Equações Diferenciais & Equações às Diferenças

Instituto Superior de Economia e Gestão Universidade Técnica de Lisboa Equações Diferenciais & Equações às Diferenças João Nicolau Preparado para a cadeira de Equações Diferenciais (2 ano) da Licenciatura de Matemática Aplicada à Economia e Gestão (versão 2) 23

Conteúdo I Equações Diferenciais 6 Definições e Resolução de Equações Diferenciais 9. Definições... 9.2 Algumas Equações Diferenciais Univariadas de Primeira Ordem com Solução Fechada... 9.2. EquaçãoLinear(PrimeiraOrdem)... 9.2.2 EquaçãoComVariáveisSeparáveis... 22.2.3 EquaçãoHomogénea... 23.2.4 EquaçãoTotalExacta... 25.2.5 EquaçãoRedutívelaTotalExacta... 28.3 Equações Diferenciais Redutíveis a Equações Diferenciais de Primeira Ordem.. 3.3. Equações do Tipo x = f (t, x )... 3.3.2 Equações do Tipo x = f (x, x )... 32.4 Aplicação(ModelosPopulacionais)... 33.4. Introdução... 33.4.2 EstimaçãodosParâmetros... 36.4.3 ComentáriosFinais... 39 2 Existência, Unicidade e Prolongamento das Soluções 43 2. ExistênciaeUnicidadedasSoluções... 43 2.. Introdução... 43 2..2 TeoremadeExistênciaeUnicidadedasSoluções... 44

2.2 ProlongamentodasSoluções... 55 2.3 CasoMultivariado... 6 3 Aproximações Numéricas 65 3. MétododeEuler... 66 3.2 OutrasAproximações... 72 4 SistemasdeEquaçõesLineares 76 4. Introdução... 76 4.2 SistemadeEquaçõesDiferenciaisHomogéneas... 79 4.2. PrimeirasNoções... 79 4.2.2 Matriz Fundamental de Soluções....................... 83 4.2.3 Resolução do Sistema x = Ax... 88 4.3 SistemadeEquaçõesDiferenciaisNãoHomogéneas...3 5 Estabilidade 5. Definições... 5.2 EstabilidadedeSistemasLineares...9 5.3 EstabilidadedeSistemasNãoLineares...23 5.3. Linearização...23 5.3.2 Método Directo de Liapunov......................... 29 5.4 Métodos Gráficos...33 5.4. EquaçõesUnivariadasdePrimeiraordem...34 5.4.2 SistemasdeDuasED...38 II Equações às Diferenças 6 6 Equações Lineares 66 6. Equação Linear Primeira Ordem Não homogénea com Coeficientes Variáveis... 66 6.2 Equação Linear de ordem n Não homogénea Com Coeficientes Constantes.... 68 6.2. EquaçãoHomogénea...69 6.2.2 EquaçãoNãoHomogénea...74

6.3 EquaçõesLinearizáveis...78 7 Sistemas de Equações Lineares Não Homogéneas Com Coeficientes Constante 85 7. CasoHomogéneo...87 7.. CasoGeral...88 7..2 Sistema de Duas Equações (n =2)...92 7.2 CasoNãoHomogéneo...2 8 Estabilidade 22 8. PontosFixos...22 8.. Definições...22 8..2 EstabilidadedeSistemasLineares...28 8..3 EstabilidadedeSistemasNãoLineares...22 8..4 BaciadoEscoadouro...27 8.2 PontosPeriódicos...225 8.2. Definições...225 8.2.2 EstabilidadedosPontosPeriódicos...23 8.3 AplicaçãoI(ProblemadeAfectaçãodeTurmas)...234 8.4 AplicaçãoII(MétodoNewton-Raphson)...238

Nota Introdutória Apresentamos neste documento um conjunto de apontamentos que servem de base à cadeira Equações Diferenciais do 2 o ano da licenciatura de MAEG (Matemática Aplicada à Economia e Gestão/ISEG). Na exposição dos temas procurou-se um equilíbrio entre a abordagem quantitativa, baseada na resolução de equações diferenciais (e às diferenças) e a abordagem qualitativa das soluções, mais avançada, mas mais importante. O mundo é intrinsecamente não linear e complexo. Daí que, quando se analisa um fenómeno real através de equações diferenciais (ou equações às diferenças) não é geralmente possível obter expressões em "forma fechada"das soluções, i.e., expressões analíticas envolvendo funções simples e transcendentais que representem a solução de uma equação diferencial (ou de uma equação às diferenças). Nestes casos a abordagem quantitativa é completamente inútil. Outros casos existem onde a solução, embora conhecida, é demasiadamente complicada para ser analisada. Mais uma vez, o estudo qualitativo das soluções é preferível. A abordagem quantitativa tem, no entanto, a vantagem de ser mais pedagógica, sobretudo para quem inicia o estudo das equações diferenciais. Assim, apresentam-se alguns métodos de resolução de equações diferenciais mais importantes ou mais conhecidas, mas sempre que possível, simplifica-se ou abrevia-se a análise quantitativa. Por exemplo, não se apresenta a teoria das equações diferenciais lineares de ordem n de coeficientes constantes, dado que estas podem ser tratadas no âmbito dos sistemas lineares. Apenas a resolução de sistemas lineares é tratado com algum desenvolvimento, não só porque a teoria é suficientemente geral mas sobretudo porque vários resultados de sistemas lineares são usados no estudo (qualitativo) dos sistemas não lineares.

Parte I Equações Diferenciais

Suponha-se que se pretende estudar um fenómeno (económico, físico, biológico, etc.) ao longo do tempo. Designamos o fenómeno pela letra x e, como x depende de t (tempo), usaremos também a notação x (t). Na maioria dos casos, é possível estabelecer uma relação entre x,te x. Por exemplo, seja x (t) uma população de uma certa espécie (humana, de bactérias, de predadores, etc.) no instante t e suponhamos, numa situação ideal, que x (t) varia continuamente. Seja r a diferença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade por unidade de tempo. A variação da população num certo intervalo de tempo > pode ser traduzida pela igualdade (x (t + ) x (t)) /x (t) =r ou seja (x (t + ) x (t)) / = rx (t). Com tem-se a equação diferencia (ED) x = rx. A partir desta relação é fácil (como veremos) obter a fórmula matemática que estabelece o nível da população em cada instante t, x (t) =x () e rt, onde x () é o valor da população no momento ou instante zero. Quer dizer, se a dinâmica infinitesimal de x é bem traduzida pela ED x = rx então a população evolui de acordo com a fórmula x (t) =x () e rt. Iremos designar esta fórmula por solução. Na maioria dos problemas mais complicados (leia-se não lineares) não é possível obter a fórmula x (t). Felizmente, a teoria das ED está suficientemente desenvolvida para que todas as questões relevantes possam ser respondidas sem se recorrer à expressão analítica da solução da ED. Questões relevantes podem ser, por exemplo, qual o comportamento de longo prazo das soluções? Serão periódicas? Tenderão para algum valor? Como reagem a pequenas perturbações? O estudo destas questões constitui a abordagem qualitativa das equações diferenciais, em oposição à abordagem quantitativa baseada na resolução das equações diferenciais. Ao contrário do que sucede na área das ciências exactas, não é geralmente possível traduzirse um fenómeno económico ou financeiro ao longo do tempo através de uma relação exacta (por exemplo, não há nenhuma ED que ajuste de forma perfeita o PIB, um índice da bolsa, etc.). Embora se admita que as variáveis económicas e financeiras evoluem ao longo do tempo de acordo com certo padrão, há desvios constantes face ao padrão. Esses desvios devem-se ao acaso ou, eventualmente, a um conjunto de regras que o investigador não conhece. Um dos problemas maiores na modelação dos fenómenos económicos consiste exactamente na procura do padrão subjacente que governa o fenómeno. Retomando o exemplo atrás citado, considerámos como apropriado a ED x = rx para descrever a dinâmica infinitesimal de uma população genérica. Ora, para r> tem-se lim x (t) =+ pelo que a ED não poderá traduzir a rigor a 7

dinâmica de uma população humana no longo prazo. Para esta ED haveria que levar em conta outros factores, como por exemplo, recursos disponíveis, imigração, emigração, etc. Os factores que individualmente fossem pouco significativos, poderiam ser englobados numa variável erro, susceptível de ser descrita em termos probabilísticos. Em econometria, seguem-se usualmente os seguintes passos na construção do modelo estatístico (modelo de regressão): ) (a) estabelecer as principais relações a partir da teoria económica e (b) identificar as principais características do fenómeno em estudo; 2) especificar o modelo; 3) estimar o modelo (a partir dos dados disponíveis) e 4) avaliar os resultados obtidos. Estes passos são também válidos na especificação da ED [sobretudo os passos ) e 2)]. A rigor os fenómenos económicos e sociais não são susceptíveis de serem descritos de forma determinística. Em modelos mais realistas em tempo contínuo, introduz-se explicitamente uma componente aleatória que reflecte tudo aquilo que a relação determinística não explica. Estes modelos são representados por equações diferenciais estocásticas (EDE). Na especificação destas equações, são inteiramente válidos os passos [) a 4)] acima referidos. Embora as ED determinísticas não sejam apropriadas para modelarem fenómenos de natureza económica (pois como se disse, não contemplam a componente aleatória) são, no entanto, extremamente úteis no âmbito da teoria económica. Além disso, são um bom ponto de partida para o estudo das EDE, da estabilidade e do caos em sistemas dinâmicos. * Incompleto * 8

Capítulo Definições e Resolução de Equações Diferenciais. Definições Seja t I R onde I é aberto. Uma equação da forma F ³ t, x (t),x (t),x (t),...,x (n) (t) = (.) é designada por equação diferencial (ED) ordinária de ordem n. A equação (.) estabelece uma relação entre a função incógnita x (t), a variável independente t e as derivadas de x. Dadoque (.) se apresenta numa forma implícita esta equação pode representar de facto uma colecção de ED. Por exemplo, a ED (x (t)) 2 x (t) =conduz a duas equações, x (t) = p x (t)+e x (t) = p x (t)+. Para evitar ambiguidades que a equação (.) pode levantar, vai admitirse que (.) é resolúvel em ordem a x (n) (t); nestas circunstâncias, a equação (.) escreve-se na forma x (n) (t) =f ³ t, x (t),x (t),x (t),...,x (n ) (t) (.2) onde f édefinida em I R n. A equação (.2) pode-se escrever equivalentemente na forma x (n) = f t, x, x,x,...,x (n ), estando implícita a dependência de x e das suas derivadas face a t. Um caso particular importante é quando n =(ED de ordem um), i.e., x (t) =f (t, x (t)) 9

ou x = f (t, x). Estudam-se também as chamadas ED parciais. Nestas equações, x depende de várias variáveis independentes (para além de t), e estabelece-se uma relação entre x, as variáveis independentes e as respectivas derivadas parciais de x (por exemplo, z x(t, z) / t = z x(t, z) / z é uma ED parcial). As ED parciais não são objecto do presente texto. Doravante a designação ED quer dizer equação ou equações diferenciais ordinárias. É importante distinguir ED lineares das ED não lineares. Diz-se que a ED (.2) é linear se f t, x, x,x,...,x (n ) élinearemx, x,x,...,x (n ) e não linear no caso contrário. Na situação n =(ordem um), a ED linear é do tipo x = a (t) x + b (t) (a (t) e b (t) podem ser funções não lineares). Exemplos de ED lineares de primeira ordem: x = tx+,x =(sent) x+t 2, etc. Exemplos de ED não lineares: x = x 2 + t, x = tx +. Uma ED (ou um sistema de ED) do tipo x = f (x) (f não depende de t) designa-sepored homogénea ou autónoma. Suponha-se que certo fenómeno x evolui de acordo com a função (a) x (t) =e 3t. Como x (t) =3e 3t =3x (t) podemos estabelecer (b) x =3x. Nos problemas que iremos tratar a equação (a) apriornão é conhecida. Normalmente conhece-se a dinâmica infinitesimal dada por uma equação do tipo (b) e o objectivo consiste em obter uma função do tipo (a), designada por solução. Definição (Solução) Uma função x (t) é designada uma solução da ED x (n) = f t, x, x,x,...,x (n ) num intervalo I se (a) x (n) (t) existe em I; (b) x (t) satisfaz x (n) (t) =f t, x (t),x (t),x (t),...,x (n ) (t). Exemplo Afunçãox (t) =ce sen t,c R, t R é solução da ED x = x cos t em R (note-se f (t, x) = x cos t). Com efeito, x (t) =ce sen t ( cos t) = x (t)cost = f (t, x (t)), De igual forma, uma função x (t) é designada uma solução da ED F t, x, x,x,..., x (n) =num intervalo I se (a) x (n) (t) existe em I e(b)x (t) satisfaz F t, x (t),x (t),x (t),...,x (n) (t) =.

i.e., a solução satisfaz a ED; por outro lado, x (t) =ce sen t ( cos t) existe em R. Exemplo 2 As funções x (t) =e 2t,x 2 (t) =e t para t R sãosoluçõesdaeddesegunda ordem x = x +2x em R (note-se que f (t, x, x )= x +2x). Por exemplo, em relação a x (t), tem-sex (t) = 2e 2t e x (t) =4e 2t. Resulta 4e 2t =2e 2t +2e 2t [i.e., verificaseaalíneab)dadefinição anterior, x (t) = x (t) +2x (t) =f (t, x (t),x (t))]. Omesmo raciocínio se aplica a x 2 (t). As soluções destes últimos exemplos foram escritas de forma explícita. Poderíamos também escrever a solução na forma implícita Φ (t, x, c) =. Por exemplo, Φ (t, x, c) =x (t) ce sen t = é a solução implícita da ED x = x cos t (ver exemplo ). É sempre preferível apresentar a solução na forma explícita, por razões óbvias. No entanto, por vezes não se consegue ou não é fácil escrever a solução explicitamente. Por exemplo, log t + x (t)+log e x(t) + + c = é solução implícita da ED x =(e x +)/ (t +),t6= (ver exercícios) e não é possível explicitar x (t). No exemplo vimos que x (t) =ce sen t,c R é solução da ED x = x cos t. Como aconstantec pode assumir qualquer valor em R, qualquer das seguintes expressões e sen t, 5e sen t,πe sen t, e sen t éumasoluçãodaedx = x cos t. Adefinição seguinte esclarece a natureza destas soluções. Definição 2 (Solução Geral & Solução Particular) Uma solução de uma ED é designada por solução geral se inclui todas as soluções da ED. Uma solução particular é uma solução deduzida a partir da solução geral. Exemplo 3 Retomando o exemplo, pode-se estabelecer que x (t) = ce sen t, c R é a solução geral da ED x = x cos t e, expressões como, e sen t, 5e sen t,πe sen t, e sen t são soluções particulares, dado que são deduzidas a partir da solução geral. Na figura - apresentam-se três soluções particulares 2 para t [, ] e, na figura -2, apresentam-se 64 soluções particulares, também no mesmo intervalo(a constante c assume agora 64 valores). Em geral não é fácil resolver-se uma ED, i.e., obter-se a sua solução. Considere-se, por exemplo, a ED x (t) = f (t, x (t)) ou dx (t) = f (t, x (t)) dt (note-se x (t) := dx (t) /dt) 3 e 2 Quais são os valores que a constante c assume? 3 a := b significa a é igual a b por definição.

Figura -: Três Soluções Particulares da ED x = x cos t 8 x 6 4 2 2 4 6 8 t Figura -2: Sessenta e Quatro Soluções Particulares da ED x = x cos t x 7.5 5 2.5-2.5-5 -7.5 2 4 6 8 t 2

suponha-se que f é contínua nos seus argumentos. Integrando ambos os termos vem x (t) = R f (t, x (t)) dt + const. Adificuldade inicial não está na resolução do integral mas no seguinte facto: para se obter x (t) (ladoesquerdodaequação)énecessárioresolver-seoladodireito da equação; mas o lado direito depende de x (t) que é precisamente o que procuramos obter. Iremos estudar oportunamente técnicas para resolver certos tipos de ED. O tipo mais simples de ED de primeira ordem corresponde à ED x = f (t). Integrando ambos os termos resulta que a solução geral é x (t) =P t (f (t)) + c, onde P t designaaprimitiva de f (t). Por exemplo, a solução geral de x = t é x (t) =t 2 /2+c, c R. Qualquer que seja o valor atribuído a c, a função x (t) é sempre uma solução. Suponha-se que c =então x (t) =t 2 /2+é uma solução particular pois foi deduzida a partir da solução geral. É evidente que para cada valor da constante c definida na solução geral se obtém uma curva no plano (t, x). A solução geral representa de facto uma família de curvas planas indexadas ao parâmetro c. A esta família dá-se o nome de família de curvas integrais (dependentedeum parâmetro). Faremos no entanto a distinção entre a família de curvas integrais e solução geral (ver observação 3). Exemplo 4 Considere-se a ED não linear de primeira ordem x = ³ t + t 2 +4x /2 (*). NãoexisteapriorummétodopararesolverestaED.Noentanto,considere-seoartifíciomudança de variável y (t) = y = t 2 +4x. Estaequaçãoexpressaemx é x = y 2 t 2 /4. Derivando esta equação em ordem a t, resulta x =(2yy 2t) /4 =(yy t) /2 (**). Logo igualando as equações (*) e (**) vem ( t + y) /2 = yy t /2 ou seja y =ou ainda y = t + c. Como x = y 2 t 2 /4 resulta ³(t + c ) 2 t 2 x (t) = 4 = 2 tc + 4 c2 = tc + c 2 (para simplificar fizemos c = c /2). fazendo variar a constante c. Na figura -3 traçam-se algumas soluções particulares 3

³ Figura -3: Soluções Particulares da ED x = t + t 2 +4x /2 6 4 2 - -5 5-2 Observação(EnvolventesdeCurvasIntegrais)Aenvolventedeumafamíliadecurvas integrais Φ (t, x, c) =(caso exista) é uma curva g (t, x) =tal que a) em cada ponto da curva g (t, x) =passa (sendo tangente) um elemento da família Φ (t, x, c) =eb)g (t, x) =é tangente a todas a todas as curvas integrais. Assim, g (t, x) =éumacurvaenvolventese existir uma função c (t, x) tal que a) g (t, x) =Φ (t, x, c (t, x)) = eb)osdeclivesdeg (t, x) =e Φ (t, x, c) =são iguais em todos os pontos (t, x). Mostra-se a seguir que a alínea b) traduz-se na condição Φ c =. Suponha-se que Φ x 6= e Φ t 6=. Então g (t, x) =define implicitamente x como função de t através (digamos) de uma expressão do tipo x = φ (t). O declive da tangente à curva g (t, x) =é x = φ (t) e obtém-se a partir da equação Φ t + Φ xx + Φ c c t + Φ c c t c x x = x = Φ t + Φ c Φ x + Φ c c (pela fórmula de derivação da função implícita). Encarando Φ (t, x, c) =como a família de curvas integrais (e não como a envolvente) então c é uma constante. Neste caso o declive da tangente à curva Φ (t, x, c) =obtém-se a partir da equação x (.3) Φ t + Φ xx = x = Φ t Φ x (.4) 4

³ Figura -4: Envolvente (traço grosso) e Curvas Particulares da ED x = t + t 2 +4x /2 6 4 2 - -5 5-2 Para que g (t, x) =seja a curva envolvente é necessário que os declives (.3) e (.4) sejam iguais, pelo que deve-se exigir Φ c =. Para exemplificar retome-se o exemplo 4. Determine-se a envolvente (caso exista) da família de curvas integrais Φ (t, x, c) =x tc c 2 =. Considere-se Φ (t, x, c (t, x)) = e determine-se uma função c (t, x) que satisfaça as condições expressas nas alíneasa)eb).vem Φ c = t 2c = c = t 2. Por outro lado, Φ (t, x, c (t, x)) = x tc (t, x) c 2 (t, x) =. Com c = t 2 vem µ Φ (t, x, c (t, x)) = Φ t, x, t µ = x t t µ t 2 = x = 2 2 2 4 t2. Assim x (t) = 4 t2 é a expressão (explícita) da curva envolvente da família de curvas integrais. Na figura -4 representa-se a envolvente (a traço grosso) assim como algumas curvas particulares. Observação 2 (Soluções Singulares) Designamos soluções singulares de uma ED às soluções da ED que não podem ser obtidas a partir da família de curvas integrais. Toda a curva envolvente que não pode ser obtida a partir da família de curvas integrais é naturalmente uma solução 5

singular. Com efeito, a curva envolvente é uma solução da ED pois em cada ponto da envolvente Φ (t, x, c (t, x)) = as quantidades t, x e x são as mesmas para a envolvente e para a curva da família. Mas a envolvente pode ser ou não uma curva da família. Se não for é óbvio que também não pode ser deduzida a partir da família das curvas integrais e, neste caso, a envolvente é uma solução singular da ED. Resulta claro também que a existência de soluções singulares implica a violação da unicidade das soluções (este aspecto será discutido com mais detalhe no ponto 2.). Para exemplificar retome-se o exemplo 4. Vimos na observação que 4 t2 éa ³ envolvente da família de curvas integrais associadas à ED não linear x = t + t 2 +4x /2. ³ Por isso φ (t) = 4 t2 é também solução (de facto φ = t + p t 2 +4φ /2) e,comoφ (t) não pode ser deduzida a partir da solução x (t) =tc + c 2 resulta que φ (t) = 4 t2 éumasolução singular. Observação 3 Iremos mostrar que uma ED linear tem apenas uma única solução geral. Por seu lado, uma ED não linear, como vimos na observação 2, pode ter uma solução "geral"e soluções singulares. Para evitar ambiguidades, reservamos o termo solução geral apenas para ED lineares. Assim, no caso de ED não lineares utilizaremos preferencialmente a designação famíliadecurvasintegrais(dependentedeum parâmetro) para designar soluções do tipo x (t) = tc + c 2 (ver observação anterior). Na generalidade dos problemas não estamos interessados na solução geral (ou na família de curvas integrais) mas apenas numa solução particular que satisfaz uma condição inicial. A determinação de uma solução particular corresponde a seleccionar uma particular função da família de curvas integrais. Exemplo 5 Suponha-se que no momento t =dispomos de Euros para investir a uma taxa fixa de 5% ao ano capitalizável continuamente. Para determinarmos o valor do capital no momento t, x (t) (podemos convencionar: t =representa um ano), começamos por formular o problema a partir de uma ED. Se o capital se valorizasse em tempo discreto, a variação do capital num certo intervalo de tempo > poderia ser traduzida pela igualdade (x (t + ) x (t)) /x (t) =r, onde r =.5, ou seja (x (t + ) x (t)) / = rx (t). Como, por hipótese, o capital se valoriza continuamente tem-se, com aedx = rx, ou x =.5x. Pode-se provar que a solução geral da ED é x (t) =ce.5t, c R. Como 6

x () = (no momento t =o capital é Euros) a constante c determina-se univocamente. Com efeito, x () = ce.5 = c =. Por exemplo, o valor do capital ao fim de anos e 6 meses é x (.5) = e.5.5 = 69. 5 (Euros). Definição3(PVI)Uma ED x = f (t, x) equipada com uma condição do tipo x (t )=x forma um problema de valor inicial (PVI). No exemplo 5 o PVI corresponde a x =.5x, x () =. Definição4(SoluçãodoPVI)Umafunçãorealx (t) definida em I é designada por solução do PVI x = f (t, x), x(t )=x, t I se, (i) x (t) existe para t I; (ii) x (t) =f (t, x (t)),t I e (iii) x (t )=x,t I. Exemplo 6 A solução do PVI x = x cos t, x (π) =3é x (t) =3e sen t. Com efeito, suponhase que já se conhece a solução geral x (t) =ce sen t,c R, t R [ver exemplo ]. Basta verificar que x (π) =3 ce sen π =3 c =3. Observação 4 Temos vindo a assumir que a ED é escalar (ou univariada). Os sistemas de ED de primeira ordem, x = f (t, x,x 2,...,x n ) x 2 = f 2 (t, x,x 2,...,x n ). x n = f n (t, x,x 2,...,x n ) também se podem escrever na forma x = f (t, x) onde, obviamente, x =(x,x 2,...,x n ) T e f =(f,f 2,...,f n ) T éumafunçãodefinida em I R n. As principais definições apresentadas adaptam-se facilmente ao caso multivariado. Por exemplo, considere-se a definição 4. Uma 7

função x (t) =(x (t),x 2 (t),...,x n (t)) T definida em I é designada por solução do PVI se as alíneas (i)-(iii) são válidas. Por exemplo, no caso (iii) x (t )=x,t I a condição interpretase da seguinte forma: x (t )=x (x (t ),x 2 (t ),...,x n (t )) T =(x,x 2,...,x n ) T. Também os sistemas de ED de ordem superior a um podem ser escritos na forma x = f (t, x) mediante uma substituição apropriada das variáveis. Voltaremos a esta questão. Exemplo 7 Mostre-se que x (t) = x (t) = x 2 (t) e2 2e t 2e t é solução do PVI x x 2 = x x 2 x 2, x () = x 2 () 2 em R (note-se que x = f (x) onde f (x) = f (x) = f (x,x 2 ) = x x 2 f 2 (x) f 2 (x,x 2 ) x 2 ). É imediato verificar-se (i), (ii) e (iii). Com efeito, x (t) = 2e t e 2 2e t = x (t) x 2 (t) x 2 (t) = 2e t = x 2 (t) e x () = x () = x 2 () e2 2e 2e = 2. 8

.2 Algumas Equações Diferenciais Univariadas de Primeira Ordem com Solução Fechada.2. Equação Linear (Primeira Ordem) AEDx = f (t, x) designa-se por equação linear de primeira ordem não autónoma (ou não homogénea) se f (t, x) =a (t) x + b (t). Tem-se, Teorema Considere-se a ED x = a (t) x + b (t) onde a (t) e b (t) são funções contínuas em I. Então a solução geral em I é x (t) =e ξ(t) µz b (t) e ξ(t) dt + c, t I (.5) onde ξ (t) = R a (t) dt. Dem. Em primeiro lugar note-se que as expressões ξ (t) e R b (t) e ξ(t) dt estão bem definidas em I dado que a (t) e b (t) são funções contínuas nesse intervalo. Seja x (t) uma solução de x (t) =a (t) x (t)+b (t). Multipliquemos ambos os termos desta equação por e ξ(t). Temos x (t) e ξ(t) = a (t) x (t) e ξ(t) + b (t) e ξ(t) x (t) e ξ(t) a (t) x (t) e ξ(t) = b (t) e ξ(t) ³x (t) e ξ(t) = b (t) e ξ(t) Z x (t) e ξ(t) = b (t) e ξ(t) dt + c µz x (t) = e ξ(t) b (t) e ξ(t) dt + c. Provámos que qualquer solução x (t) tem a forma (.5). Reciprocamente, qualquer função da forma (.5) é solução de x = a (t) x+b (t). Com efeito, por derivação e considerando o teorema 9

fundamental do cálculo integral, dx (t) dt = d e ξ(t) R b (t) e ξ(t) dt + c dt = d e ξ(t) µz b (t) e ξ(t) dt + c + e ξ(t) d R b (t) e ξ(t) dt + c dt dt µz = a (t) e ξ(t) b (t) e ξ(t) dt + c + e ξ(t) b (t) e ξ(t) {z } x(t) = a (t) x (t)+b (t). Observação 5 É fácil verificar que a solução do PVI x = a (t) x+b (t),x(t )=x com t I é µz t x (t) =e ξ(t) b (s) e ξ(s) ds + c, c = x e ξ(t). (.6) t Exemplo 8 Resolva-se o PVI x =(sent) x +sent, x () =. Como a (t) =sent e b (t) =sent são funções contínuas em R, a solução está definida em R. Considere-se em primeiro lugar, Z ξ (t) = b (t) e ξ(t) dt = = Z Z Z (sen t) dt = cos t, (sen t) e ξ(t) dt (sen t) e cos t dt = e cos t. A solução geral vem então, µz x (t) = e ξ(t) b (t) e ξ(t) dt + c = e cos t e cos t + c = +e cos t c Considerando agora x () =, tem-se x () = +e cos c = c =2e. 2

Figura -5: Curva x (t) = +2e cos t,t [, ] x 4 2 8 6 4 2 2 4 6 8 t Figura -6: Curva x (t) = +2e cos t,t [, 2] x 4 2 8 6 4 2 5 5 2 t Assim, a solução do PVI é x (t) = +2e cos t,t R [poderíamos também ter considerado a equação (.6)]. A representação gráfica de x (t) no intervalo t [, ] é dada na figura -5; a mesma representação mas no intervalo t [, 2] é dada na figura -6. Observe-se que a solução é periódica. Exemplo 9 Considere-se a ED x = x/t +2,t>. Asoluçãogeraléx (t) =t + c/t, t >. O facto de x (t) não estar definido para t =não causa surpresa pois a (t) = /t não é contínua no ponto t =. Com efeito, o teorema só garante a existência de uma única solução de x = x/t +2 no intervalo onde a (t) = /t e b (t) =2são contínuas. É no entanto interessante observar que a ED com a condição inicial x () = tem por solução particular 2

x (t) =t e esta solução está definida para t R. Conclusão: se a (t) e b (t) forem contínuas em I a solução de um PVI está necessariamente bem definida em I. Pode no entanto suceder que a solução exista para outros pontos não contidos em I. Mas,seasoluçãonãoestádefinida para certos valores de t é porque nesses mesmos pontos a (t) e/ou b (t) não são contínuas..2.2 Equação Com Variáveis Separáveis AEDx = f (t, x) designa-se por equação com variáveis separáveis se f (t, x) =f (t) f 2 (x). Ou seja, nestas condições, f (t, x) pode decompor-se no produto de duas funções, uma dependendo apenas de t e a outra dependendo apenas de x. Suponha-se que f (t) e f 2 (x) são contínuas em I e I 2, respectivamente, e f 2 (x) 6= em I 2. Tem-se x = f (t) f 2 (x) dx/dt = f (t) f 2 (x) e, portanto, com f 2 (x) 6= em I 2, dx f 2 (x) = f (t) dt ou dx (t) f 2 (x (t)) = f (t) dt (.7) Integrando ambos os termos da última equação com respeito a t, obtém-se a solução da ED em I Z t Z t dx (s) = f (s) ds + c f 2 (x (s)) onde c é uma constante arbitrária. A equação anterior pode-se escrever na forma Z x(t) Z t f 2 (y) dy = f (s) ds + c, (.8) ou ainda Z Z f 2 (x) dx = f (t) dt + c. (.9) Mostre-se que (.8) é solução da ED. Definindo F (t) =Φ (t, x (t),c)= Z x(t) Z t f 2 (y) dy f (s) ds c = 22

vem, pela fórmula da derivação da função implícita, df (t) /dt = Φ (t, x, c) / t+ Φ (t, x, c) / x dx/dt = e pelo teorema fundamental do cálculo integral, f (t)+ f 2 (x) x = isto é, x = f (t) f 2 (x). Resulta imediato que o PVI x = f (t) f 2 (x),x(t )=x tem por solução 4 Z x(t) Z t x f 2 (y) dy = f (t) dt. (.) t Observação 6 Suponha-se que f 2 (x) se anula no ponto a, i.e. f 2 (a) =. Então x (t) a é também solução da equação pois a =e f (t, a) =. Se a solução obtida em (.8) [ou (.9)] não contemplar como solução particular x (t) a então esta solução foi perdida no processo formal de separação de variáveis (note-se que a equação (.7) apenas está definida para f 2 (x) 6= ). Exemplo Considere-se x = t x. Afunçãof (t, x) pode decompor-se no produto f (t) f 2 (x) onde f (t) =t e f 2 (x) = x, x. Aplicandoafórmula(.9)vem R x dx = R tdt + c i.e. 2 x = 2 t2 + c. A solução na forma explícita é x (t) = 6 t4 + 4 t2 c + 4 c2. Observa-se que x (t) é também solução pois f 2 () = =. Exemplo Considere-se o PVI x = x 2,x() =. Aplicando a fórmula (.9) vem R x 2 dx = R dt + c ou seja x = t + c ou ainda x (t) = / (t + c). Para determinar c faz-se x () = / ( + c) =oqueimplicac =. AsoluçãodoPVIéportantox (t) =/ ( t) para <t<. Observe-se que a solução explode em tempo finito, i.e. lim t x (t) =+. ED com soluções deste tipo, geralmente não servem para modelarem fenómenos naturais e económicos. Uma discussão mais ampla sobre esta problemática é apresentada no ponto 2...2.3 Equação Homogénea AEDx = f (t, x) (com f contínua, como habitualmente) designa-se por equação homogénea se f (t, x) é uma função homogénea de grau zero (em relação a t e x). Recorda-se que f (t, x) é uma função homogénea de grau n em relação às variáveis t e x sesetiverparatodoo 4 Com efeito, seja F aprimitivade/f 2. A solução (.) pode-se escrever na forma F (x (t)) = F (x )+ t t f (t) dt eéimediatoquef (x (t )) = F (x ). 23

λ, f (λt, λx) = λ n f (t, x). As funções homogéneas de grau zero possuem a particularidade de f (t, x) ser igual a f (,x/t) (t 6= ). Basta considerar n = e λ = /t na expressão f (λt, λx) =λ n f (t, x). Assim, se f é homogénea de grau zero vem f (t, x) =f ³, x. (.) t Sob a hipótese (.) a ED inicial pode-se escrever na forma x = f (,x/t). Considere-se a mudança de variável y = x/t. A partir das relações x = yt e x = y t + y obtemos uma nova ED y t + y = f (,y) que é uma ED com variáveis separáveis. Ponha-se y t + y = f (,y) na forma y f (,y) y = t. Depois de se integrar ambos os termos da equação vem Z Z f (,y) y dy = t dt + c ou ainda Z dy =log t + c. (.2) f (,y) y Esta equação fornece a solução da ED y t + y = f (,y). Para obter a solução da ED original basta substituir na solução obtida em (.2) y por x/t. Exemplo 2 Considere-se x = f (t, x) = x +2te x/t /t, t >. Verifique-se em primeiro lugar que f (t, x) é homogénea de grau zero: f (λt, λx) = λx +2(λt) e (λx)/(λt) λt = λ x +2te x/t t = f (t, x). Logo com λ =/t e y = x/t fica f ³, x x/t +2(t/t) e (x/t)/ = t = y +2e y = f (,y). 24

Figura -7: x (t) = (log (2 log t +))t para t>e 2 8 6 4 2-2 2 3 4 5 6-4 Aplicando a fórmula (.2) resulta Z Z y +2e y dy =logt + c y dy =log t + c 2e y e a solução na forma implícita é 2 ey =logt + c. A solução da ED original na forma implícita é 2 ex/t =logt + c. Resolvendo em ordem a x vem x (t) = (log (2 log t +2c)) t com t tal que 2logt +2c >. Suponha-se agora que a condição inicial é x () =. Assim x () = (log (2 log + 2c)) = (log (2c)) = 2c =, i.e. c =/2. AssimasoluçãodoPVIéx (t) =(log(2logt +))t ³ para t>e 2. O intervalo e 2, + designa-se por intervalo de existência da solução e, como veremos oportunamente, o intervalo é maximal. Na figura -7 representa-se a solução do PVI..2.4 Equação Total Exacta Assuma-se que as funções M (t, x) e N (t, x) são contínuas num certo rectângulo R e têm derivadas parciais com respeito a t e x contínuas no mesmo rectângulo R. 25

Definição 5 AEDM (t, x) dt + N (t, x) dx =designa-se por ED total exacta se existe uma função F : R R 2 R tal que df (t, x) =M (t, x) dt + N (t, x) dx. A solução na forma implícita é naturalmente F (t, x) = c. Colocam-se duas questões: primeiro, em que condições existe esta função F?; segundo, como determinar F, ou seja, como determinar a solução? O teorema seguinte e a respectiva demonstração esclarecem estas questões. Teorema 2 Assuma-se que as funções M (t, x) e N (t, x) são contínuas num certo rectângulo R e têm derivadas parciais com respeito a t e x contínuas no mesmo rectângulo R. Então a condição M (t, x) x = N (t, x). (.3) t implicaaexistênciadeumafunçãof : R R 2 R (designada primitiva da diferencial) tal que df (t, x) =M (t, x) dt + N (t, x) dx, (t, x) R. (.4) Reciprocamente, se existe F nas condições de (.4) então verifica-se (.3). Dem. Suponha-se que (.4) é um diferencial total de F. Então df (t, x) =Ftdt + Fxdx e, como se sabe do cálculo diferencial, necessariamente Ftx = Fxt se Ftx e Fxt são funções contínuas. Mas Ftx M(t,x) x e Fxt N(t,x) t são funções contínuas, por hipótese. Logo (.3) é uma condição necessária para que M (t, x) dt + N (t, x) dx =seja um diferencial total. Falta mostrar o recíproco, i.e. que (.3) é suficiente para que exista uma função F nas condições do teorema. Em particular dever-se-á ter Ft = M e Fx = N. Suponha-se válida a condição (.3). Considere-se uma função F tal que Ft (t, x) =M (t, x). Tem-se, integrando em ordem àvariávelt, Z t F (t, x) = M (u, x) du + φ (x) t onde t éaabcissadumpontoarbitrárionodomíniodeexistênciadasoluçãoeφ (x) éuma função com derivada contínua em R (constante para a derivação em t). Observe-se que 26

Z F (t, x) t M (u, x) = du + φ (x). x t x A derivada parcial Fx é igual a N seesóse F (t, x) x = N (t, x) Z t M (u, x) t x du + φ (x) =N (t, x) mas como M x = N t vem R t N(u,x) t t du + φ (x) =N (t, x) i.e. [N (u, x)] t t + φ (x) =N (t, x) ou ainda N (t, x) N (t,x)+φ (x) =N (t, x) e, portanto, φ (x) =N (t,x). Resulta φ (x) = Z x x N (t,z) dz (x é uma constante arbitrária). Consequentemente, F (t, x) = Z t t M (u, x) du + φ (x) = Z t t M (u, x) du + Z x x N (t,z) dz (.5) Se tomarmos o diferencial desta última expressão juntamente com a equação (.3) chega-se a (.4) 5, isto é, provámos que sob a hipótese (.3) existe uma função F,dadapelaexpressão (.5), tal que o diferencial é df (t, x) =M (t, x) dt + N (t, x) dx. O teorema anterior e a respectiva demonstração permite estabelecer o seguinte: ) a ED M (t, x) dt + N (t, x) dx =é exacta sse a condição (.3) se verifica;2)asoluçãodaedé definida implicitamente por F (t, x) =c, c R i.e. Z t Z x M (u, x) du + N (t,z) dz = c. (.6) t x Exemplo 3 Considere-se o PVI e t +2x dx + e t xdt =,x() =. A ED não é de variáveis separáveis nem homogénea. No entanto, com N = e t +2x, M = e t x tem-se M x = N t = et 5 Note-se que a derivada de t t M (u, x) du + x x N (t,z) dz em ordem a t é M (t, x) e em ordem a x é t t ( M (u, x) / x) du + N (t,x)= t t ( N (u, x) / t) du + N (t,x)=n (t, x). Logo o diferencial da expressão (.5) é efectivamente df = M (t, x) dt + N (t, x) dx. 27

e, portanto, a ED é total exacta (i.e. a igualdade M/ x = N/ t garante a existência de uma função F nos termos da definição 5). Aplicando a fórmula (.6), a solução (ou família de curvas integrais) na forma implícita é Z t Z x e u xdu + e t +2z dz = c e t x e t x + e t x + x 2 x e t x 2 = c t x ou e t x (t)+x (t) 2 = c (note-se que x e t e x 2 são constantes arbitrárias; podemos fazer x =). Atendendo a x () = e +=c a solução do PVI na forma implícita é e t x (t)+x (t) 2 =2..2.5 Equação Redutível a Total Exacta Considere-se a ED M (t, x) dt + N (t, x) dx =onde M (t, x) e N (t, x) são contínuas num certo rectângulo R e têm derivadas parciais com respeito a t e x contínuas no mesmo rectângulo R. Vimos no ponto anterior que a condição (.3) é necessária e suficiente para que a ED M (t, x) dt + N (t, x) dx =seja uma ED total exacta. Suponha-se agora que M (t, x) x 6= N (t, x). t Definição 6 Uma ED M (t, x) dt + N (t, x) dx =diz-se redutível a uma ED total exacta se existir uma função não nula µ (t, x) tal que µ (t, x) M (t, x) dt + µ (t, x) N (t, x) dx = (.7) é uma ED total exacta. A função µ (t, x) designa-se factor integrante. A situação é, portanto, a seguinte: a ED M (t, x) dt + N (t, x) dx =não é uma ED total exacta e não se sabe resolver; por outro lado (.7) é uma ED total exacta e sabe-se resolver. De facto, com M (t, x) =µ (t, x) M (t, x) e Ñ (t, x) =µ (t, x) N (t, x) a solução de (.7) é, pela fórmula (.6), Z t Z x M (u, x) du + Ñ (t,z) dz = c. (.8) t x Deixa-se como exercício mostrar que (.8) é solução da ED (.7). Impõem-se as seguintes questões: a) a solução de (.7), i.e. (.8), é também solução da ED inicial M (t, x) dt + 28

N (t, x) dx =? b) como determinar µ? A resposta a a) é positiva. Com efeito, seja x (t) a solução da ED (.7) (considere-se Φ (t, x, c) =, no caso de não ser possível obter uma solução explícita). Logo x (t) satisfaz a ED µ (t, x) M (t, x) dt + µ (t, x) N (t, x) dx =ou seja µ (t, x)(m (t, x) dt + N (t, x) dx) =. Como µ é uma função não nula, resulta que x (t) satisfaz também a ED M (t, x) dt + N (t, x) dx =e, portanto, x (t) é solução da ED M (t, x) dt + N (t, x) dx =. 6 Relativamente à alínea b) iremos mostrar como determinar µ nos casos em que µ depende apenas de t ou apenas de x (outros casos são possíveis - ver exercícios). Para que a ED (.7) seja uma ED total exacta é necessário e suficiente que (µ (t, x) M (t, x)) x = (µ (t, x) N (t, x)), t ou seja µ M x + µ x M = µ N t + µ N. (.9) t A equação (.9) é uma ED parcial com função desconhecida µ. A solução de (.9) é, em geral, difícil de obter. No entanto, se µ = µ (t) (µ depende apenas de t) ouµ = µ (x) (depende apenas de x) então (.9) é uma ED ordinária com solução conhecida. Formule-se a hipótese H t : µ = µ (t). Nestas circunstâncias, a equação (.9) pode escrever-se na forma µ M x = µ N t + dµ dt N ou ainda na forma µ dµ = h (t) dt, h (t) = M x N t N (.2) A equação (.2) é uma ED com variáveis separáveis (com função incógnita µ) com solução µ = e h (t)dt. 6 No entanto, algumas soluções podem perder-se. Por exemplo, se o factor integrante for µ =/x, x 6= e uma das soluções da ED M (t, x) dt + N (t, x) dx =for x (t), pode suceder que a solução da ED (.7) não revele a solução x (t). 29

No caso H x : µ = µ (x) pode-se mostrar que µ = e h 2 (x)dx, h 2 (x) = N t M x M. Existem outras hipóteses simplificadoras. Por exemplo, µ = µ (xy) ou µ =(x + y). Num exercício concreto, µ é desconhecido pelo que não se sabe de que forma µ depende de t e/ou x (ou mesmo se µ existe nas condições da definição 6). Nestas circunstâncias, podese seguir o seguinte procedimento quando se procura determinar µ: ) formular a hipótese H t : µ = µ (t); 2) calcular h ; 3) se h depender apenas de t, aceita-se a hipótese H t e o factor integrante é µ =exp R h (t) dt. A solução da ED é dada pela expressão (.8). Se h depende de x rejeita-se H t e passa-se ao passo 4): formular a hipótese H x : µ = µ (x); 5) calcular h 2 ;6) se h 2 depender apenas de x, aceita-se a hipótese H x e o factor integrante é µ =exp(h 2 (x) dx). A solução da ED é dada pela expressão (.8). Se h 2 depende de t deve-se procurar outro método de resolução (ou, eventualmente, investigar outras hipóteses relativas a µ). Exemplo 4 Considere-se a ED x + tx 2 dt tdx =. Tem-se M = x+tx 2 e N = t. Como M/ x =+2tx 6= N/ t = a ED não é total exacta. Analise-se a hipótese H t : µ = µ (t). Tem-se h = M x N t N = +2tx ( ) t = 2 +tx. t Como h depende explicitamente de t e x (devia depender apenas da variável t) ahipóteseh t não é válida. Investigue-se a hipótese H x : µ = µ (x). Tem-se h 2 = N t M x M = 2tx x + tx 2 = 2(+tx) x ( + tx) = 2 x eahipóteseh x é válida, pelo que o factor integrante é µ = e h 2 (x)dx = e 2 x dx = e 2logx = x 2. 3

Assim,multiplicandoaEDinicialpor/x 2 obtém-se a ED total exacta cuja solução é x + tx 2 x 2 dt t µ dx =ou x2 x + t dt t x {z } 2 dx =, {z} M Ñ Z t t M (u, x) du + Z x x Ñ (t,z) dz = c i.e. Z t t µ x + u du + Z x x µ t z 2 dz = c ou ainda 2t+t2 x 2t t 2 x 2x t x x xx x (t) = 2t 2c t 2. = c. Com t =vem 2t+t2 x 2x = c ou seja (na forma explícita).3 Equações Diferenciais Redutíveis a Equações Diferenciais de Primeira Ordem Certas ED de ordem superior à primeira podem ser transformadas numa ED de primeira ordem através de uma mudança de variáveis. As ED lineares de ordem superior a um são abordadas no ponto 4...3. Equações do Tipo x = f (t, x ) Trata-se de uma ED de segunda ordem que não depende explicitamente de x. Considerando a mudança de variável y (t) =x (t) tem-se y = f (t, y) que é uma ED de primeira ordem. Resolvendo a ED y = f (t, y) obtém-se y (t) que, por integração dá x (t). Exemplo 5 Considere-se a ED tx x = t 2 e t que verifica as condições x () = e x () =. Considerando a mudança de variável y = x vem ty y = t 2 e t, i.e., y = t y + tet, y() = queéumaedlineardeprimeiraordem. 3

Aplicando a fórmula (.6) vem ξ (t) = Z y (t) = e ξ(t) µz t = t µz t = t a (t) dt = Z dt =logt t se s e log s ds + e s ds = t e t e. Assim x (t) = = Z Z y (t) dt, t e t e dt x () = = te t e t 2 t2 e + c e, portanto, x () = c = 2 e. Observação 7 AEDx (n) = f t, x (n ) sem x resolve-se de forma similar, considerando a mudança de variável y (t) =x (n ) (t)..3.2 Equações do Tipo x = f (x, x ) Trata-se de uma ED de segunda ordem que não depende explicitamente de t. Considerando a mudança de variável y (x) =x (t) tem-se x (t) = d (y (x (t))) dt = dy dx dx dt = y (x) y (x). Logo a ED x = f (x, x ) pode escrever-se na forma y (x) y (x) =f (x, y) 32

que é uma ED de primeira ordem (com variável independente x). Resolvendo esta ED obtém-se y (x). Dadaarelaçãoy (x) =x (t), obtém-se x (t) resolvendo que é uma ED de variáveis separáveis. dx = dt y (x) Exemplo 6 Resolva-se a ED x =2x x. Com a mudança de variável y (x) =x (t) obtém-se y y =2yx, i.e. y =2x (ED com variável independente x) cuja solução é y = x 2 + c. Para obter x (t) resolve-se agora a ED cuja solução, na forma implícita é x 2 + c dx = dt ³ arctg x c = t + c 2. c.4 Aplicação (Modelos Populacionais).4. Introdução Seja x (t) uma população de uma certa espécie (humana, de bactérias, de predadores, etc.) no instante t e suponhamos, numa situação ideal, que x (t) varia continuamente 7.Sejar (t, x) adiferença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade (por unidade de tempo) no momento t. A variação da população num certo intervalo de tempo > pode ser traduzida pela igualdade (x (t + ) x (t)) /x (t) =r (t, x (t)) ou seja (x (t + ) x (t)) / = r (t, x (t)) x (t). Com tem-se a ED x = r (t, x) x. No caso r (t, x) =r (constante) a equação x = rx é conhecia como a equação de Malthus. Sabendo-se o valor da população x num dado momento t, é imediato concluir-se que a solução (do PVI) é x (t) =x e r(t t). Toda a espécie que satisfaça a lei de Malthus cresce exponencialmente no tempo. O modelo, apesar de atractivo (pela sua simplicidade) é pouco realista. Se tomarmos para r o valor.2 para dados 7 Na verdade x (t) varia discretamente com t pelo que x (t) não é uma função diferenciável (nem mesmo contínua) com respeito a t. No entanto, se o valor da população é alto a variação de uma unidade tem pouca expressão comparada com o valor da população. Nestas circunstâncias pode-se admitir, com um erro negligenciável, que x (t) é uma função contínua e mesmo diferenciável. 33

anuais (estimativa obtida a partir de dados da população dos EUA) qualquer previsão a longo prazo é desprovida de significado 8. Mesmo assim, o modelo de Malthus pode aproximar razoavelmente o crescimento de populações de dimensão reduzida (ver Braun, 993). Todavia, quando o valor da população excede certo limiar os indivíduos passam a competir entre si pelos recursos disponíveis (espaço, recursos naturais e alimentação). Esta competição abranda ou trava o crescimento da população. Para contemplar este efeito é necessário definir na ED um termo (função) tal que, quando x é alto ou muito alto, x deve abrandar ou diminuir. Uma possibilidade consiste em adicionar o termo bx 2 (b>) naequaçãodemalthus,ficando x = r x bx 2, r,b >. Esta equação, designada por equação logística, foi proposta pelo matemático e biologista Verhulst em 837. Normalmente o parâmetro b é pequeno, comparado com o de r. Assim, quando o valor da população é baixo a quantidade bx 2 é negligenciável e a população evolui aproximadamentedeacordocomaregrax = r x. Àmedidaquex aumenta, o termo bx 2 passa a exercer um efeito de contracção no crescimento da população. A resolução da equação logística, embora fácil é trabalhosa. Trata-se de uma ED com variáveis separáveis, cuja família de curvas integrais é dx = dt r x bx2 Z Z r x bx 2 dx = dt + c. Para primitivar a função r em ordem a x é necessário decompor a função em fracções x bx 2 simples. Deixa-se como exercício verificar que r x bx 2 = b + bx r r x r 8 Por exemplo, se a população mundial crescer de acordo com o modelo x e r(t t ),r=.2, no ano de 255 a área disponível para cada habitante no planeta, incluindo mares, rios e lagos será inferior a um metro quadrado (ver Braun, 993, pp. 26-27). 34

Figura -8: Cronograma da População dos EUA (em milhões de Hab.) 3 25 2 5 5 8 8 82 83 84 85 86 87 88 89 9 9 92 93 94 95 96 97 98 99 2 e Z µ b + dx =... = log bx r bx r r x r x. r A família de curvas integrais na forma explícita é x (t) = r b e r t c, (c é uma constante). Dada a condição inicial x () = x, a solução do PVI é x (t) = x r bx + e tr (r bx ). Vai analisar-se a qualidade dos modelos x = rx e x = rx bx 2 com base nos dados da população dos EUA. Na figura -8 apresenta-se a evolução da população dos EUA desde 8. Existe claramente uma tendência crescente, porém a ritmos decrescentes, como se pode observar na figura -9, onde se apresenta a variação relativa da população ao longo do tempo (log (x (t + ) /x (t)) (x (t + ) x (t)) /x (t)). SeomodelodeMalthusfossecorrectoa expressão r =log(x (t + ) /x (t)) / deveria ser (aproximadamente) constante ao longo dos anos. 35

Figura -9: Variação Relativa da População (log (x (t + ) /x (t))).34.29.24.9.4.9 8 82 83 84 85 86 87 88 89 9 9 92 93 94 95 96 97 98 99 2.4.2 Estimação dos Parâmetros Uma das fases mais importantes em qualquer estudo empírico consiste na estimação dos parâmetrosdosmodelosespecificados. Esta tarefa apenas pode ser resolvida cabalmente no contexto de um modelo probabilístico, que exigiria, no nosso caso, acrescentar-se às ED um termo estocástico construído a partir dos chamados processos de Wiener (ou movimentos Brownianos). Como não pode entrar-se nessa área, vai apresentar-se um procedimento mecânico de estimação dos parâmetros 9. Convencione-se: t = ano 8; t = ano 8 e assim sucessivamente. Em qualquer dos modelos a condição inicial pode ser fixada como x () = 5.3. O modelo de Mathus vem então x M (t) =5.3e rt. A questão é estimar o parâmetro desconhecido r. Devemos escolher r de tal forma que a diferença entre os valores efectivamente observados x (t) eomodelox M (t) seja mínima. Trata-se então 9 Poderá provar-se que os resultados que se obtêm por este método mecânico são idênticos aos que se alcançariam se se usasse o método de estimação dos Mínimos Quadrados Condicionados, o qual fornece estimadores consistentes em sentido probabilístico. 36

de um problema de minimização em ordem a r, i.e., min d r> x () x (2)... x (n), x M () x M (2)... x M (n) onde d (a, b) representa uma distância entre os vectores a e b e n representa o número de observações disponíveis. Considerando o critério habitual (minimização das diferenças quadráticas ) d (a, b) =(a b) T (a b) = P t (a t b t ) 2 o problema de optimização é então min r> 2X t= (x (t) x M (t)) 2 =min r> 2X t= x (t) 5.3e rt 2. Qualquer programa de estatística (por ex., GAUSS, TSP, EXCEL ) resolve facilmente este problema de optimização. A solução é ˆr =.272 (taxa de crescimento na unidade anos - note-se que t =representa anos; numa base anual a taxa de crescimento é de.272) 2. Umamedidadoerroassociadoaomodeloé 2X t= ³ x (t) 5.3eˆrt 2 = 98.9. Relativamente ao modelo logístico o problema de minimização é min r,b> 2X t= (x (t) x L (t)) 2 = min r,b> 2X t= µ 5.3r 2 x (t) b5.3+e tr (r b5.3) O estimador dos mínimos quadrados do modelo de regressão clássico (para modelos discretos) baseia-se neste princípio, como se verá na cadeira de econometria. OpçãoSolveremTools(escolherAdd-Inscasoaopçãonãoestejadisponível). 2 Uma estimativa alternativa pode-se obter tendo em conta que log x M (t) =log5.3+rt. O problema de optimização é agora min 2 r> t= (log x (t) log xm (t))2 =min 2 r> t= (log x (t) log 5.3 rt)2. É fácil deduzir, aplicandoacondiçãodeprimeiraordem do problema de optimização, que 2 t= ˆr = log x M n log 5.3 2 t= t =.23. i Esta estimativa não coincide com a anterior. A estimativa "correcta"dependeria do modelo probabilístico que se considerasse. Por exemplo, se o modelo fosse log x M (t) =log5.3+rt + e (t) sendo e (t) uma variável aleatória com "boas propriedades"então a estimativa "correcta"seria ˆr =.23. Seomodelofossex M (t) =5.3e rt + e (t) a estimativa "correcta"seria ˆr =.272. 37

Figura -: Ajustamento: Modelo de Malthus vs. Modelo Logístico 4 35 3 25 Pop. Pop. Est (Malthus) Pop. Est (Logis.) 2 5 5 8 8 82 83 84 85 86 87 88 89 9 9 92 93 94 95 96 97 98 99 2 cuja solução é ˆr =.2754 e ˆb =.823. Os erros de ajustamentos são agora 2X t= 5.3ˆr x (t) ˆb5.3+e tˆr ³ˆr ˆb5.3 2 =3.23. Observa-se com o modelo logístico uma redução muito forte dos erros de ajustamento. Também a figura -, na qual se compara o valor observado x (t) com os valores estimados pelos dois modelos, corrobora essa ideia. Os modelos podem também servir para prever o valor futuro de x (t). Por exemplo, a previsão do modelo de Malthus para o ano 24 é x M (34) = 5.3eˆr 34 = 662 (milhões) 3.Na figura - mostram-se as previsões dos dois modelos até ao ano 24. Enquanto o modelo logístico estabelece uma estabilização da população dos EUA em torno do valor 334 (milhões), o modelo de Malthus prevê valores arbitrariamente altos à medida que t +. 3 Note-se que se convencionou que t =corresponde ao ano 8, t =ao ano 8 e assim sucessivamente. Procedendo assim t =34corresponde ao ano 24. 38

Figura -: Previsão: Modelo de Malthus vs. Modelo Logístico 5 45 4 35 3 25 2 5 5 Pop. Pop. Est (Malthus) Pop. Est (Logis.) 8 83 86 89 92 95 98 2 24 27 2 23.4.3 Comentários Finais Retomando o modelo logístico, é interessante verificar que lim x (t) = t + lim t + x r bx + e tr (r bx ) = r b, r,b> Assim a população tende para o valor r /b quando t +. Observe-se também que no ponto x = r /b a função f (t, x) =f (x) =r x bx 2 é nula pelo que, nesse ponto, a população não cresce nem decresce (digamos, está em equilíbrio). No capítulo Estabilidade designaremos o valor r /b como um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável. No contexto do exemplo anterior, obteve-se ˆr =.2754 e ˆb =.823. Assim, a previsão de (muito) longo prazo para o valor da população é.2754/.823 = 334. 63 (milhões de indivíduos), valor que a figura - também confirma. 39

Exercícios. Classifique as ED(ordem, linearidade e autonomia) apresentadas nos restantes exercícios do Cap.. 2. Mostre que x (t) =ce cos t,c R é solução da ED x = x sen t =em R. 3. Mostre que x (t) =c e t + c 2 te t +2+t, c,c 2 R é solução da ED x 2x + x = t em R. 4. Mostre que log (t +) x (t)+log e x(t) + + c =,c R é solução (implícita) da ED x =(e x +)/ (t +)em t>. 5. Mostre que x (t) =2t/ 3 t 2 é solução do PVI x = x/t + x 2,x() = em I =, 3. 6. Mostre que x (t) =log t 2 /2 2 é solução do PVI x = te x,x 6 =em I =]2, + [. 7. Obtenha a solução geral da ED x = x/t +2,t>. 8. Obtenha a solução geral da ED x (n/t) x = e t t n,n R, t>. 9. Resolva x 2 +x 2 = k 2, obtenha as curvas envolventes à família de curvas integrais e mostre que estas curvas são soluções singulares.. Resolva o PVI t 2 x x +2t log x =,x() = e.. Resolva x + +x3 tx 2 (+t 2 ) =. 2. Resolva o PVI x = x t 3. Resolva x = tx/ t 2 x 2. 4. Resolva 2t x 3 + x2 3t 2 x 4 x =. +log x t,x() = e. 5. Resolva o PVI x = x + g (t),x() = onde 2 t g (t) = t>. 6. Dada a ED x = a (t) x + b (t) com a e b contínuas e a e f tais que a (t) k< e lim t + b (t) =, mostre que qualquer solução tende para zero quando t +. 4