A IMPORTÂNCIA DO PENSAMENTO ALGÉBRICO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

A IMPORTÂNCIA DO PENSAMENTO ALGÉBRICO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Franciele Taís de Oliveira 1 Carla Melli Tambarussi Francieli Cristina Agostinetto Antunes 3 Fabiana Magda Garcia Papani 4 RESUMO: Este trabalho é um relato de atividades desenvolvidas em um curso de formação continuada para professores de matemática da Rede Estadual de Ensino Fundamental e Médio dos municípios jurisdicionados ao Núcleo Regional de Educação de Cascavel. Para prepararmos as atividades utilizamos os materiais disponibilizados pela Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (banco de questões e provas aplicadas) e pelo curso de capacitação para professores do Ensino Médio oferecido pelo IMPA, dentre outros. Este curso foi solicitado pelo Núcleo Regional de Educação, e teve por objetivo trabalhar as Tendências em Educação Matemática pautadas nas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná. Optamos em dar ênfase a Investigação Matemática e a Resolução de Problemas, uma vez que almejamos um ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de idéias. Cabe ressaltar que a Resolução de Problemas na formação do docente deve estar voltada para que o mesmo possa visualizar a matemática como um instrumento útil na vida de seus alunos e não simplesmente como uma matéria a ser estudada em sala de aula. Não utilizamos exemplos de como os professores deveriam ou poderiam trabalhar em sala, mas sim propusemos problemas que exigissem dos mesmos uma atitude de buscar estratégias para resolução, com certo grau de dificuldade para que pudéssemos desenvolver uma postura investigativa com estes nossos alunos professores. Buscamos selecionar problemas que motivassem e despertassem o interesse e a curiosidade dos professores, pois acredita-se que quanto mais envolvido o sujeito estiver, maiores são as chances de obter sucesso na resolução de um problema. A atividade descrita neste artigo é resultado de uma das aulas, onde buscamos desenvolver uma postura investigativa, partindo de um problema totalmente possível de ser resolvido utilizando os conceitos aritméticos conhecidos pelos professores, mas buscando atingir uma aprendizagem de generalização. Neste encontro propusemos o Problema dos Coelhos, um problema que 1 Acadêmica do curso de Matemática da UNIOESTE Acadêmica do curso de Matemática da UNIOESTE 3 Professora do curso de Matemática da UNIOESTE Mestre em Educação Matemática pela UEL 4 Professora do curso de Matemática da UNIOESTE Mestre em Matemática pela UNESP/SJRP 38

trata do nascimento de coelhos a partir de um casal seguindo algumas condições. Durante o tratamento algébrico da situação surge a seqüência de Fibonacci, o que gerou uma série de debates entre os professores. Foi possível constatar que os professores, de um modo geral, ao se depararem com um problema matemático, não tentavam algebrizá-lo de imediato, buscavam sempre resolvê-lo aritmeticamente. Defendiam a idéia de que trabalhar álgebra com os alunos de hoje, é algo que foge completamente da nossa realidade, devido as grandes dificuldades apresentadas pelos alunos na referida disciplina. Tentamos argumentar que acreditamos que este tipo de trabalho é possível em sala de aula e que ao nosso ver essa metodologia investigativa pode contribuir para à aprendizagem da matemática considerando o aspecto de uma matemática em construção. PALAVRAS-CHAVE: Formação continuada de professores de matemática; Investigação Matemática; Resolução de Problemas. 1. INTRODUÇÃO Quando o Núcleo Regional de Educação de Cascavel entrou em contato com a coordenação do Curso de Matemática fomos instigados a propor um curso que atendesse as necessidades apresentadas pelos professores da rede estadual de ensino, que gostariam de estudar as tendências em educação matemática e também alguns conteúdos da matemática. Frente a esse desafio pensamos em um curso que contemplasse as tendências tendo como pano de fundo a álgebra, conteúdo solicitado pelos professores. Durante a preparação do curso, o qual teve dois módulos com duração de 40 horas, entendemos ser importante comentar a partir de referencial teórico todas as tendências apresentadas pelas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná 008, são elas: Resolução de Problemas, Etnomatemática, Modelagem Matemática, Mídias Tecnológicas, História da Matemática e Investigação Matemática, porém entendemos ser um curso de curta duração para trabalhar conteúdos a partir de todas as tendências. Assim fizemos a opção por fazer um breve comentário sobre cada uma das tendências e trabalharmos conteúdos de álgebra utilizando a metodologia de resolução de problemas com uma postura investigativa. A turma de professores estava dividida em grupos de três a quatro pessoas, devendo resolver as questões conforme iam sendo apresentadas, pois as questões eram postas uma de cada vez, em uma seqüência de slides. Os problemas eram resolvidos nos grupos pequenos e depois discutidos por todos. As diferentes formas de resolução iam sendo registradas no quadro para análise, sempre convidando um dos professores do grupo para registrar e explicar sua solução. 39

. INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA Esta tendência para o ensino da matemática pode ser trabalhada sem grandes dificuldades e demanda de tempo. Na investigação matemática o sujeito pode se programar em como irá começar, porém jamais saberá como irá acabar. Pelo senso comum Investigar é procurar conhecer o que não se sabe. Nesta tendência as questões são mais abertas que em exercícios e problemas, as questões não estão bem definidas, cabendo a quem investiga um papel fundamental na sua definição, porém ela está muito mais ligada à postura do professor do que nos enunciados propriamente ditos. O sujeito é chamado a pensar matematicamente, tanto na elaboração de conjecturas e realização de provas, como também durante a discussão e formalização das idéias. Para Ponte, Brocardo e Oliveira 006: O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor (p.3). Na busca por conhecer, interpretar e solucionar as atividades propostas, as pessoas acabam se envolvendo de forma ativa com a matemática, e esta deixa de ser estática e chata para ser dinâmica. As investigações constituem um contexto extremamente favorável para gerar boas aulas de discussão entre alunos e professor, o qual assume papel de moderador, garantido que sejam comunicados os processos mais significativos e estimulando o questionamento continuo entre os alunos. Uma aula investigativa deve contemplar quatro momentos segundo João Pedro da Ponte: (Ponte, Brocardo E Oliveira 006, pág. 1) Exploração e formulação de questões Conjecturas Testes e reformulação Justificação e avaliação - Reconhecer uma situação problema - Explorar a situação problemática - Formular questões - Organizar dados - Formular Conjecturas (e fazer afirmações sobre uma conjectura) - Realizar testes - Refinar uma conjectura - Justificar uma conjectura - Avaliar o raciocínio ou o resultado do raciocínio QUADRO 1: Momentos na realização de uma investigação. 40

Como já dito anteriormente, a Investigação Matemática em Sala de aula está muito mais ligada a postura do professor do que a problemas propriamente ditos. Nesses quatro momentos citados acima, o professor precisa estar sempre valorizando as idéias e motivando os alunos para que busquem ainda outras formulações, conjecturas, refletindo sempre sobre seus resultados. É imprescindível que o professor busque sempre privilegiar uma postura interrogativa. Desta forma o aluno tem a oportunidade de utilizar conceitos prévios para alcançar outros ainda não assimilados por ele, podendo assim contribuir de modo significativo para a aprendizagem da matemática e quem sabe desenvolver o gosto pela disciplina. É importante destacar que durante uma Investigação Matemática, o professor também pode desenvolver uma atitude investigativa em relação a Matemática e em relação a sua prática. Em qualquer dos casos, a investigação surge como uma poderosa ferramenta de construção do conhecimento, não dispensando, no entanto, o estudo, o reconhecimento daquilo que já foi feito por outros, a busca por recursos que possam facilitar o trabalho, e a socialização com comunidades de discurso e aprendizagem. 3. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Trata-se de uma tendência pela qual o sujeito tem oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas situações, de modo a resolver uma questão proposta, possibilitando assim compreender argumentos matemáticos, os quais podem ser vistos como conhecimento passível a ser aprendido por meio do processo ensinoaprendizagem. As Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná 008 trazem que Resolução de Problemas permite que o indivíduo esteja engajado ativamente na resolução de uma atividade, mobilizando seu pensar e seu fazer. Acredita-se que quanto mais envolvido o sujeito estiver maiores são as chances de obter sucesso na resolução de um problema. Esta tendência traz a importância do professor refletir sobre a sua concepção de Matemática enquanto campo de conhecimento, levando em consideração dois aspectos: I. pode-se conceber a Matemática tal como ela vem exposta na maioria dos livros didáticos, como algo pronto e acabado, em que os capítulos se encadeiam de forma linear, sequencial e sem contradições; II. pode-se acompanhar a Matemática em seu desenvolvimento progressivo de elaboração, de modo a descobrirem-se suas dúvidas, contradições, as quais serão 41

eliminadas após o trabalho docente, para que logo surjam outras dúvidas, outras contradições no fazer matemático. Isto é, sempre haverá novos problemas por resolver. Para a Matemática almeja-se um ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de idéias. Segundo Polya, a resolução de problemas se divide em quatro fases: 1. Compreensão do problema: Nesta etapa é necessário haver a compreensão, bem como o interesse em resolver o problema, destacando as partes principais.. Estabelecimento de um plano: Aqui é necessário que o sujeito estabeleça estratégias, procurando encontrar uma conexão entre os dados e a incógnita, muitas vezes considerando problemas análogos. 3. Execução do plano: Esta etapa é sumamente importante, na qual o sujeito deve realizar corretamente todas as operações, verificando cada passo, até que tudo fique perfeitamente claro e que não reste nenhum recanto obscuro no qual possa ocultar-se um erro. Vale ressaltar que executar um plano é mais fácil do que estabelecer um. 4. Verificação: Enfim o sujeito faz um retrospecto em todo o problema, verificando todos os resultados, podendo assim perceber algum erro, ou até mesmo melhorar a escrita da solução. Logo, fica evidente a importância da Resolução de Problemas para introdução de um novo conceito matemático. As etapas de resolução de problemas propostas por Polya não se constituem em uma Poção Mágica para resolver todo e qualquer problema matemático, mas pode ajudar o sujeito a organizar as idéias, facilitando a solução do mesmo. Cabe ressaltar que a Resolução de Problemas na formação do docente deve estar voltada para que o mesmo possa visualizar a matemática como um instrumento útil na vida de seus alunos e não simplesmente como uma matéria a ser estudada em sala de aula. 4. O PROBLEMA TRABALHADO A atividade descrita a seguir é resultado de uma aula onde buscamos desenvolver uma postura investigativa, partindo de um problema totalmente possível de ser resolvido utilizando os conceitos conhecidos pelos professores, mas buscando atingir uma aprendizagem de generalização. Este é um problema clássico conhecido por muitos, é O Problema dos Coelhos. 4

Problema: Um indivíduo coloca. um par de coelhos jovens num local completamente isolado. Assumindo que pela natureza, um par de coelhos jovens torna-se adulto (também pode gerar) ao completar dois meses de nascimento, e que em cada mês um par de coelhos adultos dá origem a um outro par de coelhos, quantos pares de coelhos podem ser gerados, durante um ano por esse par recém nascido? Considere que neste período não haja mortes. QUADRO : Problema dos Coelhos Os Professores tiveram dificuldades em compreender o enunciado do problema. A grande maioria resolveu o problema passo a passo, até o mês 1, sem perceber a regularidade, e somente ao concluir a resolução partiram para a generalização. Alguns professores visualizaram a regularidade durante a resolução, o que facilitou a conclusão. Percebe-se que os professores de um modo geral se prenderam a detalhes irrelevantes do problema, estabelecendo uma série de questionamentos em relação ao mesmo, tais como: O período de fertilidade, o fato de o par ser dois coelhos machos ou fêmeas, dentre outros, o que dificultou a resolução. Explicamos então que ao utilizar a metodologia de resolução de problemas, é sempre necessário desconsiderar algumas variáveis, pois caso contrário o problema se torna muito difícil de ser resolvido ou até impossível. Quando questionados sobre como seria possível encontrar a quantidade de coelhos após um número muito grande de meses, houve um silêncio generalizado. Fizemos várias tentativas para que os professores tentassem algebrizar tal evento, porém em vão, logo fomos avançando passo a passo e explicando a importância da generalização. Queremos lembrar que os conceitos matemáticos aqui envolvidos não visam o trabalho no Ensino Médio, pois necessita de uma matemática mais elaborada. Buscamos estabelecer a partir deste problema uma postura investigativa, e para que isso acontecesse, os conceitos matemáticos deveriam ser desafiadores para os professores envolvidos no curso. Fibonacci percebeu que, cada um dos números a partir do terceiro é obtido pela adição dos dois antecessores, e assim podemos fazê-lo em ordem a uma infinidade de número de meses, ou seja: f ( 1 ) = 1, f ( ) = 1, f ( 3) = f ( ) + f ( 1),..., ( n) = f ( n 1) + f ( n ) Deste modo, temos então: f, n IN, n > 43

MÊS 1º º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 1º PARES 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 Relação entre os números consecutivos = 1 3 8 1 55 144 = 1,5 = 1,6 = 1,615... = 1,617... = 1,617... 5 13 34 89 5 34 = 1,666... 13 89 = 1,65... = 1,619... = 1,618 3 8 1 55... Esta seqüência: 1,1,,3,5,8,... forma, nesta ordem, a seqüência de Fibonacci. Os quocientes apresentados acima tendem ao valor φ 1,6180399, denominado número de ouro ou razão áurea ou ainda número de Fibonacci. A razão áurea exerceu grande influência na arquitetura grega. Partenon Grego, considerado uma das estruturas mais famosas do mundo, contém a tal razão no retângulo que contém a fachada, o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. FIGURA 1: Partenon Grego A perfeição dos desenhos de Leonardo Da Vinci revela os seus conhecimentos matemáticos, através da utilização da razão áurea em grande parte de suas pinturas, trazendo belezas e harmonias únicas. FIGURA : Representação do Homem por Leonardo Da Vinci Essa razão ainda pode ser identificada em construções, fabricações de violinos, na pintura do quadro Monalisa, no corpo humano e em diversas outras áreas. 44

5. CÁLCULO DO NÚMERO DE OURO A questão é: como dividir um segmento em duas partes de modo que, a razão entre o todo e a parte maior seja igual a razão entre a parte maior e a menor. Denotaremos tal razão por ϕ e a chamaremos de razão áurea. Ou seja, considerando o segmento da figura abaixo, queremos que x + y = x x y = ϕ. Da equação resultando em x y FIGURA 3: Segmento construído para calcular o Número de Ouro = ϕ, temos que x = yϕ, que pode ser substituído na equação yϕ + y = yϕ yϕ y Simplificando y em ambas as equações, tem-se x + y, x ϕ +1 = ϕ ϕ + 1 ϕ ϕ ϕ 1 = 0 ϕ = Para encontrar o valor algébrico de ϕ basta obter as raízes da equação ϕ ϕ 1 = 0. A 1± 5 saber ϕ =. Não iremos considerar ϕ negativo, levando em conta que estamos tratando de comprimento, e este nunca poderá ser negativo. Deste modo chega-se então ao que pretendíamos, 1+ 5 ϕ = 1,16180399. Gostaríamos de ressaltar que todos os passos descritos anteriormente foram construídos juntamente com os professores. 6. A GENERALIZAÇÃO DO PROBLEMA Na tentativa de generalizar a seqüência de Fibonacci, ou seja, generalizar o problema dos coelhos, percebemos que os quocientes obtidos por meio da divisão de um termo pelo seu antecessor se aproxima do número de ouro, percebemos ainda que quanto maior forem os termos, mais próximo do número de ouro será seu quociente. 45

Com isso deduzimos então que esta seqüência se aproxima de uma progressão geométrica de razão ϕ. Como dito anteriormente, para obtermos uma boa aproximação não devemos considerar termos iniciais da sequência, logo percebe-se que para conseguirmos melhores resultados devemos considerar uma sequência cujo 1º termo, seja o 5º ou 6º termo da sequência de Fibonacci. Vejamos: temos: Considerando que nossa generalização resume-se a uma progressão geométrica, onde n 1 ( n) = n f ϕ n 0 é o termo inicial a ser considerado; n é o termo da seqüência a ser calculado; ϕ 1,6180399 é a razão; 0 Ao considerar o terceiro termo da seqüência de Fibonacci como sendo o primeiro em nossa progressão, temos: 1º º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 1º 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 1º º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º Assim a quantidade de coelhos após doze meses seria: 10 1 ( 10) =.1,6180399 f 15,03 Obtemos então, por esta generalização que o número de pares de coelhos gerados em doze meses, seria de aproximadamente 15, um pouco distante da solução exata que é 144 pares de coelhos. Considerando o quinto termo da seqüência de Fibonacci como sendo o primeiro em nossa progressão, o que novamente altera nossa seqüência de termos, 1º º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 1º 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 Calculamos a quantidade de coelhos em doze meses: 1º º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 8 1 ( 8) = 5.1,6180399 f 145,18 46

Este resultado já nos dá um percentual pequeno de erro, o que instigou nossa curiosidade em testar o que acontece ao considerar como 1º termo, o sexto termo da sequência de Fibonacci, 1º º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 1º 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 1º º 3º 4º 5º 6º 7º Neste caso: 7 1 ( 7) = 8.1,6180399 f 143,56 Aqui encontramos um bom termo inicial para nossa generalização, um termo que torna nosso resultado muito próximo do resultado esperado. Então achamos razoável considerar, para efeito de cálculo da quantidade de pares de coelhos passados muitos meses, o sexto termo da sequência de Fibonacci como termo inicial. Sempre lembrando que ao alterar o termo inicial, toda a seqüência se altera, por exemplo para vinte e quatro meses, temos: 1º º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 1º... 4º 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144...? 1º º 3º 4º 5º 6º 7º... 19º 19 1 ( 19) = 8.1,6180399 f 46.7 Note que, calcular o número de pares de coelhos passados vinte e quatro meses, de forma aritmética, é bastante trabalhoso, ainda que tal período possa ser considerado curto. 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao iniciarmos o curso percebemos certa dificuldade dos professores em lidar com questões algébricas, no desenvolver do curso ficou claro que isto não se dava por má vontade ou incapacidade dos mesmos, mas sim por falta de hábito, já que justificaram durante todo o curso que isso é algo impossível de trabalhar em sala de aula com os alunos. Sendo assim, buscamos explorar cada vez mais o tratamento algébrico, trabalhando problemas que generalizam situações de fácil resolução aritmética. Tentamos argumentar que acreditamos que este tipo de trabalho é possível em sala de aula, é claro que escolhidos os graus de dificuldades convenientes para a faixa etária em questão, e que a nosso ver essa metodologia 47

investigativa pode contribuir para a aprendizagem da matemática considerando o aspecto de uma matemática em construção. Pudemos desfrutar de um ambiente investigativo, onde os professores se questionavam, nos questionavam, tentavam conjecturar e avaliar suas próprias respostas e as respostas dos colegas de outros grupos. As aulas investigativas possibilitaram discussões matemáticas com os professores participando ativamente, expondo e defendendo suas resoluções aritméticas e posteriormente construindo generalizações. Relataram a importância de se retomar não demonstrações, mas generalizações, para que o aluno não decore fórmulas matemáticas para determinados casos, mas que possa sempre buscar o estudo que se encaixe para qualquer caso. Outro ponto interessante do curso, já que a postura adotada por nós era investigativa, ou seja, que os professores buscassem as generalizações, foi que eles compreenderam como poderiam trabalhar em sala de aula utilizando essa mesma postura, buscando respeitar as dificuldades, as tentativas e os acertos de seus alunos, dando importância ao pensamento matemático na formação do mesmo, contribuindo assim efetivamente para um bom desempenho escolar e uma participação ativa na sociedade. REFERÊNCIAS POLYA, George. A arte de resolver problemas. ª edição; Rio de Janeiro: Interciência, 006. PONTE, João Pedro; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. 1ª edição; Belo Horizonte: Autêntica, 006. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para Educação Básica. Curitiba: SEED, 008. SPIRA, Michel. O número de ouro. Estágio dos professores premiados. Vídeos das palestras. OBMEP, 006. 48