Análise e Processamento de Bio-Sinais Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Licenciatura em Engenharia Física Faculdade de Ciências e Tecnologia Slide Slide 1 1 Tópicos: Representação de Sinais por Funções Contínuas no Tempo: Transformada de Laplace Introdução Transformada de Laplace Transformada de Laplace Unilateral e suas Propriedades Propriedades da Transformada Bilateral de Laplace Propriedades da Região de Convergência A Função de Transferência Causalidade e Estabilidade Resposta em Frequência Slide Slide 2 2 1
Introdução : A transformada de Laplace permite a caracterização de SLITs e é especialmente adequada para analisar sistemas que envolvam sinais contínuos no tempo que não sejam absolutamente integráveis. A transformada de Laplace, em semelhança à FT, possui um conjunto de propriedades que são úteis na análise de sinais e SLITs. Caracterizando um SLIT usando a transformada de Laplace, a saída de um sistema resulta da multiplicação da transformada de Laplace do sinal de entrada pela transformada de Laplace da resposta a impulso do sistema. A transformada de Laplace é expressa de duas formas: Unilateral adequada para obter soluções de equações diferenciais com condições iniciais. Bilateral adequada para análise de estabilidade, causalidade e resposta em frequência de sistemas. A transformada de Laplace permite caracterizar funções próprias de um sistema Em análise de SLITs uma função própria corresponde a um sinal aplicado à entrada de um sistema que gera um sinal de saída correspondente à entrada, mas modificado por um escalar. Slide Slide 3 3 Se A é uma exponencial complexa com frequência complexa é um co-seno exponencialmente amortecido A é um seno exponencialmente amortecido Em ambos os casos o valor de é considerado negativo. Slide Slide 4 4 2
A função própria Considerando um SLIT com resposta a impulso aplicado um sinal de entrada e ao qual é Definindo a função de transferência Podendo ser expresso por Valor Próprio Função Própria Slide Slide 5 5 Sendo Com podemos reescrever a equação O sinal de saída corresponde ao sinal de entrada - Alterado em amplitude e fase - Não é alterada a frequência do sinal, nem o factor de amortecimento Slide Slide 6 6 3
Representação da Transformada: Utilizando e utilizando como variável de integração Que mostra que é a transformada de Fourier do sinal Considerando um sinal arbitrário a relação anterior é mantida, sendo a transformada de Laplace definida através de com Slide Slide 7 7 Representação da Transformada: O sinal Fourier pode ser recuperado pela transformada inversa de Usando a mudança de variável e Com os limites do integral ajustados à mudança de variável. A transformada inversa vem Par da Transformada Slide Slide 8 8 4
Convergência: A condição necessária para a convergência da transformada de Laplace é a convergência do integral de que se expressa por A gama de valores de para a qual a transformada de Laplace converge designa-se região de convergência (ROC). Fourier não convergente Laplace é convergente Vantagem! Slide Slide 9 9 Plano complexo (plano-s): Se a transformada de Laplace de é convergente então a transformada de Fourier pode ser obtida da transformada de Laplace com (no plano-s corresponde ao eixo imaginário). O eixo divide o plano-s em duas metades (semi-plano esquerdo e semi-plano direito). Slide Slide 10 10 5
Polos e Zeros no plano-s: A razão entre dois polinómios é a forma mais comum da transformada de Laplace. Zeros Polos Zeros Polos Slide Slide 11 11 Exemplo: Transformada de Laplace de um Sinal Causal Determinar a transformada de Laplace do sinal e desenhar no plano-s os respectivos zeros e os polos. Sendo Se então quando A transformada não existe se. Slide Slide 12 12 6
Exemplo: Transformada de Laplace de um Sinal Determinar a transformada de Laplace do sinal e desenhar no plano-s os respectivos zeros e os polos. Slide Slide 13 13 Transformadas de Laplace de um Sinal Slide Slide 14 14 7
Transformada de Laplace Unilateral: Se uma entrada é aplicada a um sistema é nula para então a saída será também nula para. Nestes sistemas assumimos que o sinal é aplicado à entrada quando e é possível estudar o seu comportamento para com a transformada de Laplace Unilateral (baseada só na parte do sinal). A transformada de Laplace Unilateral de um sinal define-se por com A transformada unilateral e bilateral são equivalentes para sinais nulos para. Slide Slide 15 15 Transformada de Laplace Unilateral: As propriedades da transformada de Laplace São similares às das transformada de Fourier As transformadas de Laplace Unilateral e Bilateral partilham propriedades. Sendo Uma das propriedades é a linearidade e a escala Slide Slide 16 16 8
Transformada de Laplace Unilateral: As propriedades da transformada de Laplace Unilateral Slide Slide 17 17 2008/09 Dias Jorge Dias 2006/07 Jorge Transformada de Laplace Unilateral: Exemplo: Aplicação de Propriedades Determinar a transformada de Laplace Unilateral do sinal de saída do circuito quando o sinal de entrada é Como neste sistema as transformadas unilaterais são iguais às bilaterais utilizando as tabelas da transformada h(t) é conhecida obtemos Considerando a propriedades da transformada de Laplace para a convolução obtemos Slide Slide 18 18 2008/09 Dias Jorge Dias 2006/07 Jorge 9
Transformada de Laplace Unilateral: Exemplo: Aplicação de Propriedades Determinar a transformada de Laplace Unilateral do sinal Utilizando as tabelas da transformada Considerando que e as propriedades da transformada unilateral para a convolução obtemos Slide Slide 19 19 Transformada de Laplace Bilateral: A transformada bilateral de Laplace envolve sinais com valores para e para sendo expressa por As propriedades da transformada bilateral podem alterar as propriedades da região de convergência (ROC) de um sinal composto de vários sinais. A região de convergência (ROC) de um sinal composto por vários sinais pode ser maior que a intercepção das regiões de convergência (ROC) de cada sinal individual se os pólos e os zeros se cancelam na adição de Slide Slide 20 20 10
Transformada de Laplace Bilateral: Exemplo: Efeito do cancelamento pólo-zero Considere o sinal e que podem ser compostos linearmente pela forma A região de convergência (ROC) de cada sinal individual cuja intercepção Slide Slide 21 21 Transformada de Laplace Bilateral: Exemplo: Efeito do cancelamento pólo-zero Assumindo que os dois sinais são compostos da forma com e teremos Neste caso a região de convergência alargou! Porque os pólos e zeros se cancelaram Slide Slide 22 22 11
Transformada de Laplace Bilateral: As propriedades da transformada de Laplace Bilateral Slide Slide 23 23 Transformada de Laplace Bilateral: Exemplo: Efeito do deslocamento temporal Considerando o sinal calcule a sua transformada. Slide Slide 24 24 12
Transformada de Laplace Bilateral: Transformada de Laplace Inversa Sendo a transformada de Laplace expressa pela razão de dois polinómios em S com podemos inverte-la utilizando Ou o par do lado direito Ou o par do lado esquerdo A ROC associada com determina a escolha do par esquerdo ou direito Slide Slide 25 25 Transformada de Laplace Bilateral: Exemplo: Transformada Inversa Considerando o sinal calcule a sua inversa da transformada de Laplace bilateral. Usando a expansão em fracções parciais cuja região de convergência é Slide Slide 26 26 13
Transformada de Laplace Bilateral: Exemplo: Transformada Inversa Invertendo para cada membro Combinando os três termos Slide Slide 27 27 A Função de Transferência : A saída de um SLIT está relacionada com o sinal à entrada do sistema pela convolução da resposta a impulso com o sinal de entrada A função de transferência corresponde à razão entre a transformada de Laplace do sinal de saída e a transformada de Laplace do sinal de entrada. Esta definição aplica-se para valores de s em que Mas sabemos que sendo uma função própria de um SLIT Então o que permite facilitar a função transferência. Slide Slide 28 28 14
A Função de Transferência : Considerando uma equação diferencial expressa por Se então sendo então Slide Slide 29 29 A Função de Transferência : Exemplo: Função Transferência de Um Sistema de 2ª Ordem Considerando a equação diferencial de um sistema de 2ª ordem Determine a sua função de transferência. Usando a expressão Slide Slide 30 30 15
Causalidade e Estabilidade: A localização dos pólos plano-s permitem analisar a resposta a impulso de um sistema. Factos: Se o sistema é causal então a sua resposta a impulso é zero para. Um pólo em do semi-plano esquerdo do plano-s contribui para um decaimento exponencial da resposta a impulso. Um pólo em do semi-plano direito do plano-s contribui para um crescimento exponencial da resposta a impulso. Se um sistema é estável então a resposta a impulso é integrável e isso implica que exista transformada de Fourier. Logo o deverá estar incluído na região de convergência (ROC). Slide Slide 31 31 Causalidade e Estabilidade: A localização dos pólos plano-s permitem analisar a resposta a impulso de um sistema. Os sistemas estáveis e causais devem ter os seus pólos no semi-plano esquerdo do plano-s. Slide Slide 32 32 16
Resposta em Frequência: A localização dos pólos e zeros no plano-s permitem analisar a resposta em frequência de um sistema. A resposta em frequência é obtida a partir da função de transferência substituindo s por (que equivale a determinar a função de transferência ao longo do do plano-s. Com substituído na expressão Podemos analisar a resposta em amplitude para um valor fixo de frequência, por exemplo Slide Slide 33 33 Resposta em Frequência: Esta expressão envolve a razão entre produtos de termos da forma em que é um pólo ou um zero O factor é um número complexo cujo comprimento é dado por. O comprimento do vector altera à medida que se altera. Isso mostra a contribuição de cada pólo ou zero na resposta em amplitude. Slide Slide 34 34 17
Resposta em Frequência: Os pólos ou zeros da função transferência têm influências diferentes na amplitude da resposta em frequência Zeros Pólos Slide Slide 35 35 Resposta em Frequência: A fase da resposta em frequência pode ser determinada pela fase associada a cada pólo ou a cada zero. Slide Slide 36 36 18
Resposta em Frequência: Se os pólos e zeros da função transferência são reais então a amplitude da resposta em frequência pode ser expressa em db (diagrama de Bode). com Slide Slide 37 37 Sumário o Transformada de Laplace o Transformada de Laplace Unilateral e suas Propriedades o Propriedades da Transformada Bilateral de Laplace o Propriedades da Região de Convergência o A Função de Transferência o Causalidade e Estabilidade o Resposta em Frequência Slide Slide 38 38 19