uma imagem para o elemento, após ter ocorrido d 1 e d 2 ; a 3 d p : escolher uma imagem para o elemento, após ter ocorrido d 1, d 2,, d p ; a p Assim, temos que # d 1 = m, # d 2 = m, # d 3 = m,, # d p = m Logo, pelo princípio multiplicativo temos que m m m m = m p aplicações f:a B podem Problema 12: Sejam os conjuntos A= { a1, a2,, ap} e B = { b1, b2,, bm} Quantas aplicações injetoras f:a B podem ser definidas? d 1 : escolher uma imagem para o elemento ; a 1 d 2 : escolher uma imagem para o elemento, após ter ocorrido d 1 ; a 2 d 3: escolher uma imagem para o elemento, após ter ocorrido d 1 e d 2 ; a 3 d p : escolher uma imagem para o elemento, após ter ocorrido d 1, d 2,, d p ; a p

9 Assim, temos que # d 1 = m, # d 2 = m - 1, # d 3 = m - 2,, # d p = m (p + 1) Logo, pelo princípio multiplicativo temos que m ( m 1) ( m 2) ( m ( p 1)) = m ( m 1) ( m 2) ( m p+ 1) aplicações injetoras f:a B Problema 12: Sejam os conjuntos A= { a1, a2,, an} e B = { b1, b2,, bn} Quantas aplicações bijetoras f:a B podem ser definidas? d 1 : escolher uma imagem para o elemento ; a 1 d 2 : escolher uma imagem para o elemento, após ter ocorrido d 1 ; a 2 d 3: escolher uma imagem para o elemento, após ter ocorrido d 1 e d 2 ; a 3 d n : escolher uma imagem para o elemento, após ter ocorrido d 1, d 2,, d n ; a n Assim, temos que # d 1 =n, # d 2 = n - 1, # d 3 = n - 2,, # d p = n (n - 1) Logo, pelo princípio multiplicativo temos que bijetoras f:a B n ( n 1) ( n 2) ( n ( n 1)) = n ( n 1) ( n 2) 1 aplicações Problema 13: Dados n objetos distintos a1, a2,, an, de quantos modos é possível ordena-los? Para os objetos a, b, c há 6 ordenações: abc, acb, bac, bca, cba, cab No caso geral temos n modos de escolher o objeto que ocupará o primeiro lugar, n q modos de escolher o que ocupará o segundo lugar,, 1 modo de escolher o objeto que ocupará o último lugar Temos então que o problema é equivalente ao problema 12, logo o número de modos de ordenar n objetos distintos é n ( n 1) ( n 2) 1 A partir do problema 13 definimos cada ordenação dos n objetos como uma permutação simples de n objetos e o número de permutações de n objetos distintos, representado por P n é

10 igual a n! = n ( n 1) ( n 2) 1 (Já que 0!=1, define-se P 0 = 1) Em outras palavras uma permutação nada mais é que uma função bijetora P: A A Problema 14: Quantos são os anagramas da palavra QUADRO que começam por vogal? Considere as posições de cada letra da palavra quadro P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 d 1 : escolher uma vogal, dentre a, o, u para a posição P 1 ; d 2 : permutar as letras restantes Assim, temos que # d 1 = 3, # d 2 = 5!=120 Logo, pelo princípio multiplicativo temos que 3 120 = 360 anagramas Problema 15: De quantos modos podemos formar uma roda com 6 crianças? À primeira vista parece que para formar uma roda com as 6 crianças basta escolher uma ordem para eles, o que pode ser feito de120!= 720 modos Mas, há rodas iguais como por exemplo, ABCDE e EABCD (onde A, B, C, D e E representam as crianças) Daí, a contagem de 720 rodas contou cada roda 6 vezes Portanto, temos como resposta para o problema 720 120 6 = Problema 16: De quantos modos podemos dividir 12 pessoas em dois grupos de 6? A divisão pode ser feita colocando as 12 pessoas em fila e dividindo-as de modo que um dos grupos seja formado pelas 6 primeiras pessoas e o outro pelas 6 últimas Temos que tomar cuidado que a solução, embora pareça ser 12! não é Pois em 12! maneiras temos que cada divisão foi contada vezes (2 por causa da ordem dos grupos, 6! Por causa da ordem dos elementos no 1 o grupo e 6! Por causa da ordem dos elementos no 2 o grupo) Portanto, temos como resposta 26!6! 12! 26!6! = 462 Problema 17: De quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n objetos distintos dados? Cada subconjunto com p elementos é chamado de uma combinação simples de classe p dos n objetos a 1, a 2,, a n

11 Assim, por exemplo, as combinações simples de classe 3 dos objetos a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 são: {a 1,a 2,a 3 } {a 1,a 2,a 4 } {a 1,a 2,a 5 } {a 1,a 3,a 4 } {a 1,a 3,a 5 } {a 1,a 4,a 5 } {a 2,a 3,a 4 } {a 2,a 3,a 5 } {a 2,a 4,a 5 } {a 3,a 4,a 5 } O número de combinações simples de classe p de n Objetos é representado por 3 C Assim, C 5 = 10 p n Analisemos esta resposta: a escolha do 1º elemento da combinação pode ser feita de 5 modos; a do 2º, de 4 modos e a do 3º, de 3 modos A resposta parece ser 54 3= 60 Entretanto, se pensarmos numa combinação, por exemplo, {a 1,a 2,a 3 }, verificamos que as combinações {a 1,a 2,a 3 }, {a 1,a 3,a 2 }, {a 2,a 1,a 3 }, etc são idênticas e foram contadas como se fossem diferentes Com efeito, se dissermos que há 5 modos de escolher o 1º elemento da combinação é porque estamos considerando as escolhas a 1 e a 2 como diferentes e portanto estamos contando {a 1,a 2,a 3 } como diferente de {a 2,a 1,a 3 } Em suma, na resposta 60 estamos contando cada combinação uma vez para cada ordem de escrever seus elementos Como em cada combinação os elementos podem ser escritos em P 3 = 3! = 6 ordens, cada combinação foi contada 6 vezes Logo, a resposta é 60/6 = 10 p nn ( 1)( n p+ 1) 0 No caso geral temos Cn =,0 < p n, C n = 1 p! Uma expressão alternativa pode ser obtida multiplicando o numerador e o denominador por ( n p)! Obtemos n! C p n =,0 p n p!( n p)! Problema 15: Em uma urna há fichas numeradas de 1 a 10 De quantos modos se podem retirar 3 fichas de modo que a soma dessas fichas seja menor que 9? Primeiro temos que o número de modos de retirar 3 fichas é C São 4 grupos de 3 fichas cuja 3 soma é inferior a 9: 1+ 2 + 3, 1 + 2 + 4, 1 + 2 + 5 e 1 + 3 + 4 Logo temos como resposta C - 4 3 10 10 Problema 16: De quantos modos se podem repartir 27 livros diferentes entre as pessoas A, B e C, de modo que A e B, juntas, recebam o dobro de C? Primeiramente temos que se C recebe x livros, então A e B devem receber 2x Daí, 2x + x = 27 x = 9 d 1 : escolher 9 livros dentre os 27 para dar a C d 2 : distribuir os 18 livros restantes entre A e B 9 Assim, temos que # d 1 =C, # d 2 =2 18 9 Logo, pelo princípio multiplicativo temos que C 2 18 modos 27 27

12 Problema 17: Quantas diagonais possui um polígono convexo de n lados? O número de segmentos que tem extremidades nos vértices desse polígono é 2 n! n ( n 1) ( n 2)! n ( n 1) n ( n 1) Cn = = = Mas, destes segmentos n são lados do 2! ( n 2)! 2 ( n 2)! 2 2 polígono Logo, o número de diagonais de um polígono de n lados é dado por n ( n 1) n ( n 1) 2 n n ( n 1 2) n ( n 3) n = = = 2 2 2 2 2 Problema 18: De quantas maneiras se podem escolher 3 números distintos do conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,, 100}, de modo que sua soma seja um múltiplo de 3? Sejam os conjuntos: X = { x A: x = multiplo de 3} = {1,3,6,9,,99} Y = { x A: x = multiplo de 3+ 1} = {1, 4,7,10,,100} Z = { x A: x = multiplo de 3 + 2} = {2,5,8,11,,98} Assim temos que # X = 33, # Y = 34 e # Z = 33 Observe que cada número escolhido em A têm por soma um múltiplo de 3, cada 3 números escolhidos em B têm por soma um múltiplo de 3, cada 3 números escolhidos em C têm por soma um múltiplo de 3 e escolhendo-se um número em A, um em B e um em C, a soma das 3 números é múltiplo de 3 Daí: 2 3 3 1 1 1 3 3 1 2 1 C + C + C + C C C = 2 C + C + ( C ) C 33 34 33 33 34 33 33 34 33 34 Palavras-chave: Ensino de Combinatória, Principio multiplicativo, Combinações Referências Bibliográficas: BRASIL Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias Brasília: MEC, 1999 LACAZ, N F A Lições de Análise Combinatória São Paulo: Livraria Nobel, 1956 LIMA, E L, CARVALHO, P C P, et al A Matemática do Ensino Médio Rio de Janeiro: SBM, vol 2, 2000 LIMA, E L, CARVALHO, P, et al Temas e Problemas3 ed Rio de Janeiro: SBM, 2003 LIMA, E LMatemática e ensino2 ed Rio de Janeiro: SBM, 2003

13 MORGADO, ACO et alli Análise Combinatória e Probabilidade Rio de Janeiro: SBM, 1991 ( Coleção do Professor de Matemática ) ROBERTS, F S Applied Combinatorics New Jersey: Prentice Hall, 1984 TUCKER, A Applied Combinatorics Nova Iorque: John Wiley and Sons, 2 Ed, 1984