ANÁLISE E CARACTERIZAÇÃO DE MODELOS DE CUSTOS QUE UTILIZAM O VALOR DE SHAPLEY PARA ALOCAÇÃO DE CUSTOS ENTRE DEPARTAMENTOS

ANÁLISE E CARACTERIZAÇÃO DE MODELOS DE CUSTOS QUE UTILIZAM O VALOR DE SHAPLEY PARA ALOCAÇÃO DE CUSTOS ENTRE DEPARTAMENTOS Autores: FRANCISCO ANTONIO BEZERRA (FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU) JEFFERSON FERNANDO GRANDE (UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU) Resumo Vsano obter benefícos (economas e escala e escopo), versas organzações cram estruturas e prestação e servços nternos, os epartamentos e nformátca são exemplos sso. Chamaa e prmero estágo e alocação e custos, a strbução os custos e prestação e servços nternos entre os epartamentos usuáros, promove o controle os custos e ncentva a melhora a efcênca na utlzação os recursos. Este trabalho escreve as característcas e um moelo e alocação os custos e prestação e servços nternos baseao nos concetos a Teora os Jogos Cooperatvos. Fo utlzao o Valor e Shapley para se encontrar a solução o jogo cooperatvo. É emonstrao no artgo que este moelo matemátco e strbução e ganhos (economas e escala e escopo) prouz resultaos que, sob a ótca o tomaor e ecsão raconal, gera o melhor resultao e strbução e custos, pos está baseao no custo margnal e nserção e caa epartamento usuáro o servço nterno. Em termos metoológcos, esta poe ser classfcaa, quanto ao seu objetvo, como seno uma pesqusa exploratóra e, quanto ao elneamento a pesqusa, trata-se e uma pesqusa bblográfca. Palavras-Chave: Alocação e Custos, Teora os Jogos Cooperatvos e Valor e Shapley.

ANÁLISE E CARACTERIZAÇÃO DE MODELOS DE CUSTOS QUE UTILIZAM O VALOR DE SHAPLEY PARA ALOCAÇÃO DE CUSTOS ENTRE DEPARTAMENTOS Introução Parte ntegrante o sstema e alocação e custos, os sstemas e acumulação e custos assocam contas e espesas aos centros e custos, e tas contas vão sofreno movmentações urante um períoo e tempo. Os valores as contas e espesas, ao fnal e um períoo, servem para avalar a performance o epartamento, ao mesmo tempo em que crtéros e assocação efnos para as espesas permtem a strbução estas para os proutos. Para Kaplan e Atknson (1998, p. 61): Um sstema e custos traconal possu uma estrutura e os estágos [...]. No prmero estágo, os epartamentos e servço são strbuíos entre os epartamentos operaconas ou e proução. As espesas os epartamentos e proução são assocaas retamente a estes epartamentos. Assm, epos o prmero estágo, toas as espesas organzaconas são strbuías, ou retamente ou através as strbuções os epartamentos e servços, para os epartamentos e proução. No seguno estágo [...], os custos são strbuíos para os proutos processaos por estes epartamentos. Neste trabalho, propõe-se um moelo e strbução e custos para o prmero estágo e alocação e custos. Dferentemente a grane maora os trabalhos na área e custos, este não apresenta uma solução para a strbução e custos aos proutos (seguno estágo e alocação e custos). Já exstem versos trabalhos veculaos em mportantes publcações na área contábl, que utlzam o mesmo referencal teórco nsero neste artgo para realzar a últma etapa e strbução e custos (HAMLEN; HAMLEN; TSCHIRHART, 1977; BALACHANDRAN; RAMAKRISHNAN, 1981; CALLEN, 1978; BUTLER; WILLIAMS, 00). Essa, alás, é uma as motvações este trabalho, pos, no entener os autores, a utlzação os concetos a Teora os Jogos fo muto pouco exploraa quanto aos aspectos e aplcação esses concetos na strbução os custos ana na prmera fase e alocação. A sua prncpal aplcação tem so na strbução e custos (comuns) aos proutos. Conforme Kaplan e Atknson (1998, p.6), a strbução os custos e prestação e servços nternos entre os epartamentos usuáros (operaconas ou não) promove o controle os custos e ncentva a melhora a efcênca na utlzação os recursos, vsto que: a) ncentva a melhora a efcênca na utlzação os recursos os gestores os epartamentos e servço. b) motva a pruente utlzação os servços nternos por parte os epartamentos usuáros. Não é objetvo este trabalho scutr questões relaconaas ao estabelecmento e preços e transferênca. Assume-se que a mensagem relevante para controle os custos poe ser obta pela smples transferênca os custos ncorros na prestação o servço, sem a nclusão e margens e lucros para os epartamentos e servços. Nas palavras e Kaplan e Atknson (1998, p. 64): A strbução os custos os epartamentos e servços nternos para os epartamentos e proução, com o propósto e controle os custos e a efcênca na utlzação e recursos, requer a cração e uma mea bem acuraa o consumo os servços nternos para caa epartamento. Estmatvas e alocações e custos poem ser utlzaas para o custeo os proutos e avalação os estoques, mas eles não são útes quano os gestores estão focaos no controle e proução e no uso e recursos

comuns. Isto porque a strbução será baseaa numa mea não relaconaa à emana e proução feta para os epartamentos e servços. Os custos alocaos não são resultao as ações tomaas pelos gestores ou funconáros o epartamento e proução. Seno assm, a mensagem proporconaa pela alocação os custos não será um feeback útl na avalação a performance operaconal o epartamento e proução urante um períoo. Assm, este trabalho trata a moelagem e um mecansmo e alocação os custos e prestação e servços nternos aos epartamentos usuáros o servço. No entanto, cra-se um moelo que carrega uma mensagem, pelo crtéro e alocação aotao, que poe ser utlzaa como feeback na avalação a performance o epartamento usuáro o servço nterno, pos está baseao no custo margnal que o epartamento usuáro causou na prestação o servço nterno. O questonamento que motva a realzação este trabalho é o segunte: Como as propreaes que elneam o moelo e alocação e custos os epartamentos e servços nternos baseao na Teora os Jogos Cooperatvos evem ser entenas e utlzaas para tomaa e ecsão? Desta forma, o objetvo este trabalho é apresentar as ferencar e escrever as característcas e um moelo e alocação e custos entre epartamentos que, baseao nos concetos a Teora os Jogos Cooperatvos, possa ser utlzao como um nstrumento na tomaa e ecsão e no controle os custos e prestação e servços nternos. Em termos metoológcos (GIL, 1987 p. 48), esta pesqusa poe ser classfcaa, quanto ao seu objetvo, como seno uma pesqusa exploratóra e quanto ao elneamento poe-se afrmar que correspone a uma pesqusa bblográfca, pos fo esenvolva a partr e materal já elaborao, consttuío prncpalmente e lvros e artgos centífcos. Teora os Jogos Cooperatvos na Alocação e Custos A Teora os Jogos Cooperatvos pressupõe a exstênca e uma estrutura comum que, ao ser utlzaa por uas ou mas entaes (jogaores), gera algum tpo e benefíco. Esse benefíco (ganho) eve ser strbuío entre as partes envolvas e acoro com alguns crtéros e strbução (axomas). Jensen (1977), Hamlen et. al (1977), Balachanran e Ramakrshnan (1981) são exemplos e trabalhos que utlzaram a Teora os Jogos Cooperatvos para alocação e custos. Tome-se, como exemplo, uma empresa que centralza as atvaes e Tecnologa e Informação (TI) em um únco epartamento por acretar que sso seja mas barato o que se caa epartamento possuísse sua própra estrutura e TI. A mesma análse poe ser feta, por exemplo, na centralzação as atvaes os epartamentos e Compras, Recursos Humanos, Contablae etc. No entanto, ao tomar essas ecsões e centralzação as empresas efrontam-se com um problema: como alocar o custo pelos epartamentos centralzaores para os epartamentos usuáros o servço? A Teora os Jogos Cooperatvos possu um arcabouço teórco que poe ser utlzao pelos gestores epartamentas que, agno e forma raconal 1, ecem como os custos e estruturas comuns poem ser strbuíos entre os usuáros o servço. Em prmero lugar é necessáro compreener que a exstênca e estruturas centralzaas entro as organzações tem uma justfcatva muto smples: ou tem-se uma 1 Com o foco estrtamente voltao para a maxmzação o seu resultao. 3

stuação na qual exste ganho e escopo ou e escala, ou ana os os. A economa e custo consegua pela mplantação e atvaes centralzaas que prestam servços para toos os epartamentos a empresa representa um ganho que precsa ser strbuío entre os usuáros o servço. Antes e escrever um jogo e alocação e custos, evenca-se a segur como são obtos os ganhos e escopo em stuações e centralzação. Ganho e Escopo Panzar e Wllg (1981) efnram o termo economa e escopo para escrever uma conção na qual é mas barato combnar os ou mas proutos em uma únca fábrca o que prouzí-los separaamente. Se exste economa e escopo em uma organzação exste também uma função e custos subatva, que estabelece que o fornecmento e recursos comuns custa menos o que o fornecmento esses mesmos recursos nvualmente para caa usuáro. Para exar mas claro o que vem a ser uma função e custos subatva, suponha que exstam n epartamentos ( D 1, D,..., Dn ), e que toos utlzem servços ferencaos entre s 1,,..., n prestaos por um epartamento e servço nterno. A função e custo e caa um os epartamentos é aa por C ( ), C ( ),..., C n ( 1 1 n ). A economa e escopo ocorre quano o custo e recursos comuns é estrtamente subatvo, ou seja, CN (,,..., 1 n ) < C ( ), one = 1,..., n e C N ( 1,,..., n ) é o custo total os recursos comuns. Em outras palavras, a economa e escopo ocorre quano o custo total o epartamento e servços nternos for menor o que o somatóro o custo a escentralzação a atvae conserano toos os epartamentos usuáros. Quano a economa e escopo exste, um benefíco (economa e custo) surge pela cração e estruturas comuns que serão utlzaas por toos entro a empresa. A economa e custo poe ser escrta a segunte forma: C ( ) CN (, 1,..., n ). Smplfcano um pouco, no caso específco e os epartamentos usuáros, poe-se escrever a economa e custo pela presença e economa e escopo a segunte forma: C1 ( 1) + C ( ) C1 ( 1, ). Se, por outro lao, fosse provável a ecomposção a função e custos subatva, C 1 ( 1, ), sera possível obter o custo efetvo a prestação e servço para caa usuáro nterno. Ou seja, caso se consegusse segregar C 1 ( 1, ) em C * 1 ( 1) + C * ( ), sso resultara em C * 1 ( 1) e C * ( ), que representam os custos que evem ser ressarcos para o epartamento e servço nterno. Custo Fxo A economa e escopo ocorre pelo fato os recursos utlzaos na proução e proutos/servços possuírem característcas que ão orgem às funções e custos subatvas. Entre estas característcas estão: os custos fxos e o efeto causao pelo ganho e escala. Um os motvos a exstênca a economa e custo obta pela centralzação e alguns servços nternos é fruto a vsão mperfeta e etermnaos recursos utlzaos na sponblzação os servços nternos. Esses recursos, seguno Baley e Frelaener (198), permtem o consumo a Capacae Não Utlzaa (CNU). Como exemplos esse tpo e Supõe-se que sso seja uma verae, pos não sera realzaa a centralzação se não houve ganho nenhum para a organzação (reução e custo, e rsco etc.). 4

recurso, poem ser ctaos os equpamentos utlzaos para a realzação os servços nternos, a mão-e-obra envolva em versas atvaes consumas por os ou mas servços nternos, entre outros. Os recursos categorzaos como custos fxos são em geral comprometos e aquros em ntervalos antes a efetva utlzação. No momento e sua aqusção, não se sabe se esse recurso rá ser consumo completamente. Caso haja uma utlzação abaxo o esperao, tem-se, então, a presença e capacae não utlzaa que precsa ser reuza ou elmnaa. Para Horngreen (1986, p. 57), os custos fxos 3 : Refletem a capacae e sustentar o volume e atvae planejao. Uma vez aqura, a capacae eve ser utlzaa ao máxmo, ese que, eventemente, o aumento e receta excea o aumento os custos varáves à mea que aumenta o volume. Em poucas palavras, os custo fxos têm uas mplcações mas mportantes para a amnstração. Prmeramente, o planejamento é crucal. Em seguno lugar, a total utlzação a capacae é freqüentemente esejável. Os custos fxos são representaos por funções e custos ntervalares (LEIKAM, 000). Assuma-se que o recurso j é um custo fxo utlzao para proução o servço nterno. Um ntervalo o recurso ( j ) é representao por I j, que nca a quantae fxa e recurso j (ou capacae o recurso j ) que eve ser compraa, levano em conseração o atual nível e consumo o servço. Assuma-se também que o número e ntervalos a serem aquros o recurso j necessáros para atener a emana pelos servços nternos é N. A quantae total o recurso j é gual a I N. Suponha-se que j j j representa a emana o epartamento D o recurso j, na qual a capacae não utlzaa é calculaa pela expressão I j N j j. j O custo o servço é ao pela segunte função e custo C = P N, one: j j C é o custo o servço ; P j é o preço pago pela aqusção a capacae o recurso j ; e N j é o Número e ntervalos o recurso j necessáros para atener a emana o servço. Para assmlação os concetos escrtos, em uma stuação e economa e escopo, consere-se o exemplo a segur 4. Amta-se que a capacae e armazenamento sponível para a prestação o servço Armazenamento e Daos, forneco pelo epartamento e TI, é e 500Mb por um custo e $5.000,00. Recurso: Memóra Servços Descentralzaos (Usuáros) Centralzao TI I j = 500Mb P j = 5.000,00 1 3 13 Memóra necessára j 945 1.050 1.505 3.500 Número e ntervalos N j 3 4 7 Capacae prátca I j N j 1.000 1.500.000 3.500 CNU I j N j - j 55 450 495-3 Também enomnaos pelo autor e custos e capacae (capacty costs). 4 Aaptao e Lekam, 000 p. 18. 5

A empresa tem uas opções com relação a sponblzação os recursos para os epartamentos (1, e 3): permtr que caa epartamento compre os recursos necessáros para suas atvaes (Servços Descentralzaos) ou centralzar a gestão os recursos em um quarto epartamento, no caso, o e TI. No caso a empresa permtr que os epartamentos aquram nvualmente os recursos e TI, tem-se um aprovetamento nferor ao que os recursos são capazes e atener. O epartamento 1, por exemplo, tem uma emana e memóra e 945Mb. Caso venha aqurr soznho esse recurso, everá spor e uas memóras e 500Mb. Sgnfca que o epartamento 1 não estará utlzano 55Mb. A mesma stuação repete-se para os outros os epartamentos. Contuo, caso a empresa eca centralzar a gestão os recursos e TI, as emanas poem ser analsaas e atenas e forma conjunta, permtno que a utlzação os recursos seja otmzaa e que não haja esperíco. Nesse exemplo, a CNU fo completamente elmnaa pela centralzação os servços consumos pelos epartamentos 1, e 3 no epartamento e TI. Poe-se conclur que a economa e escopo tene a ocorrer quano exste uma parcela a capacae aqura e recursos fxos que não está seno utlzaa. Dessa forma, tem-se que j < I jnj, ou j < N. j I Quano se tem um epartamento utlzano o mesmo recurso fxo para a realzação e versos servços nternos, a economa e custo aparece quano a CNU é reuza ou elmnaa. j Efetos a Economa e Escala Outro fator responsável pelo surgmento a economa e escopo, já que correspone a recursos com função e custos subatva, são os recursos que sofrem os efetos a economa e escala (BAILEY; FRIEDLAENDER, 198). Quano os efetos a economa e escala exstem, o custo untáro méo e um recurso comum a versos servços é ecrescente, o que nca a presença e função e custo subatva. Se as empresas utlzarem recursos comuns com essas característcas em suas funções e custos, economas e custos surgrão pela centralzação o consumo esses recursos em epartamentos prestaores e servços nternos. Para os recursos que sofrem efetos e economa e escala, a função e custos está C C. relaconaa com as unaes prouzas, ou seja: = ( j ) j A economa e custo, nos casos em que os recursos sofrem os efetos os ganhos e escala, é eva à reução o custo méo o recurso por unae. A possblae e economa é função a emana total e é efna como seno: C ( j ) C j. Amta-se que etermnao servço, prestao pelo epartamento e TI para um usuáro em especal, necesste e certa quantae e mnutos e CPU para ser concluío. Suponha-se que esse recurso possa ser aprovetao para a prestação e outros servços entro a empresa. Seno assm, poe-se crar a segunte stuação: 6

Recurso: Tempo e CPU Servços Descentralzaos (Usuáros) Centralzao TI 1 3 13 Tempo e CPU necessáro j 3.960 6.600.440 33.000 Custo C( j ) 31.680 39.600 89.760 115.500 Custo méo/tempo e CPU C( j )/ j 8,00 6,00 4,00 3,50 Poe-se perceber que este é um tpo e recurso cujo custo vara em função o número e unaes prouzas. Se o epartamento 1 aqursse a quantae que precsa estara pagano $ 8,00 unaes monetáras pelo Tempo e CPU que necessta. Contuo, se o epartamento e TI fzer esta aqusção conjunta para os três epartamentos, o custo untáro e aqusção sera e $ 3,50. Para esse tpo e recurso não exste a presença e CNU. Sabe-se que o conjunto os recursos utlzaos pelos epartamentos prestaores e servço (custo total) possu característcas que poem gerar economas e custo pela centralzação (exstênca e custos fxos e efetos sofros pelo ganho e escala). A função e custo o epartamento e servço nterno é uma mescla e recursos com uma ou outra característca (ou as uas). O que se precsa escobrr é uma forma e ecompor o custo para caa servço prestao pelos epartamentos e servços nternos, para que esse valor srva e base para alocação e custos entre os epartamentos. Função Característcas e a Alocação e Custos Shubk (196) fo o prmero autor a escrever como poeram ser utlzaos os concetos a Teora os Jogos, em especal o Valor e Shapley, em versas stuações nas quas surgem ganhos em ecorrênca a coalzão e os ou mas epartamentos ou unaes e negóco e uma empresa. O artgo e Shubk (196) teve por objetvo escrever como os concetos (axomas) a Teora os Jogos Cooperatvos poeram ser utlzaos para alocação e custos conjuntos (Jont Costs). Seguno Shubk (b., p.36): A teora os jogos cooperatvos, esenvolva por von Neumann e Morgenstern, epene e uma mea e relaconamento que é maor em stuações e ganhos obtos por um grupo e nvíuos que está sposto a agr em conjunto, quano comparao com as ações nvuas. O resultao e uma corporação poe ser enxergao como epenente a soma os ganhos conjuntos que poem ser obtos pela coorenação ótma e toos os negócos a empresa. [...] Os jogaores no jogo escrto por von Neumann e Morgenstern poem ser conseraos como os ramos e negócos ou os epartamentos a empresa ou mesmo as seções e uma fábrca. O autor (b.) ana comenta que a mea e complementarae é aa pela função característca, e afrma que: A função característca é chamaa e superatva porque o ganho obto por qualquer grupo e partcpantes é sempre gual ou maor o que poe ser obto pelas ações nvuas. Por exemplo, um casaco é melhor o que uas metaes e um mesmo casaco. A função característca é um camnho que permte que a complementarae possa ser escrta entre ferentes objetos ou grupos. A função característca atrbu um valor a uma combnação e jogaores que ecram realzar uma coalzão (trabalhar em conjunto ou cooperarem entre s). O valor atrbuío pela função característca à coalzão representa o máxmo (e custo ou receta) a ser atrbuío à coalzão e jogaores, nepenentemente o que façam os emas jogaores que não estão partcpano a coalzão. 7

v, valor total obto pela coalzão S, seno que S N. No caso os jogos cooperatvos, a função característca eve satsfazer às seguntes conções: A função característca é representaa por ( S) 1) v ( ) = 0 ; e ) v ( R S ) v( R) + v( S ), seno R S = A prmera conção escreve que uma coalzão sem jogaores não gera ganho (ou economa e custo). A seguna conção nca que uma coalzão e R com S poe obter, no mínmo, a soma os seus ganhos, caso ajam solaamente, ou um valor maor com a coalzão, nunca menor (se fosse menor os jogaores não acetaram partcpar a coalzão). Os benefícos conseguos pela coalzão S são calculaos pela expressão v( ) v( S), one v ( ) representa o valor o jogaor agno solaamente. Toava, sabese que os benefícos geraos pela coalzão S precsam ser strbuíos entre os jogaores que compõem a coalzão. A alocação o benefíco será representaa por x, one S N e o conjunto e alocações raconas é um vetor e ganhos que será efno como x = x x,...,, seno n o número e jogaores e S. ( ) 1, x n A função característca poe ser utlzaa para emonstrar a solução os problemas e strbução e custos em stuações em que a coalzão entre jogaores resulta em economa e custos. Dessa forma, uma conção necessára é a exstênca e economa causaa pela melhor utlzação e custos fxos ou pela presença os efetos o ganho e escala. A conção C,,..., < C necessára poe ser expressa a segunte forma: ( ) ( ) N 1 n. Amta-se que o custo total os servços prestaos pelo epartamento centralzaor v N = C,...,, e que o custo para caa epartamento usuáro executar esse seja e ( ) (, N 1 n ) mesmo servço solaamente seja representao por ( ) ( ) v = C. A economa e custo pela cração os epartamentos prestaores e servços nternos é aa pela expressão C ( ) CN (, 1,..., n ), que também poe ser entena como seno o valor a coalzão. A economa e custos, obta pela centralzação, eve então ser x = x x,...,. strbuía, e o vetor e strbução esse ganho é ao por ( ) Suponha-se que exsta um epartamento que execute atvaes e apoo para os v D1, D = C1 1,, e o custo e caa v D1 = C1 1 e v ( D ) = C ( ). Dessa forma, a C1 1 + C C1 1,. epartamentos a empresa; assm seno, tem-se que ( ) ( ) epartamento usuáro é representao por ( ) ( ) economa e custo a centralzação as atvaes é aa por ( ) ( ) ( ) É razoável magnar que, em stuações envolveno a strbução e custos, os gestores e epartamento, agno como agentes econômcos raconas, rão repartr a economa e custos consegua pela coalzão. Assm, a utlzação a função característca conuz aos concetos exstentes na teora os jogos para se obter a solução o jogo. Para von Neumann e Morgenstern (1944), a solução para o jogo não era únca, mas composta por um conjunto e mputações estáves 5. Porém, esse tpo e solução não é nteressante na strbução os ganhos obtos pela economa e custos, pos não etermna os valores a serem ressarcos pelos epartamentos usuáros ao epartamento centralzaor. 1, x n 5 Um vetor e valores acetáves para caa um os jogaores partcpantes a coalzão. 8

Valor e Shapley O conceto e valor neste caso não eve ser confuno com o conceto e valor apregoao pela economa. Refere-se a uma solução os jogos na forma coalzonal que aponta um únco vetor e strbução o ganho, chamao e valor ou valor o jogo para caa jogaor. Um os prncpas concetos e valor fo proposto por Shapley (1953), sobre o qual já foram esenvolvos versos aperfeçoamentos para ajustar esses concetos aos mas ferentes jogos a va real 6. O valor representa a vsão o resultao o jogo entre os ferentes jogaores que compõem uma coalzão. O paragma para se efnr a vsão é que ela esteja retamente assocaa ao poer os ferentes jogaores, seno o poer e um jogaor meo pela contrbução potencal o mesmo na coalzão com os emas jogaores. Isso sgnfca que, caso se trate e strbução e custos, por exemplo, aquele epartamento que mas mnu o consumo e um recurso (mnu o custo a coalzão) eve receber a maor parcela o benefíco pela economa. Seguno Echberger (1993, p. 87), o conceto e valor apresentao por Shapley (1953) basea-se em alguns concetos avançaos, chamaos e Axomas. E para que a sugestão a repartção o ganho, prouza pelo Valor e Shapley, ser aceta, ela eve obeecer a tas axomas. Para Echberger (1993, p. 87), o que o surpreene na proposção e Shapley (1953) é o pequeno número e requstos que, reunos, formam a conção sufcente para efnr uma repartção únca (o valor ou Valor e Shapley) para um jogo na forma coalzonal. Ientfca-se por φ ( v) ( φ1( v), φ ( v), φ3( v),..., φn ( v) ) os ganhos entre os n jogaores e um jogo na forma coalzonal Γ = ( N,v) alocações ( v) a função que efne a repartção. Caa uma as φ segue os três axomas efnos por Shapley (1953): Smetra, Efcênca e Atvae. A Smetra poe ser entena por um exemplo smples. Daos os jogaores, j N que contrbuem a mesma forma para a coalzão S, então tem-se v ( S { } ) = v( S { j} ) para too, o que nca que ( v) φ ( v) N S φ =. Nesse axoma, Shapley etermna que too jogaor que possu a mesma contrbução potencal (contrbução margnal) na coalzão e que partcpa eve receber a mesma quanta na repartção o resultao o jogo. O axoma a Efcênca afrma que a função e repartção os resultaos φ ( v) strbu o ganho total o jogo, ou seja: φ ( v) v( ). Esse axoma efno por Shapley = C C (1953) refere-se ao conceto e Pareto Efcente, que rejeta qualquer alocação que proporcone oportunae e melhora para um jogaor sem pera para um outro. No axoma a Efcênca, está ncorporaa a efnção o jogaor ummy. Toava, antes e se efnr esse jogaor, é mportante conhecer o conceto e carrer. Para um jogo na N N forma coalzonal Γ = ( N,v), o carrer é a coalzão C, tal que, para too S, v S = v S C. ( ) ( ) Assm, o carrer poe ser escrto como o grupo e jogaores com hablae (recursos, captal, tempo etc.) e gerar o ganho ou aconar valor à coalzão. Os jogaores que estão fora o carrer e pertencem à coalzão S não possuem nfluênca sobre o resultao j 6 Maores etalhes em Roth (1988). 9

o jogo, já que não contrbuem em naa para a coalzão. Um jogaor é enomnao e ummy quano não contrbu para alterar o valor a coalzão. Seno assm, esse jogaor, no momento a strbução (que consera a contrbução margnal e caa jogaor no ganho proporconao pela coalzão), acaba não recebeno qualquer valor. Se v ( S { } ) v( S ) = 0, então φ ( v) = 0. É como se um epartamento não consumsse um tpo e servço nterno e por sso não recebera o custo a prestação esse servço. Por fm, tem-se o axoma a Atvae 7. Quano os jogos nepenentes são combnaos, seus resultaos precsam ser somaos jogaor a jogaor. Se v e u são funções característcas, então φ ( v + u) = φ( v) + φ( u). Este últmo axoma e Shapley não é uma suposção trval. O axoma a atvae refere-se à segunte stuação: se um valor for escolho para os jogos realzaos smultaneamente pelos mesmos jogaores, este eve ser o valor a ser conseguo se esses os jogos forem realzaos em momentos stntos. E se v e u são funções característcas esses jogos, então esse valor é gual a v + u. Conserano os axomas supra escrtos, e acoro com o trabalho e Shapley (1953), conclu-se que exste apenas um únco vetor e repartção (valor os jogaores) que atene aos concetos e efcênca, smetra, atvae e o jogaor ummy, vetor esse forneco pelo Valor e Shapley 8. As propreaes e smetra e o jogaor ummy garantem o caráter e justça na strbução o resultao o jogo. A efcênca nca que too o valor o jogo será reparto entre os jogaores a coalzão, enquanto que a atvae permte presumr que esse valor é únco. Isso porque, nepenentemente e como rão jogar os componentes a coalzão, consegurão apenas a quanta que poera ser alcançaa em um únco jogo. Amtno as característcas apresentaas, o Valor e Shapley é ao pela fórmula: φ ( v) = ( S 1! ) ( n S )! [ v( S ) v( S { } )] S N S A prmera parte a fórmula representa a probablae e um jogaor em partcular partcpar, em versos momentos stntos, e coalzões com S partcpantes. A probablae o jogaor encontrar a coalzão S { } ( S 1! ) ( n S )! já formaa é gual a. n! O enomnaor representa o número total e permutações com n jogaores. O numeraor representa o número essas permutações em que 1 S vêm prmero n! S jogaores e { } (são ( S 1)! maneras), após vem o jogaor, e só epos entram os emas jogaores n S (são ( n S )! maneras). A seguna parte a fórmula é enomnaa e contrbução margnal o jogaor : Seno { } CM = [ v( S) v( S { } )] S a coalzão os jogaores e S que não contém, e S a coalzão formaa por toos os jogaores e S ncluno, a contrbução (custo ou lucro) margnal v S v S. CM e nclusão o jogaor na coalzão S é aa por [ ( ) ( { })] 7 Em seu artgo, Shapley enomnou esse axoma e Le a Agregação. 8 A prova esse teorema poe ser vsta em Shapley (1953) ou em Burger (1963). 10

Assm, o Valor e Shapley ( φ ( v) ) naa mas é o que a méa e contrbução margnal o jogaor para a coalzão S, conserano que os jogaores formem essa coalzão em uma seqüênca aleatóra. Custo Margnal e Aleatoreae seguno Shapley No caso a alocação e custos, o Valor e Shapley poe ser explcao como seno a expectatva o ganho margnal aconao pelo epartamento que entra na coalzão, ao que as orens e entraa nas versas coalzões possíves para o usuáro são gualmente prováves. Para explcar o conceto e custo margnal entro o contexto a alocação e custo pelo Valor e Shapley, lança-se mão e um exemplo apresentao por Jensen (1977). Nesse exemplo, o autor (b., p. 845) escreve uma stuação em que os usuáros possuem emanas específcas e etermnao servço, efnas por k 1 = 00 e k =1. 000 unaes. O custo mínmo e sponblzação essas unaes para o prmero usuáro é e C ( k 1 ) = $ 400 e, para o seguno, e C ( k ) = $ 900. Por outro lao, se os os compartlhassem uma mesma estrutura que sponblzasse o servço emanao pelos os epartamentos ( K =1. 00 ), o custo mínmo sera e C ( K ) = $1. 000. Amta-se que os os usuáros estão e acoro com as conções báscas e alocação e custos (escrtas no tem anteror) efnas pelo Valor e Shapley. Nesse sento, ana seguno o mesmo autor (b.): Os axomas conuzem a uma alocação baseaa no custo ncremental. [...] o custo margnal é a ferença entre os recursos hpotétcos um capaz e satsfazer qualquer subconjunto e emanas e outro que satsfaz, em ação, a emana e um usuáro em partcular. Obvamente, o custo ncremental vara com as alterações nos subconjuntos e emanas que o novo usuáro aumenta. No caso escrto, como já comentao, as necessaes os os usuáros poem ser cobertas e uas formas: ou na compra e recursos específcos por usuáro, ou na compra e uma estrutura conjunta capaz e atener às necessaes smultaneamente. Assm, o prmero usuáro poe ter suas necessaes atenas pela compra e um recurso específco por $ 400 ou por uma estrutura comum por $ 1. 000. O custo ncremental e satsfazer as necessaes o prmero usuáro, se ele entrar na coalzão após o seguno usuáro, pela estrutura comum é e $ 100 ( $ 1.000 $ 900 ), pos o seguno usuáro custou n coalzão $900. Ou seja, o custo ncremental é o acréscmo no custo causao pela entraa a emana o prmero usuáro no subconjunto formao pela emana o seguno usuáro. O custo ncremental para atener à emana o prmero usuáro com uma estrutura específca é e $ 400 ( $ 400 0 ), que representa a entraa o prmero usuáro em um subconjunto sem emana, o que resulta no própro custo o prmero usuáro. Da mesma forma, o custo ncremental para atener às necessaes o seguno usuáro, supono que o seguno usuáro entre na coalzão após o prmero usuáro, é gual a $ 600 ( $ 1.000 $ 400 ) em uma estrutura conjunta e $ 900 ( $ 900 0 ) em uma estrutura específca. Se os os usuáros ecrem construr uma estrutura conjunta e concorarem em alocar os custos comuns e forma que os quatro axomas sejam satsfetos, então, a segunte α = 50,750 strbução e custos será aceta por esses usuáros: ( ) Seno assm, uma forma e escrever o custo total e uma estrutura comum é pelo ncremento causao e acoro com a entraa e caa usuáro em uma seqüênca pré-efna. Por exemplo, o custo total a estrutura que atenerá os os usuáros é e $ 1. 000, que poe 11

ser explcao como necessáro para atener às necessaes o prmero usuáro, ( $ 400 ), mas um custo aconal para satsfazer às necessaes o seguno usuáro ( $ 600 ) ou, apenas alterano a orem e entraa os usuáros na coalzão, os $ 1. 000 poem ser justfcaos para atener às necessae o seguno usuáro ( $ 900 ), mas um custo aconal para atener à emana o prmero usuáro ( $ 100 ). Como se pôe observar, a ecomposção o custo total epene a seqüênca em que as emanas são reconhecas. Nesse caso, exstem uas seqüêncas possíves: ( 1,) e (,1), no caso e três usuáros, ses, e no caso e n, tem-se n! seqüêncas. O custo margnal é sensível às versas alternatvas e camnhos possíves (e que epenem o número e usuáros envolvos). Caa usuáro terá um custo margnal calculao para caa camnho alternatvo possível. A alocação e custo sugera pela utlzação o Valor e Shapley e pelos axomas efnos por Loehman e Whnston (1971) correspone, smplesmente, à soma os custos margnas os versos camnhos possíves va pelo número e alternatvas. Ou seja, correspone ao custo méo ncremental. Valor e Shapley e a Alocação e Custos O Valor e Shapley é um métoo pelo qual os jogaores têm conhecmento a pror os benefícos esperaos e se entrar em um jogo. Para emonstrar o relaconamento o Valor e Shapley com os problemas e alocação e custos, utlza-se, especfcamente, a alocação e custos e epartamentos prestaores e servços nternos. Para sso, amta-se que o custo total e um epartamento e servço nterno (epartamento e manutenção ou epartamento e TI) precse ser alocao entre n epartamentos, enomnaos por N = ( 1,,...,n ). A função v ( S) escreve o ganho total obto pela coalzão S quano toos esses epartamentos cooperam para assegurar a maor efcênca na sponblzação o servço comum. O ganho nesse jogo poe ser enteno como a reução e custo a estrutura que suporta o servço comum, e também como seno passível e transferênca entre os jogaores partcpantes a coalzão. Essa transferênca é chamaa e transferênca e utlae e ocorre, nesse caso, pela strbução a economa e custo traza por um os jogaores entre toos os outros a coalzão. Desse moo, a mea a utlae o tomaor e ecsão, neste trabalho, é aa pela comparação entre o custo atrbuío em função o jogo e o custo nvual o epartamento, conserano que ele não venha a fazer parte a coalzão. Os tomaores e ecsão (gestores os epartamentos) estarão e acoro com as regras o jogo (e strbução e custos comuns) se preferrem o custo alocao pelo jogo ao nvés o custo e construção a estrutura o servço nterno e forma solaa os emas epartamentos. O Valor e Shapley para um epartamento é ao por: D = S N S ( s 1 )! ( n s)! [ v( S ) v( S { } )] n! Incalmente, para se calcular o vetor e strbução e custos utlzano o Valor e Shapley, é necessáro saber que s é o número e epartamentos na coalzão S e n é o número total e epartamentos. Para emonstrar como se poe aplcar o conceto o Valor e Shapley em um jogo e alocação e custos, amta-se a exstênca e três epartamentos N = A, B, C. usuáros, ou ( ) A empresa XPTO eseja mnur seus gastos com nformátca e, para sso, avala a cração e um epartamento e processamento e aos para atener os prncpas epartamentos operaconas a empresa. Atualmente, os prncpas sstemas transaconas a 1

empresa estão seno processaos por servores e os emas recursos mantos pelos própros epartamentos operaconas. Para atngr o objetvo e centralzação as atvaes e TI, a empresa precsa exar clara para os epartamentos usuáros a vantagem obta em termos e custos e e melhora o resultao os epartamentos. O prmero passo ao pela empresa fo o cálculo estmao o consumo e recursos e TI que os três epartamentos operaconas emanaram o novo epartamento e processamento e aos. A empresa soube, por meo esse levantamento, que os epartamentos A e C consomem uma quantae e recursos e TI (meos em MIPS Mlhões e Instruções por Seguno) menor (1.733 MIPS e 1.333 MIPS, respectvamente) o que o epartamento B, que consome mas a metae o que é consumo pelos três epartamentos (3.933 MIPS). Realzaas as estmatvas os custos, o problema passa a ser e avalação o nvestmento. A empresa avala se, conserano a economa obta, vale a pena ou não a centralzação os servços e TI. Caso seja nteressante para a empresa, o problema passa a ser convencer os epartamentos operaconas e que a centralzação também trará benefícos maores o que a manutenção e estruturas própras e processamento e aos. Dano seqüênca à apresentação o exemplo, o próxmo passo é a obtenção e estmatvas confáves para as versas stuações possíves: a. o epartamento A mantém sua estrutura e TI por $5.000,00; b. o epartamento B mantém sua estrutura e TI por $3.000,00; c. o epartamento C mantém sua estrutura e TI por $5.000,00;. se apenas A e B cooperassem entre s para montar uma estrutura comum, sso resultara em um custo e $6.000,00; e. se B e C entrassem em um acoro, sso resultara em um custo e $7.000,00; f. se A e C cooperassem, sera alcançao um custo e $10.000,00; g. se A, B e C utlzassem a mesma estrutura e TI, sera alcançao um custo e $10.500,00. É fácl perceber que a melhor solução para atener as necessaes os três epartamentos (e que representa o menor custo para a empresa) é a cração e uma unae centralzaora o servço, comum aos três epartamentos operaconas e, nesse caso, a empresa economzara cerca e $.500,00. Toava, os epartamentos operaconas precsam concorar com a forma como os custos serão alocaos para os epartamentos. Uma manera comum e alocar os custos entre os epartamentos é pelo crtéro a utlzação o servço. Nesse caso, o custo e caa um os epartamentos é ao pela proporção e seu consumo em relação ao consumo total os três epartamentos (nesse exemplo, meo em mnutos e processamento ). Pelo crtéro a utlzação, a strbução α =.600,.000,5.900 resultara no segunte vetor e custos: ( ) Essa strbução e custos não é vantajosa para o epartamento C, que receberá uma conta e $5.900,00 ($ 10.500,00 / 7.000 MIPS * 3.933 MIPS = $ 5.900,00). O epartamento C sabe que, soznho, mantém uma estrutura e TI que custa $5.000,00. Embora C tenha contrbuío para que a empresa obtvesse economa e custo, pela melhor utlzação e custos fxos, não se benefca essa economa pelo crtéro e strbução escolho pela empresa. Outra forma e alocar esse custo é conserar o Custo Margnal méo e caa epartamento nas versas coalzões possíves. Para tal, é mportante que a empresa negoce 13

antecpaamente as conções báscas 9 (axomas) sobre as quas as alocações e custos serão fetas entre os usuáros o servço, seno elas: 1) o custo a ser alocao é gual ao custo a prestação e servço aos usuáros; ) a alocação e custos será realzaa exclusvamente com base na contrbução margnal causaa pelo usuáro, não com base na contrbução margnal e outros usuáros; 3) os usuáros com contrbuções êntcas receberão custos guas; 4) a alocação e custos será homogênea com grau um, ou seja, se o custo ncremental e um usuáro elevar-se em um certo percentual, a alocação e custos para esse usuáro será elevaa pelo mesmo percentual; Loehman e Whnston (1971) provaram que só exste um vetor e alocação e custos que obeece a esses quatro axomas, e é obto pela utlzação a função efna em Shapley (1953). Seno assm, qual sera o custo alocao para caa um os epartamentos usuáros? Utlzano a fórmula esenvolva por Shapley, a strbução e custos sera realzaa a α = 4.166,67;1.666,67;4.666,67. segunte forma: ( ) Se observarmos o vetor e alocação prouzo pelo Valor e Shapley, não há um valor que seja maor o que caa um pagara se resolvesse não entrar na coalzão. Se os epartamentos assumssem um comportamento guao pelos crtéros raconas e alocação os custos por epartamento, o vetor e alocação e custos calculao pelo Valor e Shapley sera um nstrumento eal para alocação esse custo por epartamento (ROTH; VERRECCHIA, 1979). Conserações Fnas O moelo apresentao neste trabalho, em função as característcas e moelagem os jogos cooperatvos e, em especal, o valor proporconao pela utlzação a fórmula e solução e um jogo cooperatvo esenvolva por Shapley (1953), prouz um vetor e alocação e custos que possu aspectos semelhantes a uma negocação entre os epartamentos envolvos na alocação e custos. Por outro lao, mnmza o tempo que poera ser gasto com a negocação e taxas e alocação e custos. No entanto evem-se conserar alguns fatores que fcultam a utlzação este moelo, como por exemplo, alguns os axomas poem ser explcaos faclmente para os usuáros (axomas 1, 3 e 4, por exemplo). Contuo, outros precsam ser explcaos com maor grau e profunae (axoma ) ou transformaos em stuações que permtam fácl assmlação os crtéros por parte os usuáros. Além sso, o moelo pressupõe que se conheçam, a pror, os custos nvuas os jogaores e também e caa uma as coalzões possíves no jogo, sso poe fazer com que o moelo se torne complexo caso haja um número grane e jogaores. Pesqusas posterores poem se utlzar estes problemas para elaboração e moelos otmzaos e alocação e custos. O que se apresentou neste trabalho é uma as metoologas para se alocar custos. O ponto realmente mportante é o entenmento os resultaos prouzos pelos crtéros utlzaos na moelagem o sstema e alocação e custos pelo Valor e Shapley, e se esses crtéros ajustam-se aos objetvos que a empresa pretene atngr com os números prouzos pela alocação. Acreta-se que o Valor e Shapley prouz uma nformação e alocação e custos que carrega nela característcas que poeram ser utlzaas para avalação e 9 Essas conções ervam o trabalho e Loehman e Whnston (1971). 14

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